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安徽省宿州市2015届高三第一次教学质量检测数学(文)试题(扫描版)_图文

文科数学参考答案

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 C

A

B

D

A

A

B

C

D

B

11. 存在实数 x ,使 x 2 ? 2x ? 2 ? 0

12. 3

13. 5 3 3
14. 25 15 . ②③④⑤

16 解、(1) f ( x) ? 1 cos x ? 3 sin x ? cos x ? 3 sin x ? 3 cos x

2

2

2

2

? ? 3 sin( x ? )
3

? ? 故 f ( x) 的值域为 ? 3, 3

6分

(2)由 f (B) ? 3 ,∴ sin(B ? ? ) ? 1 又 0 ? B ? ? ,∴ B ? ?

3

6

由余弦定理: b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

得 a 2 ? 3a ? 2 ? 0 , 解得 a ? 1或a ? 2

12 分

(注: 第(2)问也可用正弦定理求解)

17 解析(1)∵利用分层抽样的方法抽取 n 个人时,从“支持 A 方案”的人中抽取了 6 人,

∴6=

n



100 ? 200 200 ? 400 ? 600 ? 800 ?100 ?100 ? 400

解得 n=40.

6分

(2)从“支持 C”的人中,用分层抽样的方法抽取的 6 人中, 年龄在 20 岁以下的有 4 人,

分别记为 1,2,3,4,年龄在 20 岁以上(含 20 岁)的有 2 人,记为 a,b,

则这 6 人中任意选取 2 人,共有 15 种不同情况,分别为:

(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),

(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b),

其中恰好有 1 人在 20 岁以下的事件有:

(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b)

共 8 种.故恰有 1 人在 20 岁以下的概率 P= 8 . 15

12 分

18.解

? ? (1)设数列 an

的公比为 q ,由 a4 a1

? a5 ? a2

?

8 ,? q 3

?

8, q

?

2

代入 a1 ? a2 ? 3 ,解得 a1 ? 1 ,

所以数列的通项公式为 an ? 2n?1

6分

(2)? bn

?

log 2 2n

?

n, 1 bnbn?1

?

1 n(n ? 1)

?

1 n

?

1 n?1

? Sn

?

1?

1 2

?

1 2

?

1 3

???

1 n

?

1 n?1

?

1?

1 n ?1



Sn

?

2014 2015

,得 n

?

2014

12 分

19 证明:(Ⅰ)连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OM.

因为四边形 ABCD 是正方形,所以 O 为 AC 的中点.

因为 M 为 AF 的中点,所以 CF∥OM,

又 OM ? 平面 MBD,CF ? 平面 MBD,所以 CF∥平面 MBD.

6分

(Ⅱ)因为四边形 ABCD 和 ABEF 均为矩形,

所以 AB⊥平面 BCE,所以 AB⊥BN,又 AB∥EF,所以 BN⊥EF

又 BN⊥EC(已知)

所以 BN⊥面 EFC

又 BN ? 平面 BDN,所以平面 EFC⊥平面 BDN.

12 分

20、解析:(1)由题意得: a ? 2, b ? 1

椭圆 C 的方程为: x2 ? y2 ? 1

5分

4

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线 l1 的斜率存在, 不妨设其斜率为 k,则直线 l1 的方程为 y=kx?1.

又圆 C2:x2+y2=4,故点 O 到直线 l1 的距离 d=

1 k2+1



所以|AB|=2 4?d2=2

4k2+3 k2+1



又 l1?l2,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0.
由?????x+x4k2+y+y2k==10.,

消去 y,整理得(4+k2)x2+8kx=0

故 x0=? 48+kk2.

所以|PD|=84+kk2+2 1.

设△ABD

的面积为

S,则

1

8

S=2|AB|?|PD|=

44+kk22+3,

所以 S=

32

4k2+3+

13 ? 4k2+3 2

32 4k2+3 ?

13 =161313, 4k2+3

当且仅当 k=± 210时取等号

所以所求直线 l1 的方程为 y=±

10 2 x?1

13 分

21 解:(1)易知 f (x) 的定义域为 ?0,???,又 f '( x) ? 1 ? 1
x

当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f '( x) ? 0

? f (x) 在 ?0,1?上是增函数,在 ?1,??? 上是减函数 .

4分

(2)当 k ? 0 时, f (1) ? 1 ? k ? 0 ,不成立,故只考虑 k ? 0 的情况

又 f '(x) ? 1 ? k x

当 k ? 0 时,当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f '( x) ? 0

k

k

在 ?? 0, 1 ?? 上是增函数,在 ?? 1 ,?? ?? 时减函数,此时

? k?

?k ?

f ( x)max

?

1 f ( ) ? ? ln k
k

要使 f (x) ? 0 恒成立,只要 f ( x)max ? 0 即可

由 ? ln k ? 0得k ? 1

综上: k ? 1

9分

(3)由(2)知:当 k=1 时,有 f ( x) ? 0在?0,? ?? 内恒成立

又 f (x) 在 ?1,???内时减函数,即: ln x ? x ? 1在(1,? ?)内恒成立

? ln n2 ? n2 ? 1 即: 2 ln n ? (n ? 1)(n ? 1)

? ln n ? n ? 1 (n ? N *且n ? 1) n?1 2

? ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln n ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 1 ? n(n ? 1)

345

n?1 2 2

2

4

? ? 即:ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln n ? n(n ? 1) n ? N *且n ? 1 成立

14 分

345

n?1 4