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天津市河西区2016届高三数学第二次模拟考试试题 理


天津市河西区 2016 届高三数学第二次模拟考试试题 理
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 10 页。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在 答题卡上,并在规定位置粘贴考试用 条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将 本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 2.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 参考公式: ·柱体的体积公式 V ? Sh ·如果事件 A , B 互斥,那么

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
·如果事件 A , B 相互独立,那么

·锥体的体积公式 V ?

1 Sh 3

其中 S 表示柱(锥)体的底面面 积

P( AB) ? P( A) ? P( B)

h 表示柱(锥)体的高

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知全集 U ? {x ? Z | 1 ? x ? 5} , A ? {1 , 2 , 3} , CU B ? {1 , 2} ,则 A ? B ? (A) {1 , 2} (C) {3} (B) {1 , 3} (D) {1 , 2 , 3}

1

(2) (2 x ? ) 4 的展开式中的常数项为

1 x

(A)6 (C) ? 24

(B)24 (D) ? 6

(3)已知命题 p :“存在 x0 ? [1 , ? ?) ,使得 (log2 3) x0 ? 1 ”,则下列说法正确的是 (A) p 是假命题; ?p :“任意 x ? [1 , ? ?) ,都有 (log 2 3) x ? 1 ” (B) p 是真命题; ?p :“不存在 x0 ? [1 , ? ?) ,使得 (log2 3) x0 ? 1 ” (C) p 是真命题; ?p :“任意 x ? [1 , ? ?) ,都有 (log 2 3) x ? 1 ” (D) p 是假命题; ?p :“任意 x ? ( ?? , 1) ,都有 (log 2 3) x ? 1 ” (4)已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 x ? [0 , ? ?) 上单调递增,则满足 f (2 x ? 1) ? f ( ) 的 x 的取值范围是 (A) ( , )

1 3

1 3

2 3

(B) (? , )

1 3 1 3

2 3

(C) ( , )

1 3

4 3

(D) (? , )

4 3

x 2 16 y 2 (5) 已知双曲线 C 1 : ? 2 ? 1 ( a ? 0 ,b ? 0) 的左焦点在抛物线 C 2 :y 2 ? 2 px( p ? 0) 3 p
的准 线上,则双曲线 C 1 的离心率为

(A)

4 3
2 3 3

(B) 3

(C)

(D) 4

2

(6)已知 ?ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,已知 b ? 2 ,B ? 则 ?ABC 的面积为 (A) 2 3 ? 2 (C) 2 3 ? 2 (B) 3 ? 1 (D) 3 ? 1

?
6

,C ?

?
4



(7)若“ x ?1 ”是“不等式 2 x ? a ? x 成立”的必要而不充分条件,则实数 a 的取值范围 是 (A) a ? 3 (C) a ? 4 (B) a ? 3 (D) a ? 4

(8) 如图所示, 边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A ,D 分别在边长为 2 的正方形 A' B ' C ' D ' 的边 A' B' 和 A' D' 上移动,则 A' B ? A' C 的最大值 是

(A) 4 (C) ?

(B) 1 ? 2 (D) 2

河西区 2015—2016 学年度第二学期高三年级总复习质量调查(二) 数 学 试 卷(理工类) 第Ⅱ卷 注意事项:
3

1.用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上。 2.本卷共 12 小题,共 110 分。 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. (9)统计某学校高三年级某 班40名学生的数学 期末考试成绩,分数均在40至100之间,得到 的频率分布直方图如图所示.则图中 a 的 值 为 .

(10)已知 z 是纯虚数,

z?2 是实数( i 是虚数单位),那么 z ? 1? i
开始
i=1,S=0 i=i+1 S=S+i2 否

.

(11)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值 为 .

S = S -i 2 是

i是奇数? i<4?
否 是

输出S 结束

? x ? 1 ? cos ? (12)若圆 C 的方程为: ? ( ? 为参数),以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴 ? y ? 1 ? sin?
为极轴建立极坐标系,则圆 C 的圆心极坐标为 (13)如图,四边形 ABDC 内接于圆, BD ? CD , .(极角范围为 [ 0 , 2? ) )
C D
4

BD ? AB ,过点 C 的圆的切线与 AB 的延长线
A

B

E

交于点 E , BC ? BE , AE ? 2 , 则 AB ? .

?1 ? x 2 , x ? 1 1 (14)函数 f ( x) ? ? ,若方程 f ( x) ? mx ? 恰有四个不相等的实数根,则实数 m 2 ? ln x, x ? 1
的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? tan(?x ?

?
4

) ( ? ? 0 )的最小正周期为

?
2

.

(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若 f ( ) ? 3 ,求 tan 2? 的值.

?

2

(16)(本小题满分 13 分) 长时间用手机上网严重影响学生的健康,某校为了解 A , B 两班学生手机上网的时 长,分别从这两个班中随机抽 6 名同学进行调查,将他们平均每周手机上网的时长作为样 本数据,绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字).如果学生 平均每周手机上网的时长不小于 21 小时,则称 为“过度用网”. (Ⅰ)请根据样本数据,估计 A , B 两班的学生平均每周上网时长的平均值;
5

(Ⅱ)从 A 班的样本数据中有放回地抽取 2 个数据,求恰有 1 个数据为“过度用网” 的概率; (Ⅲ)从 A 班, B 班的样本中各随机抽取 2 名学生的数据,记“过度用网”的学生 人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. A班 9 3 4 1 0 1 0 1 2 3 1 1 6 2 5 7 B班

(17)(本小题满分 13 分) 如图, PD 垂直于梯形 ABCD 所在平面, ?ADC ? ?BAD ? 90? , F 为 PA 中点,

1 PD ? 2 , AB ? AD ? CD ? 1 ,四边形 PDCE 为矩形. 2
(Ⅰ)求证: AC ∥平面 DEF ; (Ⅱ)求二面角 A ? BC ? P 的大小; (Ⅲ)在线段 EF 上是否存在一点 Q ,使得 BQ 与平面 BCP 所成角的大小为 30? ?

P

6

E

若存在,求出 FQ 的长;若不存在,说明理由.

(18)(本小题满分 13 分) 已知抛物线 C 的顶点为 O ( 0 , 0 ) ,焦点为 F ( 0 , 1) . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A , B 两点, 若直线 AO , BO 分别交直线

l : y ? x ? 2 于 M 、 N 两点,求 MN 的最小值.

7

(19)(本小题满分 14 分) 已知直线 l n : y ? x ? 2n 与圆 Cn : x 2 ? y 2 ? 2an ? n 交于不同的两点 An , Bn ,

n ? N * .数列 {a n } 满足: a1 ? 1 , an?1 ?

1 2 An Bn . 4

(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式 a n ; (Ⅱ)若 bn ?

n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 T n ; 4an

(Ⅲ)记数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,在(Ⅱ)的条件下,求证:对任意正整数 n ,
8

?S
k ?1

n

k ?2 ?2. ( T k k ? k ? 1)

(20)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 ? m ln x ( m ? R ). (Ⅰ)当 m ? 1 时,求过点 P (0 , ? 1) 且与曲线 y ? f ( x) ? ( x ? 1) 2 相切的切线方程; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调递增区间; (Ⅲ)若函数 y ? f ( x) 的两个极值点 a , b ,且 a ? b ,记 [ x ] 表示不大于 x 的最大 整数,试比较 sin

[ f (a)] 与 cos([ f (a)][ f (b)]) 的大小. [ f (b)]

9

河西区 2015—2016 学年度第二学期高三年级总复习质量调查(二) 数学试卷(理工类)参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. CBCA CBAD

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)0.03 (10) ? 2i (11) ? 6 (12)( 2 , )

?

4

(13) 5 ? 1 (14)( ,

1 2

e ) e

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. (15)(本小题满分 13 分)
10

(Ⅰ)解:因为函数 f ( x) 的最小正周期为

?
2

, ????3 分

? ? ? ,解得 ? ? 2 . ? 2 ? ? 令 2 x ? ? ? k? , k ? Z ,
所以 T ?

2 ? k? 所以 x ? ? , k ?Z , 8 2

4

所以 f ( x) 的定义域为 {x ? R | x ?

?
8

?

k? , k ? Z} . 2

????6 分

(Ⅱ)解:因为 f ( ) ? 3 ,即 tan(? ?

?

?
4

2

) ? 3,
????9 分 ????13 分

tan ? ? 1 1 ? 3 ,解得 tan ? ? , 1 ? tan ? 2 2 tan ? 4 所以 tan 2? ? ? . 1 ? tan 2 ? 3
(16)(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:经计算, x A ? 18 , x B ? 22 ,

据此估计, A 班的学生平均每周上网时长为 18 小时, B 班的学生平均每周上网时长为 22 小时. ????3 分

(Ⅱ)解: A 班的样本数据中上网时长不小于 21 小时的有 2 个,从中有 放回地抽取 2 个
1 数据,恰有 1 个数据为“过度用网”的概率为 P ? C2 ? ( )1 (1 ? )1 ?

2 6

2 6

4 . 9

????6 分

(Ⅲ)解:随机变量 X 的取值为 0,1,2,3,4,

P( X ? 0) ?

2 2 C4 C2 6 ? , 2 2 C6 C6 225 1 1 2 2 1 1 C2 C4 C2 ? C4 C4 C2 56 ? , 2 2 225 C 6 C6 1 1 1 1 2 2 2 2 C2 C4C4C2 ? C2 C2 ? C4 C4 101 , ? 2 2 225 C6 C6 2 1 1 1 1 2 C2 C4C2 ? C2 C4C4 56 ? , 2 2 225 C 6 C6

P( X ? 1) ?

P( X ? 2) ?

P( X ? 3) ?

11

P( X ? 4) ?

2 2 C2 C4 6 , ? 2 2 225 C6 C6

随机变量 X 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

6 225

56 225

101 225

56 225

6 225
????11 分

X 的数学期望是 E( X ) ? 0 ?

101 56 6 6 56 ? 3? ? 4? ? 2 .????13 分 ? 1? ? 2? 225 225 225 225 225

(17)(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:以 D 为原点,以 DA , DC , DP 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直 角坐标系, ????1 分

由题意得, D ( 0 , 0 , 0 ) , A(1 , 0 , 0 ) , B (1 ,1 , 0 ) , C ( 0 , 2 , 0 ) , E ( 0 , 2 , 2 ) ,

2 1 ), P (0 , 0 , 2 ) , F ( , 0 , 2 2
则 AC ? (?1 , 2 , 0 ) ,平面 DEF 的一个法向量 n1 ? ( x , y , z ) ,

2 1 ), DE ? (0 , 2 , 2 ) , DF ? ( , 0 , 2 2

? 2 y ? 2z ? 0 ? ? ?n1 ? DE ? 0 由? ,即 ? 1 , 2 z?0 ? ? x? ?n1 ? DF ? 0 2 ?2
取 z ? 2 ,得 n1 ? (?2 2 , ? 2 , 2) , 因为 AC ·n1 ? ?1? (?2 2 ) ? 2 ? (? 2 ) ? 0 ? 2 ? 0 , 所以 AC ? n1,

AC ∥平面 DEF .
(Ⅱ)解:设平面 PBC 的一个法向量 n2 ? ( x , y , z ) ,

????4 分

PB ? (1 , 1 , ? 2 ) , BC ? (?1 , 1 , 0 ) ,
12

由?

? ? ? n2 ? PB ? 0 ?x ? y ? 2 z ? 0 ,即 ? , ? ? x ? y ? 0 ? n ? BC ? 0 ? ? 2

取 x ?1 ,得 n2 ? (1 , 1 , 2 ) , 设平面 ABC 的一个法向量 n3 ? ( 0 , 0 , 1) , 所以 cos ? n2 , n3 ??

n2 ? n3 2 2 , ? ? n2 ? n3 2 4

????6 分

由图可知二面角 A ? BC ? P 为锐二面角, 所以二面角 A ? BC ? P 的大小为

? . 4

????8 分

2 1 ) , E (0 , 2 , 2 ) , (Ⅲ)解:设存在点 Q 满足条件,由 F ( , 0 , 2 2 ( 2 1 ? ?) 1? ? ), 设 FQ ? ? FE ( 0 ? ? ? 1 ),整理得 Q( , 2? , 2 2 ( 2 1 ? ?) 1? ? ), , 2? ?1 , ????10 分 BQ ? (? 2 2
因为直线 BQ 与平面 BCP 所成角的大小为 30? ,

所以 sin

?
6

? cos ? BQ, m ? ?

BQ ? m BQ ? m

?

5? ? 1 2 19?2 ? 10? ? 7

?

1 , 2

则 ?2 ? 1 ,由 0 ? ? ? 1 ,所以 ? ? 1 ,即 Q 点和 E 点重合, 故在线段 EF 上存在一点 Q ,且 FQ ? EF ? (18)(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由题意,设抛物线 C 的方程为 x 2 ? 2 py ( p ? 0 ), 则

19 . 2

????13 分

p ? 1, p ? 2 , 2
????4 分

所以抛物线 C 的方 程为 x 2 ? 4 y . (Ⅱ)解:由题意,直线 AB 的斜率存在,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , 直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 ,

????5 分
13

? y ? kx ? 1 由? 2 ,消去 y ,整理得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 , x ? 4 y ?
x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 ,
从而 x1 ? x2 ? 4 k 2 ? 1 , ????8 分 ????9 分

y ? 2 x1 2 x1 8 ?y? 1 x 由? , ? ? x1 ,解得点 M 的横坐标 xM ? 2 x1 ? y1 4 ? x1 x1 ? y ? x ? 2 x1 ? ? 4
同理点 N 的横坐标 x N ?

8 , 4 ? x2

所以 MN ? 2 xM ? xN ? 8 2 令 4 k ? 3 ? t , t ? 0 ,则 k ? 当 t ? 0 时, MN ? 2 2

x1 ? x2 8 2 k 2 ?1 , ? x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 4k ? 3

????11 分

t ?3 , 4

25 6 ? ?1 ? 2 2 , t2 t

5 3 16 8 当 t ? 0 时, MN ? 2 2 ( ? ) 2 ? ? 2, t 5 25 5
综上所述,当 t ? ?

25 4 8 ,即 k ? ? 时, MN 的最小值是 2. 3 3 5

????13 分

(19)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:圆 Cn 的圆心到直线 l n 的距离 d n ?

2n 2

? n ,半径 rn ? 2an ? n ,

所以 an?1 ?

a 1 2 2 2 An Bn ? rn ? d n ? 2an ,即 n ?1 ? 2 , an 4

????3 分

又 a1 ? 1 ,所以数列 {a n } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,

an ? 2n?1 .

????5 分

14

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, bn ? 所以 Tn ?

n n ? n ?1 , 4an 2

????6 分

1 2 3 n ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 , 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n?1 ? n?2 , 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 1 n?2 两式相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? n?2 ? ? n? 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 n?2 所以 Tn ? 1 ? n?1 . 2 1 ? 2n ? 2n ? 1, (Ⅲ) 证明:因为 an ? 2n?1 ,所以 S n ? 1? 2 k?2 k?2 ? 所以 k ?2 S k (Tk ? k ? 1) (2 k ? 1)(1 ? k ?1 ? k ? 1) 2
? 2 k ?1 1 1 ? 2( k ? k ?1 ) , k k ?1 (2 ? 1)( 2 ? 1) 2 ?1 2 ?1

????9 分

????11 分

所以

?S
k ?1

n

k ?2 1 1 1 1 1 1 ? 2( 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n?1 ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 k (Tk ? k ? 1)

? 2(1 ?

1 2
n ?1

) ? 2. ?1

????14 分

(20)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:当 m ? 1 时,曲线 y ? f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? ln x , 设切点坐标为 ( x0 , ln x0 ) , 由 f ' ( x) ?

1 1 1 ,所以斜率 k ? ,则切线方程为 y ? ln x0 ? ( x ? x0 ) , x0 x0 x

因为切线过点 P (0 , ? 1) ,所以 ? 1 ? ln x0 ? ?1 ,解得 x0 ? 1 , 所以切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 . (Ⅱ)解:函数 f ( x) 的定义域为 ( 0 , ? ?) , ????3 分

f ' ( x) ?

2x2 ? 2x ? m , x
15

令 f ' ( x) ? 0 ,

1? 当 m ?

1 时, f ' ( x) ? 0 恒成立, 2

函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( 0 , ? ?) ;

2? 当 0 ? m ?

1 时, 2
1 ? 1 ? 2m 1 ? 1 ? 2m ) ,( , ? ?) ; 2 2

函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( 0 ,

3? 当 m ? 0 时,
1 ? 1 ? 2m , ? ?) . 2 2x2 ? 2x ? m (Ⅲ)解: f ' ( x ) ? , x
函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( 令 f ' ( x) ? 0 ,得 2 x 2 ? 2 x ? m ? 0 , 由题意,方程有两个不相等的正数根 a , b ,且 a ? b , ????7 分

?? ? 4(1 ? 2m) ? 0 1 ? m 则? ,解得 0 ? m ? , ? 0 2 ? 2 ?
a? 1 ? 1 ? 2m 1 ? 1 ? 2m 1 ,b ? ,则 0 ? a ? ? b ? 1 , 2 2 2
????9 分

由 2b 2 ? 2b ? m ? 0 ,得 m ? ?2b 2 ? 2b ,

所以 f (b) ? b 2 ? 2b ? 1 ? m ln b ? b 2 ? 2b ? 1 ? (?2b 2 ? 2b) ln b , b ? ( , 1) ,

1 2

1 f ' (b) ? ?4(b ? ) ln b , 2 1 1 当 b ? ( , 1) 时, f ' (b) ? 0 ,即函数 f (b) 是 ( , 1) 上的增函数, 2 2 1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2 所以 , 0) , ? f (b) ? 0 ,故 f (b) 的取值范围是 ( 4 4
则 [ f (b)] ? ?1 , 同理可求 f (a) ? a 2 ? 2a ? 1 ? (?2a 2 ? 2a) ln a , a ? (0 , ) ,

????11 分

1 2

1 f ' (a) ? ?4(a ? ) ln a ? 0 , 2
16

1 1 2 2 1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2 所以 , 1) , ? f (a) ? 1,故 f (a) 的取值范围是 ( 4 4
则 [ f (a)] ? ?1 或 [ f ( a )] ? 0 , 当 [ f (a)] ? ?1 时, sin

当 b ? ( , 1) 时, f ' (b) ? 0 ,即函数 f (a ) 是 ( 0 , ) 上的减函数, ????12 分

[ f (a)] ? cos([ f (a)][ f (b)]) ; [ f (b)]
????14 分

当 [ f ( a )] ? 0 时, sin

[ f (a)] ? cos([ f (a)][ f (b)]) . [ f (b)]

17


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