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高中数学第一章解三角形复习教案 新人教B版必修5


第一章 解三角形
整体设计 教学分析 首先了解新课标对本章的定位.解三角形作为三角系列的最后一章,突出了基础性、选 择性与时代性.本章重在研究三角形边角之间的数量关系,如正弦定理、余弦定理等.正弦 定理、余弦定理更深刻地反映了三角形的度量本质,成为解三角形的主要工具. 本章的数学思想方法是一条看不见的暗线,数学思想方法是数学的精髓.在初中,教科 书着重从空间形式定性地讨论三角形中线段与角之间的位置关系, 本章主要是定量地揭示三 角形边、角之间的数量关系,从而较清晰地解决了三角形的确定性问题.本章对两个定理的 推导引入中十分强调这一量化思想方法, 并选择了更有教育价值的正弦定理和余弦定理的证 明方法. 本章中融合了学生已学过的大部分几何知识, 将解三角形作为几何度量问题来处理, 突出几何背景,为学生理解数学中的量化思想,进一步学习数学奠定了基础. 三维目标 1.熟练掌握三角形中的边角关系. 2.通过本节学习,要求对全章有一个清晰的认识,熟练掌握利用正、余弦定理解斜三 角形的方法, 明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用, 熟练掌握由实际问题向解斜三角形 类型问题的转化,逐步提高数学知识的应用能力. 3.注重思维引导及方法提炼,展现学生的主体作用,关注情感的积极体验,加强题后 反思环节,提升习题效率,激发学生钻研数学的热情、兴趣和信心. 重点难点 教学重点:掌握正、余弦定理及其推导过程并且能用它们解斜三角形. 教学难点:正弦定理、余弦定理的灵活运用,及将实际问题转化为数学问题并正确地解 出这个数学问题. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 (直接引入)本节课我们将对全章的知识、 方法进行系统的归纳总结; 系统掌握解三角形 的方法与技巧.由此展开新课的探究.

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推进新课 新知探究 提出问题 ??1?本章我们学习了哪些知识内容?请画出本章的知识结构图. ?2?解斜三角形要用到正弦定理、 余弦定理, 那么正弦定理、 余弦定理都有哪些应用? ?3?在解三角形时应用两个定理要注意些什么问题?若求一个三角形的角时, 既可以 用正弦定理,也可以用余弦定理,怎样选择较好? ?4?本章中解三角形的知识主要应用于怎样的一些问题? ?5?总结从初中到高中测量河流宽度和物体高度的方法. 活动:教师引导学生画出本章知识框图,教师打出课件演示:

从图中我们很清晰地看出本章我们学习了正弦定理、 余弦定理以及应用这两个定理解三 角形,由于本章内容实践性很强,之后又重点研究了两个定理在测量距离、高度、角度等问 题中的一些应用.教师与学生一起回忆正弦定理、余弦定理的内容及应用如下: 正弦定理、余弦定理: a b c = = , sinA sinB sinC a =b +c -2bccosA, b =c +a -2accosB, c =a +b -2abcosC. 正弦定理、余弦定理的应用: 利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题. ①已知两角和任一边,求其他两边和一角. ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角). 利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题. ①已知三边,求三个角; ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
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在求解一个三角形时, 既可以用正弦定理, 也可以用余弦定理, 要尽量选择运算量较小, 不产生讨论的方法求解.若求边,尽量用正弦定理;若求角,尽量用余弦定理. 1 1 1 除了正弦定理、余弦定理外,我们还学习了三角形面积公式 S= bcsinA= acsinB= 2 2 2 absinC,利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积. 教师利用多媒体投影演示课件如下:

解斜三角形时可用的 适用类型 定理和公式 余弦定理 a =b +c -2bccosA b =a +c -2accosB c =b +a -2bacosC 正弦定理 a b c = = =2R sinA sinB sinC 三角形面积公式 1 S= bcsinA 2 1 = acsinB 2 1 = absinC 2 (5)已知两边及其夹角 (3)已知两角和一边 (4)已知两边及其中一边的对角 类型(3)在有解时只有一解, 类 型(4)可有两解、一解和无解
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备注

(1)已知三边 类型(1)(2)有解时只有一解 (2)已知两边及其夹角

教师点拨学生, 以上这些知识与初中的边角关系、 勾股定理等内容构成三角形内容的有 机整体.实际上,正弦定理只是初中“三角形中大角对大边,小角对小边”的边角关系的量 化.余弦定理是初中“已知两边及其夹角,则这两个三角形全等”的量化,又是勾股定理的 推广.本章的应用举例也是在初中学习的一些简单测量的基础上,应用了正弦定理、余弦定 理解关于斜三角形的问题. 在应用两个定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的问题时,需注意以下几点: ①在利用正弦定理求角时,由于正弦函数在(0,π )内不严格单调,所以角的个数可能
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不唯一,这时应注意借助已知条件加以检验,务必做到不漏解,不多解. ②在运用正弦定理与余弦定理进行有关三角形内角证明时,余弦定理会省去取舍的麻 烦,但同时要注意在根据三角函数求角时,应先确定其范围. ③在进行边角,角边转换时,注意运用正弦定理和余弦定理的变形形式. 讨论结果: (1)、(2)、(5)略. (3)在应用两个定理求解时,注意与平面几何知识的融合.若求解一个三角形时两个定 理都可用,则求边宜选正弦定理,求角宜选余弦定理,但要具体问题具体分析,从中选择最 优解法. (4)本章知识主要应用测量、航海、建筑等在日常生活中与三角形有关的问题. 应用示例 例 1 判断满足下列条件的三角形形状. (1)acosA=bcosB; sinA+sinB (2)sinC= . cosA+cosB 活动: 教师与学生一起探究判定三角形形状的方法有哪些. 学生思考后可得出确定三角 形的形状主要有两条途径:(1)化边为角,(2)化角为边.鼓励学生尽量一题多解,比较各种 解法的优劣. b +c -a c +a -b 解:(1)方法一:用余弦定理,得 a× =b× . 2bc 2ca ∴c (a -b )=a -b =(a +b )(a -b ). ∴a =b 或 c =a +b . ∴三角形是等腰三角形或直角三角形. 方法二:用正弦定理,得 sinAcosA=sinBcosB, ∴sin2A=sin2B. ∵A、B 为三角形的内角,∴2A=2B 或 2A+2B=180°. ∴A=B 或 A+B=90°. 因此三角形为等腰三角形或直角三角形. a+b (2)方法一:先用正弦定理,可得 c= ,即 c·cosA+c·cosB=a+b. cosA+cosB b +c -a a +c -b 再用余弦定理,得 c· +c· =a+b. 2bc 2ac
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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化简并整理,得 a +b +a b+ab -ac -bc =0, (a+b)(a +b -c )=0. ∵a>0,b>0,∴a +b -c =0,即 a +b =c . ∴三角形为直角三角形. 方法二:∵sinA=sin(B+C),sinB=sin(A+C), ∴原式可化为 sinC·cosA+cosB·sinC =sinA+sinB=sin(B+C)+sin(A+C) =sinB·cosC+cosB·sinC+sinA·cosC+cosA·sinC. ∴sinB·cosC+sinA·cosC=0, 即 cosC(sinA+sinB)=0. ∵0°<A<180°,0°<B<180°, ∴sinA+sinB≠0.∴cosC=0. 又∵0°<C<180°,∴C=90°.∴三角形为直角三角形. 点评:第(1)题中的第 2 种解法得出 sin2A=sin2B 时,很容易直接得出 2A=2B,所以 A =B.这样就漏掉了一种情况,因为 sin2A=sin2B 中有可能推出 2A 与 2B 两角互补,这点应 引起学生注意.第(2)题中绕开正、余弦定理通过三角函数值的符号判定也是一种不错的选 择,但学生不易想到,因此熟悉三角形中 sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C)等常见结 论对解三角形大有益处.
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变式训练 △ABC 的三内角 A、B、C 的对边边长分别为 a、b、c.若 a= 于( A. ) 5 3 B. 5 4 C. 5 5 5 D. 6 5 b,A=2B,则 cosB 等 2

答案:B a 5 sinA sin2B 5 解析:由题意得 = = = =2cosB,cosB= . b 2 sinB sinB 4

例 2 在△ABC 中,若△ABC 的面积为 S,且 2S=(a+b) -c ,求 tanC 的值. 活动:本题涉及三角形的面积,面积公式又是以三角形的三边 a、b、c 的形式给出,从 哪里入手考虑呢?教师可先让学生自己探究, 学生可能会想到将三角形面积公式代入已知条
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1 1 1 件,但三角形面积公式 S= absinC= acsinB= bcsinA 有三个,代入哪一个呢?且代入以 2 2 2 后的下一步方向又是什么呢?显然思路不明. 这时教师适时点拨可否化简等式右边呢?这样 右边为(a+b) -c =a +b -c +2ab.用上余弦定理即得 a +b -c +2ab=2abcosC+2ab, 这就出现了目标角 C,思路逐渐明朗,由此得到题目解法. 解:由已知,得(a+b) -c =a +b -c +2ab 1 =2abcosC+2ab=2× absinC. 2 ∴2(1+cosC)=sinC, C C 2C 2×2cos =2sin ·cos . 2 2 2 C C ∵0°<C<180°,∴0°< <90°,即 cos ≠0. 2 2 C ∴tan =2.∴tanC= 2 4 4 = =- . C 1 - 4 3 2 1-tan 2 C 2tan 2
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点评: 通过对本题的探究, 让学生认识到拿到题目后不能盲目下手, 应先制定解题策略, 寻找解题切入口.

变式训练 1 3 在△ABC 中,tanA= ,tanB= . 4 5 (1)求角 C 的大小; (2)若 AB 边的长为 17,求 BC 边的长. 解:(1)∵C=180°-(A+B), 1 3 + 4 5 ∴tanC=-tan(A+B)=- =-1. 1 3 1- × 4 5 又∵0°<C<180°,∴C=135°. sinA 1 2 2 (2)∵tanA= = ,sin A+cos A=1,0°<A<90°, cosA 4 ∴sinA= 17 . 17

AB BC sinA 由正弦定理,得 = ,∴BC=AB· = 2. sinC sinA sinC

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例 3 将一块圆心角为 120°,半径为 20 cm 的扇形铁片裁成一块矩形,有如图(1)、(2) 的两种裁法:让矩形一边在扇形的一条半径 OA 上,或让矩形一边与弦 AB 平行,请问哪种裁 法能得到最大面积的矩形?并求出这个最大值. 活动: 本题是北京西城区的一道测试题, 解题前教师引导学生回忆前面解决实际问题的 方法步骤, 让学生清晰认识到解决本题的关键是建立数学模型, 然后用相关的数学知识来解 决.

解:

按图(1)的裁法:矩形的一边 OP 在 OA 上,顶点 M 在圆弧上,设∠MOA=θ ,则|MP|= π 20sinθ ,|OP|=20cosθ ,从而 S=400sinθ cosθ =200sin2θ ,即当 θ = 时,Smax=200. 4 按图(2)的裁法:矩形的一边 PQ 与弦 AB 平行,设∠MOQ=θ ,在△MOQ 中,∠OQM=90° +30°=120°,

(1)

(2) 20sinθ 40 3 由正弦定理,得|MQ|= = sinθ . sin120° 2 又因为|MN|=2|OM|sin(60°-θ )=40sin(60°-θ ), 1 600 3 所以 S=|MQ|·|MN|= sinθ sin(60°-θ ) 3 = 1 600 3 1 800 3 {- [cos60°-cos(2θ -60°)] }= [cos(2θ -60°)-cos60°]. 3 2 3

400 3 所以当 θ =30°时,Smax= . 3 400 3 400 3 2 由于 >200,所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形,最大面积为 cm . 3 3 点评:正弦定理、余弦定理在测量(角度、距离)、合理下料、设计规划等方面有广泛应 用.从解题过程来看,关键是要找出或设出角度,实质是解斜三角形,将问题涉及的有关量
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集中在某一个或者几个三角形中,灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决.

变式训练 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,且 acosB=3,bsinA=4. (1)求边长 a; (2)若△ABC 的面积 S=10,求△ABC 的周长 l. 解:(1)由 acosB=3 与 bsinA=4,两式相除,得 3 acosB a cosB b cosB cosB = = · = · = . 4 bsinA sinA b sinB b sinB 又 acosB=3,知 cosB>0, 3 4 则 cosB= ,sinB= . 5 5 则 a=5. 1 (2)由 S= acsinB=10,得 c=5. 2 a +c -b 3 由 cosB= = , 2ac 5 解得 b=2 5.故△ABC 的周长 l=a+b+c=10+2 5.
2 2 2

知能训练 1.在△ABC 中,若 b=2a,∠B=∠A+60°,则∠A=__________. 2.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,设 a、b、c 满足条件 b +c c 1 2 -bc=a , = + 3,求∠A 和 tanB 的值. b 2 答案: a b 1.30° 解析:由正弦定理,知 = , sinA sinB ∴ 1 2 1 3 = ,2sinA=sin(A+60°)= sinA+ cosA. sinA sin?A+60°? 2 2 3 .∵0°<∠A<180°,∴∠A=30°. 3
2 2 2 2 2

∴tanA=

b +c -a bc 1 2.解:由余弦定理和已知条件,得 cosA= = = , 2bc 2bc 2 ∵0°<∠A<180°,∴∠A=60°,且∠B=180°-∠A-∠C=120°-∠C. 由正弦定理和已知条件,得 sinC sin?120°-B? 3cosB+sinB 3cosB 1 1 = = = + = sinB sinB 2sinB 2sinB 2 2

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+ 3, 1 1 ∴tanB= .∴所求∠A=60°,tanB= . 2 2 课本本章小结巩固与提高 1~8. 课堂小结 先由学生总结本节课对全章的复习都有哪些收获和提高?解决本章的基本问题都有哪 些体会?可让若干学生在课堂上介绍自己的复习心得. 教师进一步画龙点睛, 总结解题思路: (1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形; (2)运用三角形基础知识,正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合,通过等价转化或 构建方程解答三角形的综合问题,注意隐含条件的挖掘. 作业 1.巩固与提高 9~12 2.自测与评估 1~7 设计感想 本教案设计注重了优化知识结构,进一步加深对知识的巩固.在此过程中,学生对思想 方法的领悟也更具深刻性;注重对学生抽象思维、发散思维的培养训练.通过一题多解训练 了学生对事物现象选择角度地观察,从而把握事物的本质. 本教案设计意图还按照习题的内容分类处理进行; 注重了思维引导及方法提炼, 展现了 学生的主体作用,关注学生愉悦情感的积极体验,深挖了三角形本身内在美的价值,意在激 发学生强烈的探究欲望,培养学生积极的向上心态. 备课资料 一、与三角形计算有关的定理 1.半角定理 在△ABC 中,三个角的半角的正切和三边之间有如下的关系: A 1 tan = 2 p-a B 1 tan = 2 p-b C 1 tan = 2 p-c ?p-a??p-b??p-c? , p ?p-a??p-b??p-c? , p ?p-a??p-b??p-c? , p

1 其中 p= (a+b+c). 2

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A sin 2 A A A 证明:tan = ,因为 sin >0,cos >0, 2 A 2 2 cos 2 A 所以 sin = 2
2

1-cosA = 2
2

1 b +c -a ?1- ? 2 2bc

2

2

2



a -?b-c? = 4bc

?a+b-c??a-b+c? . 4bc

1 因为 p= (a+b+c),所以 a-b+c=2(p-b),a+b-c=2(p-c). 2 A 所以 sin = 2 A 而 cos = 2 = ?p-b??p-c? . bc 1+cosA = 2 1 b +c -a ?1+ ?= 2 2bc p?p-a? , bc ?p-b??p-c? p?p-a? A 2 1 p-a
2 2 2

?b+c? -a 4bc

2

2

?b+c+a??b+c-a? = 4bc

A sin 2 A 所以 tan = = 2 A cos 2 = 1 p-a

?p-b??p-c? bc = p?p-a? bc

?p-a??p-b??p-c? p

.





tan



?p-a??p-b??p-c? . p B 1 同理,可得 tan = 2 p-b C 1 tan = 2 p-c ?p-a??p-b??p-c? , p

?p-a??p-b??p-c? . p

从上面的证明过程中, 我们可以得到用三角形的三条边表示半角的正弦和半角的余弦的 A 公式:sin = 2 ?p-b??p-c? A ,cos = bc 2 p?p-a? . bc ?p-a??p-b? , ab

B 同理,可得 sin = 2 B cos = 2

?p-a??p-c? C ,sin = ac 2 p?p-c? . ab

p?p-b? C ,cos = ac 2

2.用三角形的三边表示它的内角平分线 设在△ABC 中(如图),已知三边 a、b、c,如果三个角 A、B 和 C 的平分线分别是 ta、tb 和 tc,那么,用已知边表示三条内角平分线的公式是: ta= acp?p-b?; 2 1 tc= abp?p-c?,其中 p= (a+b+c). a+b 2 2 2 bcp?p-a?;tb= b+c a+c

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证明:设 AD 是角 A 的平分线,并且 BD=x,DC=y,那么,在△ADC 中,由余弦定理, 得 ta =b +y -2bycosC,① c x c+b x+y 根据三角形内角平分线的性质,得 = ,所以 = . b y b y c+b a ab 因为 x+y=a,所以 = .所以 y= .② b y b+c ab 2 ab 2 2 将②代入①,得 ta =b +( ) -2b( )cosC b+c b+c = b 2 2 2 2[b +c +2bc+a -2a(b+c)cosC]. ?b+c?
2 2 2 2 2 2 2

a +b -c 因为 cosC= , 2ab b a +b -c 2 2 2 所以 t = ] 2[a +b +c +2bc-2a(b+c)· ?b+c? 2ab
2 a 2 2 2 2

= =

bc bc 2 2 2 2(b +c +2bc-a )= 2(a+b+c)(b+c-a) ?b+c? ?b+c? bc 4 2·2p·2(p-a)= 2·bcp(p-a). ?b+c? ?b+c?

2 所以 ta= bcp?p-a?. b+c 2 2 同理,可得 tb= acp?p-b?,tc= abp?p-c?. a+c a+ b 这就是已知三边求三角形内角平分线的公式.

3.用三角形的三边来表示它的外接圆的半径 设在△ABC 中,已知三边 a、b、c,那么用已知边表示外接圆半径 R 的公式是 R= abc p?p-a??p-b??p-c? .

证明:因为 R=

a 1 2S ,S= bcsinA,所以 sinA= . 2sinA 2 bc

a abc abc 所以 R= = = . 2sinA 4S p?p-a??p-b??p-c? 二、备选习题 2sinA-sinB 1.在△ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a∶b∶c=3∶3∶5,则 等 sinC
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于? ( 1 A.- 5

) 2 B.- 3 3 C. 5 D.不是常数 )

2.△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3,∠A=60°,∠A 的对边为( A.5 B.6 C.7 D.8 )

→ → 3.在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10,则AB·AC等于( 3 A.- 2 2 B.- 3 2 C. 3 3 D. 2

4. 已知在△ABC 中, ∠B=30°, b=6, c=6 3, 则 a=__________, S△ABC=__________. 5.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若( 3b-c)cosA=acosC,则 cosA =__________. 6. 对△ABC, 有下面结论: ①满足 sinA=sinB 的△ABC 一定是等腰三角形; ②满足 sinA =cosB 的△ABC 一定是直角三角形;③满足 上述结论正确命题的序号是__________. 7.在△ABC 中,D 在边 BC 上,且 BD=2,DC=1,∠B=60°,∠ADC=150°,求 AC 的 长及△ABC 的面积. 8.在△ABC 中,已知角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 bcosB+ccosC=acosA,试 判断△ABC 的形状. 参考答案: 2sinA-sinB 2a-b 2×3k-3k 3 1.C 解析:设 a=3k,则 b=3k,c=5k.∴ = = = . sinC c 5k 5 2.C 解析:∵a+b+c=20,∴b+c=20-a,即 b +c +2bc=400-40a+a . ∴b +c -a =400-40a-2bc. b +c -a 1 2 2 2 又∵cosA= = ,∴b +c -a =bc. 2bc 2 1 又∵S△ABC= bcsinA=10 3,∴bc=40. 2 将 b +c -a =bc 和 bc=40,代入 b +c -a =400-40a-2bc,得 a=7. AC +AB -BC 4+9-10 1 3.D 解析:由余弦定理,得 cosA= = = , 2AC·AB 2×2×3 4 1 3 → → → → ∴AB·AC=|AB|·|AC|·cosA=2×3× = . 4 2 4.a=6,S=9 3或 a=12,S=18 3 解析:由正弦定理,得
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a b = =c 的△ABC 一定是直角三角形.则 sinA sinB

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b c c 3 = ,∴sinC= sinB= .∴∠C=60°或∠C=120°. sinB sinC b 2 1 当∠C=60°时,则∠A=90°,因此 a=12,S= acsinB=18 3; 2 1 当∠C=120°时,则∠A=30°,因此 a=6,S= acsinB=9 3. 2 5. 3 解析:由正弦定理,得 3

( 3b-c)cosA=( 3sinB-sinC)cosA=sinA·cosC, 即 3sinBcosA=sinA·cosC+sinC·cosA, ∴ 3sinB·cosA=sin(A+C)=sinB.∴cosA= 6.①③ 7.解:如图,在△ABC 中,∠BAD=150°-60°=90°, 3 . 3

∴AD=2sin60°= 3. 在△ACD 中,AC =( 3) +1 -2× 3×1×cos150°=7, 1 3 3 ∴AC= 7.∴AB=2cos60°=1,S△ABC= ×1×3×sin60°= . 2 4 8.解:∵bcosB+ccosC=acosA, 由正弦定理,得 sinBcosB+sinCcosC=sinAcosA,即 sin2B+sin2C=2sinAcosA, ∴2sin(B+C)cos(B-C)=2sinAcosA. ∵A+B+C=π ,∴sin(B+C)=sinA. 而 sinA≠0,∴cos(B-C)=cosA,即 cos(B-C)+cos(B+C)=0. π π ∴2cosBcosC=0.∵0<B<π ,0<C<π ,∴B= 或 C= ,即△ABC 是直角三角形. 2 2
2 2 2

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