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解析几何常规题型及方法


高考专题:解析几何常规题型及方法
一、高考风向分析:
高考解析几何试题一般共有 3--4 题(1--2 个选择题, 0--1 个填空题, 1 个解答题), 共计 20 多分, 考查的知识点约为 20 个左右,其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查。选择题和 填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线中的基础知识,大多概念性较强,小巧灵活,思维多于计 算;而解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的 位置关系、轨迹方程,以向量为载体,立意新颖,要求学生综合运用所学代数、三角、几 何的知识分析问题,解决问题。

二、本章节处理方法建议:
纵观 2006 年全国各省市 18 套文、理高考试卷,普遍有一个规律:占解几分值接近一 半的填空、选择题难度不大,中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中;而占解几分值一 半偏上的解答题得分很不理想,其原因主要体现在以下几个方面:(1)解析几何是代数与 几何的完美结合,解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向 量等知识,形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题,因而成为高中数学综合 能力要求最高的内容之一(2)解析几何的计算量相对偏大(3)在大家的“拿可拿之分” 的理念下,大题的前三道成了兵家必争之地,而排放位置比较尴尬的第 21 题或 22 题(有 时 20 题)就成了很多人遗忘的角落,加之时间的限制,此题留白的现象比较普遍。 鉴于解几的特点,建议在复习中做好以下几个方面.1.由于高考中解几内容弹性很 大。有容易题,有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题 较难,就拼命地去搞难题,套新题,这样往往得不偿失;端正心态:不指望将所有的题攻 下,将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上,这样复习,高考时就 能保证首先将选择、填空题拿下,然后对于大题的第一个小问争取得分,第二小题能拿几 分算几分。

三、高考核心考点
1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等) 2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的 坐标公式、到角公式、夹角公式等) 3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的 各种情况、截距是否为 0 等等) 4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如:定义法、直接法、相关点法、参数 法、交轨法、几何法、待定系数法等) 8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解 决一些常见问题

四、常规题型及解题的技巧方法

A:常规题型方面
(1)中点弦问题 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为 ( x1 , y1 ) ,

( x2 , y2 ) ,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。
1

y2 典型例题 给定双曲线 x ? ? 1 。过 A(2,1)的直线与双曲线交于两点 P1 及 P2 , 2
2

求线段 P1 P2 的中点 P 的轨迹方程。 分析:设 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x 2 , y 2 ) 代入方程得 x1 ? 1
2

y12 y2 2 ? 1 , x2 ? 2 ? 1 。 2 2

两式相减得

1 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 。 2
又设中点 P(x,y),将 x1 ? x2 ? 2 x , y1 ? y2 ? 2 y 代入,当 x1 ? x 2 时得

2x ?

y ? y2 2y · 1 ? 0。 2 x1 ? x 2 y1 ? y 2 y ?1 ? , x1 ? x 2 x?2
2 2

又k ?

代入得 2 x ? y ? 4 x ? y ? 0 。 当弦 P1 P2 斜率不存在时,其中点 P(2,0)的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是 2 x ? y ? 4 x ? y ? 0
2 2

说明:本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况。 变式练习: 给定双曲线 2x2 - y2 = 2 ,过点 B(1,1)能否作直线 L,使 L 与所给双曲线交于两点 Q1、Q2 两 点,且点 B 是线段 Q1Q2 的中点?如果直线 L 存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由. (2)焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点 F1 、 F2 构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭 桥。 典型例题

x2 y2 设 P(x,y) 为 椭 圆 2 ? 2 ? 1 上 任 一 点 , F1 ( ?c,0) , F2 (c,0) 为 焦 点 , a b

?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? 。
(1)求证离心率 e ?

sin(? ? ? ) ; sin ? ? sin ?
3

(2)求 | PF1 | ? PF2 | 的最值。
3

分析:(1)设 | PF1 | ? r1 , | PF2 ? r2 ,由正弦定理得
2

r1 r 2c ? 2 ? 。 sin ? sin ? sin(? ? ? )



r1 ? r2 2c , ? sin ? ? sin ? sin(? ? ? )

e?

c sin(? ? ? ) ? a sin ? ? sin ?
3 3 3 2 2

(2) (a ? ex ) ? (a ? ex) ? 2a ? 6ae x 。 当 x ? 0 时,最小值是 2a 3 ; 当 x ? ?a 时,最大值是 2a 3 ? 6e 2 a 3 。 变式练习: 设 F1 、 F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右两个焦点,P 是双曲线上的 a2 b2
2

一点,若∠P=θ ,求证:S△=b cot

? 2

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判 别式,应特别注意数形结合的办法 典型例题
抛物线方程y 2 ? p( x ? 1) ( p ? 0) ,直线x ? y ? t与x轴的交点在抛物线准线的右边。

(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点 (2)设直线与抛物线的交点为 A、B,且 OA⊥OB,求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。 p (1)证明:抛物线的准线为 1:x ? ?1 ? 4 由直线 x+y=t 与 x 轴的交点(t,0)在准线右边,得 t ? ?1 ?
?x ? y ? t 由? 2 消去y得 x 2 ? (2t ? p) x ? ( t 2 ? p) ? 0 y ? p( x ? 1) ?

p ,而4 t ? p ? 4 ? 0 4

?? ? (2t ? p) 2 ? 4( t 2 ? p) ? p(4t ? p ? 4) ? 0

故直线与抛物线总有两个交点。 (2)解:设点 A(x1,y1),点 B(x2,y2)
? x1 ? x 2 ? 2t ? p,x1 x 2 ? t 2 ? p
?OA?OB, ? k OA ? k OB ? ?1 则 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 又 y1 y 2 ? ( t ? x1 )( t ? x 2 )

3

? x1 x 2 ? y1 y 2 ? t 2 ? ( t ? 2) p ? 0

? p ? f (t) ?

t2 t?2

又p ? 0,4t ? p ? 4 ? 0得函数f ( t ) 的定义域是 (?2,0) ? (0, ? ?)

变式练习: 直线 y=ax+1 与双曲线 3x -y =1 交于两点 A、B 两点 (1)若 A、B 都位于双曲线的左支上,求 a 的取值范围 (2)当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆经过坐标原点? (4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题 圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函 数,三角函数,均值不等式)求最值。 典型例题 已知抛物线 y2=2px(p>0),过 M(a,0)且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点 A、B,|AB|≤2p (1)求 a 的取值范围;(2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的最 大值。 分析:这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于(1),可以设法得到关于 a 的不 等式,通过解不等式求出 a 的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将 a 表示为另一个 变量的函数,利用求函数的值域求出 a 的范围;对于(2)首先要把△NAB 的面积表示为 一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。 解:(1)直线 L 的方程为:y=x-a,将 y=x-a 代入抛物线方程 y2=2px,得:设直线 L 与抛物线两
2 2

?4(a ? p) ? 4a 2 ? 0 ? 交点的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ? x1 ? x 2 ? 2(a ? p ) ,又 y1=x1-a,y2=x2-a, ? 2 ? x1 x 2 ? a

?| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 8 p( p ? 2a) ?0 ?| AB |? 2 p,8 p( p ? 2a) ? 0, ?0 ? 8 p( p ? 2a) ? 2 p,
解得:

?

p p ?a?? . 2 4

(2)设 AB 的垂直平分线交 AB 与点 Q,令其坐标为(x3,y3),则由中点坐标公式得:

x3 ?

x1 ? x 2 2

?a? p,

y3 ?

y1 ? y 2 ( x1 ? a) ? ( x2 ? a) ? ? p. 2 2

所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ 为等腰直角三角形,所以|QM|=|QN|= 2 P ,所以
4

S △ NAB=

1 2 2 | AB | ? | QN |? p? | AB |? p ? 2 p ? 2 p 2 ,即△NAB 面积的最大值为 2 2 2

2 P 2。
变式练习: 双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两条准线间的距离为 3,右焦点到直线 x+y-1=0 的距 a2 b2

离为

2 2

(1)求双曲线的方程 (2)设直线 y=kx+m(k ? 0 且 m ? 0 )与双曲线交于两个不同的点 C、D,若 A(0,-1)且

AC = AD ,求实数 m 的取值范围
(5)求曲线的方程问题 1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题 已知直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上。若点 A(-1,0)和 点 B(0,8)关于 L 的对称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方程。 分析:曲线的形状已知,可以用待定系数法。 设出它们的方程,L:y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0) 设 A、B 关于 L 的对称点分别为 A/、B/,则利用对称性可求得它们的坐标分别为: A/(

k 2 ?1 2k 16 k 8(k 2 ? 1) ,? 2 ),B( 2 )。因为 A、B 均在抛物线上,代入,消去 , k 2 ?1 k ?1 k ?1 k 2 ?1
1? 5 2 5 ,p= . 2 5

p,得:k2-k-1=0.解得:k=

所以直线 L 的方程为:y= 变式练习:

1? 5 4 5 x,抛物线 C 的方程为 y2= x. 2 5

在面积为 1 的△PMN 中,tanM= 过点 P 的椭圆方程。 2.曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题

1 ,tanN=-2,建立适当的坐标系,求出以 M、N 为焦点且 2

M N

已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C:x2+y2=1,
5

O

Q

动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数 ? ( ? >0),求动点 M 的轨迹方程,并说明它 是什么曲线。 分析:如图,设 MN 切圆 C 于点 N,则动点 M 组成的集合是:P={M||MN|= ? |MQ|},由平 面几何知识可知:|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1,将 M 点坐标代入,可得:( ? 2-1)(x2+y2)4 ? 2x+(1+4 ? 2)=0. 当 ? =1 时它表示一条直线;当 ? ≠1 时,它表示圆。这种方法叫做直接法。 变式练习: 过抛物线
2 2

y 2 =4x 的焦点

F 作斜率为 k 的弦 AB,且 AB ≤8,此外,直线 AB 和椭圆

3x +2y =2 交于不同的两点。 (1)求直线 AB 的斜率 k 的取值范围 (2)设直线 AB 与椭圆相交于 C、D 两点,求 CD 中点 M 的轨迹方程 (6) 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线, 求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式 来解决) 典型例题

x2 y2 已知椭圆 C 的方程 ? ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 4 3

y ? 4 x ? m ,椭圆 C 上有不同两点关于直线对称。
分析:椭圆上两点 ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) ,代入方程,相减得 3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ?

4( y1 ? y2 ) ( y1 ? y2 ) ? 0 。
又x ?

y ? y2 x1 ? x 2 y ? y2 1 ? ? ,代入得 y ? 3x 。 ,y? 1 ,k ? 1 x1 ? x 2 4 2 2

又由 ?

? y ? 3x 解得交点 (?m,?3m) 。 ?y ? 4x ? m

交点在椭圆内,则有 变式练习:

( ?m) 2 ( ?3m) 2 2 13 2 13 ?m? ? ? 1 ,得 ? 。 13 13 4 3

为了使抛物线 ( y ? 1) ? x ? 1 上存在两点关于直线 y ? mx 对称,求 m 的取值范围。
2

(7)两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用 k 1 ·k 2 ? 算来处理。

y1 ·y 2 ? ?1 来处理或用向量的坐标运 x1 ·x 2

6

典型例题

已知直线 l 的斜率为 k ,且过点 P( ?2,0) ,抛物线 C: y ? 4( x ? 1) ,直线 l 与
2

抛物线 C 有两个不同的交点(如图)。 (1)求 k 的取值范围; (2)直线 l 的倾斜角 ? 为何值时,A、B 与抛物线 C 的焦点连线互相垂直。 分析:(1)直线 y ? k ( x ? 2) 代入抛物线方程得
y B A P (-2,0) O x

k 2 x 2 ? ( 4 k 2 ? 4) x ? 4 k 2 ? 4 ? 0 ,
由 ? ? 0 ,得 ?1 ? k ? 1( k ? 0) 。 (2)由上面方程得 x1 x 2 ?

4k 2 ? 4 , k2

y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 4 ,焦点为 O(0,0) 。
由 k OA ·k OB

y1 y 2 k2 ? ? ? ?1 ,得 x1 x 2 k 2 ? 1

k??

2 2 2 , ? ? arctan 或 ? ? ? ? arctan 2 2 2

变式练习: 经过坐标原点的直线 l 与椭圆

( x ? 3) 2 y 2 ? ? 1 相交于 A、B 两点,若以 AB 为直径的 6 2

圆恰好通过椭圆左焦点 F,求直线 l 的倾斜角。

B:解题的技巧方面
在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用 几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算 量。下面举例说明: (1)充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代 数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。 典型例题 设直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与圆 x ? y ? x ? 2 y ? 0 相交于 P、Q 两点,O 为坐
2 2

标原点,若 OP?OQ ,求 m 的值。 解: ?圆 x ? y ? x ? 2 y ? 0 过原点,并且 OP?OQ ,
2 2

1 ? PQ 是圆的直径,圆心的坐标为 M ( ? ,1) 2 1 又 M ( ? ,1) 在直线 3x ? 4 y ? m ? 0 上, 2
7

1 5 ? 3 ? ( ? ) ? 4 ? 1 ? m ? 0, ? m ? ? 即为所求。 2 2
评注:此题若不充分利用一系列几何条件:该圆过原点并且 OP?OQ ,PQ 是圆的直 径,圆心在直线 3x ? 4 y ? m ? 0 上,而是设 P( x1 ,y1 ) 、Q( x2 ,y2 ) 再由 OP?OQ 和韦 达定理求 m ,将会增大运算量。 变式练习: 已知点 P(5,0)和圆 O: x ? y ? 16 ,过 P 作直线 l 与圆 O 交于 A、B 两点,求弦
2 2

AB 中点 M 的轨迹方程。 评注:此题若不能挖掘利用几何条件 ?OMP ? 90? ,点 M 是在以 OP 为直径的圆周上, 而利用参数方程等方法,计算量将很大,并且比较麻烦。 二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、 中点等问题中常常用到。 典型例题 已知中心在原点 O,焦点在 y 轴上的椭圆与直线 y ? x ? 1 相交于 P、Q 两点, 且 OP?OQ , | PQ| ?

10 ,求此椭圆方程。 2
2 2

解 : 设 椭 圆 方 程 为 ax ? by ? 1(a ? b ? 0) , 直 线 y ? x ? 1 与 椭 圆 相 交 于 P ( x1 ,y1 ) 、 Q( x 2 ,y 2 ) 两点。 由方程组 ?

?y ? x ? 1
2 2 ?ax ? by ? 1

消去 y 后得

(a ? b) x 2 ? 2bx ? b ? 1 ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? 2b b ?1 ,x1 x 2 ? a ?b a ?b
(1)

由 k OP ? k OQ ? ?1 ,得 y1 y2 ? ? x1 x2 又 P、Q 在直线 y ? x ? 1 上,

( 2) ? y1 ? x1 ? 1, ? (3) ? y 2 ? x 2 ? 1, ? y1 y 2 ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1
把(1)代入,得 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 , 即

2(b ? 1) 2b ? ?1? 0 a ?b a ?b
(4)

化简后,得

a ?b ? 2

8

由 | PQ| ?

10 5 ,得 ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2 2

? ( x1 ? x 2 ) 2 ?

5 5 , ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? , 4 4 2b 2 4(b ? 1) 5 ( ) ? ? a ?b a ?b 4

把(2)代入,得 4b 2 ? 8b ? 3 ? 0 ,解得 b ?

1 3 或b ? 2 2

3 1 或a ? 2 2 3 1 由 a ? b ? 0 ,得 a ? ,b ? 。 2 2
代入(4)后,解得 a ?

?所求椭圆方程为

3x 2 y 2 ? ?1 2 2

评注:此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略,简化了计算。 变式练习:

x2 y2 若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ,AB 为不平行于对称轴且不过原点的弦,M 为 AB 中点, a b
设 AB、OM 的斜率分别为 k AB 、k OM ,则 k AB ? k OM ?

b2 a2

三. 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。 典型例题 求经过两已知圆 C1 :x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 和 C2 :x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 的交
2 2 2 2

点,且圆心在直线 l : 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 上的圆的方程。 解:设所求圆的方程为:

x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? ? ( x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4) ? 0
即 (1 ? ? ) x ? (1 ? ? ) y ? 4 x ? 2(1 ? ? ) y ? 4? ? 0 ,
2 2

2 ? ?1 ) , 1? ? ? ?1 2 ? ?1 1 又 C 在直线 l 上, ? 2 ? ? 4? ? 1 ? 0 ,解得 ? ? ,代入所设圆的方程得 1? ? ? ?1 3
其圆心为 C(

x 2 ? y 2 ? 3x ? y ? 1 ? 0 为所求。
评注:此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点,故简化了计算。 变式练习: 某直线 l 过直线 L1:4x-3y-12=0 和 L2:7x-y+28=0 的交点,且倾斜角为直线 L1 的倾斜 角的一半,求此直线 l 的方程
9

四、充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问 题.这也是我们常说的三角代换法。 典型例题 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1上一动点,A 为长轴的右端点,B 为短轴的上端点,求四 a 2 b2

边形 OAPB 面积的最大值及此时点 P 的坐标。 变式练习: 已知 P(x,y)是椭圆 x2+4y2=1 上任一点,试求 P 到直线 x + y – 2 = 0 的最小值及此时 P 的坐标。 五、线段长的几种简便计算方法 ① 充分利用现成结果,减少运算过程 一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是:把直线方程 y ? kx ? b 代入圆锥 曲线方程中,得到型如 ax ? bx ? c ? 0 的方程,方程的两根设为 x A , x B ,判别式为△,
2

则 | AB| ? 1 ? k ·| x A ? x B | ?
2

△ 1 ? k 2· ,若直接用结论,能减少配方、开方等运算 |a|

过程。 例 求直线 x ? y ? 1 ? 0 被椭圆 x ? 4 y ? 16 所截得的线段 AB 的长。
2 2

② 结合图形的特殊位置关系,减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲 线的定义,可回避复杂运算。 例

F1 、 F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,AB 是经过 F1 的弦,若 | AB| ? 8 ,求值 25 9

| F2 A | ? | F2 B |
③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点 A(3,2)为定点,点 F 是抛物线 y ? 4 x 的焦点,点 P 在抛物线 y ? 4x 上移
2 2

动,若 | PA|?| PF | 取得最小值,求点 P 的坐标。

五、高考试题选编
1. 过抛物线 y 2 ? 6x 的焦点 F,作弦 AB?x 轴于 A、B 两点,则弦长 AB 等于( ) A. 6 B. 18 C. 6 2 D. 36

2. 若直线 y ? kx ? 1 与焦点在 x 轴上的椭圆 是( ) A. (0,5)

x2 y2 ? ? 1 总有公共点,则实数 m 的取值范围 5 m

B. (1,5)

C. [1,5)
10

D. [1,5]

3. 直线 y ? x ? 1被椭圆 3x 2 ? 4 y 2 ? 12 所截得的弦的中点坐标是( A. ( ?
4 3 , ) 7 7 4 11 B. ( , ) 7 7


8 15 D. ( , ) 7 7

C. ( ?

8 1 ,? ) 7 7

x2 5 4. 过点 A ( ?1, ) 引抛物线 y ? 的一条弦,使该弦被 A 点平分,则该弦所在直线方程为 4 2 ( ) A. 4x ? 2y ? 1 ? 0 B. x ? 2y ? 4 ? 0 C. 4x ? 2y ? 9 ? 0 D. x ? 2y ? 6 ? 0

5. 设 x,y ? R 且 3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ,则 x 2 ? y 2 的最大值与最小值分别是( A. 2, 3 B. 4 , 2 3 C. 4,3 D. 8,6



6. P 是抛物线 y 2 ? x 上的点,F 是抛物线的焦点,则点 P 到 F 与 P 到 A (3, ? 1) 的距离之和 的最小值是( A. 3
2

) B.
13 4
2

C. 4

D.

7 2

7.已知圆 C : ( x ? a) ? ( x ? 2) ? 4(a ? 0)及直线l : x ? y ? 3 ? 0.当直线l被C截得 的弦 长为 2 3 时,则 a=( A. 2 ) B. 2 ? 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 1

8.(03 全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点 F ( 7 ,0), 直线y ? x ? 1与其相交于M、N 两点,MN 中点的横坐标为 ?

2 , 则此双曲线的方程是( 3
B.



A.

x2 y2 ? ?1 3 4

x2 y2 ? ?1 4 3

x2 y2 C. ? ?1 5 2

x2 y2 D. ? ?1 2 5

9.(03 江苏)已知长方形四个顶点 A(0,0),B(2,0),C(2,1)和 D(0,1),一 质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为θ 的方向射到 BC 上的点 P1 后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3 和 P4(入射角等于反射角).设 P4 的坐标为(x4,0).若 1< x4<2,则 tanθ 的取值范围是 ( ) A. ( ,1)

1 3

B. ( , )

1 2 3 3

C. ( , )

2 1 5 2

D. ( , )

2 2 5 3

10.(03 广东)(双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2,?F1 MF2 ? 120 ? ,则 双曲线的离心率为( A. ) B.

3

6 2
11

C.

6 3

D.

3 3

11. 直线 y ? kx ? 1 与抛物线 ( y ? 1) 2 ? 4( x ? 2) 只有一个公共点,则 k 的值为________。 12. 曲线 C: y ? ( x ? 2) 2 关于直线 x ? y ? 3 ? 0 对称的曲线 C' 的方程_________。 13.(03 年上海) 给出问题: F1、F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点,点 P 在双曲线上。若点 16 20

P 到焦点 F1 的距离等于 9,求点 P 到焦点 F2 的距离 PF2 ? ________。 某学生的解答如下:双曲线的实轴长为 8,由 PF1 ? PF2 ? 8 ,即 9 ? PF2 ? 8 ,得

PF2 ? 1 或 17。
该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在上面空格内;若不正确,将正确 结果填在上面空格内。 14. (03 年上海)在以 O 为原点的直角坐标系中,点 A(4, 3) 为 ?OAB 的直角顶点,已知 ?

AB ? 2 OA ,且点 B 的纵坐标大于零。
(1)求向量 AB 的坐标。 (2)求圆 x ? 6 x ? y ? 2 y ? 0 关于直线 OB 对称的圆的方程。
2 2

(3)是否存在实数 a ,使抛物线 y ? ax ? 1 上总有关于直线 OB 对称的两个点?若不存
2

在,说明理由;若存在,求 a 的取值范围。 15. 已知抛物线 C: y ? x 2 ? 2m2 x ? (2m2 ? 1)( m ? R) (1)求证:抛物线 C 与 x 轴交于一定点 M; (2)若抛物线与 x 轴正半轴交于 N,与 y 轴交于 P,求证:PN 的斜率是一个定值; (3)当 m 为何值时,三角形 PMN 的面积最小,并求此最小值。

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