kl800.com省心范文网

14. 数列中数阵(表)问题的研究


专题:数列中数阵(表)问题的研究
一、问题提出 问题:1934 年,东印度(今孟加拉国)学者森德拉姆(Sundaram)发现了“正方形筛子”: 4 7 10 13 16 … 7 12 17 22 27 … 10 17 24 31 38 … 13 22 31 40 49 … 16 27 38 49 60 … … … … … … …

(1)这个“正方形筛子”的每一行有什么特点?每一列呢? (2) “正方形筛子”中位于第 100 行的第 100 个数是多少? 解:(1) 这个“正方形筛子”的每一行与每一列都是等差数列; (2) 因为第 100 行的第 1 个数 a100,1 是第 1 列的第 100 个数,而第 1 列的数组成以 4 为首项,3 为公差的等 差数列,通项公式为 an,1 ? 4 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 1 ,故 a100,1 ? 3 ?100 ? 1 ? 301 ;第 100 行的第 2 个数 a100,2 是第 2 列 的 第 100 个 数 , 而 第 2 列 的 数 组 成 以 7 为 首 项 , 5 为 公 差 的 等 差 数 列 , 通 项 公 式 为 故 a1 an,2 ? 7 ? (n ? 1) ? 5 ? 5n ? 2 , 0 2 ,
? 5?1 0 0 ? 2 ? 5 0 2

. 所以, 第 100 行组成以 301 为首项,502 ? 301 ? 201

为公差的等差数列,通项公式为 a100,n ? 301 ? (n ? 1) ? 201 ? 201n ? 100 ,从而第 100 行第 100 个数为
a100,100 ? 201?100 ? 100 ? 20200 .

二、思考探究 探究 1: 1 1+2+1 1+2+3+2+1 1+2+3+4+3+2+1 ……

(1) 第 100 行是多少个数的和?这些数的和是多少? (2) 计算第 n 行的值. 【解答】(1) 第 100 行是 199 个数的和,这些数的和是 2(1 ? 2 ? ? ? 100) ? 100 ? 10000 ; (2) 第 n 行的值是 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? ? 3 ? 2 ? 1 ? 2(1 ? 2 ? ? ? n) ? n ? n2 .

探究 2:将自然数排成如下的螺旋状:

第一个拐弯处的数是 2,第二个拐弯处的数是 3,第 20 个及第 25 个拐弯处的数分别 是 , .

【解答】由图可知,前 n 个拐弯处的数依次是 2,3,5,7,10,13,17,21,26,?,① 这是一个数列题目,要求找出它的第 20 项和第 25 项各是多少,因此要找出这个数列的规则,经观察,该 数列的后一项减去一项,得一新数列 1,2,2,3,3,4,4,5,5,?② 把数列①的第一项添在数列②的前面得 2,1,2,2,3,3,4,4,5,5,?③ 观察数列①,③发现原数列①的第 n 项 a n 就等于数列③的前 n 项和,即 a1 ? 2 , a2 ? 2 ? 1 ? 3 ,
a3 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 7 ,?,

故第 20 个拐弯处的数 a20 =2+1+2+2+?+10+10=1+2(1+2+?+10)=111
a25 =2+1+2+2+…+12+12+13=170.

方法二:设第 i 个拐弯处的数为 ai ,显然 a1=2, a2i ? a2i ?1 ? i , a2i ?1 ? a2i ? (i ? 1) ∵20=2× 10,25=2× 12+1, ∴ a20 =1+2(1+2+?+10)=11, a25 =1+2(1+2+?+12)+13=170. 【评注】方法一到方法二由具体到抽象,体现出思维不断优化的过程。解决数表问题,需细心研究其元素 的排列的规律,即构成数列的元素,或数列的项是按照何种规则排列而成的,有时即使找到排列的规则, 但如果不能对所发现的规律所蕴含的信息进行整理再加工,解题同样会误入歧途.

探究 3:全体正奇数排成下表: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 ……

其构成规律是:第 n 行恰有 n 个连续奇数;从第 2 行起,每一行第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数, 则 2005 是第 行的第 个数.

【解答】 n 行共有 1 ? 2 ? ? ? n ?

n(n ? 1) 个奇数, 2 n(n ? 1) ? 1 ? n2 ? n ? 1 . 2

因此,第 n 行的最后一个数是 2 ?

从而第 n 行的第一个数是 (n2 ? n ? 1) ? 2(n ? 1) ? n2 ? n ? 1 ,

令 n2 ? n ? 1 ? 2005 ? n2 ? n ? 1 ,解得 n ? 45 , n 2 ? n ? 1 ? 1981 , 故 2005 是第 45 行的第 m 个数,则 2005 ? 1981 ? (m ? 1) ? 2 ,得 m ? 13 . 故 2005 是第 45 行的第 13 个数.

探究 4: n 2 个正数排成 n 行 n 列(如下表) ,其中每行数都成等差数列,每列数都成等比数列且公比都
n 3 1 相等.已知 a24 ? 1, a42 ? , a43 ? ,则 ? akk ? 16 8 k ?1


a14 ? a1n a24 ? a2 n a34 ? a3n a44 ? a4 n ? ? ? an 4 ? ann

a11 a21 a31 a41 ? an1

a12 a22 a31 a42 ? an 2

a13 a23 a33 a43 ? an3

? ?a24 ? (a11 ? 3d )q ? 1, ? 1 ? 【解答】设第一行数列的公差为 d ,各列数列公比为 q ,则有 ?a42 ? (a11 ? d )q 3 ? , 且所有数均为正数, 8 ? ? 3 a43 ? (a11 ? 2d )q3 ? , ? 16 ?

解得 a11 ?
n

1 1 1 k , d ? , q ? .故 akk ? a1k qk ?1 ? [a11 ? (k ? 1)d ]qk ?1 ? k . 2 2 2 2
1 2 n ? 2 ? ? ? n .① 2 2 2

从而有 ? akk ?
k ?1

1 n 1 2 n ?1 n akk ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 .② ? 2 k ?1 2 2 2 2

由①、②两式错位相减,得 ? akk ? 2 ?
k ?1

n

1 n 1 n ? n .故应填 2 ? n?1 ? n . n ?1 2 2 2 2

探究 5:在 3×3 的幻方中填数,使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等.如图,三个方格 中的数分别为 1,2,2015,则幻方中其余 6 个数之和为 解:如图,设幻方正中间的数为 x,则由题意知 a=-2012,从而对角线上三个数的和为 x-2011. 因此 b=x-2014,c=-4026,d=-2013,e=x+2014. 2011 由 b+e+x=x-2011,解得 x=- . 2 2011 18099 这 9 个数的和为 3×(- -2011)=- , 2 2 18099 22135 所以幻方中其余 6 个数之和为- -2018=- . 2 2
e d a c x 2015 1 2 b 2015


1 2

(第 9 题图)

三、真题链接 (2008 年江苏高考题)将全体正整数排成一个三角形数表: 1 2 4 5 3 6 7 8 9 10 . . . . . . . 按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为 .

【解答】通过列举、分析、归纳、猜想,前 n ? 1 行共有 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) 个数,即共有 第 n 行第 3 个数是全体正整数中第

n2 ? n 个,因此 2

n2 ? n n2 ? n ? 6 +3 个数,即 . 2 2

四、反思提升 五、反馈检测
? a11 ? ? a21 1. 已知 5× 5 数字方阵: ? a31 ? ? a41 ?a ? 51 a12 a22 a32 a42 a52 a13 a23 a33 a43 a53 a14 a24 a34 a44 a54 a15 ? ? a25 ? ?1 ( j 是 i 的整数倍), a35 ? 中, aij ? ? ? ??1( j 不是 i 的整数倍). a45 ? a55 ? ?

则 ? a3 j ? ? ai 4 =
j ?2 i?2

5

4

.-1

2. 下图给出一个三角形数阵:

1 4 1 1 , 2 4 3 3 3 , , 4 8 16 ……
已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等 . 记第 i 行 第 j 列的数为 aij ( i ? j , i、j ? N? ). (1) 求 a83 ; (2) 试写出 aij 关于 i, j 的表达式; (3) 记第 n 行的和为 An ,求数列 ? An ? 的前 m 项和 Bm 的表达式. 【解答】(1) 由题意知,?ai1? 为等差数列,因为 a11 ? 又各行成等比数列,公比都相等, a31 ?

1 1 1 1 1 , a21 ? ,所以公差 d ? , a81 ? ? (8 ? 1) ? ? 2 . 4 2 4 4 4
2

1 3 3 1 ?1? , a32 ? ,所以每行的公比都是 q ? ,所以 a83 ? 2 ? ? ? ? . 2 4 8 2 ?2?

1 1 i ?1? (2) 由(1)知, ai1 ? ? (i ? 1) ? ? ,所以 aij ? ai1 ? ? ? 4 4 4 ?2?

j ?1

i ?1? ? ?? ? 4 ?2?

j ?1

?1? ? i? ? ? 2?

j ?1

.

n ?1 n ?1 n ?1 ? 1 ? 1 ?2 ?1? ? n? ?1? ? n ?1? (3) An ? an1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? n ? ? . ? 2? ? ? 2? ? 2 ? 2? ? 4? ? ? 2? ? ? 2 ?

1 1?1 2 3 m Bm ? (1 ? 2 ? ? ? m) ? ? ? ? ? ? ? m 2 2?2 4 8 2

? ?. ?

设 Tm ?

1 2 3 m ? ? ? ? ? m ,① 2 4 8 2

1 1 2 3 m 则 Tm ? ? ? ? ? ? m?1 . ② 2 4 8 16 2

1 1 1 1 m 1 m m?2 由①?②,得 Tm ? ? ? ? ? m ? m?1 ? 1 ? m ? m?1 ? 1 ? m?1 , 2 2 4 2 2 2 2 2
所以, Bm ?
1 m(m ? 1) ? m ? 2 ? m(m ? 1) m ? 2 ? ? ?1 ? m ?1 ? ? ? m ?1 ? 1 . 2 2 2 4 2 ? ?

3. 下图是一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列且每一行的 公比都相等,记第 i 行第 j 列的数为 aij i ? j, i, j ? N? .

?

?

1
2, 1 3 3 3, , 2 4 ……

(1) 求 a43 . (2) 用 i 、 j 表示 aij . (3) 设这个数阵共有 n 行,求数阵中每行最右边的数的和.

1 ?1? 【解答】(1) 由已知第四行是首项为 4 ,公比为 的等比数列,∴ a43 ? 4 ? ? ? 1 . 2 ?2?

2

1 ?1? (2) 由已知第 i 行是首项为 i ,公比为 的等比数列,∴ aij ? i ? ? 2 ?2?
?1? (3) 由(2)每行最右边的数为? aii ? i ? ? ?2?
i ?1

j ?1

.

?1 ? i ? n ? .


1 ?1? ?1? ∴ Sn ? 1 ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? n ? ? 2 2 ? ? ?2?
2 3

2

n ?1

1 1 ?1? ?1? ?1? ∴ Sn ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? n ? ? 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 2?

n


n

?1? 1? ? ? 2 n ?1 n n 1 1 ?1? 4 ? 2n ?1? ?1? ? 2 ? ? n ? 1 ? ,∴ ①?②得 Sn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? ? . Sn ? 4 ? ? ? 1 2 2 ?2? 2n ?2? ? 2? ? 2? 1? 2

4. 已知整数数列{an}满足:a1=1,a2=2,2an?1<an?1?an?1<2an?1(n∈N,n≥2). (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 将数列{an}中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表:

依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和,设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为 {bn},求 b5+b100 的值; (3) 令 cn=2?ban?b· 2 an ?1 (b 为大于等于 3 的正整数),问数列{cn}中是否存在连续三项成等比数列?若存 在,求出所有成等比数列的连续三项;若不存在,请说明理由. 【解答】 (1) 因为数列 {an} 是整数列,所以 an 是整数, 所以 2an?1 , an?1?an?1 , 2an?1 都是整数,又 2an?1<an?1?an?1<2an?1(n∈N,n≥2),所以 2an=an?1?an?1, 即数列{an}是首项为 1,公差 d=a2?a1=1 的等差数列, 所以 an=a1?(n?1)d=n. (2) 设每一个循环(4 行)记为一组,由于每一个循环含有 4 行,故 b100 是第 25 个循环中第 4 行中各数之 和. 由循环分组规律知,每个循环共有 10 项,故第 25 个循环中的第 4 行内的 4 个数分别为数列{an}的第 247 项至第 250 项,又 an=n,所以 b100=247?248?249?250=994. 又 b5=a11=11,所以 b5?b100=11?994=1005. (3) 因为 cn=2+ban?b· 2 an ?1 =2?bn?b· 2n?1, cn?1, 设数列{cn}中,cn,cn?1,cn?2 成等比数列,即 c2 n?1=cn· 2n)2=(2?nb?b?b· 2n?1)(2?nb?2b?b· 2n?1), 所以(2?nb?b?b·
n b· 2n?1. (*) 化简得 b=2 ?(n?2)·

当 n=1 时,b=1,等式(*)成立,而 b≥3,故等式(*)不成立; 当 n=2 时,b=4,等式(*)成立;
n b· 2n?1>(n?2)· b· 2n?1≥4b,这与 b≥3 矛盾,这时等式(*)不成立. 当 n≥3 时,b=2 ?(n?2)·

综上所述,当 b≠4 时,数列{cn}中不存在连续三项成等比数列;当 b=4 时,数列 {cn } 中的第二、三、四项 成等比数列,这三项依次是 18,30,50. 5. 将数列 ?an ? 中的所有项按第一行排 3 项,以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:

a1 a4 a8
……

a2 a5 a9

a3 a6 a10 a7
a11

a12

记表中的第一列数 a1 , a4 , a8 ,… ,构成数列 ?bn ? . (1)设 b8 ? am ,求 m 的值;
2 2 (2)若 b1 ? 1 ,对于任何 n ? N ,都有 bn ? 0 ,且 (n ? 1)bn ?1 ? nbn ? bn?1bn ? 0 .求数列 ?bn ? 的通项
?

公式; (3) 对于 (2) 中的数列 ?bn ? , 若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为 q(q ? 0) 的等比数列, 且 a 66 ?

2 ? ,求上表中第 k ( k ? N )行所有项的和 S (k ) . 5

解: (1)由题意, m ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 1 ? 43 ………………4 分
2 2 (2)由 (n ? 1)bn ?1 ? nbn ? bn?1bn ? 0 , bn ? 0

令t ?

bn?1 2 得 t ? 0 ,且 (n ? 1)t ? t ? n ? 0 ………………6 分 bn

即 (t ? 1)[(n ? 1)t ? n] ? 0 , 所以

bn?1 n ………………8 分 ? bn n ?1
b b2 1 b3 2 n ?1 . . . , n ? ? , ? , b1 2 b2 3 bn ?1 n
1 ………………10 分 n

因此

将各式相乘得 bn ?

(Ⅲ)设上表中每行的公比都为 q ,且 q ? 0 .因为 3 ? 4 ? 5 ? ? ? ? ? 11 ? 63 ,………12 分 所以表中第 1 行至第 9 行共含有数列 ?bn ? 的前 63 项,故 a66 在表中第 10 行第三列,………………14 分 因此 a 66 ? b10 ? q ?
2

2 1 .又 b10 ? ,所以 q ? 2 .则 5 10

bk (1 ? q k ? 2 ) 1 k ? 2 S (k ) ? ? (2 ? 1) . k ? N ? ………………16 分 1? q k
6. 对于自然数 i ? N ? ,设 ai,k ? i ? 3(k ? 1) (k ? 1, 2,3, ???) ,如 a3,4 ? 3 ? 3(4 ? 1) ? ?6 ,对于自然数 n, m ,当
n ? 2, m ? 2 时,设 b(i, n) ?a i,1 ?ai,2 ? ai,3 ? ? ? ? ? ai,n , S (m, n) ? b(1, n) ? b(2, n) ? b(3, n) ? ? ? ? ? b(m, n) ,则

S (10,6) ?

. ? 120

7. 给定正整数 n(n ? 2) 按右图方式构成倒立三角形数表,第一行依次写上数 l,2, 3,…, n ,在第一行的每相邻两个数正中间的下方写上这两个数之和,得到第二行 的数(比上一行少一个数),依次类推,最后一行(第 n 行)只有一个数,例如 n =6 时 数表如图所,则当 n =2011 时最后一行的数是 . 503? 2
2011

8. 在如右图所示的数表中,第 i 行第 j 列的数记为 ai,j,且满足 a1,j=2j 1,ai,1=i,ai+1,j+1=ai,j+ai+1,


(i,j∈N*);又记第 3 行的数 3,5,8,13,22,39,….则第 3 行第 n 个数为

.2

n ?1

? n ?1

9. 将数列 ?an ? 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ?
已知表中的第一列数 a1 , a2 , a5 ,? 构成一个等差数列,记为 ?bn ? ,且 b2 ? 4, b5 ? 10 .表中每一行正中 间一个数 a1 , a3 , a7 ,?构成数列 ?cn ? ,其前 n 项和为 Sn . (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若上表中,从第二行起,每一行 中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,公比为同一个正数, ...
? 且 a13 ? 1 .①求 Sn ;②记 M ? n | (n ? 1)cn ? ? , n ? N ,若集合 M 的元素个数为 3,求实数 ? 的取值范

?

?

围.

10. 19.已知函数 f ( x) ? (1)求该函数的解析式;

x2 的图像经过点 (4,8) . x?m

(2)数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1 , Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,且满足 an ? f (Sn ) (n ≥ 2) , 证明数列 ?

?1? ? 成等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; ? Sn ?

(3)另有一新数列 ?bn ? ,若将数列 ?bn ? 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成 如下数表:

b1

b2 b3 b4 b5 b7 b8 b9
………… 记表中的第一列数 b1,b2,b4,b7,...,构成的数列即为数列 ?an ? ,上表中,若从第 三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当

b6
b10

b81 ? ?

4 时,求上表中第 k (k ≥3) 行所有项的和. 91


14. 数列中数阵(表)问题的研究.doc

14. 数列中数阵(表)问题的研究_数学_高中教育_教育专区。专题:数列中数阵(表)问题的研究一、问题提出 问题:1934 年,东印度(今孟加拉国)学者森德拉姆(Sundaram...

14._数列中数阵(表)问题的研究.doc

14._数列中数阵(表)问题的研究 - 专题:数列中数阵(表)问题的研究 一、问

专题6.6:数列中的数阵(数表)问题的研究与拓展.doc

专题6.6:数列中数阵(表)问题的研究与拓展 - 高考数学,高考物理,高考英

...高频考点专题复习之数列中的数阵(数表)问题的研究与....doc

高考数学高频考点专题复习之数列中数阵(表)问题的研究与拓展_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数列中数阵(表)问题的研究与拓展 【课本溯源】1934 年,...

数列中的数表问题_图文.ppt

数列中的数表问题 - 数列中数阵(表)问题探究 深圳市宝安中学 钱江 问题背景

研究性学习(28)数列中的数阵问题研究.doc

研究性学习(28)数列中的数阵问题研究_数学_高中...记表中的第一列数 b1,b2,b4,b7,...,构成的...数列研究性学习 3页 免费 数学专题14三角形中的数...

数列中数表问题的破解策略.pdf

数列中数表问题的破解策略 - 数列中“数表问题 ” 的破解策略 所谓数表 ( 数阵 ), 就是指按照一定的规 定及顺序排成的一个表 . 而数表由于其多变 、 ...

数阵与数表问题探究_论文.pdf

数阵数表问题探究_专业资料。数阵数表,在数学发展过程中,一直扮演着重要...(≤ ,,∈N,如:l一1 bI9这样就将数阵{ )等差数列 bIl,32,b与◇北京...

3.8数列中数阵问题归纳总结.doc

江苏省盱眙中学“三动”课堂导学案(2016 届高三文科数学 NO.44) 编制:于后勇 3.8 数列中数阵问题 1.在如下数表中,已知每行、每列中的树都成等差数列,那么...

数阵数列问题中,的一颗新星.doc

数阵数列问题中,的一颗新星 - 数阵数列问题中的一颗新星 1.(2010 浙江文数) (14)在如下数表中,已知每行、每列中的树都成等差数列, 那么,位于下...

数列中的数阵.doc

数列中的数阵姓名: 1.在如下数表中, 已知每行...古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,...16 第2列 2 14 18 ? 第3列 4 12 20 28 第...

高考专题复习《数表型数列问题》_图文.ppt

高考专题复习《数表数列问题》 - 高考专题复习 数表数列问题 1.(08 江苏 10) 将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 23 456 7 8 9 10 。。。 ...

数列--图表题.doc

数列--图表题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1...C. D. 8 、下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”...数学家曾经在沙滩上研究数问题,他们在沙滩上画...

数列中的数阵问题_论文.pdf

数列中的数阵问题 - 数列是高中数学中的重要内容.也是近年高考中的热点内容,其主要考查内容是等差数列与等比数列的通项公式与数列求和问题。近年来,高考中出现了...

数列、数阵练习精选(附详细讲解).doc

数列数阵练习题汇总 1、观察下列各数: 1, 1,...5 1、由 14-11=3 得知,表二中的“11”在表一...等号右边:此数列的中数” (即“平均数” )的...

数列训练(6) 数阵问题.doc

数列训练(6) 数阵问题 - 数列训练(6) 数阵问题 数阵问题 7.观察下列数表: 1 2,3 4,5,6,7 8,9,10,11,12,13,14,15 ? 则 2 008 是此表中的...

一类数表与数阵问题的解决策略_图文.pdf

一类数表数阵问题的解决策略_数学_自然科学_专业...( 如本题的 1 007), 再观 察整个数列 的...14,16,l8,20,22,24 例2某 三角形数表如 图2...

数列中的图表问题_论文.pdf

数列中图表问题 - 对于以图表或数阵形式排列的数列问题,信息直观形象,能很好的考查学生观察能力,探究能力及分析问题,解决问题的能力,一直是高考命题的一个热点....

数列与数阵中的规律_图文.ppt

数列与数阵中规律_初一数学_数学_初中教育_教育专区。七年级数学探索规律 ...14. 数列中数阵(表)问题... 暂无评价 10页 1下载券 0.5 从兔子数列讲...

四年级第一讲-数列与数阵-练习题参考答案.doc

10,14,…… 15,…… 4.将 1 开始的自然数排成如右上的一张表, 在这张...暂无评价 3页 免费 “数阵”在解数列问题中... 暂无评价 1页 免费 ...