kl800.com省心范文网

题型最全的递推数列求通项公式的习题


递推数列题型分类练习
类型 1

an ?1 ? an ? f (n)

解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 1. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 , a n?1 ? a n ? n - 1 ,求 an 。 2

2. 已知数列 {an } 中a1 ? 1,且 a2k=a2k-1+(-1)K, (I)求 a3, a5; (II)求{ an}的通项公式.

a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,…….

类型 2

an?1 ? f (n)an
an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

解法:把原递推公式转化为

3. 已知 a1 ? 3 , a n ?1 ?

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

4. 已 知数列 {an} , 满足 a1=1 , an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 (n ≥ 2) , 则 {an} 的通项

?1 an ? ? ? ___
类型 3

n ?1 n?2

。 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 法转化为等比数列求解。 5. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a n?1 ? 2a n ? 8 ,求 an .

q ,再利用换元 1? p

6. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式;
*

(II)若数列{bn}滿足 4 1 4 2

b ?1 b ?1

4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明:数列{bn}是等差数列。

类型 4

。 an?1 ? pan ? q n ( 其 中 p , q 均 为 常 数 , ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) )

(或

an?1 ? pan ? rqn ,其中 p,q, r 均为常数) 。
解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 q n?1 ,得:

an?1 p an 1 ? ? ? 引入辅助数列 ?bn ? q n?1 q q n q

(其中 bn ?

an p 1 ) ,得: bn?1 ? bn ? 再待定系数法解决。 n q q q
5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2

7. 已知数列 ?an ? 中, a1 ?

类型 5 递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。 解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 其中 s,t 满足 ?

?s ? t ? p ?st ? ?q

解法二(特征根法):对于由递推公式 an?2 ? pan?1 ? qan , a1 ? ? , a2 ? ? 给出的数列 ?an ? ,方 程 x ? px ? q ? 0 ,叫做数列 ?an ? 的特征方程。若 x1 , x 2 是特征方程的两个根,当 x1 ? x 2 时,
2

数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1

n?1

n?1 , 其中 A, B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定 (即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 ? Bx2

n?1 n ? 1,2 ,代入 an ? Ax1n?1 ? Bx2 ,得到关于 A、B 的方程组) ;当 x1 ? x 2 时,数列 ?an ? 的通 n?1 项为 an ? ( A ? Bn) x1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入

。 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,得到关于 A、B 的方程组) 8. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式。

类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn ? f (an ) ) 解法:这种类型一般利用 a n ? ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 与 an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消 ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

去 S n (n ? 2) 或与 S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进行求解。 9. 已知数列 ?an ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?

1 2
n?2

.(1)求 an?1 与 an 的关系; (2)求通项公式 an .

、 0,a ? 0) 类型 7 an?1 ? pan ? an ? b ( p ? 1
解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令 an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y) , 与已知递推式比较,解出 x, y ,从而转化为 ?an ? xn ? y?是公比为 p 的等比数列。 10. 设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an .

r 类型 8 an?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0)

解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an?1 ? pan ? q ,再利用待定系数法求解。 11:已知数列{ an }中, a1 ? 1, a n ?1 ? 类 型 9 a n?1 ?

1 2 ? a n (a ? 0) ,求数列 ?an ? 的通项公式. a

f ( n) a n 解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 g ( n) a n ? h( n)

an?1 ? pan ? q 。
12:已知数列{an}满足: an ?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? an?1 ? 1

类型 10

an?1 ?

pan ? q ra n ? h pan ? q (其中 p、 ra n ? h

解法:如果数列 {an } 满足下列条件:已知 a1 的值且对于 n ? N ,都有 a n ?1 ? q、r、h 均为常数,且 ph ? qr , r ? 0, a1 ? ?

h px ? q ) ,那么,可作特征方程 x ? ,当特征方程 r rx ? h

有 且 仅 有一 根 x0 时 , 则 ?

?

1 ? ? 是 等差 数 列 ; 当 特 征方 程 有两个 相 异 的根 x1 、 x2 时 , 则 ? an ? x0 ?

? an ? x1 ? ? ? 是等比数列。 ? an ? x2 ?
13:已知数列 {an } 满足性质:对于 n ? N, a n?1 ?

an ? 4 , 且 a1 ? 3, 求 {an } 的通项公式. 2an ? 3

类型 11 an?1 ? an ? pn ? q 或 an?1 ? an ? pqn 解法:这种类型一般可转化为 ?a2 n?1 ?与 ?a2 n ? 是等差或等比数列求解。 14: (I)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? 6n ? an ,求 an (II)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an an?1 ? 3n ,求 an

类型 12 双数列型 解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例 : 已 知 数 列

?an ?

中 , a1 ? 1 ; 数 列

?bn ?

中 , b1 ? 0 。 当 n ? 2 时 ,

1 1 a n ? (2a n ?1 ? bn ?1 ) , bn ? (a n ?1 ? 2bn ?1 ) ,求 an , bn . 3 3

类型 14 周期型

解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。

例:若数列 ?an ? 满足 a n ?1

1 ? 2a n , (0 ? a n ? ) ? 6 ? 2 ?? ,若 a1 ? ,则 a 20 的值为___________。 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n n ? 2 ?

变式:已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =(
3 2



A.0

B. ? 3

C. 3

D.


赞助商链接

递推数列求通项公式的---习题

递推数列求通项公式的---习题 - 江苏高考数列题型分析 类型 1 an ?1 ? an ? f (n) 解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加...

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解 - 求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细) 总述:一.利用递推关系式求数列通项的 11 种方法: 累加法、 ...

常见递推数列通项的九种求解方法

,a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。 3...? an ? 2 ? 3n?1 ?1 【类型三专项练习题】 ...题型最全的递推数列求通... 4页 1下载券 求数列...

最新高考数列递推公式题型归纳解析完整答案版

最新高考数列递推公式题型归纳解析完整答案版_数学_高中教育_教育专区。最新高考...an ? 是等比数列;( II )求数列 ?an ? 的通项公式;( III )若数列 ?bn...

求通项公式的习题

求通项公式的习题 - 高考递推数列题型分类归纳解析 各种数列问题在很多情形下, 就是对数列通项公式的求解。 特别是在一些综合性比较强的数列问题中, 数列通项...

高考递推数列求通项题型分类归纳解析

高考递推数列求通项题型分类归纳解析_数学_高中教育_教育专区。高考递推数列求通项题型分类归纳解析类型 1 an ?1 ? an ? f (n) 解法:把原递推公式转化为 ...

数列求通项公式最常用八大方法总结配套例题高中数学复...

数列求通项公式最常用八大方法总结配套例题高中数学复习必备 - 总述: 一、利用递推关系式求数列通项的 11 种方法: 累加法、累乘法、待定系数法、 逐差法、...

高考数学题型全归纳:由数列的递推公式求通项公式的常用...

高考数学题型全归纳:由数列的递推公式求通项公式的常用方法(含答案)_数学_高中...推公式,最后用新数列的性质解决问题. 二 例题精讲 例 1. (裂项求和)求 Sn...

最新高考数列递推公式题型归纳解析完整答案版

高考数列中比较难的提醒总结,比较全面。最新高考数列递推公式题型归纳解析完整答案...( * 的通项公式; (II)若数列{b 滿足 (I)求数列 {an } 的通项公式; ...

高考数学题型全归纳:如何由递推公式求通项公式典型例题...

高考数学题型全归纳:如何由递推公式求通项公式典型例题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。如何由递推公式求通项公式高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点...