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第15讲 函数与方程


函数与方程
1. 函数的零点:函数 = ()的图像与横轴的 交点的横坐标称为这个函数的零点, 即方程 = 0的根。 2. 零 点 定 理 : 设 函 数 () 在 闭 区 间 [, ] 上 连 续 , 且 与() 异 号 ( 即 < 0),那么在开区间(, )内至少有函数()的一个零点,即至少 有一点 ∈ , 使得 = 0。

【例 1】方程 2 + ? 2 + 5 ? = 0有实数根,记其两根为1 ,2 (可以相等) ,分别求 出满足以下条件的的取值范围。 (1) 1 > 2,2 > 2; (2)1 < 2 < 2 ; (3)1 ∈ (0,2),2 ? (0,2); (4)两根都在(?2,0)上; (5)0 < 1 < 2 < 2 ; (6)若此方程在 0,2 上有根。 2 ? ? 4 > 0 1 ? 2 + 2 ? 2 > 0 解析: (1)1 ? 2 > 0,2 ? 2 > 0, 1 ? 2 2 ? 2 > 0 ? 5 ? ? 2 2 ? + 4 > 0 ? 2 2 ? 4 5 ? > 0 ?≥ 0 ? ?5 < ≤ ?4【法二:用函数思想:对称轴, 2 ,?≥ 0】 (2)1 ? 2 < 0 < 2 ? 2, 1 ? 2 2 ? 2 < 0 ? 5 ? ? 2 2 ? + 4 < 0 ? < ?5【法二:函数思想,只需 2 < 0】 (3)零点定理直接运用: 0 · 2 < 0 ? 5 ? + 5 < 0 ? < ?5 或 > 5 (再用韦达定理会非常的啰嗦而且不好描述) (4)由题意,直接利用二次函数图像的性质 ?≥ 0 13 0 > 0, ?2 > 0 ? 4 ≤ < ? 2 3 ?2 < ? <0 2

(5) 0 > 0, 2 < 0 ? < ?5 (6)①单根 0 · 2 < 0 ? 5 ? + 5 < 0 ? < ?5 或 > 5 ②重根?≥ 0 ? = ±4都不满足题意 ③不等实根?> 0 且 0 > 0 且 2 > 0 且 0 < ? 综上所述, < ?5 或 > 5 【例 2】 (1)函数 = ( )的图像是在 上连续不断的曲线,且 1 · 2 > 0, = ()在区 间[1,2]上( D ) A.没有零点 C.零点的个数为偶数 B.有 2 个零点 D.零点的个数为 , ∈
?2 ?2 2

< 2 ? 为?

(2 ) (2010 宣武) 设函数 = log 3 A.(?1, ? log 3 2) C.(log 3 2 , 1)

? 在区间(1,2)内有零点, 则实数的取值范围是 ( C )

B.(0, log 3 2) D.(1, log 3 4) 8 ? 8, ≤ 1 ,g = ln ,则 , g()图像交点的个 ? 6 + 5, ( > 1)
2

(3 ) (2010 北京)已知 = 数是( C ) A.1 B.2

C.3

D.4

( 4) (2009 山东)若函数 = ? ? ( > 0, ≠ 1)有两个零点,则实数 的取值范围 是 > 1。 【例 3】(1)(2009 石景山)已知函数 = ()和函数 = ()在[?2,2]的图像如下: 给出四个命题: ① 方程 ② 方程 ③ 方程 = 0有且仅有 6 个根; = 0有且仅有 3 个根; = 0有且仅有 5 个根;

④ 方程 其中正确的命题是

= 0有且仅有 4 个根。 ①③④ 。 lg ? 1 , ≠ 1 , 则关于的方程 2 + · + = 0有 0 , = 1

(2 ) 设定义域为 的函数 =

7 个不同的实数解的充要条件是( C ) A. < 0, > 0 B. > 0, < 0C. < 0, = 0D. ≥ 0, = 0


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