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2014茂名二模理科数学试题及答案


广东省茂名市 2014 届高三第二次高考模拟

数学(理)试题
本试卷分选择题和非选择题两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案的序号填在答题卡相应的位置上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回。 第一部分选择题(共 40 分) 一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设全集 U=R,集合 A={x|x2+x≥0},则集合 Cu A= ( ) A.[-1,0] B. (-1,0) C. (-∞,-1] U [0,+ ? )D.[0,1] 2.曲线 y= x3-2x2 在点(1,-1)处的切线方程为( ) A.y= x-2 B.y= -3x+2 C.y=2x-3 3.已知数列{an}是等差数列,a2=2,a5=8,则公差 d 的值为( A. D.y=-x ) D.-2 )

1 2

B. ?

1 2

C.2

4.某几何体的正视图和侧视图均如左图所示,则该几何体的俯视图不可能是(

5.对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计,得到样本的茎叶图(如右图 所示) ,则该样本的中位数、众数、极差分别是( ) A. 47, 45, 56 B. 46, 45, 53 C. 46, 45, 56 D. 45, 47, 53

?x ? y ? 3 ? 6.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z=2x+ 3y 的最小值为 ?2 x ? y ? 3 ?
A.6 B.7 C.8 D. 23 7、两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都是 5 海里,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20o, 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40o,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( ) A.5 海里 B. 10 海里 C.5 2 海里 D.5 3 海里

8.已知点 A(1,0) ,若曲线 G 上存在四个点 B,C,D,E.使△ABC 与△ADE 都是正三角 形,则称曲线 G 为“双正曲线” .给定下列四条曲线: 2 2 2 2 ①4x+3y =0; ②4x +4y2=1; ③x2+2y2=2; ④x -3y =3 其中, “双正曲线”的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 第二部分非选择题(共 1 1 0 分) 二、填空题(本大题分为必做题和选做题两部分,每小题 5 分,满分 30 分) 。 (一)必做题(9~13 题) 9.命题“ ? x0∈R,x02+ 2x0 +2≤0” 的否定是 . 10.i 是虚数单位,计算

5i = 2?i

. .

11.某程序框图(即算法流程图)如右图所示,其输出的结果是 12.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3 x ,它 a 2 b2
2

的 一 个 焦 点 在 抛 物 线 y ? 24 x 的 准 线 上 , 则 该 双 曲 线 的 方 程 为 . 13.从 1,2,3,?,9,10 这 10 个整数中任意取 3 个不同的数作为二次函 数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的系数, 则满足
2

f (1) ? N 的方法有 3
( ? 为参数)与直

种.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (极坐标与参数方程选做题)曲线 ?

? x ? sin ?
2 ? y ? sin ?

线 y=x+2 的交点坐标为 . 15. (几何证明选讲选做题)如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90o,E 为 AB 上一点,以 BE 为直径作圆 O 与 AC 相切于点 D.若 AB:BC=2:1, CD= 3 ,则圆 O 的半径长为 .

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共 80 分) 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a =(cos 2x,1) , b =(1,sin 2x) ,x ? R 函数 f(x)= a · b . (1)求函数 f(x)的最小正周期: (2)若 f ( ?

r

r

r

r

a 2

?
8

)?

3 2 ,求 cos 2a 的值. 5

17. (本小题满分 12 分) 某次数学考试中有三道选做题,分别为选做题 1、2、3.规定每位考生必须且只须在其 中选做一题。甲、乙、丙三名考生选做这一题中任意一题的可能性均为 每题的选择是相互独立的,各学生的选择相互之间没有影响. (1)求这三个人选做的是同一道题的概率: (2)设 ? 为三个人中做选做题 l 的人数,求 ? 的分布列与均值;

1 ,每位学生对 3

18. (本小题满分 14 分) 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90o,BC=3, AC=6,D,E,F 分别是 AC,AB CB 上的点,且 DE∥BC,DE=2,CF=1,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 AC⊥CD,如图 2. (1)求证:A1C⊥平面 BCDE (2)若 M 是 A1E 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的正弦值; (3)试问线段 A1C 上是否存在点 P,使平面 FDP∥平面 A1BE?请你说明理

19. (本小题满分 14 分) 没数列{an}满足 an =2an-1+n(n≥2 且 n∈N*) ,{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}满足 bn=an+n+2. (l)若 a1=1,求 S4. (2)试判断数列{bn}是否为等比数列?请说明理由; (3)若 a1=-3,m,n,p∈N*,且 m+n=2p.试比较 结论。

2 1 1 ? 与 的大小,并证明你的 Sp Sm Sn

20. (本小题满分 14 分) 已知动点 M 与点 F(

1 1 ,0)的距离和它到直线 l:x=- 的距离相等,记点 M 的轨迹 2 2

为曲线 C1。 (1)求曲线 C1 的方程。 (2) 设 P(x0, y0)是曲线 C1 上的动点, 点 B、 C 在 y 轴上, PB, PC 分别与圆 ( x ? 1) ? y ? 1
2 2

相切于两点 E,G。 (I)当 y0 =4 时,求|EG|; (Ⅱ)当 x0>2 时,求△PBC 面积的最小值。 21. (本小题满分 14 分) 若函数 y=

f ( x) 在 (m, ??) 上为增函数(m 为常数) ,则称 f(x)为区间 (m, ??) 上的“一 x

阶比增函数” 。 已知函数 f(x)是在 (0, ??) 上每一点处可导的函数,且 xf′(x)>f(x)在 (0, ??) 上恒 成立. (1)求证:f (x)为区间 (0, ??) 上的“一阶比增函数” ; (2)当 x1>0,x2 >0 时,证明:f(x1)+f(x2) ? f ( x1 ? x2 ) ; (3)已知不等式 ln (l+x)<x 在 x>-1 且 x ? 0 时恒成立,证明:

1 1 1 ln 2 ? 3 l n? 4 L ? nl n ? ( 2 2 3 n ( ? 1 2)

? 1) n 4? (

n n 1? )(

n

* ? N ( 2)

).


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