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高中数学必修4第一、二章综合能力检测题(人教A版)

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第一、二章综合能力检测题
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分 150 分,时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的)

→ 2→ → → 1.点 C 在线段 AB 上,且AC= AB,若AC=λBC,则 λ 等于( 5
2 A. 3 2 C.- 3 [答案] C 3 B. 2 3 D.- 2

)

2→ 2 → 2→ → → → [解析] 由AC= AB知,|AC|? BC|=2? 3 | ,且方向相反,∴AC=- BC,∴λ=- . 5 3 3

π 2.要想得到函数 y=sin?x-3?的图象,只须将 y=cosx 的图象( ? ? π A.向右平移 个单位 3 π B.向左平移 个单位 3 5π C.向右平移 个单位 6 5π D.向左平移 个单位 6 [答案] C π π π [解析] ∵y=sin?x-3?=cos?2-?x-3?? ?? ? ? ? ? 5π 5π =cos? 6 -x?=cos?x- 6 ?, ? ? ? ? 5π ∴将 y=cosx 的图象向右移 个单位可得到 6 π y=sin?x-3?的图象. ? ?

)

3.设 e1 与 e2 是不共线向量,a=ke1+e2,b=e1+ke2,若 a∥b 且 a≠b,则实数 k 的值 为( )

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A.1 B.-1 C.0 D.± 1 [答案] B

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[解析] ∵a∥b,∴存在实数 λ,使 a=λb(b≠0), ∴ke1+e2=λ(e1+ke2),∴(k-λ)e1=(λk-1)e2,
?k-λ=0 ? ∵e1 与 e2 不共线,∴? ,∴λ=k=± 1, ? ?λk-1=0

∵a≠b,∴k≠1. 1 k [点评] e1 与 e2 不共线,又 a∥b,∴可知 = ,∴k=± 1,∵a≠b,∴k=-1.一般地, k 1 m n 若 e1 与 e2 不共线,a=me1+ne2,b=λe1+μe2,若 a∥b,则有 = . λ μ 4.若 sinθ=m,|m|<1,-180° <θ<-90° ,则 tanθ 等于( A. m 1-m2 m 1-m2 m 1-m2 1-m2 m )

B.- C.±

D.-

[答案] B [解析] ∵-180° <θ<-90° , ∴sinθ=m<0,tanθ>0, 故可知 tanθ= -m 1-m2 . )

→ → → → 5.△ABC 中,AB· <0,BC· <0,则该三角形为( BC AC A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 [答案] C

→ → → → [解析] 由AB· <0 知,∠ABC 为锐角;由BC· <0 知∠ACB 为钝角,故选 C. BC AC

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)

α α α 6.设 α 是第二象限的角,且?cos2?=-cos ,则 所在的象限是( ? ? 2 2 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [答案] C

α α α α [解析] ∵α 为第二象限角,∴ 为第一或三象限角,∵?cos2?=-cos ,∴cos ≤0, ? ? 2 2 2 ∴选 C. →→ 7.已知点 A(2,-1),B(4,2),点 P 在 x 轴上, 当PA· 取最小值时,P 点的坐标是( PB A.(2,0) B.(4,0) 10 C.? 3 ,0? ? ? D.(3,0) [答案] D → → → → [解析] 设 P(x,0),则PA=(2-x,-1),PB=(4-x,2),PA· =(2-x)(4-x)-2=x2- PB 6x+6=(x-3)2-3,当 x=3 时,取最小值-3,∴P(3,0). → → → → → 8. 是△ABC 所在平面内一点, O 且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|, 则△ABC 为( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 [答案] B [解析] → → → → → → → → ∵|OB-OC|=|OC+OB-2OA|,∴|CB|=|AB+AC|,由向量加法的平行四边形 ) )

→ → 法则知,以 AB、AC 为邻边的平行四边形两对角线长度相等,∴AB⊥AC. 9.如图是函数 f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)一个周期的图象,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5) +f(6)的值等于( )

A. 2
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B. 2 2

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C.2+ 2 D.2 2 [答案] A 2π π [解析] 由图知:T=8= ,∴ω= , ω 4 π 又 A=2,∴f(x)=2sin x, 4 π 2π 3π 4π 5π 6π 3π ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+(5)+f(6)=2sin +sin +sin +sin +sin +sin =2sin 4 4 4 4 4 4 4 = 2. [点评] 观察图象可知 f(x)的图象关于点(4,0)中心对称,故 f(3)+f(5)=0,f(2)+f(6)=0, 又 f(4)=0,故原式=f(1)= 2. π 1 4π 1 10.已知 y=Asin(ωx+φ)在同一周期内,x= 时有最大值 ,x= 时有最小值- ,则 9 2 9 2 函数的解析式为( )

x π A.y=2sin?3-6? ? ? π 1 B.y= sin?3x+6? ? 2 ? π C.y=2sin?3x-6? ? ? π 1 D.y= sin?3x-6? ? 2 ? [答案] B [解析] π 1 4π 1 1 T 4π π 由条件 x= 时有最大值 ,x= 时有最小值- 可知,A= , = - ,∴T 9 2 9 2 2 2 9 9

2π = ,∴ω=3, 3 π 1 1 ∴y= sin(3x+φ),将?9,2?代入得, ? ? 2 1 1 ?π = sin +φ?, ? 2 2 ?3 π π π ∴ +φ=2kπ+ (k∈Z),∴φ=2kπ+ , 3 2 6 取 k=0 知选 B. → → → 11.设点 O 是面积为 4 的△ABC 内部一点,且有OA+OB+2OC=0,则△AOC 的面积 为( )

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A.2 B.1 1 C. 2 1 D. 3 [答案] B

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→ → → → → → [解析] 如图, OA、 为邻边作?OADB, 以 OB 则OD=OA+OB, 结合条件OA+OB+2OC → → =0 知,OD=-2OC,

→ → → → 设 OD 交 AB 于 M,则OD=2OM,∴OM=-OC, 故 O 为 CM 的中点, 1 1 1 ∴S△AOC= S△CAM= S△ABC= ×4=1. 2 4 4 7 12.已知 sinα+cosα= 13 5 A.- 12 12 B.- 5 5 C. 12 12 5 D.- 或- 5 12 [答案] B 7 7 π [解析] 解法一:∵sinα+cosα= ,0< <1,0<α<π,∴ <α<π, 13 13 2 ∴sinα>0,cosα<0,且|sinα|>|cosα|, ∴tanα<0 且|tanα|>1,故选 B. 60 解法二:两边平方得 sinαcosα=- , 169 ∴ tanα 60 =- ,∴60tan2α+169tanα+60=0, 169 tan2α+1 (0<α<π),则 tanα=( )

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∴(12tanα+5)(5tanα+12)=0, 12 5 ∴tanα=- 或- , 5 12

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7 12 ∵0<α<π,sinα+cosα= >0,∴tanα=- . 13 5

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知扇形的圆心角为 72° ,半径为 20cm,则扇形的面积为________. [答案] 8πcm2 π 2π 2π [解析] ∵72° = ×72= ,∴l= ×20=8π, 180 5 5 1 1 S= l· ×8π×20=80π(cm2). r= 2 2 14.已知 a=(3,4),b=(2,m)且 a 与 b 夹角为锐角,则 m 的取值范围是________. 3 8 [答案] m>- 且 m≠ 2 3 3 [解析] a· b=6+4m>0,∴m>- , 2 2 m 8 又当 a 与 b 同向时, = ,∴m= , 3 4 3 3 8 故 m>- 且 m≠ . 2 3 π π 1 15.集合 A={x|kπ- <x<kπ+ ,k∈Z},B={x|sinx> },则 A∩B=________. 4 4 2 π π 3π 5π [答案] {x| +2kπ<x< +2kπ,k∈Z}∪{x| +2kπ<x< +2kπ,k∈Z} 6 4 4 6 π 5π [解析] B={x| +2kπ<x< +2kπ,k∈Z}. 6 6 如图可求 A∩B.

16.已知 θ 为第三象限角,1-sinθcosθ-3cos2θ=0,则 5sin2θ+3sinθcosθ=________. [答案] 26 5

[解析] ∵1-sinθcosθ-3cos2θ=0,
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∴sin2θ-sinθcosθ-2cos2θ=0, ∴(sinθ-2cosθ)(sinθ+cosθ)=0,

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∵θ 为第三象限角,∴sinθ+cosθ<0, ∴sinθ=2cosθ,∴tanθ=2, 5tan2θ+3tanθ 26 ∴5sin2θ+3sinθcosθ= = . 5 tan2θ+1 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) π 1 17.(本题满分 12 分)已知 cos?θ+2?=- ,求 ? ? 2 cos(θ+π) π 5π sin?2-θ?[cos(3π-θ)-1] cos(-θ)· cos(π-θ)+sin?θ+ 2 ? ? ? ? ? π 1 1 [解析] ∵cos?θ+2?=- ,∴sinθ= , ? ? 2 2 -cosθ cosθ 原式= + cosθ(-cosθ-1) cosθ· (-cosθ)+cosθ = 1 1 2 + = 2 =8. 1+cosθ 1-cosθ sin θ + cos(θ-2π) 的值.

18.(本题满分 12 分)已知 A(-1,2),B(2,8). 2→ → 1→ → → (1)若AC= AB,DA=- AB,求CD的坐标; 3 3 → → → → (2)设 G(0,5),若AE⊥BG,BE∥BG,求 E 点坐标. → → 1→ [解析] (1)∵AB=(3,6),AC= AB=(1,2), 3 2→ → DA=- AB=(-2,-4), 3 → ∴C(0,4),D(1,6),∴CD=(1,2). → → → → → (2)设 E(x,y),则AE=(x+1,y-2),BE=(x-2,y-8),∵BG=(-2,-3),AE⊥BG, → → BE∥BG,
?-2(x+1)-3(y-2)=0 ? ∴? ,∴ ? ?-3(x-2)+2(y-8)=0

?x=-13 ? 32 ?y=13

22 .

22 32 ∴E 点坐标为?-13,13?. ? ? → 19.(本题满分 12 分)在?ABCD 中,点 M 在 AB 上, AM=3MB,点 N 在 BD 上,且BN 且 → =λBD,C、M、N 三点共线,求 λ 的值.
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→ → → [证明] 设AB=e1,AD=e2,则BD=e2-e1, → → → 1→ 1 → → BN=λBD=λ(e2-e1),MB= AB= e1,BC=AD=e2, 4 4 → → → ∴MC=MB+BC 1 = e1+e2, 4 1 → → → 1 MN=MB+BN= e1+λ(e2-e1)=λe2+?4-λ?e1, ? ? 4 → → ∵M、N、C 共线,∴MN与MC共线, 1 -λ 4 λ 1 ∵e1 与 e2 不共线,∴ = ,∴λ= . 1 1 5 4 π 5 20. (本题满分 12 分)是否存在实数 a, 使得函数 y=sin2x+acosx-1+ a 在闭区间?0,2? ? ? 8 上最大值为 1?若存在,求出对应的 a 值,若不存在,说明理由. [解析] y=-cos2x+acosx+ a a2 5a =-(cosx- )2+ + , 2 4 8 π ∵0≤x≤ ,∴0≤cosx≤1, 2 ∵最大值为 1, 5a 8

?0≤2≤1 ∴(Ⅰ)? a 5a ? 4 + 8 =1
a
2

?2<0 或(Ⅱ)? 5a ? 8 =1
a

?2>1 或(Ⅲ)? 5a ?-1+a+ 8 =1
a



由(Ⅰ)解得 a= ∴a= 89-5 . 4

89-5 ,(Ⅱ)(Ⅲ)无解, 4

[点评] 此类问题一般把 cosx(或 sinx)看成未知数整理为二次函数,然后由 x 的范围, 得出 cosx(或 sinx)的取值范围 A 后,分为①A 在对称轴左侧(或右侧),用单调性讨论;②对 称轴在 A 内,在顶点处取得最值.试一试解答下题: π 3 是否存在实数 λ,使函数 f(x)=-2sin2x-4λcosx+1?0≤x≤2?的最小值是- ?若存在, ? ? 2 求出对应的 λ 值,若不存在,试说明理由. 5 1 答案为 λ= 或 . 8 2

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21.(本题满分 12 分)

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(1)角 α 的终边经过点 P(sin150° ,cos150° ),求 tanα. (2)角 α 的终边在直线 y=-3x 上,求 sinα、cosα. 3 - 2 1 3 [解析] (1)∵P? ,- ?,∴tanα= =- 3. 1 2? ?2 2 (2)在角 α 终边上任取一点 P(x,y),则 y=-3x, P 点到原点距离 r= x2+y2= 10|x|, y -3x 3 10 当 x>0 时,r= 10x,∴sinα= = =- , r 10 10x x x 10 cosα= = = , r 10 10x y 3 10 当 x<0 时,r=- 10x,∴sinα= = , r 10 x 10 cosα= =- . r 10 π 22.(本题满分 14 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的一段图象如图所示. 2 (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)的单调减区间,并指出 f(x)的最大值及取到最大值时 x 的集合;

(3)把 f(x)的图象向左至少平移多少个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数? 3 π 15π [解析] (1)由图知 A=3, T=4π- = , 4 4 4 2 2 ∴T=5π,∴ω= ,∴f(x)=3sin?5x+φ?, ? ? 5 8π ∵过(4π,-3),∴-3=3sin? 5 +φ?, ? ? ∴ 8π π 21π +φ=2kπ- ,∴φ=2kπ- , 5 2 10

2 π π π ∵|φ|< ,∴φ=- ,∴f(x)=3sin?5x-10?. ? ? 2 10 π 2 π 3π (2)由 2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ 得, 2 5 10 2
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3π 5kπ+ ≤x≤5kπ+4π (k∈Z), 2

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3π ∴函数 f(x)的单调减区间为?5kπ+ 2 ,5kπ+4π? ? ? 函数 f(x)的最大值为 3,取到最大值时 x 的集合为 {x|x=5kπ+ 3π ,k∈Z}. 2

(k∈Z).

2x π (3)解法一:f(x)=3sin? 5 -10? ? ? 2x 3π π 2x π =3cos?2-? 5 -10??=3cos? 5 - 5 ? ? ? ? ?

? ?

?

3π 2 =3cos?5?x- 2 ??, ? ?

?

3π 故至少须左移 个单位才能使所对应函数为偶函数. 2 2x π 2 π π 5kπ 3π 解法二:f(x)=3sin? 5 -10?的图象的对称轴方程为 x- =kπ+ ,∴x= + ,当 k ? ? 5 10 2 2 2 3π 3π =0 时,x= ,k=-1 时,x=-π,故至少左移 个单位. 2 2 2x π π 3π 解法三:函数 f(x)在原点右边第一个最大值点为 - = ,∴x= ,把该点左移到 y 5 10 2 2 3π 轴上,需平移 个单位. 2 π 解法四: 观察图象可知, 欲使函数图象左移后为偶函数, 由其周期为 5π 可知, ? 4 ,0? 须把

?

?

3π ? 5π ? ?5π ? 点变为?- ,0?或把点(4π,-3)变为? ,-3?等,可知应左移 个单位. 4 2 2 ? ? ? ?

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