kl800.com省心范文网

广东省江门市2013年普通高中高三调研测试理科数学试题及答案

保密★启用前

试卷类型:A

江门市 2013 年普通高中高三调研测试


1 3

学(理科)试



本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟.2013-1-17 参考公式:锥体的体积公式 V ?
Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) .

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的.
⒈已知 A ? A. ? 1 ?

?x | x

2

? 4x ? 5 ? 0

?,B

?

?x|x

2

? 1 ,则 A ? B ?

?

B. ? ? 1 ?

C. ? 1 , ? 1 , 5 ?

D. ? 1 , ? 1 , ? 5 ?

⒉已知 a ? ( ? 3 , 4 ) , b ? ( 5 , 2 ) ,则 | a ? b | ? A. 2 10 ⒊已知命题 p : m ? 2 ; 命题 q :复平面内表示复数 z ? 1 ? ( ? 1 ? m ) i ( m ? R , i 是虚数单位)的点位于 直线 y ? x 上。 则命题 p 是命题 q 的 A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件 ⒋函数 f ( x ) ? ? sin( 2 x ? A.周期为 ? 的奇函数 C.周期为 ? 的偶函数
3 2

B. 2 5

C. ? 7

D. 40

B.必要非充分条件 D.充要条件
? ) 在其定义域上是

B.周期为 2 ? 的奇函数 D.周期为 2 ? 的偶函数

⒌某种饮料每箱装 6 听,如果其中有 2 听不合格。质检人员从中随机抽出 2 听,检出不合 格产品的概率 p ? A.
1 2
2

B.

1 3

C.

2 3

D. 0 . 6

⒍以抛物线 y ? 8 x ? 0 的顶点为中心、 焦点为一个顶点且离心率 e ? 2 的双曲线的标准方 程是 A.
x
2

?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

y

2

?

x

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

4

12

16

48

4

12

16

48

⒎已知一个几何体的三视图及其大小如图 1,这个几何体的体积 V ? A. 12 ? B. 16 ? C. 18 ? D. 64 ?

⒏输入正整数 n ( n ? 2 )和数据 a 1 , a 2 ,?, a n , 如果执行如图 2 的程序框图,输出的 s 是数据 a 1 , a 2 ,?, a n 的平均数,则框图的处 理框★中应填写的是 A. s ? s ? a i C. s ?
( i ? 1) ? s ? a i i

B. s ? D. s ?

s ? ai n ( i ? 1) ? s ? a i n

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)
⒐已知等差数列 ?a n ? 的首项 a 1 ? 1 ,前三项之和 S 3 ? 9 ,则 ?a n ? 的通项 a n ? ____ .
?0 ? x ? 3 ? ⒑已知 x 、 y 满足约束条件 ? 0 ? y ? 4 ,则 z ? x ? y 的最大值是 ?x ? 2 y ? 8 ?
2 3 4 ⒒已知 n 是正整数,若 C n ? C n ? C n ,则 n 的取值范围是



. . .

⒓与圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 关于直线 l : x ? y ? 0 对称的圆的方程是
2 2

⒔曲线 y ? ln( 2 x ) 上任意一点 P 到直线 y ? 2 x 的距离的最小值是

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)
A

B P
C
? O

⒕(几何证明选讲选做题)如图 3,圆 O 的割线 PAB 交圆
O 于 A 、 B 两点,割线 PCD 经过圆心。已知 PA ? 6 ,
AB ? 7 1 3

D

, PO ? 12 。则圆 O 的半径 R ? ____ .

图3
?
4

⒖(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? , ? ) ( 0 ? ? ? 2 ? )中,直线 ? ?
? ? 2 sin ? 截得的弦的长是

被圆



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
⒗(本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,角 A 、 B 、C 所对的边长分别为 a 、b 、c ,已知 cos A ? cos 2 A ? 0 . ⑴求角 A 的大小; ⑵若 a ? 3 , b ? 2 ,求 sin( B ? ⒘(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, F 1 ( ? 4 , 0 ) , F 2 ( 4 , 0 ) , P 是平面上一点,使三角形
PF 1 F 2 的周长为 18 .

?
4

) 的值.

⑴求点 P 的轨迹方程; ⑵在 P 点的轨迹上是否存在点 P1 、 P 2 ,使得顺次连接点 F 1 、 P1 、 F 2 、 P 2 所得到的 四边形 F 1 P1 F 2 P 2 是矩形?若存在,请求出点 P1 、 P 2 的坐标;若不存在,请简要说明理由. ⒙(本小题满分 14 分) 如图 4, 四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 底面 ABCD ,ABCD 是直角梯形,E 为 BC 的 中点, ? BAD ? ? ADC ? 90 , AB ? 3 , CD ? 1 , PA ? AD ? 2 .
0

⑴求证: DE ? 平面 PAC ; ⑵求 PA 与平面 PDE 所成角的正弦值.

图4

⒚(本小题满分 14 分) 如图 5 所示,有两个独立的转盘(A)(B) 、 ,其中三个扇形区域的圆心角分别为 60 、
0

120

0

、 180

0

。用这两个转盘玩游戏,规则是:依次随机转动两个转盘再随机停下(指针

固定不动,当指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始)为一次游戏,记转盘 (A)指针所对的数为 x ,转盘(B)指针对的数为 y 。设 x ? y 的值为 ? ,每次游戏得到 的奖励分为 ? 分. ⑴求 x ? 2 且 y ? 1 的概率; ⑵某人玩 12 次游戏,求他平均可以得到多少奖励分?
1
3 3

2 2

1

(A) (A)

(B) 图5

⒛(本小题满分 14 分) 设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , a 1 ? 1 ,且对任意正整数 n ,点 ( a n ? 1 , S n ) 在直线
2 x ? y ? 2 ? 0 上.

⑴求数列 ?a n ? 的通项公式; ⑵若 b n ? na n ,求数列 ?b n ? 的前 n 项和.
2

21(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ? x ? ax
3 2

? bx ? c 在 ( ?? , 0 ) 上是减函数,在 ( 0 , 1 ) 上是增函数.

⑴求 b 的值,并求 a 的取值范围; ⑵判断 f ( x ) 在其定义域 R 上的零点的个数.

理科数学评分参考
一、选择题: BADC DABC 二、填空题:
? ⒐ 2 n ? 1 ; ⒑ 7 ; ⒒ n ? 9 且 n ? N ( n ? 9 ”或“ n ? “

9 ? 2

73

”4 分) ;

⒓ ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 5 ;
2 2



5 5



⒕8 ; ⒖ 2 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
⒗解:⑴由 cos A ? cos 2 A ? 0 得 2 cos 解得 cos A ? ? 1 或 cos A ?
1 2
2

A ? cos A ? 1 ? 0 ??2 分,

??4 分,
?
3

因为 A 是三角形的内角, 0 ? A ? ? ,所以 A ? ⑵由正弦定理
a sin A ? b sin B

??6 分
3 3



3 sin

?
3

?

2 sin B

??8 分, 解得 sin B ?

??9 分,

因为 b ? a ,所以 0 ? B ? A ? 所以 sin( B ?
?
4 ) ? sin B cos
2

?
3

, cos B ?
?
4 ?

6 3

??10 分,
6 ? 2 6 3

?
4

? cos B sin

??12 分.

⒘解:⑴依题意, | PF 1 | ? | PF

| ? | F 1 F 2 | ? 18 ??1 分,
2

| F 1 F 2 | ? 8 ,所以 | PF 1 | ? | PF

| ? 10 ,点 P 的轨迹是椭圆??2 分,

2 a ? 10 , 2 c ? 8 ? ? 3 分 , 所 以 a ? 5 , c ? 4 , b ? 3 , 椭 圆 的 方 程 为
x
2

?

y

2

25

9

? 1 ??4 分,因为 PF 1 F 2 是三角形,点 P 不在直线 F 1 F 2 上(即不在 x 轴上) , x
2

所以点 P 的轨迹方程为

?

y

2

? 1 ( y ? 0 )??5 分.

25

9

F ⑵根据椭圆的对称性, 1 P1 F 2 P 2 是矩形当且仅当直线 P1 P 2 经过原点 O , ? F 1 P1 F 2 是 且

直角??6 分,此时 | OP 1 | ?

1 2

| F 1 F 2 | ? 4 (或 k P1 F1 ? k P1 F 2 ? ? 1 )??7 分,

? 175 ? 2 5 7 2 2 ?x y x ? ?x ? ? ? ? ?1 ? ? ? 16 4 设 P1 ( x , y ) ,则 ? 25 ??9 分,解得 ? ,? ??10 分,所 9 81 ?y2 ? ? x 2 ? y 2 ? 16 ?y ? ? 9 ? ? ? 16 ? 4 ?

以有 2 个这样的矩形 F 1 P1 F 2 P 2 ,对应的点 P1 、 P 2 分别为 (
(? 5 4 7 , 9 4 ) 、( 5 4 7 , ? 9 4 ) ??12 分.

5 4

7

,

9 4

) 、(?

5 4

7

, ?

9 4

)或

⒙证明与求解:⑴因为 PA ? ABCD , DE ? ABCD ,所以 PA ? DE ??1 分, 取 AD 的中点 F ,连接 EF ,则 EF 是梯形 ABCD 的中位线,所以 EF // AB 且
EF ? AB ? CD 2 ? 2 ??3 分,在 Rt ? ADC 和 Rt ? DEF 中, ? EFD ? ? ADC ? 90
0



EF DF

?

AD DC

? 2 ,所以 ? EFD ∽ ? ADC ??5 分, ? FED ? ? DAC ,所以 AC ? DE

??6 分,因为 PA ? AC ? A ,所以 DE ? 平面 PAC ??7 分. ⑵(方法一)由⑴知平面 PDE ? 平面 PAC ??8 分, 设 DE ? AC ? G ,连接 PG ,在 Rt ? PAG 中作 AH ? PG ,垂足为 H ,则 AH ? 平面 PDE ??10 分,所以 ? APH 是 PA 与平面 PDE 所成的角??11 分, 由 ⑴ 知 , 在 Rt ? ADG
AG ? AD ? c o s C A D ? ? 4 5

中 , AD ? 2 , tan ? CAD ?

CD AD

?
6 5

1 2

, 所 以

??12 分, 因为 PA ? ABCD , 所以 PG ?
? 2 3

??13 分,

sin ? APH

? sin ? APG ?

AG PG

,即为 PA 与平面 PDE 所成角的正弦值??14 分.

(方法二)依题意,以 A 为原点, AD 、 AB 、 AP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、
z

轴建立空间直角坐标系??8 分,则直线 PA 的方向向量为 AP ? ( 0 , 0 , 1) ??9 分, 依题意, ( 0 , 0 , 2 ) 、 ( 2 , 0 , 0 ) 、 ( 0 , 3 , 0 ) 、 ( 2 , 1 , 0 ) 、 (1 , 2 , 0 ) ?? P D B C E

10 分,从而 DP ? ( ? 2 , 0 , 2 ) , DE ? ( ? 1 , 2 , 0 ) ??11 分,设平面 PDE 的一个法向 量为 n ? ( a , b , c ) ,则 ?
? n ? DP ? ? 2 a ? 2 c ? 0 ? ? n ? DE ? ? a ? 2 b ? 0 ?

??12 分,所以 a ? c ? 2 b ,可选取平

面 PDE 的一个法向量为 n ? ( 2 , 1 , 2 ) ??13 分, 所以 PA 与平面 PDE 所成角的正弦值
n ? AP

为 cos n , AP

? n ? AP

?

2 3

??14 分.
1 6 1 3 1 2 1 3

⒚解: ⑴由几何概型知 P ( x ? 1 ) ?
P ( y ? 2) ? 1 2

, P (x ? 2) ?

, P ( x ? 3) ?

, P ( y ? 1) ?



, P ( y ? 3) ?

1 6

??3 分, (对 1-2 个给 1 分,3-4 个给 2 分,??)
1 6

所以 P ( x ? 2 ) ? P ( x ? 1 ) ?

, P ( y ? 1) ? P ( y ? 2 ) ? P ( y ? 3 ) ?

2 3

??5 分,

P ( x ? 2 且 y ? 1) ? P ( x ? 2 ) ? P ( y ? 1) ?

1 9

??7 分.

⑵ ? 的取值为 2、3、4、5、6??8 分,其分布列为
?
P

2
1 18

3
7 36

4
13 36

5
11 36

6
1 12

??11 分 他平均每次可得到的奖励分为
E? ? 2 ? 1 18 ? 3? 7 36 ? 4? 13 36 ? 5? 11 36 ? 6? 1 12

??12 分, ?

25 6

??13 分,

所以,他玩 12 次平均可以得到的奖励分为 12 ? E ? ? 50 ??14 分. (第二问,若学生直接求出转盘A的期望和转盘B的期望再相加,则求转盘A的期望 给 3 分,求转盘 B 的期望给 3 分,相加 1 分) ⒛解:⑴因为点 ( a n ? 1 , S n ) 在直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上,所以 2 a n ? 1 ? S n ? 2 ? 0 ??1 分, 当 n ? 1 时, 2 a n ? S n ? 1 ? 2 ? 0 ??2 分,两式相减得
2 a n ? 1 ? 2 a n ? S n ? S n ? 1 ? 0 ,即 2 a n ? 1 ? 2 a n ? a n ? 0 , a n ? 1 ?

1 2

a n ??3 分

又当 n ? 1 时, 2 a 2 ? S 1 ? 2 ? 2 a 2 ? a 1 ? 2 ? 0 , a 2 ? 所以 ?a n ? 是首项 a 1 ? 1 ,公比 q ?
1 2

1 2

?

1 2

a 1 ??4 分

的等比数列??5 分,

?a n ? 的通项公式为 a n
⑵由⑴知, b n ? na
Tn ? 1 ? 2 4 ? 3 4
2 2 n

? (

1 2

)

n ?1

??6 分.

? 4

n
n ?1

??7 分,记数列 ?b n ? 的前 n 项和为 T n ,则
? 4 n
n ?1

?? ?

n ?1 4
n?2

??8 分, ??9 分,两式相减得
n

4T n ? 4 ? 2 ?
3T n ? 5 ? 1 4

3 4

?? ?
1 4
n?3

n ?1 4
n?3

? 4
1
n?2

n
n?2

?? ?

? 4

? 4

n ?1

??11 分,
? 3n ? 4 9?4
n ?1

16 3

?

3n ? 4 3? 4
n ?1

??13 分,

所以,数列 ?b n ? 的前 n 项和为 T n ?
/ 2

16 9

??14 分.

21.解:⑴由已知得 f ( x ) ? ? 3 x ? 2 ax ? b ??1 分, 因为 f ( x ) 在 ( ?? , 0 ) 上是减函数,在 ( 0 , 1 ) 上是增函数,所以 f ( x ) 在 x ? 0 处取得 极小值, f ( 0 ) ? 0 ??2 分,解得 b ? 0 ??3 分,
/

又因为 f ( x ) 在 ( 0 , 1 ) 上是增函数, 所以 f ( x ) ? ? 3 x ? 2 ax ? 0 ,a ?
/ 2

3 2

x ??4 分,

当 x ? ( 0 , 1 ) 时, 0 ?

3 2

x ?

3 2

,所以 a 的取值范围是 a ?
2a 3
/

3 2

??5 分,
2a 3 ( ? 0 ) ??6 分, , ? ?)

⑵由⑴得 f / ( x ) ? ? 3 x ( x ?
x

) ,解 f ( x ) ? 0 得 x ? 0 或 x ? 2a 3 2a 3

( ?? , 0 )

0
0

(0 ,

)

(

2a 3

f (x)

/

- 递减

+ 递增

0

- 递减

f (x)

极小值

极大值

??9 分 ①当 f ( 0 ) ? c ? 0 时,由上表知 ? x ?
2a 3

, f ( x ) ? 0 , x 取某个充分大的实数(例
2a 3 , x1 )

如 x 1 ? | a | ? | 3 c | )时, f ( x 1 ) ? 0 , f ( x ) 在定义域上连续,所以 f ( x ) 在区间 ( 上有一个零点,从而 f ( x ) 在其定义域 R 上有 1 个零点??10 分; ②当 f ( 0 ) ? c ? 0 时, f ( x ) 在区间 (
R 上有 2 个零点??11 分;
2a 3

, x 1 ) 上有一个零点,从而 f ( x ) 在其定义域

③当 f ( 0 ) ? c ? 0 时, (ⅰ)若 c ? ?

4 27

a ,则 f (
3

2a 3

) ?

4 27

a

3

? c ? 0 , x 取某个

充分小的实数(例如 x 2 ? ? | a | )时, f ( x 2 ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在区间 ( x 2 , 0 ) 上有一个零 点,从而 f ( x ) 在其定义域 R 上有 2 个零点??12 分; (ⅱ)若 c ? ?
4 27 a ,则 f (
3

2a 3

) ?

4 27

a

3

? c ? 0 时,由上表知 ? x ? 0 , f ( x ) ? 0 ,

f ( x ) 在区间 ( x 2 , 0 ) 上有一个零点,从而 f ( x ) 在其定义域 R 上有 1 个零点??13 分;

(ⅲ)若 ?
(0 , 2a 3 ) 、( 2a 3

4 27

a

3

? c ? 0 ,则 f (

2a 3

) ?

4 27

a

3

? c ? 0 时, f ( x ) 在区间 ( x 2 , 0 ) 、

, x 1 ) 上各有一个零点,从而 f ( x ) 在其定义域 R 上有 3 个零点??14 分; 4 27 a 时, f ( x ) 在其定义域 R 上有 1 个零点; c ? 0 或 当
3

综上所述, c ? 0 或 c ? ? 当
c ? ? 4 27
3

a 时, f ( x ) 在其定义域 R 上有 2 个零点;当 ?

4 27

a

3

? c ? 0 时, f ( x ) 在其定

义域 R 上有 3 个零点. (说明:讨论不分顺序,合理有效即相应给分)