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江苏省扬州市2012-2013学年高一上学期期末调研联考数学试题 Word版含答案


2012—2013 学年度第一学期高一数学期末试卷
(满分 160 分,考试时间 120 分钟) 2013.1 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 一、填空题(本大题共 14 题,每题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1. A ? ? x | x ? ?1? , B ? ? x | x ? 3? ,则 A ? B 2. 函数 f ( x) ? ▲ ▲ ▲ ▲ . . . . ▲ .

1 ? log3 (2 ? x) 的定义域为 x?4

3. 函数 f ? x ? ? sin(2 x ?

?

4

) 的最小正周期为
1 4

4. 已知幂函数 f ? x ? 过点 (2, ) ,则 f ( x) ?

5. 已知角 ? 终边经过点 P(?2,3), 则 ? 的正弦值为 6. 若 f ( x) ?

( x ? 2)( x ? m) 为奇函数,则实数 m ? ▲ . x ??? ? ???? ? ? ? ? ???? 7. 已知点 D 是 ?ABC 的边 BC 的中点,若记 AB ? a, AC ? b ,则用 a, b 表示 AD
为 ▲ .

8. 设函数 f ( x ) ? ?

? ? x, x ? 0 ,若 f (? ) ? 4 ,则实数 ? ? 2 ?x ,x ? 0
▲ .





9. 方程 x ? cos x 在 ? ??, ?? ? 内解的个数是

10. 把函数 y ? cos 2 x 图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,得到的函数解析式是 y ? 11. 下列计算正确的是 ... ① [(?2) ]
2 ? 1 2

▲ . .(把你认为正确的序号全部写上)



??

1 2

② log8 (log 2 16) ?

2 3
?

③ sin 600 ?
?

3 2

④ AB ? BD ? AC ? CD ? 0

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

12. 设 a, b, c 都是单位向量,且 a 与 b 的夹角为 ? ,则 (c ? a ) ? (c ? b) 的最小值 为 ▲ .
? ?

? ? ?

?

?

2 3

? ?

? ?

13. 已知 A(2,0) , P(sin(2t ? 60 ), cos(2t ? 60 )) ,当 t 由 20 变到 40 时, P 点从 P 按顺时 1
? ?

针运动至 P2 的曲线轨迹与线段 AP , AP2 所围成的图形面积是 1
x





14. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 。若对任意的 x ? [t , t ? 1] ,
第 -1- 页 共 7 页

不等式 f ( x ? t ) ? f ( x) 恒成立,则实数 t 的取值范围是
3





二、解答题: (本大题共 6 题计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分)

1 ? 1 ,其中 ? 是第二象限角; sin 2 ? 3? (2)已知 tan ? ? 3, ? ? ? ? , 求 cos? ? sin ? 的值. 2
(1)化简: tan ? ?

16. (本小题满分 14 分)设 OA ? (2, ?1), OB ? (3, 0), OC ? (m,3) . ⑴当 m ? 8 时,将 OC 用 OA 和 OB 表示; ⑵若 A 、 B 、 C 三点能构成三角形,求实数 m 应满足的条件.

??? ?

??? ?

????

????

??? ?

??? ?

17. (本小题满分 15 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ⑴求 f ( x) 的解析式; ⑵求 f ( x) 的单调增区间; ⑶求 f ( x) 在 [ ?

?
3

) (其中 A ? 0, ? ? 0 )的振幅为 2 ,周期为 ? .

?
2

, 0] 的值域.

第 -2- 页 共 7 页

18. (本小题满分 15 分)设 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ,向量 a ? (1, ?2), b ? (2cos ? ,sin ? ), .

?

?

? ? ? c ? (sin ? , 2cos ? ), d ? (cos ? , ?2sin ? ) ? ? ⑴若 a ? b ,求 ? ; ? ? ? ⑵若 | c ? d |? 3 ,求 sin ? ? cos ? 的值; ? ? ⑶若 tan ? tan ? ? 4 ,求证: b // c .

19. (本小题满分 16 分)将 51 名学生分成 A, B 两组参加城市绿化活动,其中 A 组布置 400 盆 盆景, B 组种植 300 棵树苗.根据历年统计,每名学生每小时能够布置 6 盆盆景或者种植 3 棵 树苗.设布置盆景的学生有 x 人, 布置完盆景所需要的时间为 g ( x) , 其余学生种植树苗所需要 的时间为 h( x ) (单位:小时,可不为整数). ⑴写出 g ( x) 、 h( x ) 的解析式; ⑵比较 g ( x) 、 h( x ) 的大小,并写出这 51 名学生完成总任务的时间 f ( x) 的解析式; ⑶应怎样分配学生,才能使得完成总任务的时间最少?

20. (本小题满分 16 分)已知 f (log 2 x) ? ax ? 2 x ? 1 ? a , a ? R .
2

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)求 f ( x) 的值域; (3)设 h( x) ? 2
?x

f ( x) , a ? 0 时,对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 总有 h( x1 ) ? h( x2 ) ?

a ?1 成立, 2

求 a 的取值范围.

第 -3- 页 共 7 页

2012—2013 学年度第一学期高一数学期末试卷 参 考 答 案
2013.1. 22. 一、填空题 1. R 2. ? x | x ? 2? 6. ?2 10. cos( x ? 1) 14. (??, ?2] 3.

?
8. 2 或 ?4 12. ?

4. x

?2

3 13 5. 13
9. 2 13.

? ? a?b 7. 2
11. ②④

? 9

1 2

二、解答题

1 ? sin 2 ? cos 2 ? cos ? ? tan ? ? = tan ? ? ┄┄┄┄4 分 2 2 sin ? sin ? sin ? sin ? cos ? 又∵ ? 是第二象限角,所以上式= ┄┄┄┄7 分 ? (? ) ? ?1 cos ? sin ? (2)∵ tan ? ? 3, ∴ sin ? ? 3cos? 1 2 2 2 又 sin ? ? cos ? ? 1 , ∴ cos ? ? , ┄┄┄┄9 分 10 10 3 10 3? 而? ? ? ? , ∴ sin ? ? ? ┄┄┄┄13 分 , ∴ cos ? ? ? 10 10 2 2 10 ∴ cos ? ? sin ? ? ┄┄┄┄14 分 10 ???? ???? ??? ? ??? ? 16.解:⑴当 m ? 8 时, OC ? (8,3) ,设 OC ? xOA ? yOB 则
15. 解: (1)原式= tan ? ?

? x ? ?3 ?2 x ? 3 y ? 8 ? ?? (8,3) ? x(2, ?1) ? y(3,0) ? (2 x ? 3 y, ? x) ? ? 14 ; ┄┄┄┄7 分 y? ?? x ? 3 ? 3 ?
⑵? A 、 B 、 C 三点能构成三角形? AB, AC 不共线 又 AB ? (1,1), AC ? (m ? 2, 4) ?1? 4 ? 1? (m ? 2) ? 0,? m ? 6 .

??? ???? ?

??? ?

????

┄┄┄┄14 分

17.解:⑴由题可知: A ? 2 且

? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ;┄┄┄┄5 分 3
⑵令 ?

?

T ? ? ?T ? ? ?? ? 2 4 4

?

2

? 2k? ? 2 x ?

?

3

?

?

2

? 2k? ??

5? ? ? k? ? x ? ? k? ( k ? Z ) 12 12

第 -4- 页 共 7 页

5? ? ┄┄┄┄┄10 分 ? k? , ? k? ] ( k ? Z ); 12 12 ? ? 2? ? ⑶? x ? [? , 0]? 2 x ? ? [? ┄┄┄┄15 分 , ] ? f ( x) 的值域为 [?2, 3] . 2 3 3 3 ? ? 18.解:⑴由题 a ? b ? 2cos ? ? 2sin ? ? 0 即 tan ? ? 1,又 0 ? ? ? ? ,
? f ( x) 的单调增区间为 [?
所以 ? ?

?
4
2

;┄┄┄5 分
2 2 2 2

⑵ | c ? d | ? sin ? ? 2sin ? cos ? ? cos ? ? 4cos ? ? 8sin ? cos ? ? 4sin ? ? 3

? ? ?

1 ,则 sin ? ,cos ? 同号 3 5 2 2 2 又 (sin ? ? cos ? ) ? sin ? ? 2sin ? cos ? ? cos ? ? 3
即 5 ? 6sin ? cos ? ? 3 , sin ? cos ? ? 因为 ? ? ? ? 2? ,所以 sin ? ? cos ? ? ?

15 ; 3

┄┄┄┄┄10 分

⑶由 tan ? tan ? ? 4 ,得 sin ? sin ? ? 4cos ? cos ? 即 4cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 0 ,所以 b // c .

? ?

┄┄┄┄┄15 分

19 . 解 : ⑴ 由 题 意 布 置 盆 景 的 学 生 有 x 人 , 种 植 树 苗 的 学 生 有 51 ? x 人 , 所 以

g ( x) ?

400 200 , ? 6x 3x
300 100 * , (0 ? x ? 51, x ? N ) ; (答对一个给 2 分)┄┄┄┄4 分 ? (51 ? x) ? 3 51 ? x 200 100 100(102 ? 5 x) ,因为 0 ? x ? 51 所以 3x(51 ? x) ? 0 ? ? 3x 51 ? x 3x(51 ? x)

h( x ) ?

⑵ g ( x ) ? h( x ) ?

当 0 ? x ? 20 时, 102 ? 5x ? 0, g ( x) ? h( x) ? 0, g ( x) ? h( x) 当 21 ? x ? 51时, 102 ? 5x ? 0, g ( x) ? h( x) ? 0, g ( x) ? h( x) ┄┄┄┄8 分

? 200 * ? 3x , 0 ? x ? 20, x ? N ? 所以 f ( x) ? ? ; ? 100 , 21 ? x ? 51, x ? N * ? 51 ? x ?
⑶完成总任务所用时间最少即求 f ( x) 的最小值 当 0 ? x ? 20 时, f ( x) 递减,则 f ( x) ? f (20) ?

┄┄┄┄┄10 分

10 . 3
┄┄┄┄┄12 分

故 f ( x) 的最小值为 f (20) ,此时 51 ? x ? 31 人
第 -5- 页 共 7 页

当 21 ? x ? 51时, f ( x) 递增,则 f ( x) ? f (21) ? 故 f ( x) 的最小值为 f (21) ,此时 51 ? x ? 30 人

10 3
┄┄┄┄┄14 分 ┄┄┄┄┄16 分

所以布置盆景和种植树苗的学生分别有 20,31 人或 21,30 人. 20.解:⑴设 log 2 x ? t ,则 x ? 2
t

? f (t ) ? a(2t )2 ? 2 ? 2t ? 1 ? a
; ? f ( x )? a ( x2 2 ? ? 2x ? ? a1 ) 2 ⑵设 2 ? m(m ? 0) ,则 g (m) ? am ? 2 ? m ? 1 ? a(m ? 0)
t 2

┄┄┄┄┄3 分

当 a ? 0 时,

1 ? 0 ,? g (m) 的值域为 (??,1 ? a) a

当 a ? 0 时, g (m) ? ?2m ? 1,? g (m) 的值域为 (??,1) 当 a ? 0 时,

1 1 1 ? 0 , g (m) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增 a a a 1 ┄┄┄┄┄6 分 ? g (m) 的值域为 [1 ? a ? , ??) a

综上,当 a ? 0 时 f ( x) 的值域为 (??,1 ? a) 当 a ? 0 时 f ( x) 的值域为 [1 ? a ?
x ?x

1 , ??) ; a

┄┄┄┄┄7 分

⑶由题 h( x) ? a ? 2 ? 2 ? (1 ? a) ? 2 ?对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 总有 h( x1 ) ? h( x2 ) ?

? h( x) 在 [0,1] 满足 h( x)max ? h( x)min ?

a ?1 ┄┄┄┄┄9 分 2 1 1? a 1 x 设 2 ? s ( s ? [ , 2]) ,则 h( x) ? r ( s ) ? as ? ? 2 , s ? [ , 2] 2 s 2 1 当 1 ? a ? 0 即 a ? 1 时 r ( s ) 在区间 [ , 2] 单调递增 2 1 a ?1 3 3 3 a ?1 4 ? a? ? a? ? r (2) ? r ( ) ? ? a ? (舍去) 5 2 2 2 2 2 2 当 a ? 1 时,不合题意 ┄┄┄┄┄11 分 当 0 ? a ? 1时,


a ?1 2

1? a 1 4 1 ? 即 ? a ? 1 时, r ( s ) 在区间 [ , 2] 单调递增 a 2 5 2

1 a ?1 3 3 3 a ?1 ? a? ? a? ? r (2) ? r ( ) ? 2 2 2 2 2 2

?a ? 4
5

?a ?

4 5

第 -6- 页 共 7 页



1 1? a 1 1? a 1? a 1 4 ? ? 2 即 ? a ? 时 r (s) 在 [ , ] 递减,在 [ , 2] 递增 2 a 2 a a 5 5

? 1? a a ?1 )? ?r (2) ? r ( 5? 7 4 a 2 ? ?a? ?? ? 8 5 ?r ( 1 ) ? r ( 1 ? a ) ? a ? 1 ? 2 a 2 ?


┄┄┄┄┄14 分

1? a 1 1 ? 2 即 0 ? a ? 时 r ( s ) 在区间 [ , 2] 单调递减 a 2 5
┄┄┄15 分

1 a ?1 3 3 3 a? 1 2 ?? a ? ( a ? ) ? ? r ( ) ? r (2) ? ? a ? (舍去) 7 2 2 2 2 2 2
综上所述: a ? [

5? 7 4 , ] 8 5

┄┄┄┄┄16 分

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