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广西柳铁一中2013届高三模拟数学文试题(四)

柳州铁一中 2010 级高三文科数学模拟试题(四)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)
} 1 . 已知 合集 U ? R , 集 合 M ? { y | y ? 2 , x ? R } , N ? { x | x ? 4 ? 0 , x ? R,则集 合
|x | 2

M ? (C U N )

是(

) B. ?1, 2 ? C. ( ? ? , 2 ) D. ? 2, ? ? ?

A. (1,2)

2.从 5 位男数学教师和 4 位女数学教师中选出 3 位教师派到 3 个班担任班主任(每班 1 位班 主任) , 要求这 3 位班主任中男女教师都有,则不同的选派方案共有( ) A.210 B.420 C.630 D.840 3.下列说法错误的是( )
a b A.命题:“已知 f ( x ) 是 R 上的增函数,若 a ? b ? 0 ,则 f (a ) ? f (b ) ? f ( ? ) ? f ( ? )



的逆 否命题为真命题
? B.命题 p :“存在 x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”,则
2

p :“任意 x ? R ,均有

x ? x ?1? 0 ”
2

C.若 p 且 q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 D.“ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件 ks5u 4.设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 2 a 8 ? 6 ? a 1 1 ,则 S 9 =( A.54
? 5. 如果 ? 3 x ? ?



B.45
n

C.36

D.27 )

1
3

x

2

? 1 则展开式中 3 项的系数是 ( ? 的展开式中二项式系数之和为 128, x ?

A.7

B.-7

C.-21

D.21 )

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6. 若两个非零向量 a , b 满足 | a ? b |? | a ? b |? 2 | a | , 则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角为 (

A.

?
6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6

7.在三棱柱 A B C ? A1 B1 C 1 中,各侧面均为正方形,侧面 A A1 C 1 C 的对角线相交于点 M , 则 BM 与平面 A A1 C 1 C 所成角的大小是( )

A.30°

B.45°

C.60°
? ax ? by ? 1 ?x ? y
2 2

D.90 有实数解,则实数 a , b 满足( )

8.若关于 x , y 的方程组 ?

?1

A. a ? b ? 1
2 2

B. a ? b ? 1
2 2

C. a ? b ? 1
2 2

D. a ? b ? 1
2 2

9.将函数 f ( x ) ? 2 s in ( 2 x ? 满足 g ( A. ( ?
?
4 ? x) ? g ( , 3)
f (x)
x

?
3

? ) ? 3 的图形按向量 a ? ( m , n ) 平移后得到函数 g ( x ) 的图形,

?
4

? ? x ) 和 g ( ? x ) ? g ( x ) ? 0 ,则向量 a 的一个可能值是(



?
6

B. (

?
6

, 3)

C. ( ?

?
6

, ? 3)

D. (

?
3

, ? 3 ) ks5u
f ( x) ? f ( x ? 4)

10.已知 时,

是定义在 R 上的偶函数,且对任意 x ? R ,都有 在区间 [ ? 2 , 0 ] 上的反函数 C. 5 ?
lo g 2 3

,当 x ? (

[4 , 6]

f ( x ) ? 2 ? 1 ,则函数 f ( x )

f

?1

(x)

的值

f

?1

(1 9 ) ?



A. 3 ? 2 lo g 2 3

B. ? 1 ?
? 4x

2 lo g 2 3

D. lo g 2 1 5

11. 设F为抛物线 y 2

的焦点, A , B , C 为抛物线上不同的三点, F 是△ABC的重心,O 点
? S2 ? S3 ? (
2 2

S S 则 为坐标原点, O F A 、 O F B 、 O F C 的面积分别为 S 1 、 2 、 3 , S 12 △ △ △



A.9

B.6
2

C.3
? bx ? c

D.2 ,曲线 y ? f ( x ) 在点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处切线的倾斜角的取值 )

12.设 a ? 0, f ( x) ?ax
? ?

范围为 ? 0 ,
? ? 1? a? ?

? ?
4? ?

,则点 P 到曲线 y ? f ( x ) 对称轴距离的取值范围是(

A. ? 0 ,

B. ? 0 , |
?

?

? 2a ? ? b |

C. ? 0 , |
?

?

b ?1 ? | 2a ? ?

D. ? 0 , 2a ?
? ?

?

1 ?

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)ks5u 13.若 3 c o s (
?
2 ? ? ) ? c o s ( ? ? ? ) ? 0 ,则 co s 2? 的值为 ___

?x ? 0 ? 14.设不等式组 ? y ? 0 在平面直角坐标系中所表示的区域的面积为 S ,则当 ? y ? ?k( x ? 4 ) ?
k ? 1时 , kS k ?1

的最小值为

____
? A1 B 1 C 1 D 1

15.棱长为 a 的正方体 ABCD

的 8 个顶点都在球 O 的表面上, E , F 分别是棱

A A1 、 D D 1 的中点,则过 E , F 两点的直线被球 O 截得的线段长为____________
x a
2 2

16.直线 l 与双曲线 C: 若l 与

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 交于 A , B 两点, M 是线段 A B 的中 点,

O M ( O 是原点)的斜率的乘积等于 1 ,则此双曲线的离心率为

___

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............
?
6
2

已知函数 f ( x ) ? 2 ? s in ( 2 x ? 为 a , b , c ,若 f (
B 2

) ? 2 s in x , x ? R ,记 ? A B C 的内角 A , B , C 的对边长分别 3 ,求 a 的值。

) ? 1, b ? 1, c ?

18. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............

某市为了推动全民健身运动在全市的广泛开展, 该市电视台开办了健身竞技类栏目 《健身大 闯关》 , 规定参赛者单人闯关,参赛者之间相互没有影响,通过关卡者即可获奖。现有甲、乙、丙 3 人参加当天的闯关比赛,已知甲获奖的概率为 奖的概率为
1 5 3 5

,乙获奖的概率为

2 3

,丙获奖而甲没有获



(Ⅰ)求三人中恰有一人获奖的概率; (Ⅱ)求三人中至少有两人获奖的概率。 ks5u

19. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............

在正三角形 A B C 中,E 、F 、P 分别是 A B 、A C 、B C 边上的点, 满足 A E : E B ? C F : F A
? C P : P B ? 1 : 2(如图 1) .将△ A E F 沿 E F 折起到 ? A1 EF 的位置, 使二面角 A1 ? E F ? B

成直二面角,连结 A1 B 、 A1 P (如图 2)
A
A1

E

F
B

E

F
P

B

P

C

C

(图 1) (Ⅰ)求证: A1 E ⊥平面 B E P ; (Ⅱ)求二面角 B ? A1 P ? F 的余弦值.

(图 2)

20. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............
? 1 ,且 n a n ? 1 ? 2 S n

已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a1

,数列 {b n } 满足 b n

?

1 a 2 n ?1 ? a 2 n ?1

,数

列 {b n } 的前 n 项和为 T n (其中 n ? N * ) . (Ⅰ)求 a n 和 T n ; (Ⅱ)若对任意的 n ? N * ,不等式 ? T n
? n ? 8 ? ( ? 1)
n

恒成立,求实数 ? 的取值范围

21. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............
? 0

已知函数 f ( x ) ? a x 3 ? b x 2 ? cx ( a 极值 1. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)令 g ( x ) ?
?mx ? 5 2 m

)是定义在 R 上的奇函数,且 x

? ? 1 时,函数 f ( x )



,若 x1 , x 2 ? [0, m ] ( m

?0

) ,不等式

f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? 0

恒成立,求

实数 m 的取值范围;

ks5u

22. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............
y
2 2

已知 F 1 、F 2 分别为椭圆 C 1 :
2

?

x b

2 2

a

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的上、 下焦点, 其中 F 1 也是抛物线 C 2 :
5 3

x

? 4 y 的焦点,点 M 是 C 1 与 C 2 在第二象限的交点,且 MF 1 ?



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)已知点 P (1,3)和圆 O : x ? y
2 2

? b ,过点 P 的动
2

直线 l 与圆 O 相交于不同的两点 A , B ,在线段 A B 取一点 Q ,满足:
AP ? ? ? PB , AQ ? ? QB ( ? ? 0 且 ? ? ? 1 ) 。
? ?

?

?

求证:点 Q 总在某定直线上。

柳州铁一中 2010 级高三文科数学模拟试题(四)
一、选择题 题 1 号 答 B 案 二、填空题 13.
4 5

2 B

3 C

4 A

5 D

6 C

7 C

8 A

9 B

10 A

11 C

12 D

14.
? ?

24

15. 2 a
?
6 ? co s 2 x sin

16.

2

17. 解: f ( x ) ? 2 ? ? sin 2 x co s
1 2 3 2

? ?

? ? ?1 ? co s 2 x ? ???.2 分 6 ?

?

cos 2 x ?

s in 2 x ? 1 ???.3 分

? ? ? ? cos ? 2 x ? ? ?1 3 ? ?

???.4 分
? ?

由 f ?

? ? ? B ? ? ? ? cos ? B ? ? ?1 ?1 3 ? ? 2 ? ?
?
6

即 cos ? B ?

? ?

?? 0 3 ?

所 以 B?

?
3

?

?
2



B ?

???.6 分
a ?c ?b
2 2 2

由 cos B ?
2

及 b ? 1, c ?

3 ???.7 分

2ac

得 a ? 3a ? 2 ? 0
? ?

???.9 分

解得 a ? 1 或 a ? 2 ???.10 分

18:解设甲获奖为事件 A,乙获奖为事件 B,丙获奖为事件 C,丙获奖的概率为 p 则有 p ? 1 ?
3? 1 ?? 5? 5

解得 p ?

1 2

(1) 三人中恰有一个人获奖的概率为
p ? 2 ?? 1? ? 3? 2 ? 1? ? 3 ?? 2? 1 3 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ???.6 分 5 ? 3 ?? 2? ? 5? 3 ? 2? ? 5 ?? 3 ? 2 10 3 3 5 ? 1? 3 ? 2? 1 ? 3? 2 1 3 2 1 19 ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?ks5u.12 分 3 ? 2? 5 ? 3? 2 ? 5? 3 2 5 3 2 30 2

(2) P ?

19. 不妨设正三角形 ABC 的边长为 3 .
A
A1

E F
B E F P
C

B

P

C

(I)在图 1 中,取 BE 的中点 D,连结 DF. ∵AE : EB=CF : FA=1 : 2,∴AF=AD=2,而∠A=60 ,∴△ADF 是正三角形, 又 AE=DE=1,∴EF⊥AD.????2 分 在图 2 中,A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB 为二面角 A1-EF-B 的平面角. 由题设条件知此二面角为直二面角,∴A1E⊥BE. 又 BE∩EF=E,∴A1E⊥平面 BEF,即 A1E⊥平面 BEP.???.4 分 (II)建立分别以 ED、 EA 为 x 轴、 轴、 轴的空间直角坐标系, E(0,0,0),A(0,0,1), EF、 y z 则
??? ? ??? ? 3 ,0), P (1, 3 ,0),则, A B ? ( 2, 0, ? 1), B P ? ( ? 1, ?? 设平面 ABP 的法向量为 n1 ? ( x1 , y 1 , z 1 ) , ?? ?? ??? ?? ? ??? ? 由 n 1 ? 平面 ABP 知, n1 ? A B , n1 ? B P ,即
0

B(2,0,0),F(0,

3 , 0) .

?? ? 2 x1 ? z 1 ? 0 , ? 令 x1 ? 3 ,得 y 1 ? 1, z 1 ? 2 3 , n1 ? ( 3 ,1, 2 3 ) . ? ? ? x1 ? 3 y 1 ? 0 . ? ?? ? ???? ??? ? (II) A F ? (0, 3 , ? 1), P F ? ( ? 1, 0, 0 ) ,设平面 AFP 的法向量为 n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) . ?? ? ?? ? ???? ?? ? ??? ? 由 n 2 ? 平面 AFP 知, n 2 ? A F , n 2 ? P F ,即 ?? ? ? ? 2 x2 ? 0, ? 令 y 2 ? 1 ,得 x 2 ? 0, z 2 ? 3 , n 2 ? (0,1, 3 ) . ? ? 3 y2 ? z2 ? 0. ? ?? ?? ? ?? ?? n1 ? n 2 3 ? 0 ? 1?1 ? 2 3 ? 3 7 ?? ? ? c o s ? n1 , n1 ? ? ?? ? , 2 2 2 2 2 2 8 | n1 | ? | n 2 | ( 3 ) ? 1 ? (2 3 ) ? 0 ? 1 ? ( 3 )

所以二面角 B-A1P-F 的余弦值是 ? 20. 解答 (Ⅰ)∵ n a n ? 1 ∴ ( n ? 1) a n
? 2 S n ?1
? 2Sn

7 8

..?????..13 分

① ② ,∴ n a n ? 1
3 2 ?? ?
? ( n ? 1) a n

(n

? 2

)

①-②,得 n a n ? 1 ∴ an
? a1 ? a2 a1 ? a3 a2

? ( n ? 1) a n ? 2 a n

,即
? 2

a n ?1 an

?

n ?1 n

, ····· 2 分

?? ?

an a n ?1

? 1?
? n

2 1

??

n n ?1

? n

(n

), a1

? 1 满足上式,

故数列 { a n } 的通项公式 a n
bn ? 1 a 2 n ?1 ? a 2 n ?1

( n ? N * ). ·················· 4 分
? 1 2 2n ? 1 ( 1 ? 1 2n ? 1 )

?

1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)

, ············· 5 分

∴ Tn

?

1 2

(1 ?

1 3

?

1 3

?

1 5

?? ?

1 2n ? 1

?

1 2n ? 1

)?

n 2n ? 1

. ············· 6 分
n

(Ⅱ)①当 n 为偶数时,要使不等式 ? T n

? n ? 8 ? ( ? 1)

恒成立,即需不等式

? ?

( n ? 8 )( 2 n ? 1) n 8 n

? 2n ?

8 n

? 17

恒成立.
? 25
n

? 2n ?

?8

,当且仅当 n

? 2

时取“=” ? ? ,
? n ? 8 ? ( ? 1)

. ·············· 8 分

②当 n 为奇数时,要使不等式 ? T n
? ?
( n ? 8 )( 2 n ? 1) n ? 2n ? 8 n ? 2n ? 8 n ? 15

恒成立,即需不等式

恒成立.
? 1 时, 2 n ?

随 n 增大而增大,? n

8 n

取得最小值 ? 6 .? ?

? ? 2 1 . ····

10 12

分 综合①、②可得 ? 的取值范围是 ? 分 21.解析(Ⅰ)函数 则
3
3

? ? 2 1 . ··················

f ( x ) ? a x ? b x ? cx
2
2

(a

? 0

)是定义在 R 上的奇函数,
? 0

? f ( ? x ) ? ? f ( x ) 恒成立,即 b x ? 0

对于 x ? R 恒成立,? b ,
3 2

. ········· 2 分

? ( x)? a x ? cx , f( x)? 3 a x ? c f
2

? x ? ? 1 时,函数取极值 1.∴ 3 a ? c ? 0 , ? a ? c ? 1 ,

解得 a

?

1 2

,c ? ?

3 2

.∴

f (x) ?

1 2

x ?
3

x . ··················

4分

(Ⅱ)不等式

f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? 0 恒成立,只需 f ( x ) m ax ? g ( x ) m in ? 0
? g (m ) ? ? m ?
2

即可. ····· 5 分

∵函数 g ( x ) 在 [0, m ] 上单调递减,∴ g ( x ) m in 又
f(x) ? 1 2 x ?
3

5 2

m

. ········ 6 分

3 2

x



f ?( x ) ?

3 2

x ?
2

3 2

?

3 2

( x ? 1)( x ? 1)



由 f ?( x ) ? 0 得 x ? ? 1 或 x ? 1 ; f ?( x ) ? 0 得 ? 1 ? x ? 1 , 故函数 f ( x ) 在 ( ? ? , ? 1) , (1, ? ? ) 上单调递增,在 ( ? 1,1) 上单调递减, 则当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极小值, ······················ 8 分 在 (0, ? ? ) 上,当 ①当 0 则
? m ? 3

f (x) ?

1 2

x ?
3

3 2

x ? f (0 )

时, x

?

3



时,

f ( x ) m ax ? f (0 ) ? 0


2

f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? f ( x ) m ax ? g ( x ) m in ? 0 ? ( ? m ?
? m ? 5 2

5 2

m) ? m ?
2

5 2

m ? 0



解得 0 分 ②当 m 则

,故此时 0

? m ?

3

. ···················· 10

?

3

时,

f ( x ) m ax ? f ( m ) ?

1 2

m ?
3

3 2

m


m ? (? m ?
2

f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? f ( x ) m ax ? g ( x ) m in ?
m ? 2

1 2

m ?
3

3 2

5 2

m) ?

1 2

m ? m ? 4m ? 0
3 2



解得 ? 4 ? 分

,故此时

3 ? m ? 2

.综上所述,实数 m 的取值范围是 (0 , 2 ] . ·· 12

22.(1)由 C 2 : x 故

2

? 4 y 知 F 1 (0,1) ,设 M ( x 0 , y 0 )( x 0 ? 0 ) ,因 M 在抛物线 C 2 上,

x0 ? 4 y0 ①
2

又 MF 1 ?

5 3

,则 y 0 ? 1 ?

5 3

②,

由①②解得 x 0 ? ?

2 6 3

, y0 ?

2 3

??????(3 分)

椭圆 C 1 的两个焦点 F 1 (0,1) F 2 ( 0 , ? 1) ,点 M 在椭圆上,有椭圆定义可得 ,
2 6 3 2 3 2 6 3
y
2

2 a ? MF 1 ? MF

2

?

(?

? 0) ? (
2

? 1)

2

?

(?

? 0) ? (
2

2 3

? 1)

2

? 4

∴ a ? 2 , 又 c ? 1 ,∴ b ? a ? c ? 3 ,椭圆 C 1 的方程为:
2 2 2

?

x

2

? 1 ????(6 分)

4

3

(2)设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), Q ( x , y ) , 由 AP ? ? ? PB 可得: (1 ? x 1 , 3 ? y 1 ) ? ? ? ( x 2 ? 1, y 2 ? 3 ) , 即?
? x1 ? ? x 2 ? 1 ? ? ? y 1 ? ? y 2 ? 3 (1 ? ? )
? ?

??????(9 分) 由 AQ ? ? QB 可得: ( x ? x 1 , y ? y 1 ) ? ? ( x 2 ? x , y 2 ? y ) , 即?
? x 1 ? ? x 2 ? (1 ? ? ) x ? y 1 ? ? y 2 ? (1 ? ? ) y
2 2 2 2

?

?

⑤×⑦得: x 1 ? ? x 2 ? (1 ? ? ) x ⑥×⑧得: y 1 ? ? y 2 ? 3 ? (1 ? ? )
2 2 2 2

?ks5u???(10 分)
2

两式相加得 ( x 1 ? y 1 ) ? ? ( x 2 ? y 2 ) ? (1 ? ? )( x ? 3 y )
2 2 2 2 2

??????(11 分)

又点 A,B 在圆 x ? y ? 3 上,且 ? ? ? 1 ,
2 2

所以 x 1 ? y 1 ? 3 , x 2 ? y 2 ? 3
2 2 2 2

即 x ? 3 y ? 3 ,所以点 Q 总在定直线 x ? 3 y ? 3 上

??????(12 分)


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