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立体几何(教材变式题)


专项训练: 专项训练:立体几何
1. (人教 A 版,必修 2.P17.第 4 题) 图 1 是一个几何体的三视图,想象它的几何结构特征,并说出它的名称.

正视图

侧视图

俯视图 图1 变式题 1.如图 1-1 是一个几何体的三视图(单位:cm) (Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法) ; (Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积; (Ⅲ)设异面直线 AA′ 与 BC ′ 所成的角为 θ ,求 cos θ .

A 1 B C A B 3
正视图

A′ B′ C′ 1 1 3
俯视图

A 2 C
侧视图

B

A′ B′
图 1-1

解: (Ⅰ)这个几何体的直观图如图 1-2 所示. (Ⅱ)这个几何体是直三棱柱. 由于底面 ?ABC 的高为 1,所以 AB = 1 + 1 =
2 2

2.
C

A
C′

A′

故所求全面积 S = 2 S ?ABC + S BB′C ′C + 2 S ABB′A′

2 B

3
图 1-2

B′

1 = 2 × × 2 ×1 + 3 × 2 + 2 × 3 × 2 = 8 + 6 2 (cm 2 ) . 2 1 这个几何体的体积 V = S ?ABC ? BB′ = × 2 × 1× 3 = 3 (cm3 ) 2 (Ⅲ)因为 AA′ // BB′ ,所以 AA′ 与 BC ′ 所成的角是 ∠B′BC ′ .

在 Rt ?BB′C ′ 中, BC ′ = 故 cos θ =

BB′2 + B′C ′2 = 32 + 22 = 13 ,

BB′ 3 3 = = 13 . BC ′ 13 13

2. (人教 A 版,必修 2,P20.例 3) 如图 2,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.

P

P

i O′
O
正视图

i O′
O
侧视图

i
俯视图 图2 变式题 2-1.如图 2-1.已知几何体的三视图(单位:cm) . (Ⅰ)画出它的直观图(不要求写画法) ; (Ⅱ)求这个几何体的表面积和体积.

P

2
i O′
2

2

P

2
i O′

2

2
正视图

2 i O

2 i O
侧视图

i
俯视图 图 2-1 解(Ⅰ)这个几何体的直观图如图 2-2 所示. (Ⅱ)这个几何体是一个简单组合体,它的下部是一个圆柱(底面半径为 1cm,高为 2cm) ,它的 . 上部是一个圆锥(底面半径为 1cm,母线长为 2cm,高为 3 cm)

所以所求表面积 S = π × 1 + 2π × 1× 2 + π × 1× 2 = 7π (cm ) ,
2

2

所求体积 V = π × 1 × 2 + × π × 1 × 3 = 2π +
2 2

1 3

3 π (cm3 ) . 3

P

变式题 2-2.如图 2-3,已知几何体的三视图(单位:cm) . (Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法) ; (Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积; (Ⅲ)设异面直线 A1Q 、 PD 所成角为 θ ,求 cos θ . (理科考生)

iO′

iO
图 2-2

P A1
2

Q
2
B1 D1
2

P

2
A1
2

A D1
1

2
正视图

B C1

D

A

侧视图

P
1

Q
2
俯视图

A1

B1
图 2-3

解: (Ⅰ)这个几何体的直观图如图 2-4 所示. (Ⅱ)这个几何体可看成是由正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q ? A1 D1 P 的组合体. 由 PA1 = PD1 =

2 , A1 D1 = AD = 2 ,
A1

P D1 B1

Q
C1

可得 PA1 ⊥ PD1 . 故所求几何体的全面积

1 S = 5 × 22 + 2 × 2 × 2 + 2 × × 2
所求几何体的体积

( 2)
3

2

= 22 + 4 2 (cm 2 )
D A
图 2-4

C E B

1 V = 23 + × 2

( 2 ) × 2 = 10 (cm )
2

(Ⅲ)由 PQ // CD ,且 PQ = CD ,可知 PD // QC , 故 ∠A1QC 为异面直线 A1Q 、 PD 所成的角(或其补角) .

由题设知 A1Q = A1 B1 + B1Q = 2 + 2 = 6 , A1C =
2 2 2 2

2

3×2 = 2 3,

取 BC 中点 E ,则 QE ⊥ BC ,且 QE = 3 ,

QC 2 = QE 2 + EC 2 = 32 + 12 = 10 . A1Q 2 + QC 2 ? A1C 2 由余弦定理,得 cos θ = cos ∠A1QC = 2 A1Q ? QC = 6 + 10 ? 12 15 = . 15 2 6 ? 10

3. (北师大版.必修 2.P31.第 4 题) 如图 3,已知 E,F 分别是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 AA1 和棱 CC1 上的点,且 AE = C1 F , 求证:四边形 EBFD1 是平行四边形

D1 A1 D E A
图3

B1

C1 F

C B

变式题:如图 3-1.已知 E 、 F 分别是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 AA1 和棱 CC1 的中点. (Ⅰ)试判断四边形 EBFD1 的形状; (Ⅱ)求证:平面 EBFD1 ⊥ 平面 BB1 D1 . 解(Ⅰ)如图 3-2, BB1 的中点 M , 取 连结 A1M 、MF . ∵ M 、 F 分别是 BB1 和 CC1 的中点, ∴ MF // B1C1 , = 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,有

D1 A1 E A D
图 3-2

C1 B1 F C B C1 F

D1
A1
D E B1

// A1 D1 = B1C1 , ∴ MF // A1 D1 , =
∴四边形 A1MFD1 是平行四边形,

C

A

图 3-1

B

// ∴ A1M = D1 F .
又 E 、 M 分别是 AA1 、 BB1 的中点,

// ∴ A1 E = BM ,
∴四边形 A1 EBM 为平行四边形,

// ∴ EB = A1M . // 故 EB = D1 F .
∴四边形 EBFD1 是平行四边形. 又 Rt ?EAB ≌ Rt ?FCB , ∴ BE = BF , 故四边形 EBFD1 为菱形. (Ⅱ)连结 EF 、 BD1 、 A1C1 . ∴ EF ⊥ BD1 . 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,有 ∵四边形 EBFD1 为菱形,

B1 D1 ⊥ A1C1 , B1 D1 ⊥ A1 A
∴ B1 D1 ⊥ 平面 A1 ACC1 . 又 EF ? 平面 A1 ACC1 , ∴ EF ⊥ B1 D1 . 又 B1 D1 ∩ BD1 = D , ∴ EF ⊥ 平面 BB1 D1 . 又 EF ? 平面 EBFD1 , 故平面 EBFD1 ⊥ 平面 BB1 D1 4. (人教 A 版,必修 2,P74.例 2)

如图 4,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求直线 A1 B 与平面 A1 B1CD 所成的角.

D1

C1

A1

B1

D

C
图4

A

B

变式题:如图 4-1,已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面边长 D 1

C1
B1 E F C B


AB = 2 , 侧棱 BB1 的长为 4, 过点 B 作 B1C 的的垂线交侧棱 CC1 于 A1 E ,交 B1C 于点 F .
D
(Ⅰ)求证: A1C ⊥ 平面 BED ;

A
(Ⅱ)求 A1 B 与平面 BDE 所成的角的正弦值. 图 4-1

解: (Ⅰ)如图 4-2,以 D 为原点, DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直 角坐标系 D ? xyz . ∴ D (0, 0, 0), A(2, 0, 0), B (2, 2, 0), C (0, 2, 0), A1 (2, 0, 4), B1 (2, 2, 4), C1 (0, 2, 4), D1 (0, 0, 4) . 设 E (0, 2, t ) ,则 BE = ( ?2, 0, t ), B1C = ( ?2, 0, ?4) . ∵ BE ⊥ B1C ,∴ BE ? B1C = 4 + 0 ? 4t = 0 . ∴ t = 1 ,∴ E (0, 2,1) , BE = ( ?2, 0,1) . 又 A1C = ( ?2, 2, ?4), DB = (2, 2, 0) ,

z
D1 A1 B1 E D F C B y

C1

∴ A1C ? BE = 4 + 0 ? 4 = 0 且 A1C ? DB = ?4 + 4 + 0 = 0 . ∴ A1C ⊥ DB 且 A1C ⊥ BE . ∴ A1C ⊥ BD 且 A1C ⊥ BE .∴ A1C ⊥ 平面 BDE .

x

A
图 4-2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A1C = ( ?2, 2, ?4) 是平面 BDE 的一个法向量,又 A1 B = (0, 2, ?4) , ∴ cos A1C , A1 B =

30 A1C ? A1 B = . 6 | A1C || A1 B |
30 . 6

∴ A1 B 与平面 BDE 所成角的正弦值为

5. (人教 A 版,必修 2,P87,第 10 题) 如图 5,已知平面 α , β ,且 α ∩ β = AB, PC ⊥ α , PD ⊥ β , C , D 是垂足,试判断直线 AB 与 CD 的位置关系?并证明你的结论.

α
C

P B D A
图5

β

变式题 5-1,如图 5,已知平面 α , β ,且 α ∩ β = AB, PC ⊥ α , PD ⊥ β , C , D 是垂足. (Ⅰ)求证: AB ⊥ 平面 PCD ; (Ⅱ)若 PC = PD = 1, CD = 系,并证明你的结论. 变式题 5-1,如图 5,已知平面 α , β , 且 α ∩ β = AB, PC ⊥ α , PD ⊥ β , C , D 是垂足. (Ⅰ)求证: AB ⊥ 平面 PCD ; (Ⅱ)若 PC = PD = 1, CD =

α
P A
C Q
图 5-1 关

2 ,试判断平面 α 与平面 β 的位置

D

B

β

2 ,试判断平面 α 与平面 β 的位置关系,并证明你的结论.

解(Ⅰ)因为 PC ⊥ α , AB ? α ,所以 PC ⊥ AB .同理 PD ⊥ AB . 又 PC ∩ PD = P ,故 AB ⊥ 平面 PCD . (Ⅱ)设 AB 与平面 PCD 的交点为 H ,连结 CH 、 DH . 因为 AB ⊥ 平面 PCD ,所以 AB ⊥ CH , AB ⊥ DH , 所以 ∠CHD 是二面角 C ? AB ? D 的平面角. 又 PC = PD = 1, CD =

2 ,所以 CD 2 = PC 2 + PD 2 = 2 ,即 ∠CPD = 900 .

在平面四边形 PCHD 中, ∠PCH = ∠PDH = ∠CPD = 90 ,
0

所以 ∠CHD = 90 .
0

故平面 α ⊥ 平面 β . 变式题 5-2.如图 5-1,已知直二面角 α ? AB ? β , P ∈ α , Q ∈ β , PQ 与平面 α 、 β 所成的角 都为 30 , PQ = 4 .
0

α
P A
C

PC ⊥ AB, C 为垂足, QD ⊥ AB, D 为垂足.
(Ⅰ)求直线 PQ 与 CD 所成角的大小; (Ⅱ)求四面体 PCDQ 的体积.

D B
Q

β

E
图 5-2

// 解: (Ⅰ)如图 5-2,在平面 β 内,作 CE = DQ ,连结 PE 、 QE .则四边形 CDQE 为平行四 // 边形,所以 EQ = CD ,即 ∠PQE 为直线 PQ 与 CD 所成的角(或其补角) .
因为 α ⊥ β , α ∩ β = AB, PC ⊥ AB . 所以 PC ⊥ β .同理 QD ⊥ α . 又 PQ 与 平 面

α 、 β 所 成 角 为 300 , 所 以 ∠PQC = 300 , ∠QPD = 300 , 所 以
3 1 = 2 3 , DQ = PQ sin 300 = 4 × = 2 . 2 2
CQ 2 ? DQ 2 = 12 ? 4 = 2 2 ,从而 EQ = 2 2 .

CQ = PQ cos 300 = 4 ×
在 Rt ?CDQ 中, CD =

因为 QD ⊥ AB ,且 CDQE 为平行四边形, 所以 EQ ⊥ CE . 又 PC ⊥ β , EQ ? β ,所以 EQ ⊥ PC . 故 EQ ⊥ 平面 PCE ,从而 EQ ⊥ PE . 在 Rt ?PEQ 中, cos ∠PQE = 所以 ∠PQE = 450 ,

EQ 2 2 2 = = . PQ 4 2

即直线 PQ 与 CD 所成角的大小为 45 .
0 (Ⅱ)在 Rt ?PCQ 中, PQ = 4, ∠PQC = 30 ,所以 PC = 2 .

0

三角形 CDQ 的面积 S ?CDQ = 故四面体 PCDQ 的体积

1 1 CD ? DQ = × 2 2 × 2 = 2 2 , 2 2

1 1 4 V = S ?CDQ ? PC = × 2 2 × 2 = 2. 3 3 3
6. (人教 A 版,必修 2,P87,B 组第 1 题) 如图 5,边长为 2 的正方形 ABCD 中, (1)点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,将 ?AED, ?DCF 分别沿 DE , DF 折起,使 A, C 两点重合于点 A′ ,求证: A′D ⊥ EF . (2)当 BE = BF =

A E B F

1 BC 时,求三棱锥 A′ ? EFD 的体积. 4 A′ D
E C
图6

D F

B

变式题. 如图 5-1, 在矩形 ABCD 中,AB = 2, AD = 1, E 是 CD 的中点, AE 为折痕将 ?DAE 以 向上折起,使 D 为 D′ ,且平面 D′AE ⊥ 平面 ABCE . (Ⅰ)求证: AD′ ⊥ EB ; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 ABD′ 所成角的正弦值.

D

E

C

D′ E C B

A

B
图 6-1

A

解(Ⅰ)在 Rt ?BCE 中, BE = 在 Rt ?AD′E 中, AE =

BC 2 + CE 2 = 2 ,

D′A2 + D′E 2 = 2 ,

2 2 2 2 ∵ AB = 2 = BE + AE ,

∴ AE ⊥ BE . ∵平面 AED′ ⊥ 平面 ABCE , 且交线为 AE , ∴ BE ⊥ 平面 AED′ . ∵ AD′ ? 平面 AED′ , ∴ AD′ ⊥ BE . (Ⅱ)设 AC 与 BE 相交于点 F ,由(Ⅰ)

D′

E

G

C



AD′ ⊥ BE , F ∵ AD′ ⊥ ED′ , A ∴ AD′ ⊥ 平面 EBD′ , 图 6-2 ′ ? 平面 AED′ , ∵ AD ∴平面 ABD′ ⊥ 平面 EBD′ ,且交线为 BD′ , 如图 6-2,作 FG ⊥ BD′ ,垂足为 G ,则 FG ⊥ 平面 ABD′ , 连结 AG ,则 ∠FAG 是直线 AC 与平面 ABD′ 所成的角.
由平面几何的知识可知

B

EF EC 1 1 2 = = ,∴ EF = EB = . FB AB 2 3 3

在 Rt ?AEF 中, AF =

AE 2 + EF 2 = 2 +

2 2 5 = , 9 3

在 Rt ?EBD′ 中,

FG D′E 2 6 = ,可求得 FG = . FB D′B 9

2 6 FG 30 ∴ sin ∠FAG = = 9 = . AF 2 5 15 3
∴直线 AC 与平面 ABD′ 所成的角的正弦值为

30 . 15


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