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高中数学必修1知识点总结及题型


高中数学讲义必修一第一章复习

知识点一

集合的概念

1.集合:一般地,把一些能够________________对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象________ 构成的集合(或集),通常用大写拉丁字母 A,B,C,?来表示. 2.元素:构成集合的____________叫做这个集合的元素,通常用小写拉丁字母 a,b,c,?来表示. 3.空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为 知识点二 集合与元素的关系 .

1.属于:如果 a 是集合 A 的元素,就说 a________集合 A,记作 a________A. 2.不属于:如果 a 不是集合 A 中的元素,就说 a________集合 A,记作 a________A. 知识点三 集合的特性及分类 _______、________、________.

1.集合元素的特性

2.集合的分类:(1)有限集:含有_______元素的集合;(2)无限集:含有_______元素的集合. 3.常用数集及符号表示 名称 符号 知识点四 集合的表示方法 非负整数集(自然数集) N N 或 N+
*

整数集 Z Q

实数集 R

1.列举法:把集合的元素______________,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法 2.描述法:用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法. 知识点五 集合与集合的关系

1.子集与真子集

定义 如果集合 A 中的________元素都是 子集 集合 B 中的元素,我们就说这两个 集合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集 如果集合 A? B,但存在元素 真子集 ________,且________,我们称集 合 A 是集合 B 的真子集

符号语言

图形语言 (Venn 图)

________(或 ________)

________(或 ________)

2.子集的性质 (1)规定:空集是____________的子集,也就是说,对任意集合 A,都有________.(2)任何一个集合 A 都是 它本身的子集,即________.(3)如果 A? B,B? C,则________.(4)如果 A ? B,B ? C,则________. 3.集合相等

定义 如果集合 A 是集合 B 的子集(A ? B),且________________,此 集合相等 时,集合 A 与集合 B 中的元素 是一样的, 因此, 集合 A 与集合 B 相等 知识点六 1.交集 自然语言 由___________________ _____________________ 组成的集合,称为 A 与 B 的 交集 2.并集 自然语言 由_________________ _________________组成的 集合,称为 A 与 B 的并集 符号语言 A∩B=_________ 符号语言 集合的运算

符号语言

图形图言 (Venn 图)

A=B

图形语言

图形语言

A∪B=_______________

3.交集与并集的性质 交集的运算性质 A∩B=________ A∩A=________ A∩?=________ A? B?A∩B=________ 4.全集 在研究集合与集合之间的关系时,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________,那么就称这个集 合为全集,通常记作________. 5.补集 文字语言 符号语言 图形语言 对于一个集合 A,由全集 U 中__________的所有元素组成的集合称为集 合 A 相对于全集 U 的补集,记作________ ?UA=________________ 并集的运算性质 A∪B=________ A∪A=________ A∪?=________ A? B?A∪B=________

典例精讲 题型一 * 判断能否构成集合 1. 在“①高一数学中的难题; ②所有的正三角形; ③方程 x2-2=0 的实数解”中, 能够构成集合的是 题型二 * 验证元素是否是集合的元素 1、已知集合 。

A ? x x ? m2 ? n2 , m ? Z , n ? Z

?

?,判断 3 是不是集合 A 的元素。
1 2? 3
是不是集合 A 中的元素.

2、集合 A 是由形如 m ? 题型三 ** 求集合

3n?m ? Z , n ? Z ? 的数构成的,判断

?3x+y=2 1.方程组? 的解集是( ?2x-3y=27 ?x=3 A.? ?y=-7

)

B.{x,y|x=3 且 y=-7}

C.{3,-7}

D.{(x,y)|x=3 且 y=-7}

2.下列六种表示法:①{x=-1,y=2};②{(x,y)|x=-1,y=2};③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2)}; ⑥{(x,y)|x=-1 或 y=2}. ?2x+y=0, 能表示方程组? 的解集的是( ?x-y+3=0 A.①②③④⑤⑥ 题型四 B.②③④⑤ ) D.②⑤⑥

C.②⑤

** 利用集合中元素的性质求参数 )

1.已知集合 S={a,b,c}中的三个元素是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 2.设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}= B.直角三角形 D.等腰三角形

{0,ba,b},则 b-a=________.
) D.0 或 2 或 3

3.已知 P={x|2<x<k,x∈N,k∈R},若集合 P 中恰有 3 个元素,则实数 k 的取值范围是________. 4.已知集合 A 是由 0,m,m2-3m+2 三个元素组成的集合,且 2∈A,则实数 m 的值为( A.2 题型五 1、设 M B.3 C.0 或 3

** 判断集合间的关系

? ? ? ? k 1 k 1 ? ? x x ? ? , k ? Z ? , N ? ?x x ? ? , k ? Z ? ,则 M 与 N 的关系正确的是( 2 4 4 2 ? ? ? ?
B. M



A. M=N

?N
?

C. M

?N
?

D.以上都不对

2.判断下列集合间的关系: (1)A={x|x-3>2},B={x|2x-5≥0}; (2)A={x∈Z|-1≤x<3},B={x|x=|y|,y∈A}. 题型六 ** 求子集个数

1. 已知集合 A={x|ax2+2x+a=0, a∈R}, 若集合 A 有且仅有 2 个子集, 则 a 的取值构成的集合为________. 2.已知集合 A={1,2,3},写出集合 A 的所有子集,非空子集,真子集,非空真子集

题型七

** 利用两个集合之间的关系求参数

1.已知集合 A={1,2,m3},B={1,m},B? A,则 m=________. 2.已知集合 A={1,2},B={x|ax-2=0},若 B? A,则 a 的值不可能是( A.0 题型八 B.1 C.2 D.3 )

*** 集合间的基本运算

1.下面四个结论:①若 a∈(A∪B),则 a∈A;②若 a∈(A∩B),则 a∈(A∪B);③若 a∈A,且 a∈B, 则 a∈(A∩B);④若 A∪B=A,则 A∩B=B.其中正确的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 ) )

2.已知集合 M={x|-3<x≤5},N={x|x>3},则 M∪N=( A.{x|x>-3} B.{x|-3<x≤5} C.{x|3<x≤5}

D.{x|x≤5} )

3.已知集合 A={2,-3},集合 B 满足 B∩A=B,那么符合条件的集合 B 的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 )

4.(2016· 全国卷Ⅲ理,1)设集合 S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则 S∩T=( A.[2,3] B.(-∞,2]∪[3,+∞) ) C.[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞)

5.下列关系式中,正确的个数为(

①(M∩N)? N;②(M∩N)? (M∪N);③(M∪N)? N;④若 M? N,则 M∩N=M. A.4 B.3 C.2 D.1

6.(2016· 唐山一中月考试题)已知全集 U={x|x≤4},集合 A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},求 A∩B, (?UA)∪B,A∩(?UB).

题型九

** 根据集合运算的结果求参数

1.若集合 A={2,4,x},B={2,x2},且 A∪B={2,4,x},则 x=________. 2.设 A={x|x2+8x=0},B={x|x2+2(a+2)x+a2-4=0},其中 a∈R.如果 A∩B=B,求实数 a 的取值范 围.

3.U={1,2},A={x|x2+px+q=0},?UA={1},则 p+q=________. 题型十 ** 集合中的新定义问题 )

1.集合 P={3,4,5},Q={6,7},定义 P*Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则 P*Q 的子集个数为( A.7 B.12 C.32 D.64

2.当 x∈A 时,若 x-1?A,且 x+1?A,则称 x 为 A 的一个“孤立元素”,由 A 的所有孤立元素组成 的集合称为 A 的“孤星集”, 若集合 M={0,1,3}的孤星集为 M′, 集合 N={0,3,4}的孤星集为 N′, 则 M′ ∪N′=( ) B.{1,4} C.{1,3} D.{0,3}

A.{0,1,3,4}

知识点一 函数的有关概念

知识点二 两个函数相等的条件 1.定义域________.2.________完全一致. 知识点三 区间的概念及表示 1.一般区间的表示 设 a,b∈R,且 a<b,规定如下: 定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b} 2.特殊区间的表示 名称 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 符号 数轴表示

定义 符号

R (-∞,+∞)

{x|x≥a} a,+∞)

{x|x>a} (a,+∞)

{x|x≤a} (-∞,a]

{x|x<a} (-∞,a)

知识点四 函数的表示方法 函数的三种表示法:解析法、图象法、列表法. 知识点五 分段函数 如果函数 y=f(x),x∈A,根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围,有着不同的________,那 么称这样的函数为分段函数.分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的

________,值域是各段值域的________. 知识点六 映射的概念 设 A,B 是两个________________,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 ________________,在集合 B 中都有________确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. 知识点七 函数的单调性 1.增函数、减函数:设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两 个自变量的值 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2), 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数; 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数. 2. 函数的单调性: 若函数 f(x)在区间 D 上是增(减)函数, 则称函数 f(x)在这一区间上具有(严 格的)单调性,区间 D 叫做 f(x)的单调区间. 3.单调性的常见结论:若函数 f(x),g(x)均为增(减)函数,则 f(x)+g(x)仍为增(减)函数;若 1 函数 f(x)为增(减)函数, 则-f(x)为减(增)函数;若函数 f(x)为增(减)函数,且 f(x)>0,则 为 f?x? 减(增)函数. 知识点八 函数的最大值、最小值 最值 类别 最大值 最小值

设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 条件 (1)对于任意的 x∈I,都有__________ (2)存在 x0∈I,使得______________ 结论 M 是函数 y=f(x)的最大值 (1)对于任意的 x∈I,都有________ (2)存在 x0∈I,使得________ M 是函数 y=f(x)的最小值

性质:定义在闭区间上的单调函数,必有最大(小)值. 知识点九 函数的奇偶性 1.函数奇偶性的概念

偶函数

奇函数

条件

对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 函数 f(x)是奇函数

结论

函数 f(x)是偶函数

2.性质

(1)偶函数的图象关于 y 轴对称; 奇函数的图象关于原点对称, 奇函数在原点有定义, 则 f(x)=0 (2)奇函数在对称的区间上单调性相同,偶函数在对称的区间上单调性相反. (3)在定义域的公共部分内,两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数;两个奇函数之和为奇 函数;两个偶函数的和、积与商为偶函数;一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数. 知识点十 函数的周期性 ,称这样的函数为

若存在非零常数 T,对定义域内任意 x,都有 f ? x ? T ? ? f ( x) 周期函数,T 叫函数的一个周期。

如:若f ? x ? a ? ? ? f ( x) ,则
典例精讲 题型一 *** 函数的定义域 ) D.{x|x≥3} )

1 函数 f(x)=ln(x-3)的定义域为( A.{x|x>-3} B.{x|x>0}

C.{x|x>3}

2.函数 f(x)= 1-2x+

1 的定义域为( x+3

A.(-3,0] B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1]

? x 2 ? 3x ? 4 3.函数 y ? 的定义域为 ( x A. [?4, 1] B. [?4, 0) C. (0, 1]

) D. [?4, 0) ? (0, 1]

4.已知函数 f(x)= mx2 ? mx ? 1 的定义域是一切实数,则 m 的取值范围是( ) A.0<m≤4 B.0≤m≤1 C.m≥4 D.0≤m≤4 5、若函数 y = f ( x) 的定义域是[1,4],则 y = f (2 x ? 1) 的定义域是 6、若函数 y = f (3x ? 1) 的定义域是[1,2],则 y = f ( x) 的定义域是 题型二 *** 函数概念的考察 1 下列图象中,不可能成为函数 y=f(x)图象的是( ) .

2 下列各组函数中表示同一函数的是( ) A.y= 5 C. y ?

x

5

和y?

x

2

B.y=ln

e

x

和y?
0

e

ln x

?x ? 1??x ? 3? 和y ? ?x ? 3? ?x ? 1?


D. y ?

x 和y ?

1

x

0

3 下列四组函数中,表示同一函数的是(

A. y ? x ? 1与y ?

( x ? 1) 2

B. y ?

x ? 1与y ?

x ?1 x ?1
x 100

C. y ? 4 lg x与y ? 2 lg x 2 4 已知函数 y= 题型三 ***

D. y ? lg x ? 2与 ? lg

x

2

? 2 定义域为 ?? 1,0.1,2? ,则其值域为

分段函数的考察

1、已知函数 f ( x ) ? ? A.4 B.

?log 3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) ?

1 9

1 4
1

C.-4

D-

1 4

?1-2x,x≥0, 2、已知函数 f(x)=? 1 ?x,x<0,
3、设函数 f ( x ) ? ? A. (?3,1) ? (3,??) 4、 已知函数 f ( x ) ? ?

若 f(a)=a,则实数 a=________.

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ) ? x ? 6, x ? 0
B. (?3,1) ? (2,??) C. (?1,1) ? (3,??)
2

D. (??,?3) ? (1,3)

? x 2 ? 4 x, ?4 x ? x ,
2

x?0 x?0
B (?1, 2)

若 f (2 ? a ) ? f (a), 则实数 a 的取值范围是 ( ) C (?2,1) D (??, ?2) ? (1, ??)

A (??, ?1) ? (2, ??) 题型四 *** 函数图像的考察

1、设 abc ? 0 ,二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像可能是
2

2、函数 y=2 - x 的图像大致是
x

2

3、函数 y ?

e x ? e? x 的图像大致为 e x ? e? x
y 1 O 1 x 1 O1 x y y 1 O1 x

(

)

y 1 O D 1 x

A

B

C

4、 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车 的速度曲线分别为 v甲和v乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给定的 t0和t1 ,下列判断中一定 正确的是 ( ) B. t1 时刻后,甲车在乙车后面 D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面

A. 在 t1 时刻,甲车在乙车前面 C. 在 t 0 时刻,两车的位置相同

题型五 *** 求函数的解析式 1、求下列函数的解析式 ① 已知 f ? x ?

? ?

1? ?? x?

x

3

?

1

x

3

, 求f ( x).

② 已知f ?

?2 ? ? 1? ? lg x,求f ( x). ?x ?

③ 已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x).

④ 已知 f(x)满足 2 f ?x ? ? f ? ? ? 3x. 求 f(x).

?1? ? x?

2、已知 f(x)为奇函数,x>0, f(x)=x +x,求 f(x)解析式

2

3、设 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,并且 f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? x ,求 f ( x) 。

题型六

** 函数的值域与最值 .

1、函数 y ? x2 ? 2x ? 3 , x ? ?? 1,4? 的值域为 2、求函数 f ( x) ?

x ?1 x?5

x ? ?1,4? 的最大值和最小值。

3、求函数 f ( x) ? 4 x ? 2 x?1 ? 3

x ? ?? 2,4? 的最大值和最小值。

题型七 *** 函数性质的考察 1、写出函数 f ( x) ? log 1 (? x 2 ? 4 x ? 3) 的单调递减区间
2

2、设二次函数 f(x)=x -(2a+1)x+3 (1)若函数 f(x)的单调增区间为 ?2,??? ,则实数 a 的值__________; 3、定义在 (?1,1) 上的奇函数 f ( x) ?

2

(2)若函数 f(x)在区间 ?2,??? 内是增函数,则实数 a 的范围__________。

x?m ,则常数 m ? ____, n ? _____ x ? nx ? 1
2

? f ( x) ,且当 4 、已知函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2)

x ? [0, 2) 时, f ( x) ? log2 ( x ?1 ,则 f (?2008) ? f (2009) 的值为( )
A. ?2 5、函数 y ? log 2 B. ? 1 C. 1 D. 2



2? x 的图像 ( ) 2? x A.关于原点对称 B.关于主线 y ? ? x 对称
6、函数 f ? x ? ?

C .关于 y 轴对称

D.关于直线 y ? x 对称

4x ? 1 的图象( 2x



A. 关于原点对称

B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称

7、定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则 () A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

8、已知偶函数 f ( x) 在区间 ?0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围( ) (A) (

1 3

1 2 , ) 3 3

B.[

1 2 , ) 3 3

C.(

1 2 , ) 2 3

D.[

1 2 , ) 2 3

9、 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足: 对任意的 x1 , x2 ?[0, ??)( x1 ? x2 ) , 有 则 ( ) B. f (1) ? f (?2) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (?2)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0. x2 ? x1

(A) f (3) ? f (?2) ? f (1) C. f (?2) ? f (1) ? f (3)

10 、已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

5 f ( f ( )) 的值是 xf ( x? 1) ? (1? x ) f (x ,则 ) 2 1 A.0 B. 2

( C.1

) D.

5 2

11、已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数, 若 方 程 f(x)=m(m>0) 在 区 间 ?? 8,8? 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x2 , x3 , x4 , 则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.
1+ax2 12、已知函数 f(x)= 的图象经过点(1,3),并且 g(x)=xf(x)是偶函数. x+b (1)求函数中 a、b 的值; (2)判断函数 g(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并用单调性定义证明.

基本初等函数、方程的根与函数的零点

知识点一 指数函数 (1)根式的概念: 如果 xn ? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N ? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. (2)分数指数幂的概念: ①正数的正分数指数幂的意义是: a n ? a (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数
n m m

幂等于 0. ②正数的负分数指数幂的意义是: a 负分数指数幂没有意义. (3)运算性质: ① ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? R) ③ (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R) (4)指数函数 ② (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? R)
? m n

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的 a a

函数名称 定义

指数函数 函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax y ? ax

y
图象

y

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O
定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性

1

x 0
R

O

1

x 0

(0, ??)
图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0)
函数值的 变化情况

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变化对图象
的影响 知识点二 对数函数 (1)对数的定义:

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低.

①若 a x ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? log a N ,其中 a 叫做 底数, N 叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化:

x ? loga N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

(2)几个重要的对数恒等式: log a 1 ? 0 , loga a ? 1 , log a ab ? b . (3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 log10 N ;自然对数: ln N ,即 log e N (其中 e ? 2.71828 ?) . (4)对数的运算性质 如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么 ②减法: log a M ? log a N ? log a ④a
log a N

①加法: loga M ? loga N ? loga (MN ) ③数乘: n loga M ? loga M n (n ? R) ⑤

M N

?N
换 底 公 式 :

log ab M n ?
b

n log a M (b ? 0, n ? R) b



l

a

l o N ?g l

o N a bo

g b? 且 ( g

b ?0

,

1

)

(5)对数函数 函数 名称 定义 图象 对数函数 函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0 ? a ?1

y

x?1

y ? loga x

y

x?1

y ? loga x

O

1

(1, 0)

0

x
(0, ??)
R

O

(1, 0) 1 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对 图象的影响
知识点三 幂函数 (1)幂函数的定义

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

一般地,函数 y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数. (2)幂函数的图象

过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . 知识点四 函数与方程 1、函数零点的定义 (1)对于函数 y ? f ( x) ,我们把方程 f ( x) ? 0 的实数根叫做函数 y ? f ( x) 的零点。 (2) 方程 f ( x) ? 0 有实根 ? 函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点。 因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程 f ( x) ? 0 是否有实数根,有几个 实数根。函数零点的求法:解方程 f ( x) ? 0 ,所得实数根就是 f ( x) 的零点

(3)变号零点与不变号零点 ①若函数 f ( x) 在零点 x0 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数 f ( x) 的变号零点。 ②若函数 f ( x) 在零点 x0 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数 f ( x) 的不变号零点。 ③若函数 f ( x) 在区间 ? a, b? 上的图像是一条连续的曲线,则 f (a) f (b) ? 0 是 f ( x) 在区间 ? a, b ? 内有零点的充分不必要条件。 2、函数零点的判定 (1)零点存在性定理:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的曲线,并且有
f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 内有零点,即存在 x0 ? (a, b) ,使得 f (x0) ? 0 ,

这个 x0 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。 (2)函数 y ? f ( x) 零点个数(或方程 f ( x) ? 0 实数根的个数)确定方法 ① 代数法:函数 y ? f ( x) 的零点 ? f ( x) ? 0 的根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利 用函数的性质找出零点。 (3)零点个数确定 ? ? 0 ? y ? f ( x) 有 2 个零点 ? f ( x) ? 0 有两个不等实根; ? ? 0 ? y ? f ( x) 有 1 个零点 ? f ( x) ? 0 有两个相等实根;
? ? 0 ? y ? f ( x) 无零点 ? f ( x) ? 0 无实根;对于二次函数在区间 ? a, b? 上的零点个数,要

结合图像进行确定. 1、 二分法 (1) 二分法的定义:对于在区间 [ a, b] 上连续不断且 f (a) ? f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断地 把函数 y ? f ( x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点 ,进而得到零 点的近似值的方法叫做二分法; (2)用二分法求方程的近似解的步骤: ① 确定区间 [ a, b] ,验证 f (a) ? f (b) ? 0 ,给定精确度 ? ; ②求区间 ( a, b) 的中点 c ; ③计算 f (c) ; (ⅰ)若 f (c) ? 0 ,则 c 就是函数的零点; (ⅱ) 若 f (a) ? f (c) ? 0 ,则令 b ? c (此时零点 x0 ? (a, c) ); (ⅲ) 若 f (c) ? f (b) ? 0 ,则令 a ? c (此时零点 x0 ? (c, b) ); ④判断是否达到精确度 ? ,即 a ? b ? ? ,则得到零点近似值为 a (或 b );否则重复②至④步.

典例精讲 题型一 ** 有关幂函数定义及性质 1、函数 y ? (m ?1) x m
2

?2

是一个反比例函数,则 m=

.

2、在函数①y=x ②y=x ③y=x ④y= x 中,定义域和值域相同的是
3 2 -1

.

1

3、将

a ? 1.2 2 , b ? 0.9 2 , c ? 1.12 按从小到大进行排列为________

?

1

1

题型二 *** 指数函数及其性质 1、函数 y ? a x?2 ? 1.(a ? 0 且 a ? 1) 的图像必经过点 2、 比较下列各组数值的大小: (1) 1.7
3.3

0 . 8 2.1 ;
x2 ? 2 x

(2) 3.3

0 .7

3.4 0.8 ;

?1? 3、函数 y ? ? ? ?2?

的递减区间为
x? 1 2

;值域是

4、设 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4

? 3 ? 2 x ? 5 的最大值和最小值。

5、设 a, b, c, d 都是不等于 1 的正数, y ? a x , y ? b x , y ? c x , y ? d x 在同一坐标系中的图像如图所示,则 a, b, c, d 的大小顺序是 A .a ? b ? c ? d C .b ? a ? d ? c 题型三 ** 指数函数的运算
1

B .a ? b ? d ? c D .b ? a ? c ? d

?2 2 1、计算 ? ?(?2) ? ? 的结果是()

1 A、 2 B、 C、— 2 2
4 4

D、—

1 2

? 3 6 a9 ? ? 6 3 a9 ? ? ? ? ? ? ? ? 等于() 2、 ?
A、 a
16

B、 a C、 a
a b

8

4

D、 a
a ? 2b

2

3、若 3 ? 8,3 ? 5 ,则 3 3 题型四 ** 对数运算 1、求值 (log 2 3 ? 2log 2

=



3)(3log 34 ?log 32) ?



2、已知 3 ? 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是()
a

A、 a ? 2

B、 5a ? 2
? 1 2

C、 3a ? (1 ? a) 等于()

2

D、 3a ? a

2

3、已知 log 7[log 3(log 2 x)] ? 0 ,那么 x A、

1 1 1 1 B、 C、 D、 3 2 3 2 2 3 3

题型五 *** 对数函数及其性质 1、指数函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1) 的反函数为 2、已知 log 1 m ? log 1 n ? 0 ,则
2 2

;它的值域是 ( )

A. n ? m ? 1
2

B. m ? n ? 1
2
1

C. 1 ? m ? n

D. 1 ? n ? m

3、 a ? (?1.2) 3 , b ? 1.1 3 , c ? 0.9 3 , d ? log3 0.34 的大小关系是 4、已知 log a 5、函数

1 <0 , ( a >0, a ≠1) ,则 a 的取值范围是 2

.

f ( x) ? log a (2 x ? 1)

( a >0,且 a ≠1)的图像必经过点 ( )

6、已知 y=loga(2-ax)在[0,1]上是关于 x 的减函数,则 a 的取值范围是 A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2)

D. [2,??)

题型六 *** 零点区间的判断 x 1、函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是( ) A、(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) 2、函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间 ( )
? A、 ? ? , ? 1 1 ?8 4? ? B、 ? ? , ? 1 1 ? 4 2? ? C、 ? ? ,1? 1 ?2 ?

D、(1,2) D、(1,2)

3、设 f ( x) ? 3x ? x 2 ,则在下列区间中,使函数 f ( x) 有零点的区间是( ) A、[0,1] B、[1,2] x 4、在下列区间中,函数 f ( x) ? e ? 4 x ? 3 的零点所在的区间为 ( ) 1 1 1 1 1 3 A、 (? ,0) B、 (0, ) C、 ( , ) D、 ( , ) 4 4 4 2 2 4 5、若 x0 是方程 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间 ( ) A、 (0,1) B、 (1,1.25) C、 (1.25,1.75) D、 (1.75, 2)

题型七 *** 零点个数的判断 1、方程 2
?x

? x 2 ? 3 的实数解的个数为

. .

2、函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数为

3、函数 f ( x) ? x cos x 2 在区间[0,4]上的零点个数为 ( A、4 4、函数 f ( x) ? B、5 C、6 ( )

) D、 7

x ? cos x 在 [0, ??) 内

A、没有零点 C、有且仅有两个零点

B、有且仅有一个零点 D、有无穷多个零点 )

? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 5、函数 f ( x) ? ? , 零点个数为 ( ??2 ? ln x, x ? 0
A、3 B、2 C、1 D、0

6 、 若 函 数 f ( x) ? a x ? x ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) 有 两 个 零 点 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 . 7、若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( A、 ? ?2, 2 ? B、 ? ?2, 2? C、 ? ??, ?1? )

D、 ?1, ?? ?

题型八 ** 二分法求函数零点 1、下列函数中能用二分法求零点的是





2、下列函数图象与 x 轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是 (



3、设 f ?x ? ? 3 ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3 ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内近似解的过程中得
x x

f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区(
A、 (1,1.25) B、 (1.25,1.5) C、 (1.5, 2)

) D、不能确定

4、用二分法研究函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1的零点时,第一次经计算 f (0) ? 0,f (0.5) ? 0 ,可得
3

其中一个零点 x0 ?

,第二次应计算

. 以上横线上应填的内容为 ( B、 (0,1) , f (0.25) D、 (0,0.5) , f (0.125 )



A、 (0,0.5) , f (0.25) C、 (0.5,1) , f (0.75)

5、若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据 如下:

f (1) = -2 f (1.375) = -0.260

f (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162

f (1.25) = -0.984 f (1.40625) = -0.054
) D、1.5

那么方程 x3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1)为 ( A、1.2 B、1.3 C、1.4


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