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2016年安徽新闻出版职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 年安徽新闻出版职业技术学院单招数学模拟试题(附答 案)
一.选择题:(本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 )
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1、在复平面内,复数 z ? A.第一象限

i ( i 为虚数单位)所对应的点位于 ( 1? i
C.第三象限

) D.第四象限 )

B.第二象限

2、设两个非零向量 a, b 不共线,且 ka ? b与a ? kb 共线,则 k 的值为( A.1 D.0 B. ? 1 C. ? 1

? ?

? ? ?

?

3、已知函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? 2? x ? 1的图象关于直线 y ? x 对称,则 f (3) 的 值为( A1
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)
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B ?1
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C2
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D ?2
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?x ? 2 ? 4、已知实数 x 、 y 满足约束条件 ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为 ( ?x ? y ? 6 ?
A. 24 B. 20 C. 16 D. 12

)

5、设 f(x)为 R 上的奇函数, 且 f(x+2)= f(x), 则 f(1)+ f(2)+ f(3)+…+ f(2006)的值是 ( ) A -1 B 0 C 1 D 2006

6、已知 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ),(? ? k? ? ? , k ? Z ) 则() A a?b
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?

?

?

?

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B a // b
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? ?
? ?

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C (a ? b) ? (a ? b)
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? ?

? ?

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D a, b夹角为? ? ?
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7、若 sin2x>cos2x, 则 x 的取值范围是

(

)

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A{x|kπ -

? ? < x< kπ + , k∈Z} 4 4

B {x|2kπ -

? ? < x< 2kπ + , k∈Z} 4 4

C{x|2kπ -

? 3? ? 3? < x< 2kπ + , k∈Z} D{x|kπ + < x< kπ + , k∈Z} 4 4 4 4
1 1 ? ”成立的 a b
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

8、已知 a, b ? R ,则“ a ? b, ab ? 0 ”是“ A.充分不必要条件 C.充要条件

9、某博物馆要在 20 天内接待 8 所学校的学生参观,每天至多安排一所学校,其中一 所人数较多的学校要连续参观 3 天,其余学校均只参观 1 天,则在这 20 天内不同 的安排方法数是( )

3 7 8 1 7 18 (A) C20 (B) A20 (C) C18 (D) A18 A17 A17

10、直线 l 交椭圆 4x2+5y2=80 于 M、N 两点, 椭圆与 y 正半轴交于 B 点, 若△BMN 的重 心恰好落在椭圆的右焦点上, 则直线 l 的方程是 ( )

A 5x+6y-28=0 C 6x+5y-28=0

B 5x-6y-28=0 D 6x-5y-28=0

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题纸中的横线 上。)

11、一辆列车沿直线轨道前进,从刹车开始到停车这段时间内,测的刹车后 t 秒内列车 前进的距离为 S ? 27t ? 0.45t 2 米,则列车刹车后秒车停下来.

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12、an 是(1+x)n 展开式中含 x2 的项的系数, 则

lim ( a
n??

1
2

?

1 1 )= ??? a3 an
D1 A1 D A E E1 F

F1 B1

C1

13、如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB=6, AD=4,

C B

AA1 ? 3 .分别过 BC、 A1 D1 的两个平行截面将长方体分成
三部分,其体积分别记为 V1 ? VAEA1 ? DFD1 , V2 ? VEBE1 A1 ?FCF1D1

V3 ? VB1E1B?C1F1C .若 V1 : V2 : V3 ? 1 : 4 : 1 ,则截面 A1 EFD1
的面积为

a11 a12 a13 a14 a15
14.将给定的 25 个数排成如右图所示的数表,若 每行 5 个数按从左至右的顺序构成等差数列,每列 的 5 个数按从上到下的顺序也构成等差数列,且表 正中间一个数 a33=1,则表中所有数之和为

a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45 a51 a52 a53 a54 a55

三.解答题:本大题 6 小题,每小题满分 14 分,共 84 分.解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤.

15.设 a =(sinx-1,cosx-1), b =(

2 2 , ). 2 2

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(1)若 a 为单位向量, x ? [0, ? ] ,求 x 的值; (2)设 f ( x) ? a ? b ,则函数 y ? f ( x) 的图象是由 y=sinx 的图象按 c 平移而得, 求c .

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16. 甲、乙两个篮球队进行比赛每场比赛均不出现平局,而且若有一队胜 4 场,则比赛 宣告结束,假设甲、乙在每场比赛中获胜的概率都是 . (1)求需要比赛场数ξ 的分布 列及数学期望 Eξ ;(2)如果比赛场馆是租借的,场地租金 200 元,而且每赛一场追 加服务费 32 元,那么举行一次这样的比赛,预计平均花销费用多少元钱?

1 2

17、如图,平面 ABCD⊥平面 ABEF,ABCD 是正方形,ABEF 是矩形,且

AF ?

1 AD ? a, G 是 EF 的中点,(Ⅰ)求证平面 AGC⊥平面 BGC;(Ⅱ)求 GB 与 2

平面 AGC 所成角的正弦值. (Ⅲ)求二面角 B—AC—G 的大小.

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18、已知数列{an}的各项均为正数且 a1 = 6,点 An (an , an?1 ) 在抛物线 y 2 ? x ? 1 上; 数列{bn}中,点 Bn (n , bn ) 在过点(0,1)且方向向量为(1,2)的直线上 (1)求数列{an}
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{bn}的通项公式; (2)对任意正整数 n,不等式 a n ? 2 ? an ≤ (1 ? 的取值范围
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1 1 1 )(1 ? ) … (1 ? ) 成立,求正数 a b1 b2 bn

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19、如图,在面积为 18 的△ABC 中,AB=5,双曲线 E 过点 A,且以 B、C 为焦点, 已知 AB ? AC ? 27, CA ? CB ? 54. (Ⅰ)建立适当的坐标系,求双曲线 E 的方程; (Ⅱ)是否存在过点 D(1,1)的直线 l,使 l 与双曲线 E 交于不同的两点 M、N, 且 DM ? DN ? 0. 如果存在,求出直线 l 的方程;如果不存在,请说明理由
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??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

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A _
?

B _

C _

20、

已知过函数 f(x)= x 3 ? ax2 ? 1 的图象上一点 B(1,b)的切

线的斜率为-3。(1)求 a、b 的值;(2)求 A 的取值范围,使不等式 f(x)≤A -1989 对于 x∈[-1,4]恒成立;(3)令 g ?x ? ? ? f ?x ? ? 3x 2 ? tx ? 1。是否存在 一个实数 t,使得当 x ? (0,1] 时,g(x)有最大值 1?

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参考答案

一、选择题:(本题每小题 5 分,共 50 分)

题号 答案

1 A

2 C

3 D

4 B

5 B

6 C

7 D

8 A

9 C

10 D

二、填空题:(本题每小题 4 分,共 16 分) 11. 30 12.2 13.4 13
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14.25
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三、解答题(本大题 6 小题,共 84 分 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15、解答: (1)∵| a |=1,∴(sinx-1)2+(cosx-1)2=1, 即 sinx+cosx=1, 2 sin(x+ sin(x+
π )=1, 4

…………4 分

2 π π )= ,又 x ? [0, ? ] ∴x=0 或 2 4 2

………………7 分

(2)∵ a ·b =sin(x+

π )- 2 . 4 π )- 2 , 4

∴ f ( x) =sin(x+ 由题意得 c =(-

………………10 分 ………………14 分

π ,- 2 ). 4

16、解:(1)根据题意ξ 的取值应是 4,5,6,7

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“ξ =4”表示甲胜 4 场或乙胜 4 场
4 ( )4 ? ∴P(ξ =4)=2 C 4

1 2

1 ;(2 分) 8

“ξ =5”表示甲胜第 5 场且前 4 场中胜 3 场,或乙胜第 5 场且前 4 场中胜 3 场
3 ( )4 ? ∴P(ξ =5)= C 4

1 2

1 2

1 3 1 4 1 C 4 ( ) ? ;(4 分) 2 2 4

“ξ =6”表示甲胜第 6 场且前 5 场中胜 3 场,或乙胜第 6 场且前 5 场中胜 3 场
3 ( )6 ? ∴P(ξ =6)= C5

1 2

1 2

1 3 1 5 5 C ( ) ? ;(6 分) 2 5 2 16

“ξ =7”表示甲胜第 7 场且前 6 场中胜 3 场,或乙胜第 7 场且前 6 场中胜 3 场
3 ( )6 ? ∴P(ξ =7)= C 6

1 2

1 2

1 3 1 6 5 C 6 ( ) ? ; (8 分) 2 2 16

因此随机变量ξ 的分布列为 ξ P 4 5 6 7

1 8

1 4

5 16

5 16

并且 Eξ =4× +5×

1 8

1 5 5 93 +6× +7× = . (10 分) 4 16 16 16

(2)用随机变量η 表示举行一次这样比赛的所需费用,则根据条件,知η =32ξ +200, 由于 Eξ =

93 ,所以 Eη =E(32ξ +200)=32Eξ +200=386. 16
(14 分)

因此举行一次这样的比赛所需费用平均为 386 元.

17、(Ⅰ)证明:正方形 ABCD ? CB ? AB

∵面 ABCD⊥面 ABEF 且交于 AB,

∴CB⊥面 ABEF ∵AG,GB ? 面 ABEF, ∴CB⊥AG,CB⊥BG 又 AD=2a,AF= a,ABEF 是矩形,G 是 EF 的中点,

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∴AG=BG= 2a ,AB=2a, AB2=AG2+BG2,∴AG⊥BG ∵CG∩BG=B ∴AG⊥平面 CBG 而 AG ? 面 AGC, 故平面 AGC⊥平面 BGC …………5 分 (Ⅱ)解:如图,由(Ⅰ)知面 AGC⊥面 BGC,且交于 GC,在平面 BGC 内作 BH⊥ GC,垂足为 H,则 BH⊥平面 AGC, ∴在 Rt△CBG 中 BH ? ∴∠BGH 是 GB 与平面 AGC 所成的角

BC ? BG ? CG

BC ? BG BC 2 ? BG 2

?

2 3 a 3

又 BG= 2a ,

∴ sin ?BGH ?

BH 6 ……………………9 分 ? BG 3
作 BO⊥AC,垂足为 O,连结 HO,则 HO⊥AC,

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,BH⊥面 AGC

∴ ?BOH 为二面角 B—AC—G 的平面角 在 Rt?ABC中, BO ? 2a 在 Rt△BOH 中, sin ?BOH ? BH ? 6
BO 3 ?BOH ? arcsin 6 3

即二面角 B—AC—G 的大小为 arcsin 6 ………………14 分
3

18、 (1)解:将点 An (an , an?1 ) 代入 y 2 ? x ? 1 中得
a n?1 ? a n ? 1

即 a n?1 ? a n ? 1 3分 6分
1 1 1 )(1 ? ) … (1 ? ) 成立 bn b1 b2

∴ an ? n ? 5 过点(0,1)且方向向量为(1,2)的直线为 y ? 2 x ? 1 ∴ bn ? 2n ? 1 (2) 对任意正整数 n,不等式 a n ? 2 ? an ≤ (1 ? 即 a≤
1 2n ? 3 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? ) … (1 ? ) 记 f ( n) ? b b1 b2 n 2n ? 3 (1 ?

1 1 1 )(1 ? ) … (1 ? ) 对任意正整数 n 成立 b b1 b2 n

8分



f (n ? 1) ? f ( n)

2n ? 3 1 (1 ? )? bn ?1 2n ? 5

2n ? 3 2n ? 4 ? 2n ? 5 2n ? 3

4n 2 ? 16n ? 16 4n 2 ? 16n ? 15

?1

12 分

∴ f (n ? 1) ? f (n) ,即 f (n)递增 故 [ f ( n)] min ? f (1) ?
4 5 4 5 ,∴0<a≤ 15 15
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14 分

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19、 解:(Ⅰ)以 BC 所在直线为 x 轴,线段 BC 的中点 O 为原点,线段 BC 的中垂线 为 y 轴建立坐标系如图
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设 ?BAC ? ? , ?ACB ? ? , | AC |? m, | BC |? n. …………2 分 则? ?
? AB ? AC ? 5m cos? ? 27 ?5m cos? ? 27 ?? 1 ?S ?ABC ? ? 5m sin ? ? 18 ?5m sin ? ? 36 2 ?
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两式平方相加,得 m=9 又? ?

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………………4 分

?CA ? CB ? 9n cos ? ? 54 ?9n cos? ? 54 ?? 1 ?S ?ABC ? ? 9n sin ? ? 18 ?9n sin ? ? 36 2 ?

两式平方相加,得 n ? 2 13. 设双曲线的方程为

………………6 分 由双曲线的定义,

x2 y2 ? ? 1. a b

有 2a=||AC|-|AB||=|m-5|=4,即 a=2 ∴b2=c2-a2=9 ∴双曲线 E 的方程为

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又 2c= n ? 2 13 ,即 c ? 13.

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x2 y2 ? ? 1. ……8 分 4 9

(Ⅱ)假设存在满足条件的直线 l,使 l 与双曲线 E 交于不同两点 M、N, 并设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ),且x1 ? x2 . 由 DM ? DN ? 0, 知点 D 是线段 MN 的中点, ∴ x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 2. …………10 分 由于点 M、N 都在双曲线 E 上,
? x12 y12 ?1 ? ? 9 ∴? 4 ? 2 2 ? x2 ? y 2 ? 1 ?4 9 ?

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将两式相减,得

( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) y ? y2 9 ? ?0? 1 ? . 4 9 x1 ? x 2 4

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此时直线 l 的方程为 y ? 1 ?
9 ( x ? 1), 即9 x ? 4 y ? 5 ? 0. ……12 分 4

? x2 y2 ? ?1 但由 ? ? 45x 2 ? 90x ? 169 ? 0 ? ? ? 0. 9 ?4 ?9 x ? 4 y ? 5 ? 0 ?

∴不存在满足条件的直线 l

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………………14 分 …………2 分

20、解:(1) f ' ? x ? = 3x 2 ? 2ax 依题意得 k= f ' ?1? =3+2a=-3, ∴a=-3

? f ?x? ? x 3 ? 3x 2 ? 1,把 B(1,b)代入得 b= f ?1? ? ?1
∴a=-3,b=-1 (2)令 f ' ? x ? =3x2-6x=0 得 x=0 或 x=2 ∵f(0)=1,f(2)=23-3×22+1=-3 f(-1)=-3,f(4)=17 ∴x∈[-1,4],-3≤f(x)≤17 要使 f(x)≤A-1989 对于 x∈[-1,4]恒成立,则 f(x)的最大值 17≤A-1989 ∴A≥2006。 …………8 分 …………4 分

(1) 已知 g(x)=- x 3 ? 3x 2 ? 1 ? 3x 2 ? tx ? 1 ? ? x 3 ? tx ∴ g ' ?x? ? ?3x 2 ? t ∵0<x≤1,∴-3≤-3x2<0, ① 当 t>3 时,t-3x2>0, 即g ' ?x? ? 0 ∴g(x)在 (0.1] 上为增函数, g(x)的最大值 g(1)=t-1=1,得 t=2(不合题意,舍去)…………10 分 ② 当 0≤t≤3 时, g ' ?x? ? ?3x 2 ? t

?

?

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令 g ' ? x ? =0,得 x= 列表如下: (0,

t 3

x

t ) 3

t 3
0 极大值

(

t ,1] 3
- ↘

g ' ?x ?
g(x)

+ ↗

? t? t t ? +t g(x)在 x= 处取最大值- ? =1 ? ? 3 3 ? 3?
∴t= 3

3

27 33 2 t = < 3 2 4 3

∴x=

t <1 3

③当 t<0 时, g ' ?x? ? ?3x 2 ? t <0,∴g(x)在 (0.1] 上为减函数, ∴g(x)在 (0.1] 上为增函数, ∴存在一个 a=

33 2 ,使 g(x)在 (0.1] 上有最大值 1。…………14 分 2


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