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高中数学人教版A选修2-1教学课件:双曲线的简单几何性质(二)_图文

双曲线的简单几何性质(二) 双曲线的简单几何性质(二) 请同学们自己课前回忆双曲线的几何性质: 标准方 程 焦点 对称性 顶点 渐近线 离心率 y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b F1(0,-c) , F2(0,c) a ─实半轴长 b ─虚半轴长 c ─半焦距 y x 可由 2 ? 2 ? 0 得 a b 2 2 c ?a ?b 2 2 2 这一节,我们学习运用这些知识来解决问题. 思考 1.(随堂通 P66 例 3) 根据下列条件,求双曲线方程 : x2 y2 ⑴与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 (?3, 2 3) ; 9 16 x2 y2 ? ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 , 2) ⑵与双曲线 16 4 分析:这里所求的双曲线方程易知是标准方程. 这里有两种方法来思考: 法一:直接设标准方程,运用待定系数法; 法二:巧设方程,运用待定系数法. 法二可能会比法一简洁,因为设方程思考了. 法一 法二 根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 ? 1 有共同渐近线,且过点 (?3, 2 3) ; ⑴与双曲线 ? 9 16 ⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) x2 y2 4 解:双曲线 ? ? 1 的渐近线为 y ? ? x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 ? 4 , 3 9 16 4 故点 (?3,2 3) 在射线 y ? ? x (x≤0)及 x 轴负半轴之间, 3 x2 y2 ∴ 双曲线焦点在 x 轴上,∴设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0), a b ?b 4 ? 2 9 2 2 ? a ? ? x y ? a 3 ∴? 解之得 ? ?1 4 ,∴ 双曲线方程为 ? ? 9 2 2 4 ?b2 ? 4 ? ( ?3) ? (2 3) ? 1 ? 2 2 4 ? b ? a 根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 , 2) . ⑵与双曲线 ? 16 4 法一:直接设标准方程,运用待定系数法 2 2 x y ⑵解:设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) a b 2 ? a 2 ? b 2 ? 20 ? a ? 12 ? 则? 解之得 ? 2 ? (3 2 )2 2 2 b ?8 ? ? ? ? 1 ? 2 2 ? a b x y ? ?1 ∴双曲线方程为 12 8 法二 2 2 法二:巧设方程,运用待定系数法. 根据下列条件,求双曲线方程: 为什么可以这样设? x2 y2 ⑴与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 (?3, 2 3) ; 9 16 x2 y2 ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 , 2) . ⑵与双曲线 ? 16 4 x2 y2 ( ?3)2 (2 3)2 ? ? ? (? ? 0) ,∴ ⑴设双曲线方程为 ? ?? 9 16 9 16 1 x2 y2 ? ?1 ∴ ? ? ,∴ 双曲线方程为 9 4 4 4 x2 y2 ? ? 1 ?16 ? k ? 0且4 ? k ? 0? ⑵设双曲线方程为 16 ? k 4 ? k x2 y2 (3 2)2 22 ? ?1 ? ? 1 ,解之得 k=4,∴ 双曲线方程为 ∴ 12 8 16 ? k 4 ? k 课堂练习 b b 证明:直线 y ? x 与 y ? ? x 的交点为原点且它们关于 x 轴、 y 轴对称. a a b 求证:渐近线方程为 y ? ? x 的双曲线的方程可写成 a x2 y2 ? 2 ? ? (? ? 0) 的形式. 2 a b ∴双曲线的方程可写成 ∴双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上. x2 y2 ⑴当焦点在 x 轴上,则方程可设为 2 ? 2 ? 1 . m 2 n 2 n2 b2 2 2 ∴ 2 ? 2 ,令 m ? ??a (?? ? 0) ,则 n ? ??b m a x2 y2 x2 y2 ??a 2 ? y2 x2 ⑵当焦点在 y 轴上,则方程可设为 2 ? 2 ? 1 . m n 2 2 m b ∴ 2 ? 2 ,令 n2 ? ?2a 2 (?2 ? 0) ,则 m2 ? ?2b2 n a x2 y2 y2 x2 ∴双曲线的方程可写成 ? ? 1(?2 ? 0) 即 2 ? 2 ? ? ?2 ( ? ?2 ? 0) 的形式. 2 2 a b ?2b ?2a ?1b 2 ? 1(?1 ? 0) 即 a 2 ? b 2 ? ?? (?1 ? 0) 的形式. 综上所述,原命题成立. 课堂练习 思考 2:是否存在同时满足下列条件的双曲线,若存在求 出其方程,若不存在,说明理由. ⑴渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 , x ? 2 y ? 0 ; ⑵点 A(5,0) 到双曲线上动点 P 的距离的最小值为 6 . 分析:假设存在,看能不能求出. 答案 思考 2:是否存在同时满足下列条件的双曲线,若存在求出 其方程,若不存在,说明理由. ⑴渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 , x ? 2 y ? 0 ; ⑵点 A(5, 0) 到双曲线上动点 P 的距离的最小值为 6 . 解:满足条件⑴的双曲线的方程为 x ? 4 y ? ? (? ? 0) . 2 2 设双曲线 x ? 4 y ? ? (? ? 0) 上动点 P( x, y ) 2 2 2 x ?? 2 2 2 ∵ PA ? ( x ? 5) ? y 且 y ? ? 2 x ?? 2 ∴ PA ? ( x ? 5) ? (? ? 0) 且 x 2 ? ? ≥ 0 ? 5 ? 2 = ( x ? 4) ? 5 ? 4 ? 解:满足条件⑴的双曲线的方程为 x 2 ? 4 y 2 ? ? (? ? 0) . 设双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? ? (? ? 0) 上动点 P( x, y ) 2