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最新人教A版选修2-1高二数学空间向量与立体几何复习2公开课教学设计

空间向量与立体几何(复习二) 【学情分析】 : 学生能用向量计算空间角、空间距离。但有时建立的坐标系并非直角。由于法向量的方 向有两个,导致计算的角的大小与实际情况不一致,不善于取舍、修正。 【教学目标】 : (1)知识目标:运用空间向量计算空间角及空间距离计算。适当运用传统方法。 (2)过程与方法目标:总结归纳,讲练结合,以练为主。 (3)情感与能力目标:提高学生的计算能力和空间想象能力。 【教学重点】 : 。计算空间角。 【教学难点】 :计算空间角,角的取舍。 【课前准备】 :投影 【教学过程设计】 : 教学环节 教学活动 1。两条异面直线所成的角,转化为分别与这两条 异面直线共线的两个向量的夹角(或补角) 。 (要特别关 注两个向量的方向) 2。直线与平面所成的角,先求 直线与平面的法向量的夹角(取锐角) 一、复习 再求余角。 3。二面角的求法: 方法一:转化为分别是在二面角的 两个半平面内且与棱都垂直的两条直线C 上的两个向量的夹角 (注意:要特别关注两个向量的方向)? 如图:二面角 α-l-β 的大小为 θ, A,B∈l,AC ? α,BD ? β, AC⊥l,BD⊥l 则θ=< AC , BD >=< CA , DB 方法二:转化为求二面角的两个半平面的法向量夹 角(或补角) 。 B l A 设计意图 ? ? ? 这里只用向量解 题,没包括传统的 解法。 D ? 4。点 P 到平面 ? 的距离: 先在 ? 内任选一点 Q,求出 PQ 与平面的夹角θ 则 d ? PQ ? sin ? ? Q P d ? 例 2.如图,三棱锥 P—ABC 中,PB⊥底面 ABC 于 B,∠ BCA=90°,PB=BC=CA= 4 2 ,点 E,点 F 分别是 PC, AP 的中点. 二、实例 (1)求证:侧面 PAC⊥侧面 PBC; (2)求异面直线 AE 与 BF 所成的角; (3)求二面角 A—BE—F 的平面角. 解: (1)∵PB⊥平面 ABC,∴平面 PBC⊥平面 ABC, 又∵AC⊥BC, PBC. (2)以 BP 所在直线为 z 轴,CB 所在直线 y 轴, 建立空间直角坐标系,由条件可设 ∴AC⊥平面 PBC ∴侧面 PAC⊥侧面 此处可引导特色班 的学生尝试传统的 方法来解题。 P(0,0,4 2 ), B(0,0,0), C (0,?4 2 ,0), A(4 2 ,?4 2 ,0) 则E (0,?2 2 ,2 2 ), F (2 2 ,?2 2 ,2 2 ) AE ? (?4 2 ,2 2 ,2 2 ), BF ? (2 2 ,?2 2 ,2 2 ), ? AE ? BF ? ?16, | AE | ? | BF |? 24 2 , ? cos ? AE, BF ?? ? 2 , 3 2 3 C A E F P B ? AE与BF所成的角的余弦值是 (3)平面 EFB 的法向量 a =(0,1,1), 平面 ABE 的法向量为 b =(1,1,1) cos ? a, b ?? 6 , 3 ? 二面角A ? BE ? F的平面角的余弦值为 z 6 . 3 D1 C1 M E B1 A1 N 例 3.如图, 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,E、F 、M、N 分别是 A1B1、BC、 C1D1、B1C1 的中点. (I)用向量方法求直线 EF 与 MN 的夹角; (II)求直线 MN 与平面 ENF 所成角的余弦值; (III)求二面角 N—EF—M 的平面角的余弦值. 解:建立如图所示的空间直角坐标系 A—xyz, 1 1 1 ,0,1, ) ,F(1, ,0) ,M( ,1,1) ,N 2 2 2 1 1 1 1 (1, ,1). (1)∵EF=( , ,-1) ,MN=( , 2 2 2 2 1 - ,0) , 2 1 1 1 1 1 1 ∴EF·MN=( , ,-1) · ( ,- ,0)= - +0=0. 2 2 2 2 4 4 则有 E( ∴EF⊥MN,即直线 EF 与 MN 的夹角为 90°. (2)由于 FN=(0,0,1) ,MN=( ∴FN·MN=0,∴FN⊥MN. ∵EF∩FN=F,∴MN⊥平面 ENF.所成角的余弦为零。 (3)二面角 M—EF—N 的平面角的余弦值为 三、小结 四、作业 (见一) 1. 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, CA=CB=CC1=2, ∠ACB=90°, E、F 分别是 BA、BC 的中点,G 是 AA1 上一点,且 AC1⊥EG. (Ⅰ)确定点 G 的位置; (Ⅱ)求直线 AC1 与平面 EFG 所成角θ的大小. 10 . 5 1 1 ,- ,0) , 2 2 解: (Ⅰ)以 C 为原点,分别以 CB、CA、CC1 为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 则 F(1,0,0) , E(1,1,0) ,A(0,2,0) , C1(0,0,2) , C1 B1 C F B E A A1 G AC1 ? (0,?2,2) 设 G(0,2,h) ,则 EG ? (?1,1, h).? AC1 ? EG,? EG ? AC1 ? 0. ∴-1×0+1×(-2)+2h=0. 的中点. (Ⅱ)设 m ? ( x, y, z) 是平面 EFG 的法向量, 则 m ? FE, m ? EG. ∴h=1,即 G 是 AA1 ?0 ? x ? 1? y ? 0 ? z ? 0, 所以 ? ?? x ? y ? z ? 0. 平面 EFG 的一个法向量 m=(1,0,1) ∵ sin? ? ∴? ? ? 6 | m ? AC1 | | m | ? | AC1 | ? 2 2 ?2 2 ? 1 , 2 , 即 AC1 与平面 EFG 所成角 ? 为 ? 6 2.在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,四边形 A1ABB1 是菱形,四 边形 BCC1B1 是矩形,AB⊥B