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江苏省扬州中学2013-2014学年高二下学期4月阶段测试 数学(试验班) Word版含答案


江苏省扬州中学 2013—2014 学年度第二学期阶段测试试卷

高 二 数 学 (创 新)
本试卷考试时间为 120 分钟,总分为 160 分 一、填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,总分 70 分) 1. 命题“ ?x ? R , sin x≤1 ”的否定是“ ”. 2. 设复数 z ?
2?i ( i 为虚数单位) ,则 z 的虚部是 (1 ? i) 2

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2014.04



3. 观察下列不等式:1> ,1+ + >1,1+ + +…+ > ,1+ + +…+ 由此猜测第 n 个不等式为 4. 函数 的定义域是 (n∈N ) . .
*

>2,1+ + +…+

> ,…,

5. 幂函数 f(x)=x (α∈R) 过点 (2, 2) ,则 f(4)=

α



6.将 3 名男生和 4 名女生排成一行,甲、乙两人必须站在两头,则不同的排列方法共有 种。 (用数字作答)

7. 用数学归纳法证明 1+a ? a ? a ?
2 3

? a n?1 ?

1 ? a n?2 (a ? 1, n ? N * ) ,在验证 n=1 成立时,等式左边是 1? a

8. 某医院有内科医生 5 名,外科医生 6 名,现要派 4 名医生参加赈灾医疗队,如果要求内科医生和外科医 生中都有人参加,则有 种选法(用数字作答) .

9.在平面直角坐标系中,设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0, a), B(b,0), C (c,0) ,点 P(0,p)在线段 AO 上 (异于端点) , 设 a, b, c, p 均为非零实数, 直线 BP, CP 分别交 AC, AB 于点 E , F , 一同学已正确算的 OE 的方程: ?

?1 1? ? 1 1? ? ?x ? ? ? ? ? ? y ? 0 ,请你求 OF 的方程: ( ?b c? ? p a?
2

)x?? ?

? 1 1? ? ? ?y ? 0 ? p a?

10. 如果不等式 x ? x ?1 ? a 的解集是区间 ? ?3,3? 的子集,则实数 a 的取值范围是

? f ( x), f ( x) ? K , 5 11. 定义函数 f K ( x) ? ? (K 为给定常数) ,已知函数 f ( x) ? x2 ? 3x2 ln x ,若对于任意的 K , f ( x ) ≤ K 2 ? x ? (0, ??) ,恒有 f K ( x) ? K ,则实数 K 的取值范围为 .
2 2

12. 不等式 a +8b ≥λb(a+b)对于任意的 a,b∈R 恒成立,则实数 λ 的取值范围为



? b ? 1 ? 0 有实数解},设 3 4 x?n D= M ? N , 且定义在 R 上的奇函数 f ( x) ? 2 在 D 内没有最小值, 则 m 的取值范围是 . x ?m
13.已知:M={a|函数 y ? 2sin ax 在[ ?

? ?
,

]上是增函数},N={b|方程 3

?| x ?1|

14.设 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 ?1.4? ? 1, ??1.1? ? ?2 ,若函数 f ? x ? ? ,则函数 g ? x ? ? ? ? f ? x ?? ??? ? f ? ? x ?? ? 的值域为 .

1 ? ex 1 ? ex

二、解答题(总分 90 分) 15.(14 分) 已知命题 p : ( x ? 1)( x ? 5) ? 0 ,命题 q :1 ? m ? x ? 1 ? m(m ? 0) 。 (1)若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围; (2)若 m=5, “ p ? q ”为真命题, “ p ? q ”为假命题,求实数 x 的取值范围。 16.(14 分)已知关于 x 的方程:x ﹣(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根 b. (1)求实数 a,b 的值. (2)若复数 z 满足| ﹣a﹣bi|﹣2|z|=0,求 z 为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的值.
2

17. (15 分)设函数

的定义域为 E,值域为 F.

(1)若 E={1,2},判断实数 λ=lg 2+lg2lg5+lg5﹣ (2)若 E={1,2,a},F={0, },求实数 a 的值. (3)若

2

与集合 F 的关系;

,F=[2﹣3m,2﹣3n],求 m,n 的值.

18. (15 分)定义在[﹣1,1]上的奇函数 f(x)满足 f(1)=2,且当 a,b∈[﹣1,1],a+b≠0 时,有 . (1)试问函数 f(x)的图象上是否存在两个不同的点 A,B,使直线 AB 恰好与 y 轴垂直,若存在,求出 A,B 两点的坐标;若不存在,请说明理由并加以证明. (2)若 对所有 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求实数 m 的取值范围.

1 1 ? a an?1 1 1 * 19. (16 分) 设正整数数列 ?an ? 满足: a2 ? 4 ,且对于任何 n ? N ,有 2 ? ? n ? 2? . an ?1 1 ? 1 an n n ?1 (1)求 a1 , a3 ;
(2)求数列 ?an ? 的通项 an .

0) , B( x2 , 20.(16 分)设函数 f ( x) ? e x ? ax ? a(a ? R) ,其图象与 x 轴交于 A( x1 , 0) 两点,且 x1<x2.

(1)求 a 的取值范围; (2)证明: f ?

?

x1 x2 ? 0 ( f ?( x) 为函数 f ( x) 的导函数) ;

?

(3)设点 C 在函数 y ? f ( x) 的图象上,且△ABC 为等腰直角三角形,记 值.

x2 ? 1 ? t ,求 (a ? 1)( t ?1) 的 x1 ? 1

命题、校对:张茹、王朝和 ??????密?????封?????线?????内?????不?????要?????答?????题??????

高二数学阶段测试答题纸
一、填空题: 1. 2. 3. 4.

2014.4

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

姓名_____________ 学号

二、解答题 15.解:

高二___________

16.解:

17.解:

18.解:

请将第 19、20 题做在反面

高二数学阶段测试答案
1. ?x ? R , sin x ? 1 2. -1 3. 1+ + +…+ > 7. 1 ? a ? a
3 11. [ e 3 , ?? ) 2
2

4. { 8. 310 9.

}

5. 2 10. ? ??,5?

6.240

2

1 1 ? c b

12. [﹣8,4]

13. m>

3 2

14

15.解: (1)p 是 q 的充分条件,

?

[? 1, 5? ] ? [m 1 ?, m 1 )
(5,6)

则实数 m 的取值范围为 (4, ??)

(2) [?4, ?1)

16. 2 解答: 解: (1)∵b 是方程 x ﹣(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根, 2 ∴(b ﹣6b+9)+(a﹣b)i=0, ∴ 解之得 a=b=3.

(2)设 z=x+yi(x,y∈R) ,由| ﹣3﹣3i|=2|z|, 2 2 2 2 得(x﹣3) +(y+3) =4(x +y ) , 2 2 即(x+1) +(y﹣1) =8, ∴z 点的轨迹是以 O1(﹣1,1)为圆心,2 为半径的圆,如图所示, 如图,

当 z 点在 OO1 的连线上时,|z|有最大值或最小值, ∵|OO1|= , 半径 r=2 , ∴当 z=1﹣i 时. |z|有最小值且|z|min= . 17. 解答: 解: (1)∵ ,∴当 x=1 时,f(x)=0;当 x=2 时,f(x)= ,

∴F={0, }.

∵λ=lg 2+lg2lg5+lg5﹣16 ∴λ∈F.…(5 分)

2

=lg2(lg2+lg5)+lg5﹣ =lg2+lg5﹣ =lg10﹣ = .

(2)令 f(a)=0,即

,a=± 1,取 a=﹣1;

令 f(a)= ,即

,a=± 2,取 a=﹣2,

故 a=﹣1 或﹣2.…(9 分) (3)∵ 是偶函数,且 f'(x)= >0,

则函数 f(x)在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数. ∵x≠0,∴由题意可知: 或 0< .


2

,则有

,即



整理得 m +3m+10=0,此时方程组无解;

若 0<

,则有

,即



∴m,n 为方程 x ﹣3x+1=0,的两个根.∵0< ∴m= 18. ,n= .…(16 分)

2

,∴m>n>0,

解答: 解: (1)假设函数 f(x)的图象上存在两个不同的点 A,B,使直线 AB 恰好与 y 轴垂直, 则 A、B 两点的纵坐标相同,设它们的横坐标分别为 x1 和 x2,且 x1<x2. 则 f(x1)﹣f(x2)=f(x1 )+f(﹣x2)= [x1+(﹣x2)].

由于

>0,且[x1+(﹣x2)]<0,∴f(x1)﹣f(x2)<0,

故函数 f(x)在[﹣1,1]上是增函数. 这与假设矛盾,故假设不成立,即 函数 f(x)的图象上不存在两个不同的点 A,B,使直线 AB 恰 好与 y 轴垂直. (2)由于 对所有 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,
2

∴故函数 f(x)的最大值小于或等于 2(m +2am+1) . 由于由(1)可得,函数 f(x)是[﹣1,1]的增函数,故函数 f(x)的最大值为 f(1)=2, 2 2 ∴2(m +2am+1)≥2,即 m +2am≥0. 令关于 a 的一次函数 g(a)=m +2am,则有
2



解得 m≤﹣2,或 m≥2,或 m=0,故所求的 m 的范围是{m|m≤﹣2,或 m≥2,或 m=0}.

19. 解: (1)据条件得 2 ? 当 n ? 1 时,由 2 ? 解得

?1 1 1 ? 1 ? n(n ? 1) ? ? ? ? 2? an?1 an ? an an?1 ?



?1 1? 1 2 2 1 1 1 ? 2 ? ? ? ? 2 ? ,即有 2 ? ? ? ? 2 ? , 4 a1 4 a1 a2 a1 ? a1 a2 ?

2 8 ? a1 ? .因为 a1 为正整数,故 a1 ? 1 . 3 7 ?1 1 ? 1 1 当 n ? 2 时,由 2 ? ? 6? ? ? ? 2 ? , a3 4 ? 4 a3 ?
解得 8 ? a3 ? 10 ,所以 a3 ? 9 . (2)方法一:由 a1 ? 1 , a2 ? 4 , a3 ? 9 ,猜想: an ? n2 . 下面用数学归纳法证明. 1 当 n ? 1 , 2 时,由(1)知 an ? n2 均成立; 2 假设 n ? k (k ≥ 2) 成立,则 ak ? k 2 ,则 n ? k ? 1 时 由①得 2 ?

? 1 1 1 ? 1 ? k (k ? 1) ? 2 ? ? ? 2? 2 ak ?1 ak ?1 ? k ?k

k 3 (k ? 1) k (k 2 ? k ? 1) ? 2 ? ak ?1 ? k ? k ?1 k ?1 2 (k ? 1) 1 ? (k ? 1)2 ? 2 ? ak ?1 ? (k ? 1) 2 ? k ?1 k ?1
因为 k ≥ 2 时, (k 2 ? 1) ? (k ? 1)2 ? k (k ? 1)(k ? 2) ≥ 0 ,所以

(k ? 1) 2 ? ? 0, 1? . k 2 ?1

k ? 1≥ 1 ,所以

1 ? ? 0, 1? . k ?1 又 ak ?1 ? N* ,所以 (k ? 1)2 ≤ ak ?1 ≤ (k ? 1)2 .
故 ak ?1 ? (k ? 1)2 ,即 n ? k ? 1 时, an ? n2 成立. 由 1 ,2 知,对任意 n ? N , an ? n2 .
*

(2)方法二: 由 a1 ? 1 , a2 ? 4 , a3 ? 9 ,猜想: an ? n2 . 下面用数学归纳法证明. 1 当 n ? 1 , 2 时,由(1)知 an ? n2 均成立; 2 假设 n ? k (k ≥ 2) 成立,则 ak ? k 2 ,则 n ? k ? 1 时

? 1 1 1 ? 1 ? k (k ? 1) ? 2 ? ? ? 2? 2 ak ?1 ak ?1 ? k ?k 1 k ? 1 k (k ? 1) 1 即2? ? ? ? 2? 2 ak ?1 k ak ?1 k
由①得 2 ? 由②左式,得



k ?1 k 2 ? k ?1 ,即 (k ?1)ak ?1 ? k 3 ? k 2 ? k ,因为两端为整数, ? k ak ?1
3 2 2

则 (k ?1)ak ?1 ≤ k ? k ? k ?1 ? (k ? 1) (k ?1) .于是 ak ?1 ≤ (k ? 1)2 又由②右式,



k (k ? 1) 2k 2 ? 1 ? k (k ? 1) k 2 ? k ? 1 . ? ? ak ?1 k2 k2

则 (k 2 ? k ? 1)ak ?1 ? k 3 (k ? 1) .

因为两端为正整数,则 (k 2 ? k ? 1)ak ?1 ≥ k 4 ? k 3 ? 1,

k 4 ? k3 ?1 k ? (k ? 1)2 ? 2 所以 ak ?1 ≥ 2 . k ? k ?1 k ? k ?1 又因 k ≥ 2 时, ak ?1 为正整数,则 ak ?1 ≥ (k ? 1)2
据③④ ak ?1 ? (k ? 1) ,即 n ? k ? 1 时, an ? n 成立.
2 2



由 1 ,2 知,对任意 n ? N , an ? n2 .
*

20. 【解】 (1) f ?( x) ? e x ? a . 若 a ≤ 0 ,则 f ?( x) ? 0 ,则函数 f ( x) 是单调增函数,这与题设矛盾.?? 2 分 所以 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? ln a . 当 x ? ln a 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 是单调减函数; x ? ln a 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 是单调增函数; 于是当 x ? ln a 时, f ( x) 取得极小值. ? 4分

0) , B( x2 , 因为函数 f ( x) ? e x ? ax ? a(a ? R) 的图象与 x 轴交于两点 A( x1 , 0) (x1<x2),

所以 f (ln a) ? a(2 ? ln a) ? 0 ,即 a ? e 2 .. 此时,存在 1 ? ln a ,f (1) ? e ? 0 ; 存在 3ln a ? ln a ,f (3ln a) ? a3 ? 3a ln a ? a ? a3 ? 3a 2 ? a ? 0 ,
ln a) 及 (ln a ,? ?) 上的单调性及曲线在 R 上不间断,可知 a ? e 2 为所求取值范 又由 f ( x) 在 (??,

围.
x x2 x1 ? ?e 1 ? ax1 ? a ? 0 , (2)因为 ? x 两式相减得 a ? e ? e . 2 x2 ? x1 ? ?e ? ax2 ? a ? 0 ,

??? 6 分

x1 ? x2 x2 x1 2 x ?x x ?x ?2s ? (es ? e? s )? 记 2 1 ? s(s ? 0) ,则 f ? 1 2 ? e 2 ? e ? e ? e ? ,? 8 分 2 2 x2 ? x1 2s ?

?

?

x1 ? x2

设 g (s) ? 2s ? (es ? e? s ) ,则 g ?(s) ? 2 ? (es ? e? s ) ? 0 ,所以 g (s) 是单调减函数, 则有 g (s) ? g (0) ? 0 ,而 e
x1 ? x2 2

2s

? 0 ,所以 f ?

x ?0. ?x ? 2 ?
1 2

又 f ?( x) ? e x ? a 是单调增函数,且 所以 f ?

x1 ? x2 ? x1 x2 2
???? 11 分

?

x1 x2 ? 0 .

?

1 i ? 1, 2) (3)依题意有 e xi ? axi ? a ? 0 ,则 a( xi ? 1) ? e xi ? 0 ? xi ?( .

于是 e

x1 ? x2 2

? a ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ,在等腰三角形 ABC 中,显然 C = 90°,13 分

所以 x0 ?

x1 ? x2 ? ( x1 ,x2 ) ,即 y0 ? f ( x0 ) ? 0 , 2

由直角三角形斜边的中线性质,可知 所以 y0 ?

x2 ? x1 ? ? y0 , 2

x1 ? x2 x2 ? x1 x ?x ? 0 ,即 e 2 ? a ( x1 ? x2 ) ? a ? 2 1 ? 0 , 2 2 2

所以 a ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? a ( x1 ? x2 ) ? a ? 2

x2 ? x1 ? 0, 2 ( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1) ? 0. 2

即 a ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? a [( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1)] ? 2

x2 ? 1 ?1 x2 ? 1 a x2 ? 1 x1 ? 1 因为 x1 ? 1 ? 0 ,则 a ? 1? ? ?0, x1 ? 1 2 x1 ? 1 2

?

?



x2 ? 1 ? t ,所以 at ? a (1 ? t 2 ) ? 1 (t 2 ? 1) ? 0 , 2 2 x1 ? 1

15 分 ?? 16 分

即 a ? 1 ? 2 ,所以 (a ? 1)(t ? 1) ? 2. t ?1


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