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【备战】高中数学 第64讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布配套课件 理 新人教B版_图文

双 向 固 基 础 ?点 面 讲 考 向 ?多 元 提 能 力 ?教 师 备 用 题 ? 第64讲 离散型随机变量的均 值与方差、正态分布 返回目录 考试大纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的 概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解 决一些实际问题. 2.利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特 点及曲线所表示的意义. 返回目录 第64讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 ? 双 向 固 基 础 ? ? —— 知 识 梳 理 —— 一、离散型随机变量的均值 1.概念:一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 … x i … xn P p1 p2 … pi … pn 则称 E(X)= 为随机变量 X x______________________________ 1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2.性质:若 Y=aX+b,其中 Y 也是随机变量,a,b 是常数, 随机变量 X 的数学期望是 E(X),则 E(Y)=____________ . aE(X)+b 返回目录 第64讲 ? 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 ? 双 向 固 基 础 二、离散型随机变量的方差 1.概念:设离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi-E(X))2 描述了 xi(i= n 1,2,3,…,n)相对于均值 ? (xi-E(X))2pi 为这些偏离程度 E(X)的偏离程度.而 D(X)=______________ i=1 的加权平均,刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程 度.我们称 D(X)为随机变量 X 的方差,并称其算术平方根 D(X)为随机变量 X 的标准差,记 σ(X). 返回目录 第64讲 ? 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 ? 双 向 固 基 础 a2D(X) . 2.性质:D(aX+b)=________ 证明:E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=(ax1+b-aE(X) -b)2p1 +(ax2 + b-aE(X) -b)2p2 + …+(axi +b -aE(X) -b)2pi +…+(axn+b-aE(X)-b)2pn = a2[(x1 - E(X))2p1 + (x2 - E(X))2p2 + … + (xi - E(X))2pi +…+(xn-E(X))2pn] =a2D(X). 返回目录 第64讲 ? 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 ? 双 向 固 基 础 三、两点分布和二项分布的均值和方差 1.两点分布的均值和方差:若 X 服从成功概率为 p 的两 p 点分布,则均值 E(X)=________ ,方差 D(X)=__________ p(1-p) . 2.二项分布的均值和方差:若 X~B(n,p),则 E(X)= np ,D(X)=____________ np(1-p) ________ . 返回目录 第64讲 ? 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 ? 双 向 固 基 础 四、正态分布 (x-μ)2 1 1 .正态密度曲线:函数 φμ ,σ(x) = e - 2σ2 , 2πσ x∈(-∞,+∞),其中 μ 和 σ 为参数(σ>0,μ∈R).我们称函 数 φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.其中 函数 φμ,σ(x)称为正态密度函数,其中的参数 μ 是正态总体的 均值,参数 σ 是正态总体的标准差. 返回目录 第64讲 ? 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 ? 双 向 固 基 础 2.正态曲线有以下特点: (1)曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称; 1 (3)曲线在 x=μ 处达到峰值 ; 2πσ (4)曲线与 x 轴之间的面积为 1; (5)当 σ 一定时,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移; (6)当 μ 一定时, 曲线的形状由 σ 确定, σ 越小, 曲线越“瘦 高”,表示总体的分布越集中,σ 越大,曲线越“矮胖”,表示 总体分布越分散的程度. 返回目录 第64讲 ? 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 ? 双 向 固 基 础 3.正态分布:若 X 是一个随机变量,对任给区间(a,b], P(a<x≤b)恰好是正态密度曲线下方和 x 轴上(a, b]上方所围成 的图形的面积,我们就称随机变量 X 服从参数为 μ 和 σ2 的正 态分布,简记为 X~N(μ,σ2). 返回目录 第64讲 ? 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 双 向 固 基 础 —— 疑 难 辨 析 —— 1.均值的意义 (1)期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的 平均,反映了离散型随机变量取值的平均水平.( ) (2)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随着样 本的不同而变化的,样本的均值是随机变量,这是样本 的均值和随机变量的均值的差别.( ) [答案] (1)√ (2)√ 返回目录 第64讲 ? 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 双 向 固 基 础 [解析] (1)根据期望的定义和算术平均值的概念可知. (2)根据随机变量均值的定义,当随机变量的概率分布确定 后,这个随机变量的均值就是一个确定的常数,但样本的均值随 着样本的不同会发生变化的,也就是样本的均值是一个随机变 量. 返回目录 第64讲 ? 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 双 向 2.方差的意义 固 (1)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均 基 础值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离变量平均值的平均程 度越小.( ) (2)随机变量的方差是常数, 样本的方差是随着样本的不同而 变化