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二元一次方程组应用题经典题


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实际问题与二元一次方程组题型归纳
知识点一:列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来, 找出题目中的相等关系. 一般来说,有几个未知数就列出几个方程,所列方程必须满足:(1)方程两边表示 的是同类量;(2)同类量的单位要统一;(3)方程两边的数值要相等.

知识点二:列方程组解应用题中常用的基本等量关系
1.行程问题: (1)追击问题:追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行。这类问题比较直观,画线 段,用图便于理解与分析。 其等量关系式是:两者的行程差=开始时两者相距的路程; ;

; (2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行。这类问题也比较直观, 因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是:双方所走的路程之和=总路程。 (3)航行问题:①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度; ②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度; ③顺水速度-逆水速度=2×水速。 注意:飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。 2.工程问题:工作效率×工作时间=工作量. 3.商品销售利润问题:

(1)利润=售价-成本(进价);(2)

;(3)利润=成本(进价)×利润率;

(4)标价=成本(进价)×(1+利润率);(5)实际售价=标价×打折率; 注意: “商品利润=售价-成本”中的右边为正时,是盈利;为负时,就是亏损。打几折就是按标价 的十分之几或百分之几十销售。 (例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十) 4.储蓄问题: (1)基本概念 ①本金:顾客存入银行的钱叫做本金。 ②利息:银行付给顾客的酬金叫做利息。 ③本息和:本金与利息的和叫做本息和。 ④期数:存入银行的时间叫做期数。 ⑤利率:每个期数内的利息与本金的比叫做利率。 ⑥利息税:利息的税款叫做利息税。 (2)基本关系式 ①利息=本金×利率×期数 ②本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金× (1+利率×期数) ③利息税=利息×利息税率=本金×利率×期数×利息税率。

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④税后利息=利息× (1-利息税率) ⑤年利率=月利率×12 ⑥ 注意:免税利息=利息 5.配套问题: 解这类问题的基本等量关系是:总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。 6.增长率问题: 解这类问题的基本等量关系式是:原量×(1+增长率)=增长后的量; 原量×(1-减少率)=减少后的量. 7.和差倍分问题: 解这类问题的基本等量关系是:较大量=较小量+多余量,总量=倍数×倍量. 8.数字问题:



解决这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当 n 为整数时, 奇数可表示为 2n+1(或 2n-1),偶数可表示为 2n 等,有关两位数的基本等量关系式为:两位数=十位数字 10+个位数字 9.浓度问题:溶液质量×浓度=溶质质量. 10.几何问题:解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式 11.年龄问题:解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等,两人的年龄差是永远不会变的 12.优化方案问题: 在解决问题时,常常需合理安排。需要从几种方案中,选择最佳方案,如网络的使用、到不同旅行社 购票等,一般都要运用方程解答,得出最佳方案。 注意:方案选择题的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。

知识点三:列二元一次方程组解应用题的一般步骤
利用二元一次方程组探究实际问题时,一般可分为以下六个步骤: 1.审题:弄清题意及题目中的数量关系;2.设未知数:可直接设元,也可间接设元; 3.找出题目中的等量关系;4.列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程,并组 成方程组;5.解所列的方程组,并检验解的正确性;6.写出答案. 要点诠释: (1)解实际应用问题必须写“答” ,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得 的结果是否 合理,不符合题意的解应该舍去; (2)“设”“答”两步,都要写清单位名称; 、 (3)一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. (4)列方程组解应用题应注意的问题 ①弄清各种题型中基本量之间的关系; ②审题时,注意从文字,图表中获得有关信息; ③注意用方 程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,列 方程组与解方程组时,不要带单 位;④正确书写速度单位,避免与路程单位混淆; ⑤在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含的条件; ⑥列 方程组解应用题一定要注意检验。

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类型一:列二元一次方程组解决——行程问题
1.甲、乙两地相距 160 千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1 小时 20 分相遇. 相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留 1 小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小 时后追上了拖拉机. 这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米? 思路点拨:画直线型示意图理解题意:

(1)这里有两个未知数:①汽车的行程;②拖拉机的行程. (2)有两个等量关系:

①相向而行:汽车行驶

小时的路程+拖拉机行驶

小时的路程=160 千米;

②同向而行:汽车行驶

小时的路程=拖拉机行驶

小时的路程.

解:设汽车的速度为每小时行 千米,拖拉机的速度为每小时 千米.

根据题意,列方程组

解这个方程组,得:

. 答:汽车行驶了 165 千米,拖拉机行驶了 85 千米. 总结升华:根据题意画出示意图,再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系,是行程问题的常用 的解决策略。 【变式 1】甲、乙两人相距 36 千米,相向而行,如果甲比乙先走 2 小时,那么他们在乙出发 2.5 小 时后相遇;如果乙比甲先走 2 小时,那么他们在甲出发 3 小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米?

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【变式 2】两地相距 280 千米,一艘船在其间航行,顺流用 14 小时,逆流用 20 小时,求船在静水中 的速度和水流速度。

类型二:列二元一次方程组解决——工程问题
2. 一家商店要进行装修, 若请甲、 乙两个装修组同时施工, 天可以完成, 8 需付两组费用共 3520 元;若先请甲组单独做 6 天,再请乙组单独做 12 天可完成,需付两组费用共 3480 元,问:(1)甲、乙两 组工作一天,商店应各付多少元?(2)已知甲组单独做需 12 天完成,乙组单独做需 24 天完成,单独请哪 组,商店所付费用最少? 思路点拨:本题有两层含义,各自隐含两个等式,第一层含义:若请甲、乙两个装修组同时施工,8 天可以完成,需付两组费用共 3520 元;第二层含义:若先请甲组单独做 6 天,再请乙组单独做 12 天可完 成,需付两组费用共 3480 元。设甲组单独做一天商店应付 x 元,乙组单独做一天商店应付 y 元,由第一 层含义可得方程 8(x+y)=3520,由第二层含义可得方程 6x+12y=3480. 解:(1)设甲组单独做一天商店应付 x 元,乙组单独做一天商店应付 y 元,依题意得:

解得 答:甲组单独做一天商店应付 300 元,乙组单独做一天商店应付 140 元。 (2)单独请甲组做,需付款 300×12=3600 元,单独请乙组做,需付款 24×140=3360 元, 故请乙组单独做费用最少。 答:请乙组单独做费用最少。 总结升华:工作效率是单位时间里完成的工作量,同一题目中时间单位必须统一,一般地,将工作总 量设为 1,也可设为 a,需根据题目的特点合理选用;工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。 【变式】小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成需工钱 5.2 万元;若甲公 司单独做 4 周后,剩下的由乙公司来做,还需 9 周完成,需工钱 4.8 万元.若只选一个公司单独完成,从 节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司?请你说明理由.

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类型三:列二元一次方程组解决——商品销售利润问题
3.有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为 5%,乙商品的利润率为 4%,共可获利 46 元。价格调整 后,甲商品的利润率为 4%,乙商品的利润率为 5%,共可获利 44 元,则两件商品的进价分别是多少元? 思路点拨:做此题的关键要知道:利润=进价×利润率 解:甲商品的进价为 x 元,乙商品的进价为 y 元,由题意得:

,解得: 答:两件商品的进价分别为 600 元和 400 元。 【变式 1】(2011 湖南衡阳)李大叔去年承包了 10 亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利 18000 元,其中 甲种蔬菜每亩获利 2000 元,乙种蔬菜每亩获利 1500 元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩?

【变式 2】某商场用 36 万元购进 A、B 两种商品,销售完后共获利 6 万元,其进价和售价如下表: A 进价(元/件) 售价(元/件) 1200 1380 B 1000 1200

(注:获利 = 售价 — 进价)求该商场购进 A、B 两种商品各多少件;

类型四:列二元一次方程组解决——银行储蓄问题
4.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了 2000 元钱, 一种是年利率为 2.25%的教育储蓄,另一种是年利率为 2.25%的一年定期存款,一年后可取出 2042.75 元,问这两种储蓄各存了多少钱?(利息所得税=利息金额×20%,教育储蓄没有利息所得税) 思路点拨: 设教育储蓄存了 x 元,一年定期存了 y 元,我们可以根据题意可列出表格:

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解:设存一年教育储蓄的钱为 x 元,存一年定期存款的钱为 y 元,则列方程:

,解得: 答:存教育储蓄的钱为 1500 元,存一年定期的钱为 500 元. 总结升华: 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时,有时候不容易找出其等 量关系,这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系,题目中的相等关系随之浮现出来. 【变式 1】李明以两种形式分别储蓄了 2000 元和 1000 元,一年后全部取出,扣除利息所得税可得利 息 43.92 元.已知两种储蓄年利率的和为 3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几?(注:公民应缴 利息所得税=利息金额×20%)

【变式 2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了 4000 元钱.第一种, 一年期整存整取,共反复存了 3 次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息 2.25%;第二种,三年 期整存整取,这种存款银行年利率为 2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75 元(不计利息税),问小敏的 爸爸两种存款各存入了多少元?

类型五:列二元一次方程组解决——生产中的配套问题
5. 某服装厂生产一批某种款式的秋装, 已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5 只. 现计划用 132 米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗), 应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰 好配套? 思路点拨:本题的第一个相等关系比较容易得出:衣身、衣袖所用布料的和为 132 米;第二个相等关 系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的,即衣袖的数量等于衣身的数量的 2 倍(注意:别把 2 倍的关 系写反了). 解:设用 米布料做衣身,用 米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套,根据题意,得:

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答:用 60 米布料做衣身,用 72 米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套. 总结升华:生产中的配套问题很多,如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、 衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例,依次设未知数,用未知数可把它们之间的数量关系表示出 来,从而得到方程组,使问题得以解决,确定等量关系是解题的关键. 【变式 1】现有 190 张铁皮做盒子,每张铁皮做 8 个盒身或 22 个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个 完整盒子,问用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子?

【变式 2】某工厂有工人 60 人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天生产螺栓 14 个或螺母 20 个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。

【变式 3】一张方桌由 1 个桌面、4 条桌腿组成,如果 1 立方米木料可以做桌面 50 个,或做桌腿 300 条。 现有 5 立方米的木料, 那么用多少立方米木料做桌面, 用多少立方米木料做桌腿, 做出的桌面和桌腿, 恰好配成方桌?能配多少张方桌?

类型六:列二元一次方程组解决——增长率问题
6. 某工厂去年的利润(总产值—总支出)为 200 万元,今年总产值比去年增加了 20%,总支出 比去年减少了 10%,今年的利润为 780 万元,去年的总产值、总支出各是多少万元? 思路点拨:设去年的总产值为 x 万元,总支出为 y 万元,则有 总产值(万元) 总支出(万元) 去年 今年 x 120%x y 90%y 利润(万元) 200 780

根据题意知道去年的利润和今年的利润,由利润=总产值—总支出和表格里的已知量和未知量,可以列出

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两个等式。 解:设去年的总产值为 x 万元,总支出为 y 万元,根据题意得:

,解之得: 答:去年的总产值为 2000 万元,总支出为 1800 万元 总结升华:当题的条件较多时,可以借助图表或图形进行分析。 【变式 1】若条件不变,求今年的总产值、总支出各是多少万元?

【变式 2】某城市现有人口 42 万,估计一年后城镇人口增加 0.8%,农村人口增加 1.1%,这样全市人口 增加 1%,求这个城市的城镇人口与农村人口。

类型七:列二元一次方程组解决——和差倍分问题
7.(2011 年北京丰台区中考一摸试题)“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷 共 9 千顶,现某地震灾区急需帐篷 14 千顶,两厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为此,全体职工加班加 点,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的 1.6 倍、1.5 倍,恰好按时 完成了这项任务.求在赶制帐篷的一周内,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶? 思路点拨:找出已知量和未知量,根据题意知未知量有两个,所以列两个方程,根据计划前后,倍数 关系由已知量和未知量列出两个等式,即是两个方程组成的方程组。 解:设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷 x 千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷 y 千顶,由题意得:

, 解得: 所以:1.6x=1.6 5=8, 1.5y=1.5 4=6 答:“爱心”帐篷厂生产帐篷 8 千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷 6 千顶. 【变式 1】 (2011 年北京门头沟区中考一模试题) “地球一小时”是世界自然基金会在 2007 年提出 的一项倡议.号召个人、社区、企业和政府在每年 3 月最后一个星期六 20 时 30 分—21 时 30 分熄灯一小 时,旨在通过一个人人可为的活动,让全球民众共同携手关注气候变化,倡导低碳生活.中国内地去年和 今年共有 119 个城市参加了此项活动,且今年参加活动的城市个数比去年的 3 倍少 13 个,问中国内地去 年、今年分别有多少个城市参加了此项活动.

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【变式 2】 游泳池中有一群小朋友,男孩戴蓝色游泳帽,女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色 与红色的游泳帽一样多,而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 1 倍,你知道男孩与女孩各有多少人 吗?

类型八:列二元一次方程组解决——数字问题
8. 两个两位数的和是 68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在 较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数,已知前一个四位数比后一个四位数大 2178, 求这两个两位数。 思路点拨:设较大的两位数为 x,较小的两位数为 y。 问题 1:在较大的两位数的右边写上较小的两位数,所写的数可表示为:100x+y 问题 2:在较大数的左边写上较小的数,所写的数可表示为: 100y+x 解:设较大的两位数为 x,较小的两位数为 y。依题意可得:

,解得: 答:这两个两位数分别为 45,23. 【变式 1】一个两位数,减去它的各位数字之和的 3 倍,结果是 23;这个两位数除以它的各位数字之 和,商是 5,余数是 1,这个两位数是多少?

【变式 2】一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大 5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换 位置,那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少 9,求这个两位数?

【变式 3】某三位数,中间数字为 0,其余两个数位上数字之和是 9,如果百位数字减 1,个位数字加 1,则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列,求原三位数。

类型九:列二元一次方程组解决——浓度问题

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9.现有两种酒精溶液,甲种酒精溶液的酒精与水的比是 3∶7,乙种酒精溶液的酒精与水的比 是 4∶1,今要得到酒精与水的比为 3∶2 的酒精溶液 50kg,问甲、乙两种酒精溶液应各取多少? 思路点拨:本题欲求两个未知量,可直接设出两个未知数,然后列出二元一次方程组解决,题中有以 下几个相等关系:(1)甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和=50;(2)混合前两种溶液所含纯酒精 质量之和=混合后的溶液所含纯酒精的质量;(3)混合前两种溶液所含水的质量之和=混合后溶液所含 水的质量;(4)混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比=混合后溶液所含纯酒精与水的比。 解:法一:设甲、乙两种酒精溶液分别取 x kg , y kg.依题意得:

, 答:甲取 20kg,乙取 30kg 法二:设甲、乙两种酒精溶液分别取 10x kg 和 5y kg, 则甲种酒精溶液含水 7x kg,乙种酒精溶液含水 y kg,根据题意得:

, 所以 10x=20,5y=30. 答:甲取 20kg,乙取 30kg 总结升华:此题的第(1)个相等关系比较明显,关键是正确找到另外一个相等关系,解这类问题常 用的相等关系是:混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。用它们来联系各量之间的关系,列方 程组时就显得容易多了。列方程组解应用题,首先要设未知数,多数题目可以直接设未知数,但并不是千 篇一律的,问什么就设什么。有时候需要设间接未知数,有时候需要设辅助未知数。 举一反三: 【变式 1】要配浓度是 45%的盐水 12 千克,现有 10%的盐水与 85%的盐水,这两种盐水各需多少?

【变式 2】一种 35%的新农药,如稀释到 1.75%时,治虫最有效。用多少千克浓度为 35%的农药加水多 少千克,才能配成 1.75%的农药 800 千克?

类型十:列二元一次方程组解决——几何问题
10.如图,用 8 块相同的长方形地砖拼成一个长方形,每块长方形地砖的长和宽分别是多少?

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思路点拨:初看这道题目中没有提供任何相等关系,但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等,两 条长相等,我们设每个小长方形的长为 x,宽为 y,就可以列出关于 x、y 的二元一次方程组。 解:设长方形地砖的长 xcm,宽 ycm,由题意得:

, 答:每块长方形地砖的长为 45cm、宽为 15cm。 总结升华:几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中,解答这类问题时应注意认真分析图 形特点,找出图形的位置关系和数量关系,再列出方程求解。 举一反三: 【变式 1】用长 48 厘米的铁丝弯成一个矩形,若将此矩形的长边剪掉 3 厘米,补到较短边上去,则 得到一个正方形,求正方形的面积比矩形面积大多少?

【变式 2】一块矩形草坪的长比宽的 2 倍多 10m,它的周长是 132m,则长和宽分别为多少?

类型十一:列二元一次方程组解决——年龄问题
11.今年父亲的年龄是儿子的 5 倍,6 年后父亲的年龄是儿子的 3 倍,求现在父亲和儿子的年 龄各是多少? 思路点拨:解本题的关键是理解“6 年后”这几个字的含义,即 6 年后父子俩都长了 6 岁。今年父亲 的年龄是儿子的 5 倍,6 年后父亲的年龄是儿子的 3 倍,根据这两个相等关系列方程。 解:设现在父亲 x 岁,儿子 y 岁,根据题意得:

, 答:父亲现在 30 岁,儿子 6 岁。 总结升华:解决年龄问题,要注意一点:一个人的年龄变化(增大、减小)了,其他人也一样增大或 减小,并且增大(或减小)的岁数是相同的(相同的时间内)。 【变式 1】今年,小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现,12 年之后,他的年龄变成爷爷的三分 之一.试求出今年小李的年龄.

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类型十二:列二元一次方程组解决——优化方案问题:
12.某地生产一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为 1000 元;经粗加工后销售,每 吨利润可达 4500 元;经精加工后销售,每吨利润涨至 7500 元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜 140 吨,该公司加工厂的生产能力是:如果对蔬菜进行粗加工,每天可以加工 16 吨;如果进行细加工,每天 可加工 6 吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制,公司必须在 15 天之内将这批蔬菜全部 销售或加工完毕,为此公司研制了三种加工方案 方案一:将蔬菜全部进行粗加工; 方案二:尽可能多的对蔬菜进行精加工,没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售; 方案三:将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好在 15 天完成 你认为选择哪种方案获利最多?为什么? 思路点拨:如何对蔬菜进行加工,获利最大,是生产经营者一直思考的问题. 本题正是基于这一点, 对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案,供同学们自助探索,互相交流,尝试解决,并在探索和解 决问题的过程中,体会应用数学知识解决实际问题的乐趣. 解:方案一获利为:4500×140=630000(元). 方案二获利为:7500×(6×15)+1000×(140-6×15)=675000+50000=725000(元). 方案三获利如下: 设将 吨蔬菜进行精加工, 吨蔬菜进行粗加工,则根据题意,得:

,解得: 所以方案三获利为:7500×60+4500×80=810000(元). 因为 630000<725000<810000,所以选择方案三获利最多 答:方案三获利最多,最多为 810000 元。 总结升华: 优化方案问题首先要列举出所有可能的方案, 再按题的要求分别求出每个方案的具体结果, 再进行比较从中选择最优方案. 举一反三: 【变式】某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机,已知厂家生产三种不同型号的电视机,出 厂价分别为:甲种每台 1500 元,乙种每台 2100 元,丙种每台 2500 元。 (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机 50 台,用去 9 万元,请你研究一下商场的进货方案; (2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利 150 元、200 元、250 元,在以上的方案中,为使获 利最多,你选择哪种进货方案?


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