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高中数学必修一总结与练习(含答案)


必修一总复习 1、集合及其基本运算 2、函数的概念及其基本性质 3、二次函数与幂、指、对数函数 4、函数的应用 二、知识要点 1、集合的概念与基本运算 ①一组对象的全体形成一个集合;常用大写拉丁字母来标记,如集合 M,集合 A…… ②集合中的元素有三大特征,即无序性、确定性和互异性,这是判断集合形成和区分集合 的重要依据; ③集合的表示:穷举法、描述法和图示法 ④集合的运算:指的是子、交、并、补四种运算,其结果仍然是一个集合;

A ? B ? ?x ? A, 都有x ? B C ? A ? B ? C ? {x | x ? A且x ? B} C ? A ? B ? C ? {x | x ? A或x ? B} M ? CU A ? M ? {x | x ?U 且x ? A}
⑤以下题型的结果要用集合表述:求定义域、求值域、求不等式的解集、求方程(组)的 解集以及集合运算的结果等。 2、函数的概念与基本性质 ①函数概念的三种表述:运动的观念,集合的观念,映射的观念; ②函数的两大要素:定义域和对应法则; ③函数的三种表示方法:解析法,列表法和图像法; ④函数的两大重要性质:奇偶性和单调性; ⑤对分段函数、复合函数的认识。 3、二次函数与幂、指、对数函数 ①二次函数学习中的几个要点: 二次函数解析式的三种形式; 二次函数的图像的开口方向、 位置、零点及最值与系数的关系;含参数的二次函数的研究(参数分别在函数式中和定义区间 中) ;三个二次的关系; ②幂函数学习中的要点:幂函数的定义;幂函数的图像与性质;在同一坐标系中不同指数 的幂函数的图像的位置关系; ③指数函数学习中的要点:指数式的运算;指数函数的定义;指数函数的图像与性质;在 同一坐标系中不同底的指数函数图像的位置关系; ④对数函数学习中的要点:对数式的运算;对数函数的定义;对数函数的图像与性质;在 同一坐标系中不同底的对数函数图像的位置关系;对数函数与指数函数互为反函数的关系。 4、函数的应用:函数的应用主要包括两种类型,其一是函数与方程思想在解题中的综合应 用;其二是函数模型在解决实际问题中的应用,常见的有效益最大化和成本最低问题。 四、考点解析与典型例题

考点一 对集合概念的考查 例 1. 试写出如图阴影部分所表示的集合

① ② 解:各阴影部分的表示方法均不唯一。 ① [(A∩B)∩C∪C]∪[(A∩C)∩C∪B]∪[(B∩C)∩C∪A] ② [C∪(A∩B∩C)]∩(A∪B∪C) ③A∪(B∩C) 考点二 对集合运算的考查 例 2. 试写出下列集合运算的结果 ? ? ? ? ①. A ? {x | ?6 ? x ? 6}, B ? ? x | ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ? , A ? B ? ? 4 4 ? ?



②. A ? {x | ?1 ? x ? 6}, B ? ? x | x ? 5或x ? 0? , A ? B ? ? ③.A ? {x | 4 ? x ? 6或 x ? 3}, CR A ? ?

解:

? ? 3? 5? 5? ?3? 7? 7? ? ? ①. A ? B ? ? x | ? ? x ? 或 ? x ? 或 ? ? x ? 或 ? 6 ? x ? ? 或 ? x ? 6? 4 4 4 4 4 4 4 4 ? ? ②. A ? B ? R
③. R A ? {x | x ? ?3或3 ? x ? 4或x ? 6} C
考点三 对函数概念的考查 例 3. 求形如 y ?

ax2 ? bx ? c 2 , a ? d 2 ? 0 的函数值域时, 可以先将该函数式变形为一个关 2 dx ? ex ? f

于 x 的一元二次方程,然后再令判别式 ? ? 0 即可求出该函数的值域。试说明为什么会有 ? ?0? 答:由于函数 y ?

ax2 ? bx ? c 2 , a ? d 2 ? 0 是建立在两个非空数集上的映射,故对由其 2 dx ? ex ? f

变形得到的关于 x 的一元二次方程而言,其解集非空,故有 ? ? 0 。 考点四 求函数的定义域

例 4. 求函数 f ( x) ? log0.5 (4 x ? 3) 的定义域。 解:

?4 x ? 3 ? 0 3 ? 0 ? 4x ? 3 ? 1 ? ? x ? 1 ? 4 ?log 0.5 (4 x ? 3) ? 0
故该函数的定义域为: ? x |

? ?

3 ? ? x ? 1? 。 4 ?

考点五 求函数的值域 例 5. 求函数 f ( x) ? 解:令 t ?

x ? 2 ? 3x ? 4 的值域。
? ? 121? ? 12 ?

x ? 2 ? x ? t 2 ? 2, t ? 0

代入函数解析式可得: f ( x) ? ?3t 2 ? t ? 10, t ? 0 ,故可求得其值域为 ? y | y ?

考点六 对函数的两个重要性质的考查 例 6. 奇函数 y ? f ( x) 满足:? f (?3) ? 0 ;?当 x ? 0时y ? f ( x)为增函数 ,试解 不等式 x ? f ( x) ? 0. 解:由奇函数的对称性: f (3) ? 0 ;

1 例 7 试判断函数 f ( x) ? ? ? 的单调性。 ? ? ? 2? u x 1 ?1? 解:设 y ? ? ? , u ? x 2 ? 2 x ? 3 ,则函数 f ( x) ? ? ? ? ? ?2? ? 2?
u

x2 ? 2 x ?3

2

? 2 x ?3

可视为这两个函数的复合函数,

x ? 1时 : u ? x ? 2 x ? 3单调减; ?1? 且知外函数 y ? ? ? 是减函数。又因为: 2? ? x ? 1时 : u ? x 2 ? 2 x ? 3单调增
2

1 故知: f ( x) ? ? ? ? ? ? 2?

x2 ? 2 x ?3

当 x<1 时为增函数;当 x≥1 时为减函数。

考点七 函数的作图 例 8. 如何由函数 y=f(x-1)-2 的图像得到函数 y=f(x+1)+2 的图像? 解:y=f(x+1)+2 可变形为(y-4)=f[(x+2)-1]-2,则知可将函数 y=f(x-1) -2 的图像向左平移 2 个单位、再向上平移 4 个单位即可得到 y=f(x+1)+2 的图像。 考点八 含参的二次函数的研究

一般地,含参的二次函数有三种情形,其一是函数式中含参,其二是定义区间含参;这两 种情形的基本做法都是将函数的对称轴与定义区间的位置关系进行讨论; 其三是涉及含参的二 次方程的根的分布问题,一般可结合图像研究。 例 9. 已知函数 f ( x) ? mx2 ? (m ? 3) x ? 1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧, 求实数 m 的取值范围。 解:若 m=0,则 f ( x) ? ?3x ? 1 ,显然满足条件;若 m≠0,有两种情形: ①原点的两侧各有一个交点,则

②都在原点的右侧,则:

例 10. 函数 f ( x) ? x2 ? 4 x ? 4 在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为 g(t) 。 (I)试写出 g(t)的函数表达式; (II)求出 g(t)的最小值。 解:

(II)g(t)min=-8。 考点九 函数与方程思想的考查 例 11 (2007 年广东卷) 已知 a 是实数, 函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a , 如果函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点,求 a 的取值范围。 解:函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点,即方程 f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a ? 0 在[-1,

1]上有解。当 a =0 时,不符合题意,所以 a ≠0。 方程 f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a ? 0 在[-1,1]上有解

考点十 函数应用题 例 12. 某地现有耕地 10 000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%,人均粮食占有量 比现在提高 10%。如果人口年增长率为 1%,那么耕地平均每年至多减少多少公顷(精确到 1 公顷)? 解:设耕地平均每年至多减少 x 公顷,并设该地区现有人口为 P 人,粮食单产为 M 吨/

公顷。依题意得人均粮食占有量:

M (1 ? 22%)(104 ? 10 x) M ?104 ? ? (1 ? 10%) P(1 ? 1%)10 P 1.1? (1 ? 0.01)10 ? x ? 10 ? [1 ? ] ? 4.1 1.22
3

故平均每年至多只能减少 4.1 公顷。 四、数学思想方法 本模块主要涉及集合及函数的基本概念与性质, 以及几个常见的函数如二次函数与幂、 指、 对数函数。主要数学思想方法有: 1、函数与方程的思想: 在本模块学习过程中,要充分认识函数与方程内在的联系,善于借助这种联系,将函数问题转 化为方程问题, 或将方程问题转化为函数问题进行处理。 如将方程的根的分布问题与函数的零 点的分布问题进行转化。 2、数形结合的思想: 这既是重要的数学思想, 也是一种重要的数学方法。 学习中一要注意利用函数图像研究函 数性质,二要注意利用函数图像解决有关最值、不等关系、参数范围等问题。 3、分类讨论的思想:对含有参变量的函数或集合的研究往往要进行分类讨论,要注意最后 结果的表述。一般地,对一个变量进行讨论求解另一个变量的范围时,一定要就第一个变量的 不同取值范围进行分开表述; 如果就变量本身进行讨论求解其范围, 最后必须对所求范围进行 求并集运算。

【模拟试题】 (答题时间:40 分钟)

一、选择题 1. (2008 全国一 1)函数 y ? A. C.

x( x ?1) ? x 的定义域为(
B. D.



? x | x ≥ 0? ? x | x ≥1? ? ?0?

? x | x ≥ 1? ? x | 0 ≤ x ≤1?

2. (2008 全国一 6)若函数 y ? f ( x ? 1) 的图像与函数 y ? ln x ? 1的图像关于直线 y ? x 对称,则 f ( x) ? (
A.



e2 x ?1

B.

3.

? ( 2008 全 国一 9 ) 设奇 函 数 f ( x) 在 (0, ?) 上 为 增 函 数 ,且 f (1) ? 0 , 则 不 等 式


e2 x

C. e2 x ?1

D. e2 x ? 2

f ( x) ? f (? x) ?0 x 的解集为( , , A. (?1 0) ? (1 ? ?)
? , C. (??, 1) ? (1 ? ?)

? 1) B. (??, 1) ? (0, , 1) D. (?1 0) ? (0,

1 ?x x 4. (2008 全国二 3)函数 的图像关于( y ? ? x 对称 A. y 轴对称 B. 直线 C. 坐标原点对称 D. 直线 y ? x 对称 f ( x) ?
?1



1) 5. (2008 全国二 4)若 x ? (e ,,a ? ln x,b ? 2ln x,c ? ln x ,则(
3



A.

a <b <c

B. c < a < b

C. b < a < c

D. b < c < a

6. (2008 北京卷 2)若 a A. a ? b ? c

?2

0.5



b ? log π 3 ,

c ? log 2 sin

2π 5 ,则(
D. b ? c ? a



B. b ? a ? c

C. c ? a ? b

*7、 (2008 四川卷 11)设定义在 R 上的函数 则

f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2? ? 13 ,若 f ?1? ? 2 ,
2 D. 13

f ? 99? ? (
A. 13

) B. 2

13 C. 2

二、填空题

8. (2008 湖北卷 13)已知函数 f ( x) ? x ? 2x ? a , f (bx) ? 9 x ? 6 x ? 2 ,其中 x ? R ,
2 2

a , b 为常数,则方程 f (ax ? b) ? 0 的解集为
9. (2008 重庆卷 13)已知



a ?

1 2

4 log 2 a ? 9 (a>0) 3 ,则



三、解答题 10. (2008 湖南卷改)已知函数

f ( x) ?

3 ? ax (a ? 1). a ?1

①若 a>0,求 f ( x) 的定义域;

②若 f ( x) 在区间 ? 0,1? 上是减函数,求实数 a 的取值范围。 11. (2008 浙江卷改)已知 t 为常数,函数 在区间[0,3]上的最大值为 2, 求实数 t。 12. (2008 北京卷改)某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下:
k 第 k 棵 树 种 植 在 点 P ( xk,yk ) 处 , 其 中 x1 ? 1 , y1 ? 1 , 当 k ≥ 2 时 ,

y ? x 2 ? 2x ? t

? ? ? k ?1 ? ? k ? 2 ?? ? xk ? xk ?1 ? 1 ? 5 ?T ? ? ?T ? ??, ? ? 5 ?? ? ? 5 ? ? ? y ? y ? T ? k ? 1 ? ? T ? k ? 2 ?. k ?1 ? ? ? ? ? k T (a) 表示非负实数 a 的整数部分, T (2.6) ? 2 , ? 5 ? ? 5 ? ? 例如

T (0.2) ? 0 。按此方案,求第 6 棵树种植点的坐标和第 2008 棵树种植点的坐标 。
*13. (2008 湖北卷) 水库的蓄水量随时间而变化,现用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据, 某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为
t ? 2 ?(?t ? 14t ? 40)e 4 ? 50, 0 ? t ? 10, V (t ) ? ? ?4(t ? 10)(3t ? 41) ? 50,10 ? t ? 12. ?

( Ⅰ ) 该 水 库 的 蓄 水 量 小 于 50 的 时 期 称 为 枯 水 期 。 以 i ? 1 ? t ? i 表 示 第 i 月 份 (Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e ? 2.7 计算) 。

( i ? 1, 2,?,12 ) ,问一年内哪几个月份是枯水期?

【试题答案】
一、选择题: 1~7 CBDC CAC 二、填空题 8、 ?
9、4

三、解答题

3? ? ? ??, ? a ? ;② ? ??,0? ? ?1,3? ; 10、① ?
11、t=1;

, 12、第 6 棵树种植点的坐标应为 (1 2) ;第 2008 棵树种植点的坐标应为
1 t
2

( 3 4 0 2 )。 ,

4 (Ⅰ)①当 0<t ? 10 时,V(t)=(-t +14t-40) e ? 50 ? 50, 化简得 t2-14t+ 13、解:

40>0, 解得 t<4,或 t>10,又 0<t ? 10,故 0<t<4。 ②当 10<t ? 12 时,V(t)=4(t-10) (3t-41)+50<50, 化简得(t-10) (3t-41)<0,

41 解得 10<t< 3 ,又 10<t ? 12,故 10<t ? 12。
综合得 0<t<4,或 10<t≤12, 故知枯水期为 1 月,2 月,3 月,11 月,12 月共 5 个月。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知:V(t)的最大值只能在非枯水期(4,10)内达到。 又因为 V(t)=(-t +14t-40) e +50 2 经计算,当 V(t)在 t=8 时取得最大值 V(8)=8e +50=108.32(亿立方米) 。 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米(注:本题第二问此处用了计算比较 的方法,计算量比较大,但同学们可在以后的学习中得到更好的解法) 。
2

1 t 4

[9 ? (t ? 7)2 ]e 4 +50=

1

t


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