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广东省揭阳一中2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷 Word版含解析


广东省揭阳一中 2014-2015 学年高一上学期第一次月考数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知全集 U=|1,2,3,4,5|,且 A={2,3,4},B={1,2},则 A∩(?∪B)等于 () A.{2} B.{5} C.{3,4} D.{2,3,4,5} 2. (5 分)设集合 M={m∈z|﹣3<m<2},N={n∈z|﹣1≤n≤3},则 M∩N=() A.{0,1} B.{﹣1,0,1} C.{0,1,2} D.{﹣1,0,1,2} 3. (5 分)函数 f(x)= A.{x|x≥﹣2} 的定义域为 M,g(x)= 的定义域为 N,则 M∩N=() D.{x|x<2}

B.{x|﹣2<x<2}

C.{x|﹣2≤x<2}

4. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是() A.y=x
3

B.y=|x|+1

C.y=﹣x +1

2

D.y=2

﹣|x|

5. (5 分)设集合 A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},从 A 到 B 的对应法则 f 不是映射的是() A.f:x
2

B.f:x

C.f:x

D.f:x

6. (5 分)函数 y=x ﹣4x+3,x∈[0,3]的值域为() A.[0,3] B.[﹣1,0] C.[﹣1,3]

D.[0,2]

7. (5 分)若 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 f(x+1)+f(2x﹣1)的定义域是() A.[﹣1,1] B. C. D.

8. (5 分)设定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 x 满足 f(x)=f(x﹣2)+3,且 f(2)=4, 则 f(4)=() A.10 B. 7 C. 4 D.﹣1

9. (5 分)函数



的值为()

A.

B.

C.

D.18

10. (5 分)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是() A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B. f(x)﹣|g(x)|是奇函数 C. |f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|﹣g(x)是奇函数

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)若函数 f(x)= ,则 f( )=.

12. (5 分)函数 y=

的值域是.

13. (5 分)A={y|y=x ﹣4x+10},B={y|y=﹣x ﹣2x+12},则 A∩B=. 14. (5 分)函数 f(x)=ax ﹣(3a﹣1)x+a 在区间(1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围 是.
2 2

2

2

三、解答题: 2 2 15. (12 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x ﹣2x﹣3>0},B={x|x +2x﹣8≤0},求 A∩B,A∪B, B∪(CUA) 16. (12 分)求函数 y=x+ 的值域.

17. (14 分)已知二次函数 f(x)满足 f(1)=0,且 f(x+1)﹣f(x)=4x+3. (1)求 f(x)的解析式, (2)若 f(x)在区间[a,a+1]上单调,求实数 a 的取值范围. 18. (14 分)如图,已知底角为 45°的等腰梯形 ABCD,底边 BC 长为 7cm,腰长为 , 当一条垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 从左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时,直 线 l 把梯形分成两部分,令 BF=x,试写出左边部分的面积 y 与 x 的函数.

19. (14 分)已知函数 f(x)=x+ . (1)判断并证明函数 f(x)在区间[1,+∞)上的单调性; 2 (2)若 x +1≥ax 在[1,∞)恒成立,求参数 a 取值范围. 20. (14 分)已知函数 f(x)=|x+1|+ax(a∈R) . (1)画出当 a=2 时的函数 f(x)的图象; (2)若函数 f(x)在 R 上具有单调性,求 a 的取值范围.

广东省揭阳一中 2014-2015 学年高一上学期第一次月考数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知全集 U=|1,2,3,4,5|,且 A={2,3,4},B={1,2},则 A∩(?∪B)等于 () A.{2} B.{5} C.{3,4} D.{2,3,4,5} 考点: 交、并、补集的混合运算. 分析: 由题意全集 U=|1,2,3,4,5|,且 A={2,3,4},B={1,2},根据补集的定义可得 C∪B={3,4,5},再根据交集的定义计算 A∩(C∪B) . 解答: 解:∵全集 U=|1,2,3,4,5|,B={1,2}, ∴C∪B={3,4,5}, ∵A={2,3,4}, ∴A∩(C∪B)={3,4}, 故选 C. 点评: 此题考查集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容,要认真掌握,并确保得分. 2. (5 分)设集合 M={m∈z|﹣3<m<2},N={n∈z|﹣1≤n≤3},则 M∩N=() A.{0,1} B.{﹣1,0,1} C.{0,1,2} D.{﹣1,0,1,2} 考点: 交集及其运算. 分析: 由题意知集合 M={m∈z|﹣3<m<2}, N={n∈z|﹣1≤n≤3}, 然后根据交集的定义和运算 法则进行计算. 解答: 解:∵M={﹣2,﹣1,0,1},N={﹣1,0,1,2,3}, ∴M∩N={﹣1,0,1}, 故选 B. 点评: 此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则,是一道比较基础的题.

3. (5 分)函数 f(x)= A.{x|x≥﹣2}

的定义域为 M,g(x)=

的定义域为 N,则 M∩N=() D.{x|x<2}

B.{x|﹣2<x<2}

C.{x|﹣2≤x<2}

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 通过求函数的定义域,求得集合 M、N,再进行交集运算即可. 解答: 解:函数 f(x)= 的定义域为 M={x|x<2};

g(x)= 的定义域为 N={x|x≥﹣2}, ∴M∩N=[﹣2,2) . 故选 C 点评: 本题考查交集及其运算. 4. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是() A.y=x
3

B.y=|x|+1

C.y=﹣x +1

2

D.y=2

﹣|x|

考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 常规题型. 2 分析: 首先由函数的奇偶性排除选项 A, 然后根据区间 (0, +∞) 上 y=|x|+1=x+1、 y=﹣x +1、 y=2
﹣|x|

=

的单调性易于选出正确答案.
3 2
﹣|x|

解答: 解:因为 y=x 是奇函数,y=|x|+1、y=﹣x +1、y=2 所以选项 A 错误; 又因为 y=﹣x +1、y=2
2
﹣|x|

均为偶函数,

=

在(0,+∞)上均为减函数,只有 y=|x|+1 在(0,+∞)

上为增函数, 所以选项 C、D 错误,只有选项 B 正确. 故选:B. 点评: 本题考查基本函数的奇偶性及单调性. 5. (5 分)设集合 A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},从 A 到 B 的对应法则 f 不是映射的是() A.f:x B.f:x C.f:x D.f:x

考点: 映射. 专题: 阅读型. 分析: 通过举反例,按照对应法则 f,集合 A 中的元素 6,在后一个集合 B 中没有元素与之 对应,故选项 A 不是映射,从而选出答案. 解答: 解:A 不是映射,按照对应法则 f,集合 A 中的元素 6,在后一个集合 B 中没有元素 与之对应,故不满足映射的定义. B、C、D 是映射,因为按照对应法则 f,集合 A 中的每一个元素,在后一个集合 B 中都有唯 一的一个元素与之对应, 故 B、C、D 满足映射的定义,

故选 A. 点评: 本题考查映射的定义,通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命题不正确,是一 种简单有效的方法. 6. (5 分)函数 y=x ﹣4x+3,x∈[0,3]的值域为() A.[0,3] B.[﹣1,0] C.[﹣1,3]
2

D.[0,2]

考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: 由函数 y=x ﹣4x+3=(x﹣2) ﹣1,x∈ [0,3]可得,当 x=2 时,函数取得最小值为﹣ 1,当 x=0 时,函数取得最大值 3,由此求得函数的值域. 解答: 解:∵函数 y=x ﹣4x+3=(x﹣2) ﹣1,x∈[0,3], 故当 x=2 时,函数取得最小值为﹣1,当 x=0 时,函数取得最大值 3, 故函数的值域为[﹣1,3], 故选 C. 点评: 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质的应用,属于中档题. 7. (5 分)若 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 f(x+1)+f(2x﹣1)的定义域是() A.[﹣1,1] B. C. D.
2 2

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 利用函数的定义域的求法,使函数有意义的 x 的值求得函数的定义域,再求它们的 交集即可. 解答: 解:函数 y=f(x)的定义域是[0,2], 所以 所以 函数 y=f(x+1)+f(x﹣1)的定义域为:{x| }

故选 B 点评: 本题属于以函数的定义为平台,求集合的交集的基础题,也是高考常会考的题型. 8. (5 分)设定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 x 满足 f(x)=f(x﹣2)+3,且 f(2)=4, 则 f(4)=() A.10 B. 7 C. 4 D.﹣1 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用 f(x)=f(x﹣2)+3,且 f(2)=4,将 f(4)逐步转化到 f(2)上来,即 f(4) =f(4﹣2)+3=f(2)+3,则 f(4)可求. 解答: 解:因为函数 f(x)对任意实数 x 满足 f(x)=f(x﹣2)+3,且 f(2)=4

所以 f(4)=f(4﹣2)+3=f(2)+3=4+3=7. 故选:B. 点评: 本题考查了抽象函数问题,要仔细体会 f(x)=f(x﹣2)+3 在求值中的作用.

9. (5 分)函数



的值为()

A.

B.

C.

D.18

考点: 函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由 值. 解答: 解:∵ ∴f(3)=3 ﹣3﹣3=3, ∴ =f( )=1﹣( ) = ,
2 2

,由 f(3)=3 ﹣3﹣3=3,能求出

2





故选 C. 点评: 本题考查分段函数的函数值的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 10. (5 分)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是() A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B. f(x)﹣|g(x)|是奇函数 C. |f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|﹣g(x)是奇函数 考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,我们易得到|f(x)|、|g(x) |也为偶函数,进而根据奇+奇=奇,偶+偶=偶,逐一对四个结论进行判断,即可得到答案. 解答: 解:∵函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数, 则|g(x)|也为偶函数, 则 f(x)+|g(x)|是偶函数,故 A 满足条件; f(x)﹣|g(x)|是偶函数,故 B 不满足条件; |f(x)|也为偶函数, 则|f(x)|+g(x)与|f(x)|﹣g(x)的奇偶性均不能确定 故选 A 点评: 本题考查的知识点是函数奇偶性的判断,其中根据已知确定|f(x)|、|g(x)|也为偶 函数,是解答本题的关键. 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分)

11. (5 分)若函数 f(x)=

,则 f( )= .

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 根据函数值的定义,令解析式中 x= ,代入求解即可. 解答: 解:根据函数值的定义,令解析式中 x= ,代入求解

f( )=

= .

故答案为: 点评: 本题考查函数值的简单计算,属于基础题. 的值域是[0,2].

12. (5 分)函数 y=

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 y=3﹣2x﹣x 的最大值为 4,可得函数 y= 进而得到 y= 解答: 解:要使函数 y= 自变量 x 须满足 3﹣2x﹣x ≥0, 解得 x∈[﹣3,1], 当 x=﹣3 或 x=1 时,函数 y= 由函数 y=3﹣2x﹣x 的最大值为 4, 故函数 y= 故函数 y= 的最大值为 2, 的值域是[0,2],
2 2 2

的最大值和最小值,

的值域. 的解析式有意义,

取最小值 0,

故答案为:[0,2] 点评: 本题考查的知识点为函数的值域,熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键. 13. (5 分)A={y|y=x ﹣4x+10},B={y|y=﹣x ﹣2x+12},则 A∩B=[6,13]. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合.
2 2

分析: 求出 A 与 B 中 y 的范围,分别确定出 A 与 B,求出两集合的交集即可. 解答: 解:由 A 中 y=x ﹣4x+10=(x﹣2) +6≥6,得到 A=[6,+∞) ; 2 2 由 B 中 y=﹣x ﹣2x+12=﹣(x+1) +13≤13,得到 B=(﹣∞,13], 则 A∩B=[6,13]. 故答案为:[6,13] 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 14. (5 分)函数 f(x)=ax ﹣(3a﹣1)x+a 在区间(1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围 是[0,1]. 考点: 二次函数的性质;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 讨论 a=0 时,f(x)=x,是增函数,a≠0 时,f(x)是二次函数,得出不等式组,解 出即可. 解答: 解:a=0 时,f(x)=x,是增函数, a≠0 时,f(x)是二次函数, 根据函数 f(x)在区间(1,+∞)上单调递增, ∴ ,解得:0<a≤1,
2 2 2 2

综上:a 的范围是:[0,1], 故答案为:[0,1]. 点评: 本题考查了函数的单调性问题,考查了二次函数的性质,是一道中档题. 三、解答题: 15. (12 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x ﹣2x﹣3>0},B={x|x +2x﹣8≤0},求 A∩B,A∪B, B∪(CUA) 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,求出 A 与 B 的交集、并集,A 的补集, 找出 B 与 A 补集的并集即可. 解答: 解:由 A 中不等式变形得: (x+1) (x﹣3)>0, 解得:x<﹣1 或 x>3,即 A={x|x<﹣1 或 x>3}; 由 B 中不等式变形得: (x﹣2) (x+4)≤0, 解得:﹣4≤x≤2,即 B={x|﹣4≤x≤2}, ∴A∩B={﹣4≤x<﹣1},A∪B={x|x≤2 或 x>3},?UA={x|﹣1≤x≤3}, 则 B∪(?UA)={x|﹣4≤x≤3}. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 16. (12 分)求函数 y=x+ 的值域.
2 2

考点: 函数的值域.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 设 t= 求出函数 y=x+ 解答: 解:设 t= ,t≥0,则 x= 的值域. ,t≥0, ,从而 y= =﹣ ,由此能

则 x=



∴y=

=﹣

=﹣



∵t≥0,∴t=1 时,即 x=0 时,函数取得最大值 ymax=1. ∴函数 y=x+ 的值域为(﹣∞,1].

点评: 本题考查函数的值域的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意换元法的合理运 用. 17. (14 分)已知二次函数 f(x)满足 f(1)=0,且 f(x+1)﹣f(x)=4x+3. (1)求 f(x)的解析式, (2)若 f(x)在区间[a,a+1]上单调,求实数 a 的取值范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)设出 f(x)的解析式,根据 f(1)=0,且 f(x+1)﹣f(x)=4x+3 构造系数的 方程组,解得函数的解析式; (2)根据(1)中函数的解析式,分析出函数的单调性,进而结合 f(x)在区间[a,a+1]上单 调,可得实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)设 y=f(x)=ax +bx+c, ∵f(1)=0 且 f(x+1)﹣f(x)=4x+3, 2 2 ∴a+b+c=0 且 a(x+1) +b(x+1)+c﹣(ax +bx+c)=4x+3, ∴2a=4,a+b=3, 解得 a=2,b=1,c=﹣3, 函数 f(x)的表达式为 f(x)=2x +x﹣3, (2)∵f(x)=2x +x﹣3 的图象是开口朝上且以直线 x=﹣ 为对称轴的抛物线, 若 f(x)在区间[a,a+1]上单调, 则 a≥﹣ ,或 a+1≤﹣ , ∴a≥﹣ ,或 a≤﹣ .
2 2 2

点评: 本题考查利用待定系数法求函数的解析式,二次函数的图象和性质,属于基础题, 熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键. 18. (14 分)如图,已知底角为 45°的等腰梯形 ABCD,底边 BC 长为 7cm,腰长为 , 当一条垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 从左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时,直 线 l 把梯形分成两部分,令 BF=x,试写出左边部分的面积 y 与 x 的函数.

考点: 分段函数的应用. 专题: 数形结合. 分析: 直线 l 从左至右移动,分别于线段 BG、GH、HC 相交,与线段 BG 相交时,直线 l 左边的图形为三角形,与线段 GH 相交时,直线 l 左边的图形为三角形 ABG 与矩形 AEFG, 与线段 HC 相交时,直线 l 左边的图形的图形不规则,所以观察其右侧图形为三角形 CEF,各 段利用面积公式可求得 y. 解答: 解:过点 A,D 分别作 AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是 G,H. 因为 ABCD 是等腰梯形,底角为 45°, , 所以 BG=AG=DH=HC=2cm,又 BC=7cm,所以 AD=GH=3cm. (3 分) (1)当点 F 在 BG 上时,即 x∈(0,2]时, ; (6 分)

(2)当点 F 在 GH 上时,即 x∈(2,5]时,y=2+(x﹣2)?2=2x﹣2; (9 分) (3)当点 F 在 HC 上时,即 x∈(5,7]时,y=S 五边形 ABFED=S 梯形 ABCD﹣ SRt△ CEF= . (12 分)

所以,函数解析式为

(14 分)

点评: 本题考查求分段函数的解析式,找到分段点,在各段找出已学过得的规则图形,化 未知为已知,结合图形,比较直观.用到转化,化归与数形结合的思想.

19. (14 分)已知函数 f(x)=x+ . (1)判断并证明函数 f(x)在区间[1,+∞)上的单调性; 2 (2)若 x +1≥ax 在[1,∞)恒成立,求参数 a 取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)先判定,然后利用函数单调性的定义进行证明即可;

(2)将不等式 x +1≥ax 在[1,∞)恒成立,转化成不等式 用单调性求出 x+ 的最小值,从而可求出所求.

2

在[1,∞)恒成立,然后利

解答: 解: (1)函数 f(x)=x+ 在[1,+∞)上单调递增,证明如下: 设任意 x1,x2∈[1,+∞) ,且 x1<x2, 则 =

, ∵1≤x1<x2, ∴x2﹣x1>0,x1x2>0,x1x2﹣1≥0, ∴ ∴f(x2)>f(x1) , ∴函数 f(x)=x+ 在[1,+∞)上单调递增; (2)∵不等式 x +1≥ax 在[1,∞)恒成立, ∴不等式 在[1,∞)恒成立, 在[1,∞)恒成立等价于 a≤g(x)min,
2

>0,

记 g(x)=x+ (x≥1) ,则不等式

由(1)知 g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以 g(x)min=g(1)=2, ∴a≤2. 点评: 本题主要考查了函数单调性的证明,以及恒成立问题的应用和转化的思想,同时考 查了学生分析问题和解决问题的能力,以及运算求解的能力. 20. (14 分)已知函数 f(x)=|x+1|+ax(a∈R) . (1)画出当 a=2 时的函数 f(x)的图象; (2)若函数 f(x)在 R 上具有单调性,求 a 的取值范围.

考点: 函数图象的作法;函数的单调性及单调区间. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. 分析: (1)利用绝对值的几何意义,将函数写成分段函数,即可画出图象; (2)利用绝对值的几何意义,将函数写成分段函数,利用函数 f(x)在 R 上具有单调性,建 立不等式,即可求 a 的取值范围. 解答: 解: (1)当 a=2 时,f(x)=|x+1|+2x= 图象如右图所示 (2)由已知可得 f(x)= ①当函数 f(x)在 R 上单调递增时, …(8 分)



可得 a>1

②当函数 f(x)在 R 上单调递减时,



可得 a<﹣1

综上可知,a 的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) .

点评: 本题考查函数图象的画法,考查绝对值的几何意义,正确写出分段函数是关键.


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