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高考数学一轮复习必备(第63课时):第八章 圆锥曲线方程-抛物线


高考数学一轮复习必备(第 63 课时):第八章 圆 锥曲线方程-抛物线

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高考数学一轮复习必备(第 63 课时) :第八章 圆 锥曲线方程-抛物线
一、选择题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 1. 分)已知点 (5 ,直线 l: ,点 B 是直线 l 上的动点,若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的 ) C.双曲线 D.抛物线

垂直平分线交于点 M,则点 M 所在曲线是( A.圆 B.椭圆 2. 分)设抛物线 y =2x 的焦点为 F,以 (5 N,则|MF|+|NF|的值为( A.8
2 2 2

为圆心,PF 长为半径作一圆,与抛物线在 x 轴上方交于 M,

) B.18

C.

D.4

3. 分)方程 x sinα+y cosα=1 表示的曲线不可能是( (5 ) A.直线 B.抛物线 C.圆 4. 分)以抛物线 y =2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与 y 轴位置关系为( (5 A.相交 B.相离 C.相切
2

D.双曲线 ) D.不确定

二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 2 5. 分)抛物线 mx+ny =0(m?n≠0)的顶点坐标是 _________ ,焦点坐标是 _________ ,准线方程是 (4 _________ ,离心率是 _________ ,通径长 _________ . 6. 分)过定点 P(0,2) (4 ,作直线 l 与曲线 y =4x 有且仅有 1 个公共点,则这样的直线 l 共有 _________ 条. 7. 分)设抛物线 y =4x 的过焦点的弦的两个端点为 A、B,它们的坐标为 A(x1,y1) (4 ,B(x2,y2) ,若 x1+x2=6, 那么|AB|= _________ . 8. 分) (4 抛物线 y =2px (p>0) 的动弦 AB 长为 a (a≥2p) 则弦 AB 的中点 M 到 y 轴的最小距离为 _________ . , 9. 分)过点(﹣3,﹣1)的抛物线的标准方程是 _________ .焦点在 x﹣y﹣1=0 上的抛物线的标准方程是 (4 _________ . 10. 分)抛物线 y =8x 的焦点为 F,A(4,﹣2)为一定点,在抛物线上找一点 M,当|MA|+|MF|为最小时,则 M (4 点的坐标 _________ ,当||MA|﹣|MF||为最大时,则 M 点的坐标 _________ . 三、解答题(共 5 小题,满分 0 分) 11.抛物线以 y 轴为准线,且过点 M(a,b) (a≠0) ,证明不论 M 点位置如何变化,抛物线顶点的轨迹的离心率是 定值. 12. (2001?北京)已知抛物线 y =2px(p>0) .过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、B,|AB|≤2p. (1)求 a 的取值范围; (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△ NAB 面积的最大值.
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www.jyeoo.com 13.已知抛物线 x =4y 与圆 x +y =32 相交于 A,B 两点,圆与 y 轴正半轴交于 C 点,直线 l 是圆的切线,交抛物线 与 M,N,并且切点在 上.
2 2 2

(1)求 A,B,C 三点的坐标; (2)当 M,N 两点到抛物线焦点距离和最大时,求直线 l 的方程. 14.抛物线 C 的顶点在坐标原点,对称轴为 y 轴,C 上动点 P 到直线 l:3x+4y﹣12=0 的最短距离为 1,求抛物线 C 的方程. 15.A,B 是抛物线 y =2px(p>0)上的两点,且 OA⊥ OB. (1)求 A,B 两点的横坐标之积和纵坐标之积; (2)求弦 AB 中点 P 的轨迹方程; (3)求△ AOB 面积的最小值.
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高考数学一轮复习必备(第 63 课时) :第八章 圆 锥曲线方程-抛物线
参考答案与试题解析
一、选择题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 1. 分)已知点 (5 ,直线 l: ,点 B 是直线 l 上的动点,若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的 ) C.双曲线 D.抛物线

垂直平分线交于点 M,则点 M 所在曲线是( A.圆 B.椭圆 考点: 专题: 分析: 解答:

抛物线的定义;轨迹方程. 计算题. 过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M,M 到 B 与 F 等距离,M 的轨迹是抛物线. 解:点 B 是直线 l 上的动点,若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M,
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M 到 B 与 F 等距离,M 的轨迹是抛物线,实际上 M 到点 即 M 在抛物线上. 故选 D. 点评: 本题考查抛物线的定义,如果数形结合,效果更好,是基础题.
2

与到直线 l:

等距离,

2. 分)设抛物线 y =2x 的焦点为 F,以 (5 N,则|MF|+|NF|的值为( A.8 ) B.18

为圆心,PF 长为半径作一圆,与抛物线在 x 轴上方交于 M,

C.

D.4

考点: 抛物线的应用. 专题: 计算题. 分析: 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2)根据抛物线方程可求得准线方程和焦点坐标,进而求得 PF 的长得到圆的方程,
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与抛物线方程联立消去 y,根据韦达定理求得 x1+x2 的值,再根据抛物线性质可知|MF|+|NF|=x1+ +x2+ 求 得答案. 解答: 解:设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) 根据抛物线方程可知 p=1,焦点坐标( ,0) ∴ |PF|= ﹣ =4 ∴ 圆的方程为(x﹣ ) +y =4 与抛物线方程联立消去 y 得 x ﹣7x﹣ =0, ∴1+x2=7 x 根据抛物线性质可知|MF|+|NF|=x1+ +x2+ =8 故选 A 点评: 本题主要考查了抛物线的性质和抛物线与圆的关系.解题的关键是灵活利用抛物线关于抛物线上的点到焦 点距离等于到准线的距离的性质.
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www.jyeoo.com 3. 分)方程 x sinα+y cosα=1 表示的曲线不可能是( (5 ) A.直线 B.抛物线 C.圆 考点: 专题: 分析: 解答: 曲线与方程. 分类讨论. 逐一检验答案,进行排除筛选. 解:当 sinα=0 或 cosα=0 时,方程表示直线. 当 sinα=cosα>0 时,方程表示圆. 当 sinα 与 cosα 符号相反时,双曲线. 不论 sinα 与 cosα 怎样取值,曲线不可能是抛物线. 故答案选 B 点评: 本题考查曲线与方程的概念.
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2

2

D.双曲线

4. 分)以抛物线 y =2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与 y 轴位置关系为( (5 A.相交 B.相离 C.相切

2

) D.不确定

考点: 抛物线的定义. 专题: 计算题. 分析: 先求出抛物线的焦点,点 P 点坐标为(x1,y1) ,进而可得以 PF 为直径的圆的圆心坐标,根据抛物线的定
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义|PF|与 P 到直线 x=﹣ 是等距离的, 进而求得 PF 为直径的圆的半径, 判断出 PF 为直径的圆与 y 轴的位置 关系相切. 解答: 解:抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的坐标为( ,0) ,设点 P 点坐标为(x1,y1) ,
2

则以 PF 为直径的圆的圆心是(



) ,

根据抛物线的定义|PF|与 P 到直线 x=﹣ 是等距离的, 所以 PF 为直径的圆的半径为 ,因此以 PF 为直径的圆与 y 轴的位置关系相切,

故选 C. 点评: 本题主要考查了抛物线的定义.涉及抛物线焦半径和焦点弦的问题时,常利用抛物线的定义来解决. 二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 5. 分) (4 抛物线 mx+ny =0 (m?n≠0) 的顶点坐标是 (0, 0) , 焦点坐标是 (﹣ 离心率是 e=1 ,通径长 | | .
2

, 0) , 准线方程是

x=



考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 2 2 先将抛物线 mx+ny =0 化为标准形式 y =﹣
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,可得到顶点坐标为原点,进而可求得焦点坐标、准线方程、

离心率,再令 x=﹣

代入抛物线求出 y 的值,根据通径的定义可得到答案.

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www.jyeoo.com 解答: 2 2 解:∵ mx+ny =0∴ =﹣ y ∴ 顶点坐标为(0,0) ,焦点坐标为: (﹣ 离心率 e=1, 当 x=﹣ 时,代入抛物线方程 y=± ? ,0) ,准线方程为 x= ,

∴ 通径长=| | 故答案为: (0,0)(﹣ , ,0) ,x= ,e=1,| |.

点评: 本题主要考查抛物线的基本性质.属基础题. 6. 分)过定点 P(0,2) (4 ,作直线 l 与曲线 y =4x 有且仅有 1 个公共点,则这样的直线 l 共有 3 条. 考点: 专题: 分析: 解答: 抛物线的应用;直线与圆锥曲线的综合问题. 计算题. 通过图象可知当直线与抛物线相切时,与 x 轴平行时和 y 轴时直线与抛物线有且仅有 1 个公共点. 解:由题意可知过点 p 与 x 轴平行时直线与抛物线有一个交点; 当过点 p 与 x 轴不平行时设直线方程为 y=kx+2, 2 2 与抛物线方程联立消去 y 得 k x +(4k﹣4)x+4=0 2 要使直线与曲线有且仅有 1 个公共点需△ =(4k﹣4)2﹣16k =0,
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2

解得 k= 同时抛物线与 y 轴也只有一个交点,故 y 轴也符合; 故答案为 3 点评: 本题主要考查了抛物线的应用.本题可采用数形结合方法解决. 7. 分)设抛物线 y =4x 的过焦点的弦的两个端点为 A、B,它们的坐标为 A(x1,y1) (4 ,B(x2,y2) ,若 x1+x2=6, 那么|AB|= 8 . 考点: 抛物线的简单性质. 分析: 先根据抛物线方程求出 p 的值,再由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p 得到答案. 2 解答: 解:∵ 抛物线 y =4x∴ p=2 根据抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=6+2=8 故答案为:8 点评: 本题主要考查抛物线的基本性质.属基础题.
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2

8. 分)抛物线 y =2px(p>0)的动弦 AB 长为 a(a≥2p) (4 ,则弦 AB 的中点 M 到 y 轴的最小距离为

2



考点: 抛物线的应用. 专题: 计算题. 分析:

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设 A(x1,y1) B(x2,y2) ,根据抛物线方程可求得准线方程,所求的距离为 S= ,根据抛物线的定义可知 S=

=



根据两边之和大于第三边且 A,B,F 三点共线时取等号求得 S

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www.jyeoo.com 的最小值. 解答: 解:设 A(x1,y1) B(x2,y2) 抛物线准线 x=﹣ 所求的距离为 S=

= 由抛物线定义 =





[两边之和大于第三边且 A,B,F 三点共线时取等号] ≥ = 故答案为 点评: 本题主要考查了抛物线的应用.考查了学生综合分析问题和运算能力.
2 2



9. 分)过点(﹣3,﹣1)的抛物线的标准方程是 y = (4 准方程是 y =4x 或 x =﹣4y .
2 2

x 或 x =﹣9x .焦点在 x﹣y﹣1=0 上的抛物线的标

考点: 抛物线的标准方程. 专题: 计算题. 分析: (1)若焦点 x 轴上,设抛物线的方程为 y2=2px,把点(﹣3,﹣1)代入即可求得 p,进而得到抛物线方程; 2 若焦点在 y 轴上,设抛物线的方程为 x =2py,把点(﹣3,﹣1)代入得 p 得到抛物线方程. 2 (2)若焦点 x 轴上,设抛物线的方程为 y =2px,进而可得焦点坐标代入直线方程求得 p;若焦点 y 轴上, 2 设抛物线的方程为 x =2py,进而可得焦点坐标代入直线方程求得 p. 2 解答: 解: (1)若焦点 x 轴上,设抛物线的方程为 y =2px,把点(﹣3,﹣1)代入得﹣6p=1
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∴ p=﹣ ∴ 抛物线方程为 y =
2

x
2

若焦点在 y 轴上,设抛物线的方程为 x =2py,把点(﹣3,﹣1)代入得﹣2p=9 ∴ p=﹣ ∴ 抛物线方程为 x =﹣9x (2)若焦点 x 轴上,设抛物线的方程为 y =2px,则焦点坐标( ,0)代入直线方程得 ﹣0﹣1=0,p=2 故抛物线方程为 y =4x, 若焦点在 y 轴上,设抛物线的方程为 x =2py,则焦点坐标(0, ) ,代入直线方程得 0﹣ ﹣1=0,p=﹣2 抛物线方程为 x =﹣4y,
2 2 2 2 2

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www.jyeoo.com 故答案为 y =
2

x 或 x =﹣9y,y =4x 或 x =﹣4y,

2

2

2

点评: 本题主要考查了抛物线的标准方程.属基础题. 10. 分)抛物线 y =8x 的焦点为 F,A(4,﹣2)为一定点,在抛物线上找一点 M,当|MA|+|MF|为最小时,则 M (4 点的坐标 ( ,﹣2) ,当||MA|﹣|MF||为最大时,则 M 点的坐标 (6+4 ,﹣4 ﹣4) .
2

考点: 抛物线的应用. 专题: 计算题. 分析: 根据抛物线定义可知|MF|=xM+2 判断出当直线 AM 垂直抛物线准线时|MA|+|MF|为最小,进而把 y=﹣2 代入 抛物线方程求得 M 的纵坐标;当 A,M,F 三点共线,且 M 在 x 轴下方时||MA|﹣|MF||=|AF|最大.根据 A, F 坐标求得直线方程与抛物线方程联立求得 x 轴下方的交点. 解答: 解:根据抛物线定义可知|MF|=xM+2
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∴ 当直线 AM 垂直抛物线准线时,|MA|+|MF|为最小,此时 xM= ,则 yM=﹣2 当 A,M,F 三点共线,且 M 在 x 轴下方时||MA|﹣|MF||=|AF|最大. 此时直线 AF 方程为 y=﹣(x﹣2)与抛物线方程联立求得 xM=6+4 故答案为( ,﹣2)(6+4 , ,﹣4 ﹣4) ,yM=﹣(6+4 ﹣2)=﹣4 ﹣4

点评: 本题主要考查了抛物线的应用.当涉及抛物线上的点与焦点的问题时,常需要借助抛物线的定义来解决. 三、解答题(共 5 小题,满分 0 分) 11.抛物线以 y 轴为准线,且过点 M(a,b) (a≠0) ,证明不论 M 点位置如何变化,抛物线顶点的轨迹的离心率是 定值. 考点: 抛物线的应用. 专题: 证明题. 分析: 设定点坐标为(x0,y0) ,设抛物线方程为(y﹣y0)2=2x0x 根据抛物线定义得到
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|a|=

化简整理求得抛物线顶点的轨迹方程,进而求得 e.

解答: 证明:设定点坐标为(x0,y0) ,设抛物线方程为(y﹣y0)2=2x0x 根据抛物线定义可知|a|=

整理得

∴ e=

=

∴ 抛物线顶点的轨迹的离心率是定值 点评: 本题主要考查了抛物线的应用.关键是利用了抛物线的定义. 12. (2001?北京)已知抛物线 y =2px(p>0) .过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、B,|AB|≤2p. (1)求 a 的取值范围;
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www.jyeoo.com (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△ NAB 面积的最大值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题. 分析: (1)设出直线的方程与抛物线方程联立消去 y,设直线 l 与抛物线两个不同的交点坐标为 A,B,进而根据
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判别是对大于 0,及 x1+x2 的和 x1x2 的表达式,求得 AB 的长度的表达式,根据|AB|的范围确定 a 的范围 (2)设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 Q,令坐标为(x3,y3) ,则由中点坐标公式求得 x3 的坐标,进而求得 QM 的长度.根据△ MNQ 为等腰直角三角形,求得 QN 的长度,进而表示出△ NAB 的面积,根据|AB|范围确 定三角形面积的最大值. 解答: 解: (1)直线 l 的方程为 y=x﹣a 2 将 y=x﹣a 代入 y =2px, 2 2 得 x ﹣2(a+p)x+a =0. 设直线 l 与抛物线两个不同的交点坐标为 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,



又 y1=x1﹣a,y2=x2﹣a, ∴ ∵ 0<|AB|≤2p,8p(p+2a)>0, ∴ 解得 . , . = =

(2)设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 Q,令坐标为(x3,y3) ,则由中点坐标公式,得

. ∴ |QM| =(a+p﹣a) +(p﹣0) =2p , 又△ MNQ 为等腰直角三角形, ∴ |QN|=|QM|= ∴ 即△ NAB 面积最大值为 = . = ,
2 2 2 2

点评: 本小题考查直线与抛物线的基本概念及位置关系,考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力. 13.已知抛物线 x =4y 与圆 x +y =32 相交于 A,B 两点,圆与 y 轴正半轴交于 C 点,直线 l 是圆的切线,交抛物线 与 M,N,并且切点在 上.
2 2 2

(1)求 A,B,C 三点的坐标; (2)当 M,N 两点到抛物线焦点距离和最大时,求直线 l 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;直线的一般式方程. 专题: 计算题.

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www.jyeoo.com 分析: 2 2 2 (1)根据题意,抛物线 x =4y 与圆 x +y =32 相交于 A,B 两点,可得 ,解可得 A、B 的坐标,

进而由

,知 C 的坐标.

(2) M 1, 1) N 2, 2) 则|MF|+|NF|=y1+y2+2, 设 (x y , (x y , 设切点为 0, 0) 则直线 l 的方程为 x0x+y0y=32, (x y , 由此可求出直线 l 的方程. 解答: 解: (1)由 ,解得 A(﹣4,4) ,B(4,4) ,由 ,解得 C(0,4 ) .

(2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则|MF|+|NF|=y1+y2+2, 设切点为(x0,y0) ,则直线 l 的方程为 x0x+y0y=32, 当 x0=0 时, |MF|+|NF|=8
2

, ,x0 =32﹣y0 , ,
2



,∴1+y2 有最大值 20. y

这时|MF|+|NF|=22 ,∴ 直线 l 的方程为 x﹣y+8=0 或 x+y﹣8=0. 点评: 本题考查圆锥曲线的直线的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答. 14.抛物线 C 的顶点在坐标原点,对称轴为 y 轴,C 上动点 P 到直线 l:3x+4y﹣12=0 的最短距离为 1,求抛物线 C 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 计算题;综合题. 分析: 根据直线方程可知直线的斜率和 y 轴上的截距,抛物线如果开口向上,与直线 l 会相交,最短距离不会等于 1,进而可推断出抛物线开口向下,设其方程,抛物线上到直线 l 距离最短的点,是平行于 l 的抛物线的切 线 m 的切点,最短距离就是切线到 l 的距离.设出 m 的方程,利用点到直线的距离求得 q,则 m 的方程可 得.与抛物线方程联立利用判别式等于 0 求得 p,则抛物线的方程可得. 解答: 解:直线 l:3x+4y﹣12=0 的斜率 k=﹣ ,y 轴上的截距:3,
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抛物线如果开口向上,与直线 l 会相交,最短距离不会等于 1, 2 所以抛物线开口向下,设其方程为:x =2py, 抛物线上到直线 l 距离最短的点,是平行于 l 的抛物线的切线 m 的切点, 最短距离就是切线到 l 的距离. 设 m 的方程为 3x+4y+q=0,令 m 和 l 的距离 =1,

求得 q=﹣7 或﹣17,q=﹣17 在 l 下方,舍去.所以 m:3x+4y﹣7=0. 2 2 与抛物线方程 x =2py 联立,代入得 2x +3px﹣7p=0, 只有一个公共点,△ =9p +56p=p(9p+56)=0,得 P=﹣
2

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www.jyeoo.com 所以 C 的方程:x =2(﹣
2 2

)y,

即 9x +112y=0 点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系.一般是把直线与圆锥曲线的方程联立,利用判别式与 0 的关 系判断出直线与圆锥曲线的交点. 15.A,B 是抛物线 y =2px(p>0)上的两点,且 OA⊥ OB. (1)求 A,B 两点的横坐标之积和纵坐标之积; (2)求弦 AB 中点 P 的轨迹方程; (3)求△ AOB 面积的最小值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题. 分析: (1)先设出 A,B,中点 P 的坐标,分别表示出 AO,OB 的斜率,利用二者垂直判断出二者斜率乘积为﹣
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2

1 求得 x1x2+y1y2=0 把抛物线的方程代入即可求得 x1x2 和 y1y2. (2)设出 AO 的方程代入抛物线求得 x 的值,进而表示出 A 的坐标,同理可表示出 B 的坐标,进而可表示 出 x0 和 y0,消去 k 即可求得二者的关系式,进而求得 AB 中点 P 的轨迹方程; (3)根据 S△AOB=S△AOM+S△BOM,表示出△ AOB 面积,利用基本不等式求得面积的最小值. 解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,中点 P(x0,y0) , (1)k0A= ∵ OB, OA⊥ ∴1x2+y1y2=0, x 2 2 ∵1 =2px1,y2 =2px2, y ∴ ?
2

,kOB=



+y1y2=0
2

∴1y2=﹣4p ,x1x2=4p , y (2)设 OA:y=kx,代入 y =2px 得 x=0,x= ∴ A( ,
2 2



) ,同理以﹣ 代 k 得 B(2pk ,﹣2pk)



,消去 k 求得

=(

) +2,即 y0 =px0﹣2p ,即中点 P 轨迹方程为 y =px﹣2p .

2

2

2

2

2

(3)S△AOB=S△AOM+S△BOM= |OM|(|y1|+|y2|)=p(|y1|+|y2|)≥2p

=4p

2

当且仅当|y1|=|y2|时,等号成立 点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.解题的关键是灵活利用韦达定理,直线方程和曲线的方程联 立等.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:zlzhan;wsj1012;zhwsd;qiss;caoqz(排名不分先后)
菁优网 2012 年 12 月 29 日

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