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高中数学三角函数公式大全新


三角函数公式
一、任意角的三角函数 在角 ? 的终边上任取 一点 P( x, y ) ,记: r ? .. 正弦: sin ? ?
y r
x2 ? y2 ,

余弦: cos ? ?

x r

正切: tan ? ?

y x

余切: cot? ?

x y

OM 、 注: 我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数: 如图, 与单位圆有关的有向 线段 MP 、 ..
AT 分别叫做角 ? 的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tan ? ? cot ? ? 1 .商数关系: tan ? ? 三、诱导公式
sin ? ,平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 cos ?

sin -?
? -?

cos + cos? - cos? - cos? + cos? + cos? cos + sin ? - sin ? - sin ? + sin ?

tan - tan ? - tan ? + tan ? - tan ? + tan ? tan + cot ? - cot ? + cot ? - cot ?

cot - cot ? - cot ? + cot ? - cot ? + cot ?

三角函数值等于 ? 的同名三角函数值,前 面加上一个把 ? 看作锐角时,原三角函数 值的符号;即:函数名不变,符号看象限

- sin ? + sin ? - sin ? - sin ? + sin ? sin

? +?
2? -? 2k ? + ?

函数名改变,符号看象限

cot + tan ? - tan ? + tan ? - tan ?

奇变偶不变, 符号看象限

?
2

??

+ cos? + cos? - cos? - cos?

?
2

??

3? ?? 2 3? ?? 2

四、和角公式和差角公式
sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ?
cos(? ? ? ) ? cos? ? cos? ? sin ? ? sin ?

sin ?( ? ? ) ? s i n ? ?c o ? s ? c o? s ?s i n ?
cos ?(? ? ) ? c o ? s ?c o ? s ?s i n ? ?s i n ?

1

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

t an ?(? ? ) ?

t a? n ?t a n ? 1? t a ? n ?t a n ?

五、二倍角公式
sin 2? ? 2 sin ? cos ?
2 2 co2 s? ? c o 2s? ? s i n ? ? 2 c o 2s? ? 1 ? 1 ? 2 s i n ? … (?)

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

二倍角的余弦公式 (?) 有以下常用变形: (规律:降幂扩角,升幂缩角)
1 ? cos2? ? 2 cos2 ? 1 ? cos2? ? 2 sin 2 ?

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2
cos 2 ? ?

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? sin 2? 1 ? sin 2? ? , sin 2 ? ? , tan ? ? 。 2 sin 2? 1 ? cos 2? 2

半角公式 sin(
A 1 ? cos A )=± 2 2 A 1 ? cos A )=± 2 1 ? cosA A 1 ? cos A sin A )= = sin A 1 ? cos A 2 2 tan ? 2 tan ? 1 ? tan2 ? cos 2 ? ? , , tan 2? ? 。 2 2 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan ?

cos(

A 1 ? cos A )=± 2 2 A 1 ? cos A )=± 2 1 ? cosA

tan( tan(

cot(

六、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式)
sin 2? ?

万能公式告诉我们,单角的三角函数都可以用半角的正切 来表示。 ..

七、辅助角公式
a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? )
象限相同, sin ? ? 其中: 角 ? 的终边所在的象限与点 ( a, b) 所在的

b a ?b
2 2

, cos? ?

a a ?b
2 2

, tan ? ?

b 。 a

八、正弦定理
a b c ? ? ? 2 R ( R 为 ?ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C

九、余弦定理
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? cos A b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? cosC

十、三角形的面积公式

2

S ?ABC ?

1 ? 底?高 2

S ?ABC ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B (两边一夹角) 2 2 2

S ?ABC ?

abc ( R 为 ?ABC 外接圆半径) 4R

S ?ABC ?

a?b?c ? r ( r 为 ?ABC 内切圆半径) 2
a?b?c ) 2

S?ABC ?

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) …海仑公式(其中 p ?
y

sin ? ? cos ?

y

sin ? ? cos ? ? 0

sin ? ? cos ?

sin ? ? cos ? ? 0

o
x? y ?0

x
sin ? ? cos ? A(?2,2)

sin ? ? cos ? ? 0

o
A(?2,2)
x? y ? 0

x

三角函数的性质
y ? cos x





y ? sin x

y ? tan x

y ? cot x

定义域

R

R

? x | x ? R且 ? ? ? ? ? ? x ? k? ? , k ? Z ? ? 2 ? ?
R

? x | x ? R且 ? ? ? ? x ? k? , k ? Z ?
R





?? 1,1?
当x ? 2k? ?

?? 1,1?
?
2

?k ? Z ?时 ?k ? Z ?时





y max ? 1; 当x ? 2k? ? y min ? ?1

当x ? 2k? ?k ? Z ?时 y max ? 1;

?
2

当x ? 2k? ? ? ?k ? Z ?时 y min ? ?1
周期是 2k? ?k ? Z ? 最小正周期是 2? 偶函数

无最大值、最小值

无最大值、最小值

周期性 奇偶性 对 称 轴 对 称 点

周期是 2k? ?k ? Z ? 最小正周期是 2? 奇函数

周期是 k? ?k ? Z ? 最小正周期是 ? 奇函数

周期是 k? ?k ? Z ? 最小正周期是 ? 奇函数

对 称 性

x ? k? ?

?
2

?k ? Z ?

x ? k? ?k ? Z ?

?k? ,0??k ? Z ?
递增区间

? ? ? ? k? ? ,0 ??k ? Z ? 2 ? ?
递增区间

?k? ,0??k ? Z ?
递增区间

? ? ? ? k? ? ,0 ??k ? Z ? 2 ? ?

单调性

? ?? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ? ? ? ?k ? Z ?

?2k? ? ? ,2k? ??k ? Z ?

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? 2 2? ? ?k ? Z ?

3

递减区间

递减区间

递减区间

? 3? ? ? 2k? ? ,2k? ? ? ? 2 2? ? ?k ? Z ?

?2k? ,2k? ? ? ??k ? Z ?

?k? , k? ? ? ? ?k ? Z ?

y ? sin x





y ? cos x

1、三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) 2、 a 与 b 的数量积(或内积)

a ? b ?| a | ? | b | cos?

3、平面向量的坐标运算 (1)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 ? y1 y2 . (3)设 a = ( x, y ) ,则 a ? x 2 ? y 2 4、两向量的夹角公式 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则
cos? ? a ?b ab ? x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2

5、向量的平行与垂直

a // b ? b ? ? a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

a ? b(a ? 0) ? a ? b ? 0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

4


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