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江西省南昌市2014届高三数学一轮复习训练题8(数列2)


2013-2014 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题

数 学(八)(数列 2)
命题人: 学校: 审题人: 学校: 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.设 S n 为等差数列 {an }的前n 项和,若 a3 ? 3, S9 ? S6 ? 27 ,则该数列的首项 a1 等于

6 3 6 3 B. C. ? D. ? 5 5 5 5 2.数列 a1 ? 2, a2 ? 4, ? a10 ? 20 共有十项,且其和为 240,则 a1 ? a2 ? ? ? a10 ?
A. A.31 B.120 C.130 D.185 3.等差数列 ?a n ? 中, a1 ? ?2013 ,其前 n 项和为 S n ,若 A. ?2012 B. ?2013 C.2012 4.已知等比数列 ?a n ?中,各项都是正数,且 a1 , A. 1? 2 B. 1? 2

S12 S10 ? ? 2 ,则 S 2013 的值等于 12 10
D.2013

a ? a9 1 等于 a3 ,2a 2 成等差数列,则 8 a6 ? a7 2
C. 3 ? 2 2 D. 3 ? 2 2 ? 0, 则 S1 , S 2 ,?, S15 中最大的项为 a1 a 2 a15 D.

5.等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且满足 S15 ? 0, S16 A.

S8 a8

B.

S9 a9

C.

S7 a7

S6 a6

6.已知数列 {an } 的通项公式 an ? log 2 然数 n 有 A.最大值 15

n (n ? N * ) ,设其前 n 项和为 S n ,则使 S n ? ?4 成立的自 n ?1
C.最大值 16
n ?1

B.最小值 15

D.最小值 16

7.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 3

? a , n ? N ,则实数 a 的值是 A. ?3 B. 3 C. ?1 D.1 8.若 x1 , x 2 , x3 , ? , x2013 的方差为 3 ,则 3( x1 ?2) , 3 ( x2 ? 2) , 3 ( x3 ? 2), ? ,3 ( x2013 ? 2) 的
*

方差为 A. 3
2

B. 9

C. 18

D. 27

9.已知函数 f (n) ? n cos(n? ) ,且 an ? f (n) ? f (n ? 1) ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? B. ?100 C. 100 D. 10200 ?n, 当n ? 2k ? 1 ? 10.数列 {a n } 满足 an ? ? ,其中 k ? N ,设 f ( n ) ? a1 ? a2 ? ? ? a2 n ?1 ? a2 n ,则 ?ak , 当n ? 2k A. 0

f (2013) ? f (2012) 等于
A. 2
2012

B. 2

2013

C. 4

2012

D. 4

2013

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上。

11.已知等差数列 {an } 中, a3 ? a5 ? 32, a7 ? a3 ? 8 ,则此数列的前 10 项之和 S10 ? 12.已知数列 {a n } 的前 n 项的和 S n 满足 log 2 ( S n ? 1) ? n ,则 a n = 13.数列 {a n} 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,则 {a n} 的前 60 项和等于 .. .

14.已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,项数是偶数,所有奇数项之和为 15 ,所有偶数项之和为 35 ,则 这个数列的项数为___________ . 15.设函数 f ( x) ? 2 x ? cos x , {an } 是公差为

? 的等差数列, f ( a1 ) ? f ( a2 ) ? ??? ? f ( a5 ) ? 5 ,则 ? 8

[ f (a3 )]2 ? a1a5 ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。 16.已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,数列 {S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列, a 2 是 a1 和 a 3 的等比中 项. (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)求数列 nan 的前 n 项和 Tn .

? ?

17. 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2an ? 2 , 数列 ?bn ? 是首项为 a1 , 公差不为零的等差数列,且 b1 , b3 , b11 成等比数列. (1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (3)求证:

b b1 b2 b3 ? ? ??? n ? 5 . a1 a2 a3 an

18.已知正项等差数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 a 3 , a 7 ? 2,3a 9 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 {an } 的前 n 项和为 S n , f (n) ? 大值.

Sn ,试问当 n 为何值时, f (n) 最大,并求出 f (n) 的最 (n?18) Sn?1

19.已知递增的等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且 a1 、 a2 、 a4 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)设数列 {cn } 对任意 n ? N ,都有
*

c c1 c2 ? 2 ? ? ? n ? an?1 ,求 c1 ? c2 ? ? ? c2012 的值. 2 2 2n

(3)若 bn ?

an ?1 (n ? N * ) ,求证:数列 {bn } 中的任意一项总可以表示成其他两项之积. an

20.已知等差数列 {an } 的首项为 a ,公差为 b ,等比数列 {bn } 的首项为 b ,公比为 a ,其中 a , b 都 是大于 1 的正整数,且 a1 ? b1 , b2 ? a3 . (1)求 a 的值; (2)若对于任意的 n ? N? ,总存在 m ? N? ,使得 am ? 3 ? bn 成立,求 b 的值; (3)令 Cn ? an ?1 ? bn ,问数列 {Cn } 中是否存在连续三项成等比数列?若存在,求出所有成等比数列 的连续三项;若不存在,请说明理由.

21 . 已 知 每 项 均 是 正 整 数 的 数 列 a1 , a2 , a3 ,? , a100 , 其 中 等 于 的 项 有 k i 个 (i ? 1, 2,3?) , 设

b j ? k1 ? k 2 ? ? ? k j ( j ? 1, 2,3?) , g (m) ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? 100m (m ? 1, 2,3?).
(1)设数列 k1 ? 40, k2 ? 30, k3 ? 20, k4 ? 10, k5 ? ... ? k100 ? 0 ,求 g (1), g (2), g (3), g (4) ; (2)若 a1 , a2 , a3 ,? , a100 中最大的项为 50, 比较 g ( m ), g ( m ? 1) 的大小; (3)若 a1 ? a2 ? ? ? a100 ? 200 ,求函数 g (m) 的最小值.

2013-2014 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题

数学(八)参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 D 9 B 10 C B C B D A D A 二.填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分 11. 190 12. 2 n?1 13. 1830 14. 20

15.

13 2 ? 16
n ?1

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 16.解:(1)∵ {S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列,∴ S n ? 1 ? ( S1 ? 1) ? 2 ∴ S n ? (a1 ? 1) ? 2
n ?1

? (a1 ? 1) ? 2 n ?1 .

? 1 . 从而 a2 ? S 2 ? S1 ? a1 ? 1, a3 ? S 3 ? S 2 ? 2a1 ? 2 .
2

∵ a 2 是 a1 和 a 3 的等比中项∴ (a1 ? 1) ? a1 ? (2a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? ?1 . 当 a1 ? ?1 时, S1 ? 1 ? 0 , {S n ? 1} 不是等比数列,∴ a1 ? 1 .∴ S n ? 2 ? 1 .
n

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2

n ?1

.∵ a1 ? 1 符合 a n ? 2
1

n ?1

∴ an ? 2
2

n ?1

.
n ?1

2 (2)∵ nan ? n?

n ?1

2 , ∴ Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n?

.



2 Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n?2n .②
① ? ②得 ?Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 n ?1

? n?2n ?

1 ? 2n ? n?2n ? ?1 ? n ??2n ? 1 . 1? 2

∴ Tn ?

? n ? 1??2

n

? 1.

17.解:(1)∵ Sn ? 2an ? 2 , ∴当 n ? 1 时, a1 ? 2a1 ? 2 ,解得 a1 ? 2 ;当 n ? 2 时, S2 ? a1 ? a2 ? 2a2 ? 2 ,解得 a2 ? 4 ; 当 n ? 3 时, S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 2a3 ? 2 ,解得 a3 ? 8 . (2)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (2an ? 2) ? (2an ?1 ? 2) ? 2an ? 2an ?1 , 得 an ? 2an ?1 又 a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 , a1 ? 2 ,∴数列{ an }是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 2 .
n

b1 ? a1 ? 2 ,设公差为 d ,则由 b1 , b3 , b11 成等比数列,得 (2 ? 2d ) 2 ? 2 ? (2 ? 10d ) ,
解得 d ? 0 (舍去)或 d ? 3 ,所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3n ? 1 .

(3)令 Tn ?

b b1 b2 b3 2 5 8 3 n ?1 ? ? ? ? ? n ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? n , a1 a2 a3 an 2 2 2 2

5 8 3n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 , 1 2 2 2 3 3 3 3n ? 1 两式式相减得 Tn ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? , 2 2 2 2n 3 1 (1 ? n ?1 ) 3n ? 1 3n ? 5 2 ∴ Tn ? 2 ? 2 ? n ? 5? n , 1 2 2 1? 2 3n ? 5 又 ? 0 ,故 Tn ? 5 .. 2n 2Tn ? 2 ?
18.解: (1)设公差为 d,则 a 3 ? 1 ? 2d , a 7 ? 1 ? 6d , a 9 ? 1 ? 8d

? a 3 , a 7 ? 2,3a 9 成等比数列,? (3 ? 6d ) 2 ? 3(1 ? 2d )(1 ? 8d ) ? 2d 2 ? d ? 1 ? 0,? d ? 0 ,? d ? 1,? a n ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n .
(2)? an ? n, S n ?

Sn n n(1 ? n) ? ,? . Sn ?1 n ? 2 2
1 1 1 ? ? 36 12 ? 20 32 n ? ? 20 n

? f ( n) ?

n n Sn ? ? 2 ? (n ?18) S n ?1 (n ? 18)(n ? 2) n ? 20n ? 36

36 1 ,即 n ? 6 时, f (n) 取得最大值 . n 32 19.解:解:(1)∵ ?an ? 是递增的等差数列,设公差为 d (d ? 0)
当且仅当 n ?
2 ? a1 、 a2 、 a4 成等比数列,∴ a2 =a1 ? a4



( 1? d 2 ? ? ?1 d 3 及 d ? 0 得 ) 1 ( )

d ?1

∴ an ? n(n ? N *) (2)∵ an ?1 ? n ? 1 , 当 n ? 1 时,

c c1 c2 ? 2 ? ? ? n ? n ? 1 对 n ? N * 都成立 2 2 2n

c1 ? 2 得 c1 ? 4 2 c c c c c c 当 n ? 2 时,由 1 ? 2 ? ? ? n ? n ? 1 ①,及 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ② 2 n 2 2 2 2 2 2 2n ?1 c n ①-②得 n ? 1 ,得 cn ? 2 n 2
∴ cn ? ?

? 4 ( n ? 1) n ? 2 ( n ? 2)

∴ c1 ? c2 ? ? ? c2012 ? 4 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3

2012

? 4?
*

22 (1 ? 22011 ) ? 22013 1? 2

* (3)对于给定的 n ? N ,若存在 k , t ? n, k , t ? N ,使得 bn ? bk ? bt

n ?1 n ?1 k ?1 t ?1 ,只需 , ? ? n n k t 1 1 1 1 1 1 1 即 1 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ,即 ? ? ? n k t n k t kt n(k ? 1) 即 kt ? nt ? nk ? n , t ? 取 k ? n ? 1 ,则 t ? n(n ? 2) k ?n n 2 ? 2n ? 1 n ?1 n?2 ∴对数列 {bn } 中的任意一项 bn ? ,都存在 bn ?1 ? 和 bn2 ? 2 n ? n 2 ? 2n n n ?1 使得 bn ? bn ?1 ? bn2 ? 2 n .
∵ bn ? 20.解:(1)由已知,得 an ? a ? (n ? 1)b, bn ? b ? a n?1 .由 a1 ? b1 , b2 ? a3 ,得 a ? b, ab ? a ? 2b . 因 a, b 都为大于 1 的正整数,故 a ? 2 .又 b ? a ,故 b ? 3 . 再由 ab ? a ? 2b ,得 (a ? 2)b ? a . 由 b ? a ,故 (a ? 2)b ? b ,即 (a ? 3)b ? 0 . 由 b ? 3 ,故 a ? 3 ? 0 ,解得 a ? 3 . 于是 2 ≤ a ? 3 ,根据 a ? N ,可得 a ? 2 . (2)由 a ? 2 ,对于任意的 n ? N? ,均存在 m ? N? ,使得 b(m ? 1) ? 5 ? b ? 2n ?1 ,则

b(2n ?1 ? m ? 1) ? 5 .
又 b≥ 3 ,由数的整除性,得 b 是 5 的约数. 故 2n?1 ? m ? 1 ? 1 , b ? 5 . 所以 b ? 5 时,存在正自然数 m ? 2n?1 满足题意. (3)设数列 {Cn } 中, Cn , Cn ?1 , Cn ? 2 成等比数列,由 Cn ? 2 ? nb ? b ? 2n ?1 , (Cn ?1 )2 ? Cn ? Cn? 2 ,得

(2 ? nb ? b ? b ? 2n )2 ? (2 ? nb ? b ? 2n?1 )(2 ? nb ? 2b ? b ? 2n?1 ) .
化简,得 b ? 2n ? (n ? 2) ? b ? 2n ?1 . (※)

当 n ? 1 时, b ? 1 时,等式(※)成立,而 b≥ 3 ,不成立. 当 n ? 2 时, b ? 4 时,等式(※)成立. 当 n≥ 3 时, b ? 2n ? (n ? 2) ? b ? 2n?1 ? (n ? 2) ? b ? 2n ?1 ≥ 4b ,这与 b ? 3 矛盾. 这时等式(※)不成立. 综上所述,当 b ? 4 时,不存在连续三项成等比数列;当 b ? 4 时,数列 {Cn } 中的第二、三、四 项成等比数列,这三项依次是 18,30,50. 21.解:解: (1) 因为数列 k1 ? 40, k2 ? 30, k3 ? 20, k4 ? 10 ,

所以 b1 ? 40, b2 ? 70, b3 ? 90, b4 ? 100 , 所以 g (1) ? ?60, g (2) ? ?90, g (3) ? ?100, g (4) ? ?100 (2) 一方面, g ( m ? 1) ? g ( m ) ? bm ?1 ? 100 , 根据 b j 的含义知 bm ?1 ? 100 , 故 g (m ? 1) ? g (m) ? 0 ,即 g (m) ? g (m ? 1) , 当且仅当 bm ?1 ? 100 时取等号. 因为 a1 , a2 , a3 ,? , a100 中最大的项为 50,所以当 m ? 50 时必有 bm ? 100 , 所以 g (1) ? g (2) ? ? ? g (49) ? g (50) ? g (51) ? ?? 即当 1 ? m ? 49 时,有 g ( m ) ? g ( m ? 1) ; 当 m ? 49 时,有 g ( m ) ? g ( m ? 1) (2)设 M 为 ?a1 , a2 ,? , a100 ? 中的最大值. 由(2)可以知道, g (m) 的最小值为 g ( M ) . 根据题意, bM ? k1 ? k2 ? k3 ? L ? k M ? 100, ①

k1 ? 2k2 ? 3k3 ? L ? Mk M ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a100 .
下面计算 g ( M ) 的值.

g ( M ) ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bM ? 100 M ? (b1 ? 100) ? (b2 ? 100) ? (b3 ? 100) ? ? ? (bM ?1 ? 100) ? ( ? k 2 ? k 3 ? ? ? k M ) ? ( ? k 3 ? k 4 ? ? ? k M ) ? ( ? k 4 ? k5 ? ? ? k M ) ? ? ? ( ? k M ) ? ?[k2 ? 2k3 ? ? ? ( M ? 1)k M ] ? ?(k1 ? 2k2 ? 3k3 ? ? ? Mk M ) ? (k1 ? k2 ? ? ? k M ) ? ?( a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ) ? bM ? ?( a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ) ? 100
∵ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? 200 , ,

∴ g ( M ) ? ?100 ,∴ g (m) 最小值为 ?100 .


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