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江西省鹰潭市2014届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题


绝密★启用前 鹰潭市 2014 届高三第一次模拟考试 数学试题(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分 钟

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是 符合题目要求的。 1.设全集 U ? R ,集合 A ? { x | x 2 ? 2 x ? 0}, 集合 B ? { y | y ? e x ? 1}, 则 A ? B ? ( A. { x | 1 ? x ? 2} B. { x | x ? 2} C. { x | x ? 1} D. { x | 1 ? x ? 2} ) )

2.设 i 是虚数单位,已知复数 Z ? A.第四象限

1 ? 3i ? (1 ? i ) 4 ,则复数 Z 对应点落在( 3?i
C.第二象限

B.第三象限

D.第一象限

3. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) . 甲组 9 0 1 2 9 5 4 ) 乙组

x
7

2 4

y

8

已知甲组数据的平均数为 17,乙组数据的中位数为 17,则 x,y 的值分别为( A.2,6 B.2,7 C.3,6 D.3,7

4. 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )(其中 A>0, | ? |< 的图象,则只要将 f ( x) 的图象( A.向右平移 C.向左平移 个单位长度 个单位长度 ) ) B.向右平移 D.向左平移

) 的图象如图所示, 为得 g ( x) ? sin 3x

个单位长度 个单位长度

第 4 题图

5.下列说法正确的个数是(

① “ m ? ?1 ”是“直线 mx ? (2m ? 1) y ? 1 ? 0 和直线 3x ? my ? 2 ? 0 垂直”的充要条

件; ② 已知 f ( x) ? 2014 ? log
x

1 2014

x ? 1 ,则函数 f ( x) 有 2 个零点;

③ 命题“ ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R , x03 ? x02 ? 1 ? 0 ” A.1 6.已知双曲线 B.2 C.3 D.0

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8 x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线 a 2 b2
) D. y ? ? 3 x

的一个交点为 P ,若 | PF |? 5 ,则双曲线的渐近线方程为( A. y ? ?

3 x 3

B. y ? ?

2 x 2

C. y ? ? 2 x

7.如图,三棱锥 P ? ABC 的高 PO ? 8 ,AC=BC=3, ?ACB ? 300 , M , N 分别在 BC 和 PO 上,且

CM ? x, PN ? 2CM , 则下列四个图象中大致描绘了三棱锥 N ? AMC 的体积 V 与 x( x ? (0,3])
之间的变化关系的是( V
2

) V
2

P

V
3 2 2 3

V
3 2 2 3
A

N M O B

C

O

x O

3

x O

x O

3

x

第 7 题图

A.

B.

C.
0

D.

8.已知 A、B 是单位圆上的两点, O 为圆心,且 ?AOB ? 120 , MN 是圆 O 的一条直径,点 ???? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ) C 在圆内,且满足 OC ? ? OA ? (1 ? ? )OB (0 ? ? ? 1) ,则 CM ? CN 的取值范围是( A. [ ?

1 ,1) 2

B. [?1,1)

C. [? , 0)

3 4

D. [?1, 0)

1 1 m?n 9 .已知函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? x 的两个极值点分别为 x1 , x2 ,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,点 3 2 2

P( m, n) 表示的平面区域内存在点 ( x0 , y0 ) 满足 y0 ? loga ( x0 ? 4) ,则实数 a 的取值范围是
( )

A.. (0, ) ? (1,3) 10.若 f ( x ) ?

1 2

B. (0,1) ? (1,3)

C. ( ,1) ? (1,3]

1 2

D. (0,1) ? [3, ??)

x , f1 ( x) ? f ( x) , f n ( x) ? f n?1 ? f ?x?? n ? 2, n ? N * , x ?1

?

?

则 f ?1? ? f ?2? ? ?? f (2015 ) ? f1 (1) ? f 2 (1) ? f 3 (1) ? ?? f 2015 (1)的值为( A.2014 B.2015 C.4028 D.4030
2

)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11.已知 a ?

2

?

?

0

? a? sin xdx, 则二项式 ?1 ? ? 的展开式中 x ?3 的系数为 ? x?


5



正视图 2 1 1 俯视图

侧视图

12.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是

第 12 题 图

13.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 a 的值为



n] ? D ,使函数 f ( x) 在 14. f ( x) 是定义在 D 上的函数,若存在区间 [m , [m ,n] 上的值域恰为 [km ,kn] ,则称函数 f ( x) 是 k 型函数.给出下列
说法: ① f ( x) ? 3 ? ②若函数 y ?

4 不可能是 k 型函数; x
(a 2 ? a) x ? 1 2 3 (a ? 0) 是 1 型函数,则 n ? m 的最大值为 ; 2 a x 3

③设函数 f ( x) ? x3 ? 2 x 2 ? x (x≤0)是 k 型函数,则 k 的最小值为 ④若函数 y ? ? x 2 ? x 是 3 型函数,则 m ? ?4,n ? 0 ; 其中正确的说法为 . (填入所有正确说法的序号)

4 . 9

1 2

15.选做题: (考生注意:请在下列二题中任选一题做答,如果多做,则按所做第一题评分) (1) .(选修 4-4 坐标系与参数方程)圆 离是____? (2).(选修 4-5 不等式选讲)若关于 x 的不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 1 a 存在实数解,则实数 的圆心到直线(t 为参数)的距

a 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在锐角△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 (1) 确定角 C 的大小;

a 2c ? . sin A 3

(2)若 c = 7 ,且△ ABC 的面积为

3 3 求 a ? b 的值. 2 ,

17. (本题满分 12 分) 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分 别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球与编号为 1,2,3,4 的4个 白球,从中任意取出 3 个球. (1)求取出的 3 个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率; (2)记 X 为取出的 3 个球中编号的最大值,求 X 的分布列与数学期望.

18. (本小题满分 12 分) 在等差数列 {an } 和等比数列 {bn } 中, a1 ? 1, b1 ? 2, bn ? 0(n ? N * ) ,且 b1 , a2 , b2 成等 差数列, a2 , b2 , a3 ? 2 成等比数列. (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ? ab ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn ,若 n 成立,求常数 t 的取值范围.

S 2 n ? 4n ? an ? t 对所有正整数 n 恒 S n ? 2n

19. (本小题满分 12 分)
? ABC 上的射影 已知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 , ?BCA ? 90 , AC ? BC ? 2 , A 1 在底面

恰 为 AC 的中点 D , E 为 AB 的中点, BA1 ? AC1 . (1)求证: AC1 ? 平面 A 1BC ; (2)求二 面角 B ? A1E ? C 余弦值的大小.
B

20. (本小题满分 13 分) 已知中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为
3 2 的椭圆 C 过点( 2 , ) . 2 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 P 、 Q 两点,满足直线 OP , PQ , OQ 的斜率 依次成等比数列,求 ?OPQ 面积的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 对于定义在 D 上的函数 y ? f ? x ? , 若存 在 x0 ? D , 对任意的 x ? D , 都有 f ? x ? ? f ? x0 ? 或者 f ? x ? ? f ? x0 ? ,则称 f ( x0 ) 为函数 f ( x ) 在区间 D 上的“下确界”或“ 上确界”. (1)求函数 f ( x) ? ln(2 ? x) ? x 2 在 [0,1] 上的“下确界”; (2) 若把“上确界”减去“下确界”的差称为函数 f ( x ) 在 D 上的“极差 M ”, 试 求函 数

F ( x) ? x x ? 2a ? ( 3 a ? 0) 在 [1 , 2] 上的“极差 M ”;
(3) 类比函数 F ( x) 的“极差 M ”的概念, 请求出 G ( x, y ) ? (1 ? x)(1 ? y ) ? 在 D ? ?( x, y ) x, y ? [0,1]? 上的“极差 M ”.

x y ? 1? y 1? x

鹰潭市 2014 届高三第一次模拟考试数学(理科)答案

一、选择题:1—5 二、填空题: 11. ? 80

ACDBB

6 --10

DACBB

12. 24 ? 4 5

13.﹣1 14.②④

15.(1)

3 1 ? (2) ?? ?,0? ? ? ? ,?? ? 2 ?3 ?

三、解答题: 16.解: (1)∵

a 2c ? 由正弦定理得 a ? c ? c sin A 3 sin A 3 sin C
2

?????????2 分

∴ sin C ? ∵

3 ??????????????????????????4 分 2

?ABC 是锐角三角形, ∴ C ?

?
3

??????????????6 分

(2) c ?

7, C ?

?
3

由面积公式得

1 ? 3 3 ???????? ?8 分 absin ? 2 3 2

∴ ab ? 6

???????????????????????????9 分
2 2

由余弦定理得 a ? b ? 2ab cos ∴ a ? b ? 13
2 2

?
3

? 7 ???????????????10 分

?a ? b?

2

? a 2 ? b 2 ?2ab ? 25

∴ a ? b ? 5 ????????????12 分

17.解: (1)设“取出的 3 个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件 A,则

P( A) ?

3? 2 5 ? . 3 C9 84
1 2 2 1 C2 C2 ? C2 C2 1 ? , 3 C9 21
1 2 2 1 C2 C6 ? C2 C6 3 ? , 3 C9 7

???????????????4 分

(2)X 的取值为 2,3,4,5.

P( X ? 2) ?
P( X ? 4) ?

P( X ? 3) ?
P( X ? 5) ?

1 2 2 1 C2 C4 ? C2 C4 4 ? , 3 C9 21

1 2 C1 C8 1 ? . ?????8 分 3 C9 3

所以 X 的分布列为

X P

2

3

4

5

1 21

4 21

3 7

1 3

X 的数学期望 EX ? 2 ?

1 4 3 1 85 . ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 21 21 7 3 21

??????12 分

18.解: (1)设等差数列 {a n } 的公差为 d ,等比数列 {bn } 的公比为 q( q ? 0) .
?2(1 ? d ) ? 2 ? 2q 由题意,得 ? ,解得 d ? q ? 3 . 2 ? ( 2q ) ? (1 ? d )( 3 ? 2d )

??????????3 分 ????????? 4

∴ a n ? 3n ? 2 , bn ? 2 ? 3 n?1 . 分 (2) c n ? 3 ? bn ? 2 ? 2 ? 3 n ? 2 . 分

?????? ???? 6

∴ S n ? c1 ? c 2 ? ? ? c n ? 2(31 ? 3 2 ? ? ? 3 n ) ? 2n ? 3 n?1 ? 2n ? 3 .??????8 分 ∴ 分 ∴ 3 n ? 1 ? 3n ? 2 ? t 恒成立,即 t ? (3 n ? 3n ? 3) min . 令 f (n) ? 3 n ? 3n ? 3 ,则 f (n ? 1) ? f (n) ? 2 ? 3 n ? 3 ? 0 ,所以 f ( n) 单调递增. 故 t ? f (1) ? 3 ,即常数 t 的取值范围是 ( ??,3) . ?????????12 分
S 2 n ? 4n 3 2 n ? 1 ? 3 ? n?1 ? 3n ? 1 . S n ? 2n 3 ?3

? ? ? ? ? ? ? ? 10

19. 解法一: (1) 如图 , DE // BC , 因为 BC ? AC , 所以 DE ? AC , 又 A1D ? 平面 ABC , 以 DE, DC, DA 1 为 x, y , z 轴建立空间坐标系,则 A ? 0, ?1,0 ? , C ? 0,1,0? , B ? 2,1,0? ,

???? ? A1 ? 0,0, t ? , C1 ? 0, 2, t ? , E ?1,0,0? , AC1 ? ? 0,3, t ? ,????????3 分 ???? ??? ? ???? ??? ? ? CB ? 0, BA1 ? ? ?2, ?1, t ? , CB ? ? 2,0,0 ? ,由 AC 1
知 AC ? CB ,又 BA1 ? AC1 ,从而 AC1 ? 平面 A1BC ;????????6 分 1

2 (2)由 AC1 ? BA 1 ? ?3 ? t ? 0 ,得 t ? 3 。

???? ? ????

设平 面 A 1 ? 0,1, 3 , AB ? ? 2, 2,0 ? ,所以 1 AB 的法向量为 n ? ? x, y, z ? , AA

?

????

?

?

??? ?

? ???? ? ?n ? AA1 ? y ? 3z ? 0 ? ,设 z ? 1 ,则 n ? 3, ? 3,1 ????????8 分 ? ? ? ??? ? ? n ? AB ? 2 x ? 2 y ? 0 ???? ?? ??? ? CA 再设平面 A 的法向量为 , EC m ? x , y , z ? ? 1 ? 0, ?1, 3 , EC ? ? ?1,1, 0 ? 1

?

?

?

?

?? ???? ?? ? ?m ? CA1 ? ? y ? 3z ? 0 所以 ? ?? ??? ,设 z ? 1 ,则 m ? ? ? ?m ? EC ? ? x ? y ? 0

?

3, 3,1 ????????10 分

?

?? ? ?? ? 1 1 m?n 故 cos ? m, n ?? ?? ? ? , 可知二面角 B ? A .???? 1 E ? C 的大小的余弦值为 7 m?n 7
12 分
? 解法二: (1)如图,因为 BC ? AC , A1D ? 平面 ABC ,所以 A 1D ? BC , 又 ?BCA ? 90 ,

所以 BC ? 面A 1 ACC1 , BC ? AC1 , 又 BA 1 ? AC1 从而 AC1 ? 平面 A 1BC ;
0 (2)由(I)知 AC1 ? AC 1 , ACC1 A 1 为菱形, ?A 1 AC ? 60

AA1 ? AC ? AC ? 2, 又CE ? EA, 故? A1 AE ≌ ? A1CE . 1
作 AF ? A1E 于 F ,连 CF ,则 CF ? A 1 E, 故 ?AFC 为二面角 A ? A 1 E ? C 的平面角, F E

A1 E ? A1 D 2 ? DE 2 ? 2, AF ? CF ?
cos ?AFC ?

AE ? AA1 ? ( A1 E

2

AE 2 ) 7 2 ? 2

1 AF 2 ? CF 2 ? AC 2 1 ? ? .故二面角 B ? A1E ? C 的大小的余弦值为 . 7 2 AF ? CF 7
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a 2 b2

20. 解: (Ⅰ)由题意可设椭圆方程为

?c 3 ? ? ?a ? 2 x2 ?a 2 则? , 解得 ? , 所以,椭圆方程为 ? y 2 ? 1 . 4 ?b ? 1 ? 2 ? 1 ?1 2 2 ? 2b ?a

????????4 分

(Ⅱ)由 题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(m ? 0) , P( x , y ), Q( x , y ) ,
1 1 2 2

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4(m2 ? 1) ? 0 , ??????5 分 2 ? y ? 1 ? ?4

则 ? ? 64k 2 m2 ? 16(1 ? 4k 2 )(m2 ? 1) ? 16(4k 2 ? m2 ? 1) ? 0 ,且 x1 ? x2 ?
1 2 1 2 1 2 1 2

4(m2 ? 1) ?8km , x1 x2 ? . 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

故 y y ? (kx ? m)(kx ? m) ? k 2 x x ? km( x ? x ) ? m2 .??????6 分 因为直线 OP , PQ , OQ 的斜率依成等比数列, 所以,
y2 y1 k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ?8k 2 m2 ? ? ? k 2 ,即 ? m2 ? 0 , x2 x1 x1 x2 1 ? 4k 2

又 m ? 0 ,所以 k 2 ?

1 1 ,即 k ? ? . 4 2

??????8 分
2 2

由于直线 OP , OQ 的斜率存在,且△>0,得 0 ? m ? 2 且 m ? 1 .

1 1 设 d 为点 O 到直线 l 的距离,则 S ?OPQ ? d ? PQ ? m ? x1 ? x 2 ? m2 (2 ? m2 ) ,?????10 分 2 2

所以 S ?OPQ 的取值范围为 (0,1) .??????????????????13 分 21.解: (1) 令 f ?( x) ?

?1 2 2 2 ? 2x ? 0 , ? 0 ? , ? x1 ? 1 ? 则 2 x ?4 x 1 ? 1 ? x2 ? 1 ? 2? x 2 2

显然, x1 ? ?0,1?,列表有:

x

0

(0, x1) -

x1
0 极小值

(x1, 1) + ↗

1

f / ( x)
f ( x)
ln 2



1

所以, f ( x) 在 [0,1] 上的“下确界”为 f ( x1 ) ? ln(1 ? ( 2 ) ① 当 0?a?

2 3 ) ? ? 2 . ?????4 分 2 2
, 极 差

1 ) a ?x 时 , F( x m 2

F( , 2 ) F ( x)min ? F (1)

M ? F (2) ? F (1) ? 3 ? 2a ;
② 当

1 5 ?a? 2 6

时 ,

F( x ? m) a

x

F( , 2 F ) ( x)min ? F (2a)



极 差

M ? F ( a) ?
③当

F ( 2a ? ); ? 4 a 4

5 ? a ? 1 时, F ( x)max ? F (1) ,F ( x)min ? F (2a) , 极差 M ? F (a) ? F (2) ? 2a ? 1 ; 6 3 2
时 ,

④ 当 1? a ?

F( x ? m) a


x

F ( a)

F ( x)min ? F (2)

, 极 差

M ? F (a) ? F (2) ? (a ? 2)2
⑤当

3 ? a ? 2 时,F ( x)max ? F (a) ,F ( x)min ? F (1) , 极差 M ? F (a) ? F (1) ? (a ? 1)2 ; 2

⑥当 a ? 2 时, F ( x)max ? F (2) ,
1 ? ?3 ? 2a, 0<a ? 2 ? ? 4 ? 4a, 1 ? a ? 5 ? 2 6 ? 5 ? ? a ?1 ?2a ? 1, 6 综上所述: M ? ? ???10 ? 3 2 ( a ? 2) , 1 ? a ? ? 2 ? ? 3 2 ?(a ? 1) , 2 ? a ? 2 ? ? ?2a ? 3, a ? 2

F ( x)min ? F (1) ,极差 M ? F (2) ? F (1) ? 2a ? 3 .

分(每一项得 1 分)

(3) 因为 G( x, y) ?

1 ? x ? y ? x2 y 2 xy(1 ? xy) ? 1? ?1, (1 ? x)(1 ? y) (1 ? x)(1 ? y)

当 xy ? 0 或 xy ? 1 时等号成立,所以 G( x, y ) 的最大值为 1. 令T ?

??????12 分

xy (1 ? xy ) xy(1 ? xy) xy(1 ? xy) t 2 (1 ? t 2 ) t 2 (1 ? t ) , t ? xy ,则 T ? ? ? ? , t ?[0,1]. 1 ? x ? y ? xy 1 ? 2 xy ? xy (1 ? t )2 1? t (1 ? x)(1 ? y )
t 2 (1 ? t ) ?2t (t ? 2 2 3 ,则 g ?(t ) ? (2t ? 3t )(1 ? t ) ? (t ? t ) ? 2 1? t (1 ? t )
?1 ? 5 ?1 ? 5 )(t ? ) , 2 2 2 (1 ? t )

令 g (t ) ?

令 g ?(t ) ? 0 ,得 t ?

?1 ? 5 g (t ) 是 的极大值点,也是 g (t ) 的最大值点, 2
G( x, y) ? 1 ? 5 5 ? 11 13 ? 5 5 ? 2 2

? g (t ) ? g (

?1 ? 5 5 5 ? 11 5 5 ? 11 ,从而 T ? , 所以 )? 2 2 2

当x? y ? 由此 M ?

?1 ? 5 13 ? 5 5 时等号成立,所以 G( x, y ) 的最小值为 . 2 2
5 5 ? 11 2
? ??????????14 分


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