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2008届高三数学(理科)高考模拟题


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08 届高三数学(理科)高考模拟题 第一部分 选择题(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的 1、设集合 M ? {x | 0 ? x ? 3} , N ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么“ a ? M ”是“ a ? N ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
王新敞
奎屯 新疆

2、 若向量a ? (2,1), b ? (3, x), 若(2a ? b) ? b, 则x的值为 A. 3
2

?

?

?

?

?

(

)

B. ?1或3

C. -1

D. 3或 ? 1 ( )

3、若 ( x ? ) 展开式中的所有二项式系数和为 512,则该展开式中的常数项为
n

1 x

A. -84
2

B. 84

C. -36

D. 36 ( ( ) )

4、如果复数 (m ? i)(1 ? mi) 是实数,则实数 m ? A. ?1 B. 1 C. ? 2 D. 2 5、下列各组命题中,满足“ ‘p 或 q’为真、 ‘p 且 q’为假、 ‘非 p’为真”的是 A. p: 0 ? ? ; q: 0 ? ? . B. p:在△ABC 中,若 cos 2 A ? cos 2 B ,则 A ? B ; q: y ? sin x 在第一象限是增函数. C. p: a ? b ? 2 ab (a , b ? R) ; q:不等式 | x |? x 的解集是 (?? , 0) . D. p:圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 的面积被直线 x ? 1 平分; q:椭圆

x2 y2 ? ? 1 的一条准线方程是 x ? 4 . 4 3

6、右图给出的是计算 A.i>10 B.i<10

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是( 2 4 6 20
C.i>20 D.i<20



7、函数 y ? log2 x ? logx (2x) 的值域是 A. (??,?1] 8、已知椭圆 B. [3,??) C. [?1,3]

第6题





D. (??,?1] ? [3,??)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , A(?a, 0), B(0, b) 为椭圆的两个顶点,若 F 到 AB 的距离 a 2 b2

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等于

b ,则椭圆的离心率为 7
B. 7 ? 7 7 C.



) D.

A. 7 ? 7 7

1 2

4 5

第二部分 非选择题(共 110 分)
二、填空题(本大题共 6 小题,共 30 分,把答案填写在答题卡相应位置上) 9、若

?

a 0

x 2 dx ? 9 ,则 a ? _____ ;

?

2 ?2

4 ? x 2 dx ? __________ __ .

?x ? 2 ? 10、若 ? y ? 2 ,则目标函数 z ? x ? 3 y 的取值范围是 ?x ? y ? 6 ?
11、 (从以下三题中选做两题,如有多选,按得分最低的两题记分.)
F

(A) AB是圆O的直径, EF切圆O于C, AD ? EF于D,
E

C D B

AD ? 2, AB ? 6, 则 AC长为___________

A

O

(B)若不等式|x-2|+|x+3|< a 的解集为 ?,则 a 的取值范围为_____________. (C)参数方程 ?

? x ? 2 cos? ( ? 是参数)表示的曲线的普通方程是_________________. ? y ? 2 ? cos 2?

.5) =_________. 12、设定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)+f(x)=1,且当 x∈[1,2]时,f(x)=2-x,则 f (?2004
13 、 观 察 下 列 的 图 形 中 小 正 方 形 的 个 数 , 则 第 6 个 图 中 有 _______ 个 小 正 方 形 , 第 n 个 图 中 有 ________________个小正方形.

??
三、解答题(有 6 大道题,共 80 分,要求写出推理和运算的过程) 14、(本题满分 12 分 ) 已知向量 OP ? (2cos x ? 1, cos 2 x ? sin x ? 1) , OQ ? (cos x, ?1) , 定义 f ( x) ? OP ? OQ . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若 x ? (0, 2? ) ,当 OP ? OQ ? ?1 时,求 x 的取值范围.

??? ?

??? ?

??? ? ????

??? ? ????

15、 (本小题满分 12 分)

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如图,棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=2,BD= 2 2 . (Ⅰ)求证:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)求二面角 P—CD—B 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 PBD 的距离.

P

A

D C

16、 (本小题满分 14 分)

B

2 3 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和 .假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响; 3 4
每次射击是否击中目标,相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲射击 4 次,至少 1 次未 击中目标的概率; . (Ⅱ)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率; (Ⅲ)假设某人连续 2 次未击中 目标,则停止射击.问:乙恰好射击 5 次后,被中止射击的概率是多少? ... 17、 (本小题满分 14 分) 设各项为正数的等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项; (Ⅱ)求 ?nSn ?的前 n 项和 Tn 。 18、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c 的图象为曲线 E. (Ⅰ) 若曲线 E 上存在点 P,使曲线 E 在 P 点处的切线与 x 轴平行,求 a,b 的关系; (Ⅱ) 说明函数 f ( x) 可以在 x ? ?1 和 x ? 3 时取得极值,并求此时 a,b 的值; (Ⅲ) 在满足(2)的条件下, f ( x) ? 2c 在 x ?[?2 , 6] 恒成立,求 c 的取值范围. 19、(本小题满分 14 分) 已知椭圆的一个焦点 F 1 (0,?2 2 ) ,对应的准线方程为 y ? ? 列. (1)求椭圆的方程; (2)试问是否存在直线 l , 使 l 与椭圆交于不同的两点 M 、N , 且线段 MN 恰被直线 x ? ? 求出 l 的倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由.

1 ,前 n 项和为 S n ,且 210 S30 ? (210 ? 1)S20 ? S10 ? 0 。 2

2 4 9 2 ,且离心率 e 满足 , e , 成等比数 4 3 3

1 平分?若存在, 2

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答题卷
题 号 得 分 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.) 题号 答案 二、填空题(本大题 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9、 ; _______ 10、 ; 11、 (A)________;(B) ; (C) _____________; _________________.13、____________;_______________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14 12 、 1 2 3 4 5 6 7 8 一 二 三 15 16 17 18 19 20 总 分

_____

姓名:___________

学号:___________________

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参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题 题号 答案 1 B 2 B 3 B 4 A 5 C 第Ⅱ卷 二、填空题 9、 3 , 2? ; 6 A 7 D 8 C

[8,14] ; 10、

(??,5] ; 11、 (A) (C)y ? ? 2 3 ; (B)

x2 ? 3 ( | x |? 2 ); 2

12、 0.5

13、

28 ,

(n ? 1)( n ? 2) 2

三、解答题 14、 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? OP ? OQ = (2cos x ? 1, cos 2 x ? sin x ? 1) ? (cos x, ?1) = 2cos x ? cos x ? cos 2 x ? 1 + sin x
2

??? ? ????

= cos x + sin x ? 所以, f ( x ) 的最小正周期

T?

2? ? 2? 1

2 sin( x ? ) 4

?

(Ⅱ)? OP ? OQ ? ?1 ? sin( x ?

??? ? ????

?
4

)??

2 2
? 4

? x ? (0 , 2? )
由三角函数图象知:

?

?
4

?x ?

? 9 ?
4

5? ? 7? 3? ? x? ? ?? ? x ? 4 4 4 2 3? ? x 的取值范围是 (? , )
2

15、 (本小题满分 12 分) 方法一: 证: (Ⅰ)在 Rt△BAD 中,AD=2,BD= 2 2 ,

P

A
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D

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∴AB=2,ABCD 为正方形, 因此 BD⊥AC. ∵PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD, ∴BD⊥PA . 又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面 PAC. 解: (Ⅱ)由 PA⊥面 ABCD,知 AD 为 PD 在平面 ABCD 的射影,又 CD⊥AD, ∴CD⊥PD,知∠PDA 为二面角 P—CD—B 的平面角. 又∵PA=AD, ∴∠PDA=450 . (Ⅲ)∵PA=AB=AD=2 ∴PB=PD=BD= 2 2 设 C 到面 PBD 的距离为 d,由 VP? BCD ? VC ? PBD ,

1 1 ? S ?BCD ? PA ? ? S ?PBD ? d , 3 3 1 1 1 1 2 0 即 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? (2 2 ) ? sin 60 ? d , 3 2 3 2 2 3 得d ? 3
有 方法二: 证: (Ⅰ)建立如图所示的直角坐标系, 则 A(0,0,0) 、D(0,2,0) 、P(0,0,2). 在 Rt△BAD 中,AD=2,BD= 2 2 , ∴AB=2. ∴B(2,0,0) 、C(2,2,0) , ∴ AP ? (0,0,2), AC ? (2,2,0), BD ? (?2,2,0) ∵ BD ? AP ? 0, BD ? AC ? 0 即 BD⊥AP,BD⊥AC,又 AP∩AC=A, ∴BD⊥平面 PAC. 解: (Ⅱ)由(Ⅰ)得 PD ? (0,2,?2),CD ? (?2,0,0) . x B

z P

A D y

C

设平面 PCD 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则 n1 ? PD ? 0, n1 ? CD ? 0 ,
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即?

?0 ? 2 y ? 2 z ? 0 ?x ? 0 ,∴ ? ?? 2 x ? 0 ? 0 ? 0 ?y ? z

故平面 PCD 的法向量可取为 n1 ? (0,1,1) ∵PA⊥平面 ABCD,∴ AP ? (0,01 ) 为平面 ABCD 的法向量.

设二面角 P—CD—B 的大小为?,依题意可得 cos? ?

n1 ? AP n1 ? AP

?

2 , 2

∴? = 450 . (Ⅲ)由(Ⅰ)得 PB ? (2,0,?2), PD ? (0,2,?2) 设平面 PBD 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,则 n2 ? PB ? 0, n2 ? PD ? 0 , 即?

?2 x ? 0 ? 2 z ? 0 ,∴x=y=z ?0 ? 2 y ? 2 z ? 0

故平面 PBD 的法向量可取为 n2 ? (1,1,1) . ∵ PC ? (2,2,?2) ,

∴C 到面 PBD 的距离为 d ?

n2 ? PC n2

?

2 3 3

16、 (本小题满分 14 分) 解: (1)设“甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标”为事件 A,则其对立事件 A 为“4 次均击中目标” ,则

? 2 ? 65 P ? A? ? 1 ? P A ? 1 ? ? ? ? ? 3 ? 81
(2)设“甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次”为事件 B,则
2 ?2? P ? B ? ? C4 ?? ? ?3? 2 2 3

? ?

4

1 1 ?1? 3 ? 3? ? ? ? ? C4 ?? ? ? ? ? 3? ? 4? 4 8

(3)设“乙恰好射击 5 次后,被中止射击”为事件 C,由于乙恰好射击 5 次后被中止射击,故必然是最后两次未 击中目标,第三次击中目标,第一次及第二次至多有一次未击中目标。 故 P ? C ? ? ??

?? 3 ? 2 ? 3 ? 1 ?2 45 1 3 1 ? C ? ? ? ? ?? ? ? 2 ? 4 4? ? ?? 4 ? ? 4 ? 4 ? 1024

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17、 (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由 210 S30 ? (210 ? 1)S 20 ? S10 ? 0 得 210 (S30 ? S 20 ) ? S 20 ? S10 , 即 210 (a21 ? a22 ? ? ? a30 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a20 , 可得 210 ? q10 (a11 ? a12 ? ?? a20 ) ? a11 ? a12 ? ?? a20 .

1 1 n ?1 ? n , n ? 1,2, ?. ,因而 a n ? a1 q 2 2 1 1 (Ⅱ)因为 {an } 是首项 a1 ? 、公比 q ? 的等比数列,故 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 2 ? 1 ? 1 , nS ? n ? n . Sn ? n 1 2n 2n 1? 2 1 2 n 则数列 {nSn } 的前 n 项和 Tn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ), 2 2 2 Tn 1 1 2 n ?1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ). 2 2 2 2 2 2 Tn 1 1 1 1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? n ?1 前两式相减,得 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) n(n ? 1) 1 n n(n ? 1) 2 2 ? n ? n ?1 ? n ? 2. 即 Tn ? ? ? n ?1 1 2 2 2 4 2 1? 2
因为 an ? 0 ,所以 210 q10 ? 1, 解得 q ?

18、 (本小题满分 14 分) 解 : (1)

f ?( x) ? 3x 2 ? 2a x ? b , 设 切 点 为 P( x0 , y0 ) , 则 曲 线 y ? f ( x) 在 点 P 的 切 线 的 斜 率
2 2

k ? f ?( x0 ) ? 3x0 ? 2ax0 ? b ,由题意知 f ?( x0 ) ? 3x0 ? 2ax0 ? b ? 0 有解,
∴ ? ? 4a 2 ? 13b ? 0 即 a 2 ? 3b . (2)若函数 f ( x) 可以在 x ? ?1 和 x ? 3 时取得极值, 则 f ?( x) ? 3x 2 ? 2a x ? b ? 0 有两个解 x ? ?1 和 x ? 3 ,且满足 a 2 ? 3b . 易得 a ? 3 , b ? ?9 . (3)由(2),得 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? c . 根据题意, c ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ( x ?[?2 , 6] )恒成立. ∵函数 g ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ( x ?[?2 , 6] )在 x ? ?1 时有极大值 5 (用求导的方法) , 且在端点 x ? 6 处的值为 54 . ∴函数 g ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ( x ?[?2 , 6] )的最大值为 54 . 所以 c ? 54 .

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19、 (本小题满分 14 分) 解: (1)∵

2 4 2 4 , e, 成等比数列 ∴ e 2 ? ? 3 3 3 3

e?

2 2 3

设 p ( x, y ) 是椭圆上任意一点,依椭圆的定义得

x2 ? ( y ? 2 2)2 2 2 ? , 化简得9 x 2 ? y 2 ? 9 9 3 y? 2 4
y2 ? 1 为所求的椭圆方程. 9
1 相交,不可能垂直 x 轴 2

即x ?
2

(2)假设 l 存在,因 l 与直线 x ? ?

因此可设 l 的方程为: y ? kx ? m 由

? y ? kx ? m 消去y, 得9 x 2 ? (kx ? m) 2 ? 9整理得 ? 2 2 ?9 x ? y ? 9
(k 2 ? 9) x 2 ? 2kmx? (m 2 ? 9) ? 0
方程①有两个不等的实数根 ∴ ? ? 4k 2 m 2 ? 4(k 2 ? 9)(m 2 ? 9) ? 0即m 2 ? k 2 ? 9 ? 0 设两个交点 M 、 N 的坐标分别为 ( x1 , y1 )(x2 , y 2 ) ∵线段 MN 恰被直线 x ? ? ② ①

∴ x1 ? x 2 ?

? 2km k2 ?9

1 x ? x2 2km 1 即? 2 ? ?1 平分 ∴ ? ? 1 2 2 2 k ?9

∵k ? 0

∴m ?

k2 ?9 k2 ?9 2 ) ? (k 2 ? 9) ? 0 ③ 把③代入②得 ( 2k 2k
k2 ? 9 ?1 ? 0 4k 2
2 ∴ k ? 3 解得 k ?

2 ∵k ?9 ? 0



3或k ?? 3

∴直线 l 的倾斜角范围为 (

? ?

? 2? , )?( , ) 3 2 2 3

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