kl800.com省心范文网

2011年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)(含答案)


年全国高中数学联合竞赛(四川初赛) 2011 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
(5 月 15 日下午 14:30——16:30) 5 14: ——1
题 目 得 分 评卷人 复核人 考生注意: 本试卷共三大题( 个小题) ,全卷满分 考生注意:1、本试卷共三大题(16 个小题) 全卷满分 140 分. , 圆珠笔或钢笔作答. 计算器、通讯工具不准带入考场. 2、用黑(蓝)色圆珠笔或钢笔作答. 3、计算器、通讯工具不准带入考场. 4、解题书写不要超过密封线. 解题书写不要超过密封线. 选择题(本题满分 一、选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 得 分 评卷人 小题,每题均给出( 、 、 、 (B (C (D 四个结论, 本题共有 6 小题,每题均给出(A)(B)(C)(D)四个结论, 其中有且仅有一个是正确的. 其中有且仅有一个是正确的. 请将正确答案的代表字母填在题后的 括号内. 不选、 括号内. 每小题选对得 5 分;不选、选错或选出的代表字母超过一 不论是否写在括号内) ,一律得 个(不论是否写在括号内) 一律得 0 分. , 一 二 三 13 14 15 16 总成绩

1、双曲线

x2 y2 ? = 1 的左、右准线 l1、l2 将线段 F1F2 三等分(其中 F1 、 F2 分别为双曲线 a 2 b2

的左、右焦点) ,则该双曲线的离心率 e 等于 A、

6 2

B、 3

C、

3 3 2

D、 2 3

【答】(

)

2、已知三次函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d , ( a, b, c, d ∈ R ), 命题 p : y = f ( x ) 是 R 上的单调函数; 命题 q : y = f ( x ) 的图像与 x 轴恰有一个交点. 则 p 是 q 的( ) B、必要但不充分条件 D、既不充分也不必要条件 【答】( )

A、充分但不必要条件 C、充要条件

3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、 石头、布”中的一种手势,且是相互独立的.设在一局中甲赢的人数为 ξ ,则随机变量 ξ 的数学期望 Eξ 的值为( A、 ) C、

1 3

B、

4 9

2 3

D、1 ) A、 3

【答】( B、 3

) C、2 3

4、 函数 f ( x ) = D、 3 3

x ? 5 + 24 ? 3 x 的最大值为 (
【答】( )

5、如图,边长为 2 的正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的面
2011 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 1 页 (共 6 页

F N A M D

E

B C

得 分

评卷人

成 60°角,M、N 分别是线段 AC 和 BF 上的点,且 AM = FN , 则线段 MN 的长的取值范围是 A、 [ , 2]

1 2

B、 [1, 2] 【答】( )

C、 [ 2, 2]

D、 [ 3, 2]

6、设数列 {a n } 为等差数列,数列 {bn } 满足: b1 = a1 , b2 = a 2 + a3 ,

b3 = a 4 + a 5 + a 6 ,……,若 lim
n →∞

bn = 2 ,则数列 {a n } 的公差 d 为( n3
D、4



A、

1 2

B、1

C、2

【答】(

)

二、填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 填空题( 得 分 评卷人 小题,要求直接将答案写在横线上. 本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上. 7、已知实数 x 满足 | 2 x + 1 | + | 2 x ? 5 |= 6 ,则 x 的取值范围是 8、设平面内的两个非零向量 a 与 b 相互垂直,且 | b |= 1 , 则使得向量 a + mb 与 a + (1 ? m)b 互相垂直的所有实数 m 之和为 9、记实数等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S10 = 10, S30 = 70 ,则 S 40 = 10、设 x 为实数,定义 ?x ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ?π ? = 4 , ?? π ? = ?3 . 关于实数 x 的方程 ?3 x + 1? = 2 x ?
n



. .

1 的全部实根之和等于 2
n → +∞



11、已知 (1 + 3 ) = a n + bn 3 ,其中 a n , bn 为整数,则 lim

an = bn



12、已知三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,且 SA=SB=SC=AB=2, 设 S、A、B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离为 . 解答题( 三、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) 13、已知 m > 0 ,若函数 f ( x ) = x + 100 ? mx 的最大值为 g (m) , 得 分 评卷人 求 g (m) 的最小值.

2011 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 2 页 (共 6 页

14、已知函数 f ( x) = 2(sin x + cos x) + m(sin x + cos x)
4 4

4

在 x ∈ [0,

π
2

] 有最大值 5,求实数 m 的值.

得 分

评卷人

15、抛物线 y = x 2 与过点 P ( ?1, ?1) 的直线 l 交于 P 、 P2 两点. 1 (I)求直线 l 的斜率 k 的取值范围;

(II) 求在线段 P P2 上满足条件 1

1 1 2 + = 的点 Q 的轨迹方程. PP PP2 PQ 1

得 分

评卷人

16 、 已 知 m 为 实 数 , 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 满 足 :

Sn =

9 4 64 a n ? × 3 n + m ,且 a n ≥ 对任何的正整数 n 恒成立. 8 3 3
n

3k 3 求证:当 m 取到最大值时,对任何正整数 n 都有 ∑ < . 16 k =1 S k

2011 年高中数学联赛四川区初赛试题
2011 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 3 页 (共 6 页

参考答案及评分标准
说明: 说明: 1、评阅试卷时,请依据评分标准.选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档;其它各题的 分两档; 、评阅试卷时,请依据评分标准.选择题和填空题只设 评阅,请严格按照评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次. 评阅,请严格按照评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次. 2、如果考生的解答题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评阅时可参 、如果考生的解答题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确, 考本评分标准适当划分档次评分, 分一个档次,不要再增加其它中间档次. 考本评分标准适当划分档次评分,5 分一个档次,不要再增加其它中间档次. 选择题(本 一、选择题 本大题满分 30 分,每小题 5 分) 1、B 2、A 3、C 4、C 5、B 6、D 填空题( 二、填空题(本大题满分 30 分,每小题 5 分) 7、 [?

1 5 , ] 2 2

8、1

9、150

10、 ? 4

11、 3

12、

3 3

三、解答题(本大题满分 80 分,每小题 20 分) 解答题(本大题 13、已知 m > 0 ,若函数 f ( x ) = x + 100 ? mx 的最大值为 g (m) ,求 g (m) 的最小值. 解:令 t = 100 ? mx ,则 x =

100 ? t 2 , m

(5 分)

100 ? t 2 1 m 100 m + t = ? (t ? ) 2 + + , ∴y= m m 2 m 4
∴当 t =

m 100 m 100 m 时, y 有最大值 + ,即 g (m) = + . 2 m 4 m 4

(10 分)

∴ g ( m) =

100 m 100 m + ≥2 × = 10 , m 4 m 4

(15 分)

等号当且仅当 m = 20 时成立, ∴当 m = 20 时, g (m) 有最小值 10. 14、已知函数 f ( x ) = 2(sin 4 x + cos 4 x ) + m(sin x + cos x ) 4 在 x ∈ [0, 求实数 m 的值. 解: f ( x ) = 2(sin 2 x + cos 2 x ) 2 ? 4 sin 2 x cos 2 x + m(sin x + cos x ) 4 (20 分)

π
2

] 有最大值 5,

= 2 ? (2 sin x cos x) 2 + m(sin x + cos x) 4
令 t = sin x + cos x =
2

(5 分)

2 sin( x +

π
4

) ∈ [1, 2 ] ,

则 2 sin x cos x = t ? 1 ,从而 f ( x ) = 2 ? (t 2 ? 1) 2 + mt 4 = ( m ? 1)t 4 + 2t 2 + 1 (10 分) 令 u = t 2 ∈ [1, 2] ,由题意知 g (u ) = ( m ? 1)u 2 + 2u + 1 在 u ∈ [1, 2] 有最大值 5. 当 m ? 1 = 0 时, g (u ) = 2u + 1 在 u = 2 时有最大值 5,故 m = 1 符合条件; (15 分)

2011 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 4 页 (共 6 页

当 m ? 1 > 0 时, g (u ) max ≥ g ( 2) > 2 × 2 + 1 = 5 ,矛盾! 当 m ? 1 < 0 时, g (u ) < 2u + 1 ≤ 5 ,矛盾! 综上所述,所求的实数 m = 1 . 15、抛物线 y = x 2 与过点 P ( ?1, ?1) 的直线 l 交于 P 、 P2 两点. 1 (I)求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (II) 求在线段 P P2 上满足条件 1 (20 分)

1 1 2 + = 的点 Q 的轨迹方程. PP PP2 PQ 1
2

解: (I)直线 l 的方程为 y + 1 = k ( x + 1) ,与抛物线方程 y = x 联立 得?

? y = x2 ? y + 1 = k ( x + 1)

,消去 y 得 x 2 = k ( x + 1) ? 1 ,即 x 2 ? kx ? ( k ? 1) = 0 ,

由 ? = ( ?k ) 2 + 4( k ? 1) > 0 ,解得 k > ?2 + 2 2 或 k < ?2 ? 2 2 . (II)设 Q 点坐标为 ( x, y ) , P 点坐标为 ( x1 , y1 ) , P2 点坐标为 ( x2 , y2 ) , 1 则 x1 + x2 = k , x1 ? x2 = ?( k ? 1) ,

(5 分)

又 P 、P2 、Q 都在直线 l 上, 所以有 y + 1 = k ( x + 1) ,y1 + 1 = k ( x1 + 1) ,y2 + 1 = k ( x2 + 1) , 1 由

1 1 2 1 1 2 + = 得 + = 2 2 2 2 2 PP PP2 PQ 1 ( x1 + 1) + ( y1 + 1) ( x2 + 1) + ( y2 + 1) ( x + 1) + ( y + 1) 2 1 1 2 + = | x1 + 1| | x2 + 1| | x + 1|
(10 分)

化简得

又 ( x1 + 1)( x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 = ?( k ? 1) + k + 1 = 2 > 0 ,点 Q 在线段 P P2 上, 1 所以 x1 + 1, x2 + 1, x + 1 同号.则

1 1 2 + = x1 + 1 x2 + 1 x + 1
y = k ( x + 1) ? 1 = 3k ? 2 k +2
②,

因此 x = 2

x1 x2 + x1 + x2 + 1 2?k ?1 = ①, x1 + x2 + 2 k +2

2 ? 2x ?2 2 ? 2x x +1 代入②得 y = = 1 ? 2 x ,即 2 x ? y + 1 = 0 , (15 分) 由①得 k = 2 ? 2x x +1 +2 x +1 4 又因为 k > ?2 + 2 2 或 k < ?2 ? 2 2 ,所以 x = ? 1 的取值范围是 k +2 3

? 2 ? 1 < x < 2 ? 1 且 x ≠ ?1 ,
2011 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 5 页 (共 6 页

因此点 Q 的轨迹方程是 2 x ? y + 1 = 0 ( ? 2 ? 1 < x <

2 ? 1 且 x ≠ ?1 ) (20 分) .
9 4 an ? × 3n + m , 8 3

16、已知 m 为实数,数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,满足: S n = 且 an ≥

64 对任何的正整数 n 恒成立. 3
n

3k 3 求证:当 m 取到最大值时,对任何正整数 n 都有 ∑ < . 16 k =1 S k 9 a1 ? 4 + m 得 a1 = 8(4 ? m) , 8 9 4 n 9 4 n +1 当 n ≥ 1 时, S n = a n ? × 3 + m , S n +1 = a n +1 ? × 3 + m , 8 3 8 3 9 9 8 n 64 n ∴ a n +1 = a n +1 ? a n ? × 3 ,即 a n +1 = 9a n + ×3 , (5 分) 8 8 3 3 32 n+1 32 × 3 = 9( a n + × 3 n ) ∴ a n +1 + 9 9 32 n 32 ∴ an + × 3 = (a1 + ) × 9 n ?1 , 9 3 8 32 即 an = (16 ? 3m) × 9 n ? × 3 n (10 分) 27 9 8 32 64 由条件知, (16 ? 3m) × 9 n ? × 3 n ≥ 对任何正整数 n 恒成立, 27 9 3 8 64 1 32 1 即 (16 ? 3m) ≥ × + × n 对任何正整数 n 恒成立, 27 3 9n 9 3 64 1 32 1 64 1 32 1 96 由于 × n + × n 在 n = 1 时取最大值 × + × = , 3 9 9 3 3 9 9 3 27 8 96 4 4 (16 ? 3m) ≥ 于是 ,解得 m ≤ .由上式知道 m 的最大值为 . (15 分) 27 27 3 3 4 32 n 32 n 当 m = 时, a n = ×9 ? ×3 , 3 9 9 9 32 n 32 n 4 4 于是 S n = ( × 9 ? × 3 ) ? × 3n + 8 9 9 3 3 4 4 n +1 = [3 × (3 n ) 2 ? 4 × 3 n + 1] = (3 ? 1)(3 n ? 1) , 3 3
证明:当 n = 1 时,由 a1 = 所以

∑S
k =1

n

3k
k

=

3 n 3k 3 n 1 1 ∑ (3k +1 ? 1)(3k ? 1) = 8 ∑ ( 3k ? 1 ? 3k +1 ? 1) 4 k =1 k =1
(20 分)

3 1 1 3 1 3 = ( ? n +1 ) < × = . 8 3 ? 1 3 ? 1 8 2 16

2011 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 6 页 (共 6 页


2011年全国高中数学联赛四川初赛试题及答案.pdf

2011年全国高中数学联赛四川初赛试题及答案 - 2011 年全国高中数学联赛 四川初赛试题详细解答 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、...

2011年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)(含答案).doc

年全国高中数学联合竞赛(四川初赛) 2011 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)(5 月 15 日下午 14:3016:30) 5 14: 1三 题目得分 评卷人 复核人 ...

2011年全国高中数学联合竞赛四川省预赛试题及答案_图文.doc

2011年全国高中数学联合竞赛四川省预赛试题及答案 - Http://www.f

2015年全国高中数学联合竞赛试卷及答案(四川初赛).doc

2015年全国高中数学联合竞赛试卷及答案(四川初赛) - 2015 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛) (5 月 17 日下午 14:3016:30) 题目得分 评卷人 复核人 ...

2017年全国高中数学联赛(四川初赛)试题及答案.doc

2017年全国高中数学联赛(四川初赛)试题及答案 - 2017 年全国高中联合竞赛(四川初赛)试题 一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1....

全国高中数学联合竞赛(四川初赛)试题.doc

全国高中数学联合竞赛(四川初赛)试题 - 全国高中数学联合竞赛(四川初赛) 考生

全国高中数学联合竞赛(四川初赛)试题.doc

全国高中数学联合竞赛(四川初赛)试题 - 全国高中数学联合竞赛(四川初赛) 考生

全国高中数学联合竞赛(四川初赛)试题.doc

全国高中数学联合竞赛(四川初赛)试题 - 全国高中数学联合竞赛(四川初赛) 考生

全国高中数学联合竞赛(四川初赛)试题.doc

全国高中数学联合竞赛(四川初赛)试题 - 全国高中数学联合竞赛(四川初赛) 考生

2016年全国高中数学联赛(四川)初赛试题及答案.doc

2016年全国高中数学联赛(四川)初赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。数学竞赛 四川 预赛 2016 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)(5 月 22 日下午 14:30...

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案(1)_图文.doc

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案(1)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2011 年全国高中数学联赛四川省预赛 2011 年全国高中数学联赛四川省预赛由四川省数学...

2011年全国高中数学联赛(四川预赛)详细解答.doc

2011年全国高中数学联赛(四川预赛)详细解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2011 年全国高中数学联赛 四川初赛试题详细解答一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 ...

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案(A卷).pdf

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案(A卷) - 2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案(A 卷) 说明: 1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准.填空题只...

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题word版含参考答案.doc

2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题word版含参考答案 - 2011 年全国高中数学联赛四川初赛试题(详细解答) 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 ...

2015年全国高中数学联合竞赛试卷及答案(四川初赛).doc

2015年全国高中数学联合竞赛试卷及答案(四川初赛) - 2015 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛) (5 月 17 日下午 14:3016:30) 题目得分 评卷人 复核人 ...

2012年全国高中数学联赛(四川)赛区初赛试卷.doc

2012年全国高中数学联赛(四川)赛区初赛试卷 - 2012 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛) 一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 2 1、...

2011年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准(A卷).txt

2011年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准(A卷)2011年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准(A卷)隐藏>> 2011年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案...

2012年全国高中数学联赛四川赛区预赛试题及答案.pdf

2012年全国高中数学联赛四川赛区预赛试题及答案 - 2012 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛) 一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、...

2010年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案.doc

2010年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。《

2012年全国高中数学联赛(四川)赛区初赛试卷.doc

2012年全国高中数学联赛(四川)赛区初赛试卷 - 2012 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛) 一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 2 1、...