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【全程复习方略】(山东专用)2014版高考数学 第八章 第三节 圆的方程课时提升作业 理 新人教A版


【全程复习方略】 (山东专用)2014 版高考数学 第八章 第三节 圆的方程课时 提升作业 理 新人教 A 版
一、选择题 2 2 1.若原点在圆(x-m) +(y+m) =8 的内部,则实数 m 的取值范围是( )

? A? ? 2

2<m<2 2

? B? 0<m<2

2

(C)-2<m<2 (D)0<m<2 2 2 2 2.(2013·天津模拟)已知方程 x +y +kx+2y+k =0 所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心 的坐标为( ) (A)(-1,1) (B)(-1,0) (C)(1,-1) (D)(0,-1) 2 2 3.(2013· 北京模拟)直线 l 将圆 x +y -2x+4y-4=0 平分, 且在两坐标轴上的截距相等, 则直线 l 的方程是( ) (A)x-y+1=0,2x-y=0 (B)x-y-1=0,x-2y=0 (C)x+y+1=0,2x+y=0 (D)x-y+1=0,x+2y=0 4.(2013·济宁模拟)已知圆 x +y -2x+my-4=0 上两点 M,N 关于直线 2x+y=0 对称,则圆的半径为( )
2 2

? A? 9
9 5

? B? 3

? C? 2
4 5

3

?D? 2
2

5.(2013·长春模拟)已知点 M 是直线 3x+4y-2=0 上的动点,点 N 为圆(x+1) + 2 (y+1) =1 上的动点,则|MN|的最小值是( )

?A?

? B ?1

?C?

? D?

13 5
2 2

6.(2013· 肇庆模拟)在同一坐标系下, 直线 ax+by=ab 和圆(x-a) +(y-b) =r (ab≠0,r>0)的图象可能是(

2

)

7.点 P(4,-2)与圆 x +y =4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) 2 2 2 2 (A)(x-2) +(y+1) =1 (B)(x-2) +(y+1) =4 2 2 2 2 (C)(x+4) +(y-2) =4 (D)(x+2) +(y-1) =1 2 2 8.(能力挑战题)已知两点 A(0,-3),B(4,0),若点 P 是圆 x +y -2y=0 上的动点,则△ABP 面积的最小值为 ( ) (A)6
2 2

2

2

(B)

11 2

(C)8

(D)

21 2

9.若 PQ 是圆 x +y =9 的弦,PQ 的中点是 M(1,2),则直线 PQ 的方程是( ) (A)x+2y-3=0 (B)x+2y-5=0 (C)2x-y+4=0 (D)2x-y=0 2 2 10.过点 A(11,2)作圆 x +y +2x-4y-164=0 的弦,其中弦长为整数的共有( ) (A)16 条 (B)17 条 (C)32 条 (D)34 条
-1-

二、填空题 2 2 11.圆 C:x +y +2x-2y-2=0 的圆心到直线 3x+4y+14=0 的距离是______. 2 2 2 12.(2013·青岛模拟)已知方程 x +y +kx+2y+k =0 所表示的圆有最大的面积,则直线 y=(k-1)x+2 的倾斜角 α =______. 13.设二次函数 y ?

1 2 4 x ? x ? 1 与 x 轴正半轴的交点分别为 A,B,与 y 轴正半轴的交点是 C,则过 A,B, 3 3

C 三点的圆的标准方程是______. 14.(2013·太原模拟)设圆 C 同时满足三个条件:①过原点;②圆心在直线 y=x 上;③截 y 轴所得的弦长 为 4,则圆 C 的方程是______. 三、解答题 15.(能力挑战题)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 由圆弧 C1 和圆弧 C2 相接而成,两相接点 M,N 均在直线 x=5 上.圆弧 C1 的圆心是坐标原点 O,半径为 13;圆弧 C2 过点 A(29,0). (1)求圆弧 C2 的方程. (2)曲线 C 上是否存在点 P,满足 PA ? 30PO ?若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由.

答案解析 1.【解析】选 C.由已知得 m +m <8,即 m <4,解得-2<m<2. 2.【解析】选 D.由 x +y +kx+2y+k =0 知所表示圆的半径 r ?
2 2 2 2 2 2

1 2 k ? 4 ? 4k 2 2

?

1 ?3k 2 ? 4, 2 1 4 ? 1, 2
2 2

当 k=0 时, rmax ?

此时圆的方程为 x +y +2y=0, 2 2 即 x +(y+1) =1,∴圆心为(0,-1). 2 2 3.【解析】选 C.由已知直线 l 过圆 x +y -2x+4y-4=0 的圆心(1,-2), 当直线在两坐标轴上的截距均为 0 时,设方程为 y=kx,又过(1,-2)点,所以-2=k,得 l 的方程为 y=-2x, 即 2x+y=0;
-2-

当直线在两坐标轴上的截距均不为 0 时,设方程为 程为 x+y+1=0. 综上 l 的方程为 2x+y=0 或 x+y+1=0. 4.【解析】选 B.把圆化成标准方程为(x-1) +(y+ m=4,∴半径 R=3.
2

x y ? ? 1 (a≠0),将(1,-2)代入得:a=-1,得 l 的方 a a

m 2 m m2 ) =5+ .由题意知 2x+y=0 过(1, ? )点,代入得 2 2 4

5.【解析】选 C.圆心(-1,-1)与点 M 的距离的最小值为点(-1,-1)到直线的距离 d ? 点 N 与点 M 的距离的最小值 MN ? d ? 1 ?

| ?3 ? 4 ? 2 | 9 ? , 故 5 5

4 . 5 x y ? ? 1 在 x,y 轴上的 b a

6.【解析】选 D.逐一根据 a,b 的几何意义验证知选项 D 中,直线 ax+by=ab,即 截距分别为 b<0 和 a>0 时,D 中圆的圆心亦为 b<0 和 a>0,故选 D. 7.【解析】选 A.设圆上任一点为 Q(x0,y0),PQ 的中点为 M(x,y),则

4 ? x0 ? x? , ? ? x 0 ? 2x ? 4, ? 2 2 2 2 2 2 解得 ? 又因为点 Q 在圆 x +y =4 上,所以 x0 +y0 =4,即(2x-4) + ? ? 2 ? y y ? 2y ? 2, 0 ? 0 ?y ? , ? ? 2
(2y+2) =4,即(x-2) +(y+1) =1. 8.【解析】选 B.如图,过圆心 C 向直线 AB 作垂线交圆于点 P,连接 BP,AP,这时△ABP 的面积最小.直线 AB 的方程为
2 2 2

x y ? ? 1, 4 ?3

即 3x-4y-12=0,圆心 C 到直线 AB 的距离为 d ?

| 3 ? 0 ? 4 ?1 ? 12 | 32 ? ? ?4 ?
2

?

16 , 5

∴△ABP 的面积的最小值为

1 16 11 ? 5 ? ( ? 1) ? . 2 5 2

9.【解析】选 B.由圆的几何性质知 kPQ·kOM=-1, ∵kOM=2,∴kPQ=-

1 , 2
-3-

则 PQ 的直线方程为 y-2=-

1 (x-1), 2

即 x+2y-5=0. 2 2 2 10.【解析】选 C.∵圆的标准方程为:(x+1) +(y-2) =13 ,则圆心为 C(-1,2),半径为 r=13.∵|CA|=12, ∴经过 A 点且垂直于 CA 的弦是经过 A 的最短的弦,其长度为 2 132 ?122 =10;而经过 A 点的最长的弦为 圆的直径 2r=26; ∴经过 A 点且为整数的弦长还可以取 11,12,13,14,…,25 共 15 个值,又由圆内弦的对称性知,经过 某一点的弦的长若介于最大值与最小值之间,则一定有 2 条,而最长的弦与最短的弦各只有 1 条,故一共 有 15×2+2=32(条). 11.【解析】因为圆心坐标为(-1,1),所以圆心到直线 3x+4y+14=0 的距离为 答案:3

?3 ? 4 ? 14 32 ? 42

? 3.

1 2 k ? 4 ? 4k 2 ? 1, 当有最大半径时有最大面积,此时 k=0,r=1,∴直线方程为 y=-x+2, 2 3? 设倾斜角为α ,则由 tan α =-1 且α ∈[0,π )得α = . 4 3? 答案: 4
12.【解析】 r ? 13.【思路点拨】先由已知求出 A,B,C 三点坐标,再根据坐标特点选出方程,求方程. 【解析】由已知三个交点分别为 A(1,0),B(3,0),C(0,1),易知圆心横坐标为 2,则令圆心为 E(2,b), 由|EA|=|EC|得 b=2,半径为 5, 故圆的方程为(x-2) +(y-2) =5.
2 2

答案:(x-2) +(y-2) =5 2 2 2 2 2 14. 【解析】由题意可设圆心 A(a,a) ,如图,则 2 +a =2a ,解得 a= ± 2,r =2a =8. 所以圆 C 的方程是 2 2 2 2 (x+2) +(y+2) =8 或(x-2) +(y-2) =8.

2

2

答案:(x+2) +(y+2) =8 或(x-2) +(y-2) =8 2 2 15.【解析】(1)圆弧 C1 所在圆的方程为 x +y =169,令 x=5,解得 M(5,12),N(5,-12). 则线段 AM 中垂线的方程为 y-6=2(x-17),令 y=0,得圆弧 C2 所在圆的圆心为(14,0), 2 2 又圆弧 C2 所在圆的半径为 r2=29-14=15,所以圆弧 C2 的方程为(x-14) +y =225 (5≤x≤29). (2)不存在.假设存在这样的点 P(x,y),则由 PA= 30 PO,得 x +y +2x-29=0,
2 2

2

2

2

2

-4-

2 2 ? ? x ? y ? 2x ? 29 ? 0, 由? 2 解得 x=-70(舍去). 2 ? ? x ? y ? 169(?13 ? x ? 5),

2 2 ? ? x ? y ? 2x ? 29 ? 0, 由? 解得 x=0(舍去), 2 2 ? ?? x ? 14 ? ? y ? 225(5 ? x ? 29),

综上知,这样的点 P 不存在. 【误区警示】求圆弧 C2 的方程时经常遗漏 x 的取值范围,其错误原因是将圆弧习惯认为或误认为圆. 2 2 【变式备选】如图,在平面直角坐标系中,方程为 x +y +Dx+Ey+F=0 的圆 M 的内接四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 互相垂直,且 AC 和 BD 分别在 x 轴和 y 轴上. (1)求证:F<0. (2)若四边形 ABCD 的面积为 8,对角线 AC 的长为 2,且 AB AD ? 0, 求 D +E -4F 的值. (3)设四边形 ABCD 的一条边 CD 的中点为 G,OH⊥AB 且垂足为 H.试用平 面解析几何的研究方法判断点 O,G,H 是否共线,并说明理由. 【解析】(1)方法一:由题意,原点 O 必定在圆 M 内,即点(0,0)代入方 2 2 程 x +y +Dx+Ey+F=0 的左边所得的值小于 0,于是有 F<0,即证. 方法二:由题意,不难发现 A,C 两点分别在 x 轴正、负半轴上.设两点 坐 标 分 别 为 A(a,0),C(c,0) , 则 有 ac < 0. 对 于 圆 的 方 程 2 2 2 x +y +Dx+Ey+F=0,当 y=0 时,可得 x +Dx+F=0,其中方程的两根分别为点 A 和点 C 的横坐标,于是有 xAxC=ac=F. 因为 ac<0,故 F<0. (2)不难发现,对角线互相垂直的四边形 ABCD 的面积 S ? 因为 S=8, |AC|=2,可得|BD|=8. 又因为 AB AD ? 0, 所以∠BAD 为直角,又因为四边形是圆 M 的内接四边形,故|BD|=2r=8? r=4. 对于方程 x +y +Dx+Ey+F=0 所表示的圆, 可知
2 2 2 2

AC BD , 2

D2 E 2 ? ? F ? r 2 , 所以 D2+E2-4F=4r2=64. 4 4
c d 2 2 c d 2 2

(3)设四边形四个顶点的坐标分别为 A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d). 则可得点 G 的坐标为 ( , ), 即OG ? ( , ). 又 AB =(-a,b),且 AB⊥OH,故要使 G,O,H 三点共线,只需证 AB OG ? 0 即可. 而 AB OG ?

bd ? ac , 且对于圆 M 的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 2
2

当 y=0 时可得 x +Dx+F=0,其中方程的两根分别为点 A 和点 C 的横坐标, 于是有 xAxC=ac=F. 2 同理,当 x=0 时,可得 y +Ey+F=0,其中方程的两根分别为点 B 和点 D 的纵坐标,于是有 yByD=bd=F.

-5-

所以 AB OG ?

bd ? ac ? 0, 即 AB⊥OG. 2

故 O,G,H 三点必定共线.

-6-


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