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2014届江苏省高考数学一轮复习常考问题17


常考问题 17
[真题感悟]

计数原理、随机变量及其分布列

(2012· 江苏卷)设 ξ 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条, 当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ 的值为两条棱之间的距离;当两 条棱异面时,ξ=1. (1)求概率 P(ξ=0); (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ). 解 (1)若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个,过任意 1 个顶
2 8C3 对相交棱,因此

点恰有 3 条棱,所以共有

8C2 4 3 8×3 P(ξ=0)= C2 = 66 =11. 12

(2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2,其中距离为 2的共有 6 对,故 6 1 P(ξ= 2)=C2 =11, 12 4 1 6 于是 P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ= 2)=1-11-11=11, 所以随机变量 ξ 的分布列是 ξ P(ξ) 0 4 11 1 6 11 2 1 11

6 1 6+ 2 因此 E(ξ)=1×11+ 2×11= 11 . [考题分析] 高考对本内容的考查主要有: (1)分类加法计算原理、分步乘法计数原理,B 级要求. (2)排列与组合,B 级要求. (3)离散型随机变量及其分布列、超几何分布、条件概率及相互独立事件, A 级要求. (4)n 次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的均值与方差,B 级要求.


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