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高中数学必修四,五知识小结

必修四五必记知识小结
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2.与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ?
?

9.特殊角的三角函数值 00 sin 0 300 450
2

600

900

1200

1350
2

1500

1800 0

2700 -1

3600 0

1

3
2

2
2

2

1

3

2

2

1

2

?

?
弧度,

cos

1

3

2

2

1

2

0

-1

2

- 2

2

- 3

2

-1

0

1

3.角度制与弧度制的互化: ? 弧度 ? 180? , 1? ?
1 弧度 ? (

?
180

tan

0

3

3

1

3

不 存 在

- 3

-1

- 3

3

0

不 存 在

0

180

?

) ? ? 57?18'

10.三角函数变换: ①相位变换: y ? sin x 图象

4.弧长公式: l ? ?R ;扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 ?R 2 。 2 2 5.三角函数定义:角 ? 终边上任一点(非原点)P ( x, y ) ,设 | OP |? r 则:
y y x sin ? ? , cos ? ? , tan ? ? x r r

??????????? y ? sin?x ? ? ? 图象;
1 横坐标伸长 ?0?? ?1?或缩短 ?? ?1?到原来的 倍

向左?? ?0 ?或向右 ?? ?0 ?平移 ? 个单位

?? y ? sin ?x 图象; ②周期变换: y ? sin x 图象 ????????????
?

③振幅变换: y ? sin x 图象 函 质

? A?1?或缩短 ?0? A?1?到原来的A倍 ?纵坐标伸长 ??? ????????? y ? A sin x 图象
y ? cos x

11、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 数

6.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦 7.诱导公式:

y ? sin x

y ? tan x

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? ,
? 5? sin ? ?
?
, cos os ? ?? ? ? c ?

tan ?? ? ? ? ? tan ? .
. tan ?n ? ?? ? ? ? t a . tan n ?? ? ?? ? ? t a ?

图象

cos ?? ? ? ? ? ? cos? ,

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? .口诀:奇变偶不变,符号看象限. ?2 ? ?2 ?

定义 域 值域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

??1,1?
当 x ? 2k? ?

??1,1?
? k ???
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

? 6 ? sin ? ?

?

?
2

最值 时 ,

既无最大值也无最小值

sin x 8.同角三角函数的基本关系: sin 2 x ? cos 2 x ? 1; ? tan x cos x
1

ymax ? 1 ; 当

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

x ? 2k? ?

?
2

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2?
偶函数

? k ??? 时, ymin ? ?1.
周期 奇偶 在 ? 2k? ?

2?
奇函数

?
奇函数

⑦ a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (其中,辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 所在 b 的象限决定, tan ? ? ). a 13.二倍角公式: 2 ① sin 2? ? 2 sin ? cos ? . (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? sin 2? ② cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? (升幂公式). 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? cos 2 ? ? ,sin 2 ? ? (降幂公式). 2 2

? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?
在 ?2k? ? ? , 2k? ? ? k ??? 上 是增函数;在 ?2k? ,2k? ? ? ? 在 ? k? ?

单调 性

? k ??? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?
14、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 零 向 量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 15、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? ,

? k ??? 上是减函数.

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.
对称中心 ? k? ,0?? k ??? 对称 性 对称轴 x ? k? ? 对 称 中 心 对称中心 ? 无对称轴

?
2

?k ? ??

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?

?

? b ? ? x2 , y2 ? 则 ? ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
16、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵ 坐 标 运 算 : 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则

C ? a
?

12..两角和与差的正弦、余弦、正切、辅助角公式:
⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

?

?

? b

?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ;

? ? a? b ? ?

1

x ?,2 x

1

y? ?. 2 y

? ??? ? ? ? ???? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

设 ? 、 ? 两 点 的 坐 标 分 别 为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? , 则

⑹ tan ?? ? ? ? ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ) .

? ? ?? ?? ? x2, y1 ?y ? x1 ? ?2.
17、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a .

2

? ? ? ? ? ? ① ?a ? ? a ;②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的
方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 .

?

?

? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b 22.a·b=|a||b|cos<a,b>= x 1 x2+y1y2; cos ? ? ? ? ? 2 2 a b x12 ? y12 x2 ? y2
注:①|a|cos<a,b>叫做 a 在 b 方向上的投影;|b|cos<a,b>叫做 b 在 a 方向 上的投影;

? ? ⑵坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? .
18、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a .

? ?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? 设 a ? ? x1 , y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? , 其中 b ? 0 , 则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时, 向量 a 、b b ? 0

?

?

23.正、余弦定理: a b c ? ? ? 2R ⑴正弦定理: sin A sin B sin C

( 2 R 是 ?ABC 外接圆直径 )

共线. 18、.三点共线的充要条件:P,A,B 三点共线 ? PA ? ? PB ? PA PB

注:① a : b : c ? sin A : sin B : sin C ;② a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ;
a b c a?b?c ? ? ? 。 sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C (2)余弦定理: a2=b2 +c2-2bccosA b2 =c2+a2-2accosB c2 =a2 +b2-2abcosC

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?



??? ? ??? ? ??? ? ? OP ? xOA ? yOB且x ? y ? 1

? K PA ? KPB

19、中点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的中点, ?1 、 ?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? , 点 ? 的坐标是(

余弦定理的变形公式

x1 ? x 2 y1 ? y2 , ) 2 2

20、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .
? ?

? ?

? ?

??

? ?

?

?

? ? ? ? ? a ?b 向量 b 在向量 a 上的投影:| b | cos ? = ? . |a|
⑵性质: 设 a 和 b 都是非零向量, ① a ? b ? a ? b ? 0 . ②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b ;
2 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b .

b2 ? c 2 ? a 2 co s A ? , 2b c c2 ? a 2 ? b2 co s B ? , 2ca a2 ? b2 ? c2 co sC ? 。 2a b
? ?

?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

24.三角形面积公式: S ?

?

?

? ?

? ?

? ?

?

?2

?

? ?

? ?

? ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2

⑶ 坐 标 运 算 : 设 两 个 非 零 向 量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则 a ? b ? 1 , x x y y 2 ? 1 2

?

?

? ?

25.等差、等比数列定义:

?2 ? a ? x 2 ? y 2 ,或 a ? x 2 ? y 2

(1)等差数列{a n} ? a n ?1 ? a n ? d (d为常数, n ? N ?) ? a n ? a n ?1 ? d (n ? 2) ? 2a n ? a n ?1 ? a n?1 (n ? 2, n ? N *) ? a n ? kn ? b ? S n ? An2 ? Bn
⑵等比数列 {an } ?

21.向量的平行与垂直: 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则: ① a ∥ b ? b =λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 ; ② a ? b ( a ? 0 ) ? a · b =0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
3

an ?1 2 ? q(q ? 0) ? an ? a n -1 ? an ?1 (n ? 2, n ? N ? ) an

26.等差、等比数列性质: 等差数列 通项公 式
Sn ?

29.含有绝对值的不等式:当 a ? 0 时,有:① x ? a ? x 2 ? a 2 ? ?a ? x ? a ; 等比数列 ② x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a . 30.分式不等式: (1) (3)

an ? a1 ? (n ? 1)d
n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

an ? a1q n?1
1.q ? 1时,S n ? na1 ; 2.q ? 1时,S n ? ? a1 ? a n q 1? q a1 (1 ? q n ) 1? q

f ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 ; g ?x ?

(2)

前n项 和

? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 f ?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 f ?x ? ?0?? ?0?? ; (4) . g ?x ? g ?x ? ? g ?x ? ? 0 ? g ?x ? ? 0
f ( x)

f ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 ; g ?x ?

31.指数不等式与对数不等式 (1) 当 a ? 1 时, a

? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ;

性质

①an=am+ (n-m)d, ②m+n=p+q 时 am+an=ap+aq

①an=amqn-m; ②m+n=p+q 时 aman=apa

27.不等式的性质: ⑴a ? b ? b ? a;
⑵ a ? b, b ? c ? a ? c ; ⑶ a ? b ? a ? c ? b ? c ; a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑷ a ? b, c ? 0 ? ac ? bd ;

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?
(2) 当 0 ? a ? 1 时, a
f ( x)

? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ;

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
32 .均值不等式: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;
⑸ a ? b ? 0 ? a ? b ? 0(n ? N ) ;
n n ?

a?b ? ab . 2

当且仅当 a = b 时取=号;

a?b 2

称为正数 a 、 b 的算术平均数,

ab 称为

⑹ a?b?0?

n

a ? n b (n ? N ? )
2

正数 a 、 b 的几何平均数.注意.均值不等式使用的条件是:一正二定三相等; 33.极值定理:已知 x, y 都是正数,则有: (1)如果积 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ;
1 (2)如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时积 xy 有最大值 s 2 . 4

28.解一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) :若 a ? 0 ,则对于解集不是全集或空 集 时 , 对 应 的 解 集 为 “ 大 两 边 , 小 中 间 ”. 如 : 当 x1 ? x 2 , ?x ? x1 ??x ? x2 ? ? 0 ? x1 ? x ? x2 ;

?x ? x1 ??x ? x2 ? ? 0 ? x ? x2或x ? x1 .

4


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