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2017届广州市普通高中毕业班综合测试(一)(理数小题解析)


2017 届广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)小题解析
第Ⅰ卷
一、选择题:本小题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 (1)复数 ?1 ? i ? ?
2

2 的共轭复数是 1? i
(B) 1 ? i (C) ? 1 ? i (D) ? 1 ? i

(A) 1 ? i 答案:B 解析: ?1 ? i ? ?
2

2 = 2i ? 1 ? i ? 1 ? i ,共轭复数为: 1 ? i 1? i

(2)若集合 M ? x x ? 1? , N ? y y ? x , x ? 1 ,则
2

?

?

?

(A) M ? N 答案:C

(B) M ? N

(C) N ? M

(D) M ? N ? ?

解析:集合 M ? x ?1 ? x ? 1? , N ? y 0 ? y ? 1 ,故有 N ? M (3)已知等比数列 ?an ? 的各项都为正数, 且 a3 , a5 ,a4 成等差数列,

?

?

1 2



a3 ? a5 的值是 a4 ? a6 5 ?1 2 3? 5 2
(B)

(A)

5 ?1 2 3? 5 2
3 4

(C) 答案:A

(D)

解析:依题意,有 a3 ? a4 ? a5 ,即 a1q ? a1q ? a1q ,
2

化简,得: q ? q ?1 ? 0 ,解得: q ?
2

1? 5 , 2

a3 ? a5 5 ?1 1 a1q 2 ? a1q 4 1 ? q 2 ? = = 3 5 3 = q a4 ? a6 2 a1q ? a1q q?q

1

(4)阅读如图的程序框图. 若输入 n ? 5 , 则输出 k 的值为 (A) 2 (C) 4 (B) 3 (D) 5

答案:B 解析:解析:第 1 步:n=16,k=2;第 2 步:n=49,k=3; 第 3 步:n=148,k=4;退出循环,k=4。

x2 y 2 ? 1 的一条渐近线方程为 2 x ? 3 y ? 0 , F1 , F2 分别 (5)已知双曲线 C : 2 ? a 4
是双曲线 C 的左,右焦点, 点 P 在双曲线 C 上, 且 PF 1 ? 7 , 则 PF2 等于 (A) 1 答案:D (B) 13 (C) 4 或 10 (D) 1 或 13

解析:解析:依题意,有:

2 2 ? ,所以, a =3,因为 PF1 ? 7 a 3

所以,当点 P 在双曲线的左支时,有|PF2|-|PF1|=2 a ,解得:|PF2|=13 当点 P 在双曲线的右支时,有|PF1|-|PF2|=2 a ,解得:|PF2|=1,故选 D。 (6)如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是 某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图, 且该几何体的体积为

8 , 则该几何体的俯视图可以是 3

答案:D 解析:该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥 P-ABCD,如下图所示, 该几何体的俯视图为 D。

(7)五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的 硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为

2

(A)

1 2

(B)

15 32

(C)

11 32

(D)

5 16

答案:C 解析:五个人抛硬币的可能结果有 25=32 种, 如下图:有不相邻 2 人站起来的可能为:AD,AC,AC,AB,DB,共 5 种; 只有 1 人站起来的可能有 5 种, 没有人站起来的可能有 1 种, 所以所求概率为:P=

5 ? 5 ? 1 11 ? 32 32

C: (8)已知 F 1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左, 右焦点, 椭圆 C 上存在点 P a 2 b2

使 ?F 1PF 2 为钝角, 则椭圆 C 的离心率的取值范围是 (A) ?

? 2 ? ? 2 ,1? ? ? ?

(B) ?

?1 ? ,1? ?2 ?

(C) ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ? ?

(D) ? 0, ?

? ?

1? 2?

答案:A 解析:如图,当 P 为上端点时,∠F1PF2 最大,此时,c>b

x (9)已知 p : ?x ? 0, e ? ax ? 1 成立, q : 函数 f ? x ? ? ? ? a ? 1? 是减函数, 则 p 是 q 的
x

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件
3

(C)充要条件 答案:B 解析:

(D)既不充分也不必要条件

设f ( x) ? e x ? ax, 则命题p ? fmin ( x) ? 1
f ?( x ) ? e x ? a, 当a ? 1时, f ?( x ) ? 0, f ( x )为增函数, ? f ( x ) ? f (0) ? 1, 不合题意, 舍去
当a ? 1时, 令f ?( x ) ? 0, 得x ? ln a , 当0 ? x ? ln a时, f ?( x ) ? 0 当x ? ln a时, f ?( x ) ? 0, f ( x )单调递增, ? fmin ( x ) ? f (ln a ) ? a ? ln a ? 1
设g(a ) ? a ? ln a, 则g?(a ) ? ? ln a ? 0, g(a )单调递减, 又g(1) ? 1,? g(a ) ? 1恒成立, 故a的范围是(1, ??)
ex ? 1 ex ? 1 , 设f ( x ) ? , x x ex x ? ex ? 1 则f ?( x ) ? , 设g( x ) ? e x ( x ? 1) ? 1, 则g(0) ? 0 2 x x 则g?( x ) ? e x ? 0,? g( x )为增函数,? x ? 0,? g( x ) ? 0, 即f ?( x ) ? 0,? f ( x )在(0, ?? )上单调递增. 命题p : ?x ? 0, a ?
lim ex ? 1 ? lim e x ? 1,? f ( x ) ? 1,? a ? 1 x ?0 x ?0 x

q : 函数f ( x ) ? ?(a ? 1) x 是减函数,? a ? 1 ? 1, a ? 2 ? p是q的必要不充分条件
(10) 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑. 若三棱锥 P ? ABC 为鳖臑, PA ⊥平面 ABC ,

P A? A B ? 2 , AC ? 4 , 三棱锥 P ? ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上, 则球 O 的表
面积为 (A) 8? (B) 12? (C) 20? (D) 24? 答案:C 解析:该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥 P-ABC,如下图所示, PC= PA2 ? AC 2 ? 2 5 , R= 5 , 其外接球的直径为对角线 PC, 所以, 球的表面积为:

20?

4

(11)若直线 y ? 1 与函数 f ? x ? ? 2sin 2x 的图象相交于点 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,

2? ,则线段 PQ 与函数 f ? x ? 的图象所围成的图形面积是 3 2? ? 2? ? ? 3 ? 3 ? 2 (D) ? 3 ? 2 (A) (B) ? 3 (C) 3 3 3 3
且 x1 ? x2 ? 答案:A 解析:如下图,可得面积:

S??

13 ? 12 5 ? 12

(1 ? 2sin 2 x )dx
13 ? 12 5 ? 12

? ( x ? cos 2 x )

?

2? ? 3 3

(12)已知函数 f ? x ? ? x ?
3

2016 3 2 3 1 x ? x? , 则? 2 4 8 k ?1

? k ? f? ? 的值为 ? 2017 ?
(D) 2016

(A) 0 答案:B 解析:

(B) 504

(C) 1008

3 2 3 1 3 x ? x ? ,? f ?( x ) ? 3 x 2 ? 3 x ? , 2 4 8 4 1 ? f ??( x ) ? 6 x ? 3, 令f ??( x ) ? 0, 则x ? , 2 ?1 1? ? f ( x )的对称中心为 ? , ? ? 2 4? ? f ( x) ? x3 ?
2016 k ?1

?f? ? ? ? 2 ? 1008 ? 504 ? 2017 ? 4

? k ?

1

解析二:

5

? ? f ( x )dx ? lim
a 2016

b

n ???

?
i ?1

n

b?a f (? i ) n

2016 1 1 ? k ? ? k ? ?? f ? ? 2016 f? ? 2016? f ( x )dx ? ? ? 0 ? 2017 ? ? 2017 ? k ?1 k ?1 2016 1 ? 2016 ? ? 504 4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题,每个考生都必须作答。第 22~23 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本小题共 4 题,每小题 5 分。 (13)已知 a ? 1, b ? 答案: 解析:

2 ,且 a ? (a ? b) ,则向量 a 与向量 b 的夹角是

.

? 4

? ? ? ?a ? a ? b , ? ? ? ?2 ? ? ?a ? a ? b ? a ? a ? b ?2 ? ? ? ? ? ? ? a ? a ? b cos a , b ? 1 ? 2 cos a , b ? 0

?

?

?

?

? ? ? cos a , b ?
n

2 ? ? ? , a, b ? 2 4
3

(14) ? 3 ? x ? 的展开式中各项系数和为 64 ,则 x 的系数为 答案: ?540 解析:

.(用数字填写答案)

当x ? 1时,(3 ? 1)n ? 64,? n ? 6
3 (3 ? x )6的展开式中, T4 ? C6 (3)3 (? x )3 ? ?540 x 3

即x 3的系数为 ? 540
?21? x , x ? 0, f x ? (15)已知函数 ? ? ? 若 f ? a ? ? 2 , 则实数 a 的取值范围是 1 ? log x , x ? 0, ? 2
答案: ? ??, ? ? ?8, ?? ? 2 .

? ?

1? ?

解析:

当a ? 0时, 21?a ? 2,?1 ? a ? 1, a ? 0, 恒成立
6

当a ? 0时, 1 ? log 2 a ? 2,? log 2 a ? 3或 log 2 a ? ?1 ? a ? 8或0 ? a ? 1 2

1? ? 综上所述, a的取值范围是 ? ??, ? ? ? 8, ?? ? 2? ?
(16)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, 已知 a1 ? 2 , 对任意 p, q ? N , 都有 a p?q ? a p ? aq ,
*

则 f ?n? ? 答案: 解析:

Sn ? 60 (n ? N * )的最小值为 n ?1

.

29 2

当q ? 1时, a p?1 ? a p ? a1 ? a p ? 2,? {an }是首项为2, 公差为 2的等差数列, an ? 2n, Sn ?
? f ( x) ?

(2 ? 2n)n ? n2 ? n 2

n2 ? n ? 60 n?1 60 60 ? n? ? ( n ? 1) ? ? 1 ? 2 60 ? 1 n?1 n?1

当且仅当n ? 60 ? 1时等号成立, 又n ? N * 4 29 29 f (6) ? 14 , f (7) ? ,? f ( n)的最小值为 7 2 2

7


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