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2016届河南省郑州市高三第一次模拟考试数学理试题


河南省郑州市 2016 年高三第一次模拟考试 理科数学
(时间 120 分钟 满分 150 分)

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)


一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.设全集 U ? x ? N* x ? 4 ,集合 A ? ?1, 4? , B ? ?2, 4? ,则 ? U ? A ? B? ? ( A. ?1, 2,3? B. ?1, 2, 4? C. ?1, 4,3? ) D.0
b 3 cos B ? a ,则 cos B ? ( sin A
3 2

?

?

D.

?2, 4,3?

2. 设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. i B. 2 ? i

2 ?z ?( z C. 1 ? i

3.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 A. ?



1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D. )

4.函数 f ? x ? ? e x cos x 在点 ? 0, f ? 0? ? 处的切线方程为( A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0
x

C. x ? y ? 1 ? 0

D. x ? y ? 1 ? 0 )

?1? 5.已知函数 f ? x ? ? ? ? ? cos x ,则 f ? x ? 在 ?0,2? ? 上的零点的个数为( ?2?

A.1

B.2

C.3

D.4 )
结束 是 输出S

6. 按如下的程序框图,若输出结果为 273,则判断框?处应补充的条件为(
开始
i ?1 S ?0

S ? S ? 3i

i?i?2 ?



A. i ? 7 7. 设双曲线

B. i ? 7
2 2

C. i ? 9

D. i ? 9

1 x y 且一个焦点与抛物线 y ? x 2 的焦点相同, ? 2 ? 1 的一条渐近线为 y ? ?2 x , 2 4 a b 则此双曲线的方程为( ) 5 5 5 5 2 A. x2 ? 5 y 2 ? 1 B. 5 y 2 ? x2 ? 1 C. 5x2 ? y 2 ? 1 D. y ? 5x2 ? 1 4 4 4 4 1 8. 正项等比数列 ?an ? 中的 a1 , a4031 是函数 f ? x ? ? x3 ? 4x2 ? 6x ? 3 的极值点,则 log 6 a2016 ? 3 ( )
A.1 B.2 C.
2

D. ?1

9. 右图是一个四面体的三视图,这三个视图均是腰长为 2 的等腰

直角三角形,正视图和俯视图的虚线是三角形的中线,则该四面体的体积为( A.



2 3

B.

4 3

C.

8 3

D. 2

10.已知函数 f ? x ? ? x ?

4 ?1 ? , g ? x ? ? 2x ? a ,若 ?x1 ? ? ,1? , ?x2 ? ? 2,3? 使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? , x ?2 ?
) B. a ? 1 C. a ? 2 D. a ? 2

则实数 a 的取值范围是( A. a ? 1
2 2

11.已知椭圆

x y 过点 F2 的直线与椭圆交于 A, B F2 , ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的左右焦点分别为 F1 、 2 a b


两点,若 ?F1 AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( A.
2 2

B. 2 ? 3

C.

5?2

D.

6? 3

?? x 2 ? 2 x, x ? 0 2 12.已知函数 f ? x ? ? ? 2 ,若关于 x 的不等式 ? f ? x ?? ? af ? x ? ? b2 ? 0 恰有 1 个整 ? ? x ? 2 x , x ? 0 ?

数解,则实数 a 的最大值是( A.2 B.3

) C.5 D.8

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
本卷包含必考题和选考题两部分,第 13-第 21 题为必考题,每个题目考生都必须作答.第 22-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.
6? ? 13.二项式 ? x ? ? 的展开式中, x2 的系数是_______. x? ?
? x? y?0 ? 14.若不等式 x ? y ? 2 所表示的平面区域为 M , 不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域为 N , ? y ? 2x ? 6 ?
2 2
6

现随机向区域 N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 M 内的概率为________. 15. ?ABC 的三个内角为 A, B, C ,若 值为________.
3 cos A ? sin A ? 7? ? tan ? ? 3 sin A ? cos A ? 12 ? ? ,则 2 cos B ? sin 2C 的最大 ?

???? ? ??? ? ???? 16.已知点 A? 0, ?1? , B ? 3,0? , C ?1,2? ,平面区域 P 是由所有满足 AM ? ? AB ? ? AC (2 ? ? ? m,
2 ? ? ? n) 的点 M 组成的区域,若区域 P 的面积为 16,则 m ? n 的最小值为________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) ?S ? 已知数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn ,且数列 ? n ? 是公差为 2 的等差数列. ?n? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? ? ?1? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
n

18.(本小题满分 12 分) 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、 下周二两天内采摘完毕, 基地员工一天可 以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地收益如下表所示: 周一 周二 收益 无雨 无雨 20 万元 无雨 有雨 15 万元 有雨 无雨 10 万元 有雨 有雨 7.5 万元

若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为 20 万元;有雨时,收 益为 10 万元.额外聘请工人的成本为 a 万元. 已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为 20 万元的概率 为 0.36. (Ⅰ)若不额外聘请工人,写出基地收益 X 的分布列及基地的预期收益; (Ⅱ)该基地是否应该外聘工人,请说明理由.

19.(本小题满分 12 分) 如 图 , 矩 形 CDEF 和 梯 形 A B C D 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 , ?BAD ? ?ADC ? 90? , 1 AB ? AD ? CD , BE ? DF . 2 F E (Ⅰ)若 M 为 EA 中点,求证: AC ∥平面 MDF ; (Ⅱ)求平面 EAD 与平面 EBC 所成二面角的大小. M

D
A B

C

20.(本小题满分 12 分) 已知点 M ? ?1,0 ? , N ?1,0 ? ,曲线 E 上任意一点到点 M 的距离均是到点 N 的距离的 3 倍. (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)已知 m ? 0 ,设直线 l1 : x ? my ? 1 ? 0 交曲线 E 于 A, C 两点,直线 l2 : mx ? y ? m ? 0 交 曲线 E 于 B, D 两点, C , D 两点均在 x 轴下方.当 CD 的斜率为 ?1 时,求线段 AB 的长.

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ?

1 2 x ? m ln x , g ? x ? ? x2 ? ? m ? 1? x . 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)当 m ? 0 时,讨论函数 f ? x ? 与 g ? x ? 图象的交点个数.

请考生在 22-24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目的题号涂黑.把答案填在答题卡上. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,?BAC 的平分线与 BC 和 ?ABC 的外接圆分别相交于 D 和 E ,延长 AC 交过 D, E , C 的 三点的圆于点 F . (Ⅰ)求证: EC ? EF ; (Ⅱ)若 ED ? 2 , EF ? 3 ,求 AC ? AF 的值.

A
C

D
B E

F

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? 3 x ? ?2 ? t ? ?? ? ? 2 , 已知曲线 C1 的参数方程为 ? 曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 2 cos ? ? ? ? .以极 4? ? ?y ? 1 t ? ? 2 点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系.

(Ⅰ)求曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线 C2 上的动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 1 (Ⅰ)解不等式 f ? x ? ? 1 ; (Ⅱ)当 x ? 0 时,函数 g ? x ? ? 取值范围.

ax2 ? x ? 1 ? a ? 0? 的最小值总大于函数 f ? x ? ,试求实数 a 的 x

河南省郑州市 2016 年高三第一次模拟考试 理科数学
一、选择题 ADBCC BDA AA DD 二、填空题 13.60; 14.

参考答案

? ; 24

15.

3 ; 2

16. 4 ? 2 2.

三、解答题(共 70 分) 17.⑴解:由已知条件:

Sn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1, ? Sn ? 2n2 ? n -----2 分 n
2 2

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 =2n ? n ? ?2 ? n ? 1? ? ? n ? 1?? ? 4n ? 3.

?

?

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1, 而 4 ? 1 ? 3 ? 1,?an ? 4n ? 3 ,------6 分 ⑵解:由⑴可得 bn ? (?1)n an ? (?1)n ? 4n ? 3? , -----7 分

当 n 为偶数时, Tn ? ?1 ? 5 ? 9 ? 13 ? 17 ? ...... ? ? 4n ? 3? ? 4 ?

n ? 2n, 2

---9 分

当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数 Tn ? Tn?1 ? bn?1 ? 2(n ? 1) ? (4n ? 1) ? ?2n ? 1. ---11 分
? ? ?2n, (n ? 2k , k ? N ), 综上, Tn ? ? --------12 分 ? ? ??2n ? 1, (n ? 2k ? 1, k ? N ).

2 18.⑴解:设下周一有雨的概率为 p ,由题意, p ? 0.36, p ? 0.6 ,

-------2 分

基地收益 X 的可能取值为 20,15,10,7.5 , 则 P( X ? 20) ? 0.36, P( X ? 15) ? 0.24, P( X ? 10) ? 0.24, P( X ? 7.5) ? 0.16, 所以基地收益 X 的分布列为:

X p
基地的预期收益

20 0.36

15 0.24

10 0.24

7.5 0.16

-------6 分

E ( X ) ? 20 ? 0.36 ? 15 ? 0.24 ? 10 ? 0.24 ? 7.5 ? 0.16 ? 14.4 ,
所以,基地的预期收益为 14.4 万元.---------8 分 ⑵设基地额外聘请工人时的收益为 Y 万元, 则其预期收益 E (Y ) ? 20 ? 0.6 ? 10 ? 0.4 ? a ? 16 ? a (万元) ,--------10 分

E (Y ) ? E ( X ) ? 1.6 ? a ,
综上,当额外聘请工人的成本高于 1.6 万元时,不外聘工人;成本低于 1.6 万元时,外聘工 人;成本恰为 1.6 万元时,是否外聘工人均可以.------12 分 19.⑴证明:设 EC 与 DF 交于点 N ,连结 MN ,在矩形 CDEF 中,点 N 为 EC 中点, 因为 M 为 EA 中点, 所以 MN ∥ AC , 又因为 AC ? 平面 MDF , MN ? 平面 MDF ,所以 AC ∥平面 MDF .-----4 分 ⑵解:因为平面 CDEF ? 平面 ABCD ,平面 CDEF ? 平面

ABCD ? CD , DE ? 平面 CDEF , DE ? CD , 所以 DE ? 平面 ABCD ,------6 分
以 D 为 坐 标 原 点 , 建 立 如 图 空 间 直 角 坐 标 系 , 设 DA ? a, DE ? b ,

B(a, a,0), E (0,0, b), C (0, 2a,0), F (0, 2a, b) ,

??? ? ???? ??? ? BE ? (?a, ?a, b), DF ? (0, 2a, b), BC ? (?a, a,0) ,因为 BE ? DF ,
所以 BE ? DF ?? (?a, ?a, b) ? (0, 2a, b) ? b2 ? 2a2 ? 0 , b ?

??? ? ????

2a ,--8 分

?? ??? ? ?? ?m ? BE ? ?ax ? ay ? 2az ? 0, ?? ? 设平面 EBC 的法向量 m ? ( x, y, z) , 由 ? ?? ??? 得到 m 的一个解 ? ? ?m ? BC ? ?ax ? ay ?? ? 为 m ? (1,1, 2) ,注意到平面 EAD 的法向量 n ? (0,1,0) ,--10 分

?? ? ?? ? m?n 1 ? 而 cos ? m, n ?? ?? ? ? , 所以,平面 EAD 与 EBC 所成锐二面角的大小为 60 .12 分 | m|?| n| 2
20.⑴解:设曲线 E 上任意一点坐标为 ( x, y ) ,
2 2 由题意, ( x ? 1) ? y ?

3 ( x ? 1) 2 ? y 2 ,
2 2

-----2 分

整理得 x ? y ? 4 x ? 1 ? 0 ,即 ( x ? 2) ? y ? 3 ,为所求.-----4 分
2 2

⑵解:由题知 l1 ? l2 ,且两条直线均恒过点 N (1, 0) ,设曲线 E 的圆心为 E ,则 E (2, 0) , 线段 CD 的中点为 P ,则直线 EP : y ? x ? 2 ,设直线 CD : y ? ? x ? t , 由?

? y ? x ? 2, t?2 t?2 , ) ,-----6 分 ,解得点 P ( 2 2 ? y ? ?x ? t
1 t?2 t?2 2 | CD |? | ED |2 ? | EP |2 ,而 | NP |2 ? ( ? 1) 2 ? ( ) , 2 2 2

由圆的几何性质, | NP |?

| EP |2 ? ( | ED |2 ? 3 ,

| 2?t | 2 解之得 t ? 0 或 t ? 3 , 又 C , D 两点均在 x 轴下方, 直线 CD : ) , 2

? ? 2 2 x ? 1? , x ? 1? , ? ? ? x ? y ? 4 x ? 1 ? 0, ? ? 2 2 y ? ? x .由 ? 解得 ? 或? ? y ? ? x, ? y ? 2 ?1 ? y ? ? 2 ? 1. ? ? ? 2 ? 2
2 2

不失一般性,设 C (1 ?

2 2 2 2 , ? 1), D(1 ? ,? ? 1) , 2 2 2 2

--9 分

由?

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 1 ? 0, ? y ? u ( x ? 1)

消 y 得: (u 2 ? 1) x2 ? 2(u 2 ? 2) x ? u 2 ? 1 ? 0 ,⑴

方程⑴的两根之积为 1,所以点 A 的横坐标 xA ? 2 ? 2 , 又因为点 C (1 ?

2 2 , ? 1) 在直线 l1 : x ? my ? 1 ? 0 上,解得 m ? 2 ? 1, 2 2

直线 l1 : y ? ( 2 ?1)( x ?1) ,所以 A(2 ? 2,1) ,--11 分 同理可得, B(2 ? 2,1) ,所以线段 AB 的长为 2 2 . 21.⑴解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? --12 分

x2 ? m , x

当 m ? 0 时,f ?( x) ? 0 , 所以函数 f ( x ) 的单调增区间是 (0, ??) , 无减区间; --2 分当 m ? 0 时, f ?( x) ?

( x ? m )( x ? m ) ;当 0 ? x ? m 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 的单调递减; x

当 x ? m 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 的单调递增. 综上:当 m ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调增区间是 (0, ??) ,无减区间;当 m ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调增区间是 ( m, ??) ,减区间是 (0, m) .----4 分 ⑵解: 令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? 零点个数,

1 2 x ? (m ? 1) x ? m ln x, x ? 0 , 问题等价于求函数 F ( x) 的 2
----5 分

1 2 ( x ? 1)( x ? m) 当 m ? 0 时,F ( x) ? ? x ? x, x ? 0 , 有唯一零点; 当 m ? 0 时,F ?( x) ? ? , 2 x 3 当 m ? 1 时, F ?( x) ? 0 ,函数 F ( x) 为减函数,注意到 F (1) ? ? 0 , F (4) ? ? ln 4 ? 0 , 2

所以 F ( x) 有唯一零点;--7 分 当 m ? 1 时, 0 ? x ? 1 或 x ? m 时 F ?( x) ? 0 , 1 ? x ? m 时 F ?( x) ? 0 ,所以函数 F ( x) 在

(0,1) 和 (m, ??) 单调递减,在 (1, m) 单调递增,注意到 F (1) ? m ?
F (2m ? 2) ? ?m ln(2m ? 2) ? 0 ,所以 F ( x) 有唯一零点;

1 ?0, 2

----9 分

当 0 ? m ? 1 时, 0 ? x ? m 或 x ? 1 时 F ?( x) ? 0 , m ? x ? 1 时 F ?( x) ? 0 , 所以函数 F ( x) 在 (0, m) 和 (1, ??) 单调递减,在 ( m,1) 单调递增,意到 ln m ? 0 , 所以 F (m) ?

m (m ? 2 ? 2 ln m) ? 0 ,而 F (2m ? 2) ? ?m ln(2m ? 2) ? 0 ,所以 F ( x) 有唯 2
---12 分

一零点. ---11 分 综上,函数 F ( x) 有唯一零点,即两函数图象总有一个交点.

22.⑴证明:因为 ?ECF ? ?CAE ? ?CEA ? ?CAE ? ?CBA , ?EFC ? ?CDA ? ?BAE ? ?CBA , AE 平分 ?BAC ,所以 ?ECF ? ?EFC ,所以 EC ? EF .---4分 ⑵解:因为 ?ECD ? ?BAE ? ?EAC , ?CEA ? ?DEC , 所以 ?CEA ? ?DEC , 即

CE DE EC 2 ? , EA ? ,---6 分 EA CE DE
9 , 2
---8 分

由⑴知, EC ? EF ? 3 ,所以 EA ?

所以 AC ? AF ? AD ? AE ? ( AE ? DE ) ? AE ? 23.⑴解: ? ? 2 2 cos ? ? ? 即 ? ? 2 ? ? cos
2

45 . 4

---10 分

? ?

π? ? ? 2 ? cos ? ? sin ? ? ,----------2 分 4?

? ? ? sin ? ? ,可得 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ,
2 2

故 C2 的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 .----------5 分 ⑵解: C1 的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,由⑴知曲线 C2 是以 (1,1) 为圆心的圆, 且圆心到直线 C1 的距离 d ?

1? 3 ? 2 12 ?

? 3?

2

?

3? 3 , ----------8 分 2

所以动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为

3? 3 ? 2 2 .----------10 分 2

24.⑴解:当 x ? 2 时,原不等式可化为 x ? 2 ? x ? 1 ? 1 ,此时不成立; 当 ?1 ? x ? 2 时,原不等式可化为 2 ? x ? x ? 1 ? 1 ,即 ?1 ? x ? 0 , 当 x ? ?1 时,原不等式可化为 2 ? x ? x ? 1 ? 1 ,即 x ? ?1 ,-----3 分 综上,原不等式的解集是 ?x | x ? 0? .-----5 分 ⑵解:因为 g ( x) ? ax ?

1 a ? 1 ? 2 a ? 1 ,当且仅当 x ? 时“=”成立, x a

所以 g ( x)min ? 2 a ?1,-----7 分

?1 ? 2 x,0 ? x ? 2, ,所以 f ( x) ?[?3,1) ,∴ 2 a ? 1 ? 1,即 a ? 1 为所求.---10 分 f ( x) ? ? ??3, x ? 2


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