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湖北省黄冈中学2011届高三五月模拟考试(数学理)

黄冈中 2011 届高三五月模拟考试

数学(理)试题
考试时间:2011 年 5 月 13 日下午 15∶ 00 ~ 17∶ 00 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. 已知全集
? R ,集合 A ? {x |

x ?1 ? 0} ,则集合 CU A 等于( x?2



A. {x | x ? ?1或x ? 2} C. {x | x ? ?1或x ? 2}

B. {x | x ? ?1或x ? 2} D. {x | x ? ?1或x ? 2} )

2. 已知集合 M ? {m | m ? i n ,n ? N} ,其中 i 2 ? ?1 ,则下面属于 M 的元素是( A. (1 ? i ) ? (1 ? i ) D. B. (1 ? i ) ? (1 ? i ) C. (1 ? i)(1 ? i)

1? i 1? i
? ,2 那么“ ? x? ? ? y? ”是“ x ? y ? 1 ”的(
) B.必要而不充分条 D.既不充分也不必要条件 ) B. ? 3
3 3

3. 如果对于任意实数 x , ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,例如 ?3.27? ? 3 , ?0.6? ? 0 ,

6? ??1 . ?

A.充分而不必要条件 件 C.充分必要条件 A. 3 D. ?

4. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S15 ? 25? ,则 tana8 的值是( C. ? 3

5. 已知 ? // ? , a ? ? , B ? ? ,则在 ? 内过点 B 的所有直线中( A.不一定存在与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线



B.只有两条与 a 平行的直线 D.存在唯一一条与 a 平行的直线 ) D.

6. 抛掷一枚硬币,出现正面向上记 1 分,出现反面向上记 2 分,若一共抛出硬币 4 次,且 每一次抛掷的结果相互之间没有影响,则得 6 分的概率为( 1 1 3 A. B. C. 16 4 8

1 2

7. 某出租车公司计划用 450 万元购买 A 型和 B 型两款汽车投入营运, 购买总量不超过 50 辆, 其中购买 A 型汽车需 13 万元/辆,购买 B 型汽车需 8 万元/辆.假设公司第一年 A 型汽 车的纯利润为 2 万元/辆,B 型汽车的纯利润为 1.5 万元/辆,为使该公司第一年纯利润 最大,则需安排购买( ) B.9 辆 A 型出租车,41 辆 B 型出租车 D.8 辆 A 型出租车,42 辆 B 型出租车 A.10 辆 A 型出租车,40 辆 B 型出租车 C.11 辆 A 型出租车,39 辆 B 型出租车

-1-

8 . 设 f ( x ) 与 g ( x ) 是 定 义 在 同 一 区 间 [ a , b ] 上 的 两 个 函 数 , 若 对 任 意 x ? [ a, b] , 都 有
| f ( x )? g ( x ) ?| 成立,则称 1 f ( x) 和 g ( x) 在 [a, b] 上是“亲密函数”,区间 [a, b] 称为“亲密区

间”.若 f ( x) ? x2 ? x ? 2 与 g ( x) ? 2 x ? 1 在 [a, b] 上是“亲密函数”,则其“亲密区间”可以是 ( ) B. [0,1] C. [1, 2] D. [ ?1, 0] A. [0, 2]

9. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1, 2,

, 9 的 9 个小正方形

(如右图 1) ,使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同, 且标号为“ 1 、 5 、 9 ”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法 共有( A. 108 种 种 ) B. 60 种 C. 48 种

1 4 7

2 5 8
36 D.
图1

3 6 9

3 ? 4 ? 8 | x ? |, 1 ? x ? 2 ? ? 2 10.已知定义在 [1, 8] 上的函数 f ( x) ? ? 则下列结论中,错误 的是( .. 1 x ? f ( ), 2 ? x ? 8 ? ?2 2

)

A. f (6) ? 1 B.函数 f ( x) 的值域为 [0,4] C.将函数 f ( x) 的极值由大到小排列得到数列 {an }, n ? N * ,则 {an } 为等比数列 D.对任意的 x ? [1,8] ,不等式 xf ( x) ? 6 恒成立 二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中相应的横线上.) 1 n ) 展开式中第 9 项为常数项,则 n ? 11.已知二项式 (2 x 2 ? . x 12.设 a 是实数.若函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 1| 是定义在 R 上的奇函数,但不是偶函数,则函 数 f ( x ) 的递增区间为 13.随机变量 ξ 的分布列如下: ξ P -1 0 1 .

a

b

c

1 其中 a , b , c 成等差数列.若 E? ? ,则 Dξ 的值是________. 3
14.如图 2,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,其中 AB ? a, ,
AD ? b, AA1 ? c 外接球球心为点 O ,外接球体积为

32? ,若 3

如图 2

1 a
2

?

4 b
2

的最小值为

9 ,则 A, C 两点的球面距离为 4

15.设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) 为不同的两点,直线 l : ax ? by ? c ? 0 , ? ? 题中正确的序号为 .

ax1 ? by1 ? c ,以下命 ax2 ? by2 ? c

-2-

(1) 不论 ? 为何值,点 N 都不在直线 l 上;
( 2) 若 ? ? 1 ,则过 M,N 的直线与直线 l 平行; (3) 若 ? ? ?1 ,则直线 l 经过 MN 的中点;

( 4) 若 ? ? 1 ,则点 M、N 在直线 l 的同侧且直线 l 与线段 MN 的延长线相交.
三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分)

1 已知向量 a ? (sin x,1 ? cos 2x), b ? (sin x ? cos x,cos 2x ? ) ,定义函数 f ( x) ? a ? (a ? b) 2
(Ⅰ )求函数 f ( x) 最小正周期; (Ⅱ )在△ ABC 中,角 A 为锐角,且 A ? B ?

7? , f ( A) ? 1, BC ? 2 ,求边 AC 的长. 12

17. (本小题满分 12 分) 如图 3,已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面正三角形的边长是 2,D 是 CC1 的中点,直线

AD 与侧面 BB1C1C 所成的角是 45 .
(Ⅰ )求二面角 A ? BD ? C 的大小; (Ⅱ )求点 C 到平面 ABD 的距离.

A

A1 B1

B

C

D
图3

C1

18.(本小题满分 12 分) 某公园准备建一个摩天轮, 摩天轮的外围是一个周长为 k 米的圆. 在这个圆上安装座 位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连.经预算,摩天轮上的每个座位与 支点相连的钢管的费用为 12 k 元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为 x 米时,相邻两座

? (512 x2 ? 20) x ? 位之间的钢管和其中一个座位的总费用为 ? ? 8? k 元,假设座位等距离分布, 100 ? ?
且至少有四个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记摩天轮的总造价为 y 元. (Ⅰ )试写出 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域; (Ⅱ )当 k ? 100 米时,试确定座位的个数,使得总造价最低?

-3-

19. (本题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx 的图像过点 (?4n, 0) ,且 f '(0) ? 2n , n ? N ? . (Ⅰ )求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ )若数列 {an } 满足
11 1 ' 1 ? ? fff' ( ( ) ) ,且 '(0) ? 2n a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式; aa aa nn ?1 ?1 nn

(Ⅲ )记 bn ? an an?1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和.求证:

4 ? Tn ? 2 . 3

20. (本小题满分 13 分) 给定椭圆 C :
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 称圆心在坐标原点 O , 半径为 a 2 ? b2 的圆是椭圆 C a 2 b2

的“伴随圆”. 若椭圆 C 的一个焦点为 F2 ( 2, 0) ,其短轴上的一个端点到 F2 距离为 3 . (Ⅰ )求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程; (Ⅱ )若过点 P(0, m)(m ? 0) 的直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点,且 l 截椭圆 C 的“伴随圆” 所得的弦长为 2 2 ,求 m 的值; (Ⅲ )过椭圆 C“伴椭圆”上一动点 Q 作直线 l1 , l2 ,使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只有一个公共点, 试判断直线 l1 , l2 的斜率之积是否为定值,并说明理由.

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) ,点 A(s, f (s)), B(t , f (t )) . (Ⅰ )若 a ? 0, b ? 3 ,函数 f ( x) 在 (t , t ? 3) 上既能取到极大值,又能取到极小值,求 t 的取 值范围; (Ⅱ ) 当 a ? 0 时,

f ( x) ?1 ? ? ln x ? 1 ? 0 对任意的 x ? ? , ?? ? 恒成立,求 b 的取值范围; x ?2 ?

(Ⅲ )若 0 ? a ? b ,函数 f ( x) 在 x ? s 和 x ? t 处取得极值,且 a ? b ? 2 3 , O 是坐标原点,

-4-

证明:直线 OA 与直线 OB 不可能垂直.

参考答案
一、1.C 2.D 3.A 12. [?1,1] 4.B 5.D 6.C 7.A 8.B 9.A 10.C

二、11. 10

5 13. 9

2? 14. 3

15.(1)(2)(3)(4)

三、16.解: (Ⅰ ) f ( x) ? a ? (a ? b) ? cos x sin x ?

cos 2x ? 1 2 1 2 ? 1 ? (sin 2 x ? cos 2 x ? 1) ? sin(2 x ? ) ? 2 2 4 2

∴ T?

2? ?? 2
2 ? 1 sin(2 A ? ) ? ? 1 , 2 4 2 2 2

…………6 分

(Ⅱ )由 f ( A) ? 1 得
sin(2 A ? ∴

?
4

)?

且 2A ?

∴ 2A ?

?
4

?

3? ? , A? 4 4

? 5? ?( , ) 4 4 4 7? ? 又∵ ,∴ A? B? B? 12 3

?

…………10 分 …………12 分

BC AC BC sin B ,∴ ? AC ? ? 6 sin A sin B sin A 17.解:解法一(Ⅰ )设侧棱长为 x ,取 BC 中点 E,
在△ ABC 中,由正弦定理得:
?ADE ? 45? 则 AE ? 面 BB1C1C ,∴

tan 45? ∴

AE ? ED

3 x2 1? 4

解得 x ? 2 2
A

…………3 分
A1

过 E 作 EF ? BD 于 F ,连 AF , 则 AF ? BD , ?AFE 为二面角 A ? BD ? C 的平面角
EF ? BE sin ?EBF ? ∵ 3 , AE ? 3 , 3

G B E C D C1 F B1

∴ tan ?AFE ?

AE ?3 EF

故二面角 A ? BD ? C 的大小为 arctan 3 (Ⅱ )由(Ⅰ )知 BD ? 面 AEF ,∴ 面 AEF ? 面 ABD 过 E 作 EG ? AF 于 G ,则 EG ? 面 ABD

………… 6 分

-5-

EG ? ∴

AE EF 30 30 C 到面 ABD 的距离为 2 EG ? ? ∴ AF 10 5

………… 12 分 ……………3 分
z A A1

解法二:(Ⅰ )求侧棱长 x ? 2 2 取 BC 中点 E , 如图建立空间直角坐标系 E ? xyz , 则 A(0, 0, 3) , B(?1, 0, 0) , C (1, 0, 0) , D(1, 2, 0)

? ?n AB ? 0 设 n ? ( x, y, z) 是平面 ABD 的一个法向量,则由 ? ? ?n AD ? 0
得 n ? ( 3, ? 6, ?1) ∴ cos ? EA n ??

BE

B1 y C x D C1

而 EA ? (0, 0, 3) 是面 BCD 的一个法向量

EA n EA n

??

10 .而所求二面角为锐角, 10
10 10

即二面角 A ? BD ? C 的大小为 arccos

………… 6 分
CA n n ? 30 ………… 12 分 5

(Ⅱ )∵ 点 C 到面 ABD 的距离为 d ? CA ? (?1, 0, 3) ∴ 18.解: (Ⅰ )设摩天轮上总共有 n 个座位,则 x ?
y ? 12k

k k 即n ? , n x

? k k ? (512 x 2 ? 20) x 20 512 x 2 ? 20 ? ? ? 8? k ? k 2 ( ? ), x x? 100 x 100 ?

k k ? ? 定义域 ? x | 0 ? x ? , ? Z ? ; 4 x ? ?

…………5 分

(Ⅱ )当 k ? 100 时, 0 ? x ? 25 令 y ? 100(

2000 ? 512x2 ? 20) x

2000 2000 ?2000 ? 1024 x3 ? 512x2 ,则 f ?( x) ? ? 2 ? 1024 x ? ?0 x x x2 1000 5 ∴ ,∴ …………10 分 x3 ? x? 512 4 f ( x) ? 5 5 当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在 x ? (0, ) 上单调减, 4 4 5 5 当 x ? ( , 25) 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在 x ? ( , 25) 上单调增, 4 4
ymin 在 x ?

100 5 ? 80 个. 时取到,此时座位个数为 5 4 4

…………12 分

19.解: (Ⅰ ) f ?( x) ? 2ax ? b ,有题意知 b ? 2n , 16n 2 a ? 4nb ? 0

1 1 ∴ a ? , b ? 2n ,则 f ( x) ? x2 ? 2nx, n ? N * 2 2

……………3 分

-6-

(Ⅱ )数列 {an } 满足

1 an ?1

? f ?(

1 ) 又 f ?( x) ? x ? 2n , an

1 1 1 1 ? ? 2n ,∴ ? ? 2n , ∵ an ?1 an an ?1 an
1 1 ? ?2?4?6? an 4 ? 2(n ? 1) ? n 2 ? n ?

1 1 1 4 ? (n ? )2 ? an ? ? (n ? N*) 2 1 an 2 (n ? )2 (2n ? 1) 2

当 n ? 1 时, a1 ? 4 也符合 (Ⅲ ) bn ? an an ?1 ?
4 1 1 ? 2( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

……………7 分

Tn ? b1 ? b2 ?

? bn ? a1a2 ? a2 a3 ?
? ?(

? an an?1

1 1 1 ? 2 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? 3 3 5
? 2(1 ? 1 ) 2n ? 1

1 1 ? ) 2n ? 1 2n ? 1

?
……………10 分

2 n ? 1 ? 3 , 2(1 ? ∵

1 4 )? , 2n ? 1 3
……………12 分

又 2(1 ?

1 4 ) ? 2 ∴ ? Tn ? 2 2n ? 1 3

20. 解: (Ⅰ )由题意得: a ? 3 ,半焦距 c ? 2 则 b ? 1 椭圆 C 方程为

x2 ? y2 ? 1 3
……………3 分

“伴随圆”方程为 x2 ? y 2 ? 4 (Ⅱ )则设过点 P 且与椭圆有一个交点的直线 l 为: y ? kx ? m ,
? y ? kx ? m ? 则 ? x2 整理得 1 ? 3k 2 x2 ? 6kmx ? (3m2 ? 3) ? 0 2 ? ? y ?1 ?3

?

?

所以 ? ? ? 6km? ? 4 1 ? 3k 2 3m2 ? 3 ? 0 ,解 3k 2 ? 1 ? m 2 ①
2

?

??

?

……………5 分

又因为直线 l 截椭圆 C 的“伴随圆”所得的弦长为 2 2 ,
? |m| ? ? 2 2 化简得 m2 ? 2 k 2 ? 1 则有 2 2 ? ? ? ? 2 ? k ? 1 ? ?
2 2

?

?



……………7 分

联立① ② 解得, k 2 ? 1, m2 ? 4 , 所以 k ? ?1 , m ? ?2( m ? 0) ,则 P (0, ?2)
2 2 ( Ⅲ) 当 l1 , l2 都有斜率时,设点 Q( x0 , y0 ), 其中 x0 ? y0 ? 4,

……………8 分

-7-

设经过点 Q( x0 , y0 ), 与椭圆只有一个公共点的直线为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 ,
? y ? kx ? ( y0 ? kx0 ) ? 2 由 ? x2 ,消去 y 得到 x2 ? 3?kx ? ( y0 ? kx0 )? ? 3 ? 0 2 ? ? y ?1 ?3

……………9 分

即 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k ( y0 ? kx0 ) x ? 3( y0 ? kx0 )2 ? 3 ? 0 ,
2 ? ? ? 6k ( y0 ? kx0 ) ? ? 4 ? (1 ? 3k 2 ) ? ?3( y0 ? kx0 ) ? 3? ? ? 0, 2

2 2 经过化简得到: (3 ? x0 )k 2 ? 2x0 y0 k ? 1 ? y0 ?0,

……………11 分

2 2 2 2 因为 x0 ? y0 ? 4 ,所以有 (3 ? x0 )k 2 ? 2x0 y0 k ? ( x0 ? 3) ? 0 ,

设 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 ,因为 l1 , l2 与椭圆都只有一个公共点,
2 2 所以 k1 , k2 满足方程 (3 ? x0 )k 2 ? 2x0 y0 k ? ( x0 ? 3) ? 0 ,

因而 k1 ? k2 ? ?1 ,即直线 l1 , l2 的斜率之积是为定值 ? 1 21. 解: (Ⅰ )当 a ? 0, b ? 3 时, f ( x) ? x3 ? 3x2 , f '( x) ? 3x2 ? 6 x ,

……………13 分

令 f '( x) ? 0 得 x ? 0, 2 ,根据导数的符号可以得出函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值, 在 x ? 2 处取得极小值.函数 f ( x) 在 (t , t ? 3) 上既能取到极大值,又能取到极小值, 则只要 t ? 0 且 t ? 3 ? 2 即可,即只要 ?1 ? t ? 0 即可. 所以 t 的取值范围是 (?1, 0) . (Ⅱ )当 a ? 0 时, ………… 4 分

f ( x) ?1 ? ? ln x ? 1 ? 0 对任意的 x ? ? , ?? ? 恒成立, 2 x ? ? 1 ? ? 即 x2 ? bx ? ln x ? 1 ? 0 对任意的 x ? ? , ?? ? 恒成立, ?2 ? ln x 1 ?1 ? 也即 b ? x ? ? 在对任意的 x ? ? , ?? ? 恒成立. x x ?2 ? 1 ? ln x 1 x2 ? ln x ln x 1 令 g ( x) ? x ? . ? ,则 g '( x) ? 1 ? ? 2 ? x x x2 x x2 1 2 x2 ? 1 记 m( x) ? x2 ? ln x ,则 m '( x) ? 2x ? ? , x x
则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点 x ? 故也是最小值点,所以 m( x) ? m(
2 , 2

………… 6 分

2 1 2 ) ? ? ln ?0, 2 2 2

1 从而 g '( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在 [ , ??) 单调递增. 2 1 5 5 ? ? 函数 g ( x) min ? g ? ? ? ? 2 ln 2 .故只要 b ? ? 2 ln 2 即可. 2 ?2? 2

-8-

所以 b 的取值范围是 (??,

5 ? 2 ln 2] 2

………… 9 分

(Ⅲ ) 假设 OA ? OB ,即 OA OB ? 0 , 即 (s, f (s)) (t , f (t )) ? st ? f (s) f (t ) ? 0 , 故 (s ? a)(s ? b)(t ? a)(t ? b) ? ?1 ,
2 2 即? ?st ? (s ? t )a ? a ? ?? ?st ? (s ? t )b ? b ? ? ? ?1 .

由于 s, t 是方程 f '( x) ? 0 的两个根,

2 ab 故 s ? t ? (a ? b), st ? , 0 ? a ? b .代入上式得 ab(a ? b)2 ? 9 . 3 3

………… 12 分

(a ? b)2 ? (a ? b)2 ? 4ab ?

9 ? 4ab ? 2 36 ? 12 , ab

即 a ? b ? 2 3 ,与 a ? b ? 2 3 矛盾, 所以直线 OA 与直线 OB 不可能垂直. ………… 14 分

-9-

- 10 -

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

- 11 -