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山东省淄博六中2013-2014学年高二下学期期中考试 文科数学


淄博六中 12 级高二下学期第一次学分认定考试

(数学文科)
注意事项:
1.答卷前,考生务必用钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题纸和答题 卡的相应位置处。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3.非选择题答案必须写在答题纸相应位置处,不按要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡和答题纸一并收回。

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.在复平面上,点 Z1 对应的复数是 4 ? i ,线段 Z1Z 2 的中点对应的复数是 1 ? 2i ,则点 Z 2 对 应的复数是( A. ?2 ? 3i ) B. ?2 ? 3i C. 2 ? 3i D. 2 ? 3i )
1? 5 2

2. 当 x ? (0, ??) 时,幂函数 y ? (m2 ? m ? 1) x ? m?1 为减函数,则实数 m ? ( A.m=2 B.m= ? 1 C.m=2 或 m=1 )

D. m ?

3、下列四个函数,在 x=0 处取得极值的函数是( ①y=x3 A.①② A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,1) ②y=x2+1 ③y=|x| ④y=2x B.②③ ) C.③④

D.①③

4.函数 y=cosx· tanx 的值域是(

B.[-1,1] D.[-1,0]∪(0,1) ( ).

?x+1,x∈[-1,0], 5.已知 f(x)=? 2 则下列函数的图象错误的是 ?x +1,x∈[0,1],

1

3? ? 4? ?? ? ? 6.若复数 z ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? i 是纯虚数,则 tan ? ? ? ? 的值为( 5? ? 5? 4? ? ?



1 1 C.7 D. ?7 或 ? 7 7 7.定义方程 f(x)=f′(x)的实数根 x0 叫做函数 f(x)的“新驻点”,若函数 g(x)=2x,h(x)=lnx,

A.-7

B. ?

φ(x)=x3(x≠0)的“新驻点”分别为 a,b,c,则 a,b,c 的大小关系为( A.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c ).

)

? 2 ? 8.设 f(x)=lg?1-x+a?是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是 ( ? ? A.(-1,0) C.(-∞,0) B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

9.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的增函数,函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称.若对任 意的 x,y∈R,不等式 f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0 恒成立,则当 x>3 时,x2+y2 的取值范 围是 ( A.(3,7) ). B.(9,25) C.(13,49) D.(9,49)

10 幂指函数 y=f(x)g(x)在求导数时,可以运用对数法:在函数解析式两边求对数得 ln y=g(x)ln f(x) , 两 边 求 导 数 得 f(x)
g(x)

y′ y = g′(x)ln

f(x) + g(x)

f′?x? , 于 是 f?x?

y′ =

1 f′?x?? ? ?g′?x?lnf?x?+g?x? ? . 运用此法可以探求得知 y = x x 的一个单调递增区间为 · f?x? ? ?

2

(

). B.(2,3) C.(e,4) D.(3,8)

A.(0,2)

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 题,每小题 5 分,共 25 分 x ? i, x ? R ? ? 11.已知定义在复数集 C 上的函数 f ( x) ? ? 1 ,则 f ( f (1)) 在复平面内对应的点位于第 ,x?R ? ? x ________象限, 12.用二分法求方程 x2 =2 的正实根的近似解 (精确度 0.001) 时,如果我们选取初始区间是 [1.4,1.5],则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________.
2 1,0 13.曲线 y ? x ? x ? 2 在点 ? ? 处的切线方程为

π? π ? 14.将函数 f(x)=2sin?ωx-3?(ω>0)的图象向左平移3ω个单位,得到函数 y=g(x)的图象. ? ? π? ? 若 y=g(x)在?0,4?上为增函数,则 ω 的最大值为________. ? ? 15.已知定义在 R 上的偶函数满足:f(x+4)=f(x)+f(2),且当 x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减,给 出以下四个命题: ①f(2)=0; ②x=-4 为函数 y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[8,10]上单调递增; ④若方程 f(x)=m 在[-6,-2]上的两根为 x1,x2 则 x1+x2=-8.以上命题中所有正确命题 的序号为________. 三.解答题 x ? ? 16.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=a?2cos22+sin x?+b. ? ? (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)当 a>0,且 x∈[0,π]时,f(x)的值域是[3,4],求 a,b 的值.

3

17. (本题满分 12 分)若函数 y=f(x)在 x=x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y=f(x)
的极值点.已知 a,b 是实数,1 和-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g(x)的导函数 g′(x)=f(x)+2,求 g(x)的极值点.
2-2x+3)

18. (本题满分 12 分)设 a>0,a≠1,函数 y=alg(x 求函数 f(x)=loga(3-2x-x2)的单调区间.

有最大值,

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列对应值如下表: x y

?

π 6

π 3
1

5π 6
3

4π 3
1

11π 6
-1

7π 3
1

17π 6
3

-1

(1)根据表格提供的数据求函数 f(x)的一个解析式; 2π π (2)根据(1)的结果,若函数 y=f(kx)(k>0)周期为 3 ,当 x∈[0,3]时,方程 f(kx)=m 恰有两 个不同的解,求实数 m 的取值范围;

20、 (本小题满分 13 分)已知 f ( x ) ? (

1 x 1 ) ? 2a( ) x ? 3 9 3

x ? ?? 1 ,1?

(1)若 f ( x ) 的最小值记为 h( a ) ,求 h( a )的解析式. (2)是否存在实数 m , n 同时满足以下条件:① log3 m ? log3 n ? 1 ;②当 h( a )的定义 域为[ n , m ]时,值域为[ n 2 , m 2 ];若存在,求出 m , n 的值;若不存在,说 明理由.

3 21. (本题满分 14 分)已知函数 f(x)=4x3-3x2cosθ+16cosθ, 其中 x∈R, θ 为参数, 且 0≤θ≤2π. (1)当 cosθ=0 时,判断函数 f(x)是否有极值; (2)要使函数 f(x)的极小值大于零,求参数 θ 的取值范围;
4

(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 θ,函数 f(x)在区间(2a-1,a)内都是增函数, 求实数 a 的取值范围.

淄博六中 12 级高二下学期第一次学分认定考试答案 (数学文科) 选择题 AABCD 一 ABACA 12. 7 13.y=3(x-1) 14. 2 15.①②④

填空题 11. 解答题

π? ? 16. 解 (1)因为 f(x)=1+cos x+sin x+b= 2sin?x+ ?+b+1,--------2 分 4? ? 由 2kπ - π π π 3π π ≤x+ ≤2kπ + (k∈Z),得 2kπ - ≤x≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2 4 4

3π π? ? ,2kπ + ?(k∈Z). -----6 分 所以 f(x)的单调递增区间为?2kπ - 4 4? ? π? ? (2)因为 f(x)=a(sin x+cos x)+a+b= 2asin?x+ ?+a+b, -----7 分 4? ? 因为 x∈[0,π ],则 x+ π ?π 5π ? ∈? , ?, 4 ? 4 ?4

π? ? ? 2 ? 所以 sin?x+ ?∈?- ,1?.--------------8 分 4? ? 2 ? ?

? 故? ?

2a+a+b=4, ? 2? 2a×?- ?+a+b=3, ? 2 ? -----------10 分

?a= 2-1, 所以? ?b=3.

---------------------12 分

17. 解:(1)因为 f(x)=x3+ax2+bx, 所以 f′(x)=3x2+2ax+b,且 f′(-1)=3-2a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0,解得 a =0,b=-3.--------------4 分 经检验,当 a=0,b=-3 时,1 和-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点.
5

综上,所求的 a 和 b 的值分别为 0,-3.-------------------5 分 (2)由(1),知 f(x)=x -3x,所以 g′(x)=x -3x+2=(x-1) (x+2),令 g′(x)=0, 得 x=1 或 x=-2,------------------------7 分 当 x 变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下所示:
3 3 2

x g′(x) g(x)

(-∞,-2) - ↘

-2 0 极小值

(-2,1) + ↗

1 0 不是极值

(1,+∞) + ↗

------------------11 分 所以 x=-2 是函数 g(x)的极小值点, 即函数 g(x)的极值点为-2. -----------------12 分

18. 解:设 t=lg(x2-2x+3)=lg[(x-1)2+2]. 当 x=1 时,t 有最小值 lg2,----------------2 分 又因为函数 y=alg(x -2x+3)有最大值,所以 0<a<1.---------------4 分 又因为 f(x)=loga(3-2x-x2)的定义域为{x|-3<x<1},-------6 分 令 u=3-2x-x2, x∈(-3,1), 则 y=logau.因为 y=logau 在定义域内是减函数, 当 x∈(-3, -1]时,u=-(x+1)2+4 是增函数,所以 f(x)在(-3,-1]上是减函数.同理,f(x)在[- 1,1)上是增函数._----------10 分 故 f(x)的单调减区间为(-3,-1],单调增区间为[-1,1).-----12 分 19. 解:(1)设 f(x)的最小正周期为 T,得
2

T=

11π π 2π -(- )=2π ,由 T= ,得 ω =1.-----------------1 分 6 6 ω

?B ? A ? 3 ?A ? 2 又? , 解得 ? . ----------------3 分 ? B ? A ? ?1 ?B ? 1

令ω·

5π π 5π π +φ = ,即 +φ = , 6 2 6 2

解得 φ =-

π , 3

∴f(x)=2sin(x-

π )+1.-----------------5 分 3 π 2π )+1 的周期为 ,又 k>0,∴k=3.-- -----6 分 3 3

(2)∵函数 y=f(kx)=2sin(kx- 令 t=3x- π , 3

6

∵x∈[0,

π π 2π ],∴t∈[- , ] 3 3 3

π 2π 3 如图 sint=s 在[- , ]上有两个不同的解的充要条件是 s∈[ ,1),-----------10 3 3 2 分 ∴方程 f(kx)=m 在 x∈[0, π ]时恰好有两个不同的解,m∈[ 3+1,3), 3

即实数 m 的取值范围是[ 3+1,3).--------------------12 分

?1 ? ?1? 20(1) 令t ? ? ? ,∵ x ? ?? 1 ,1?∴ t ? ? ,3? ????????????1 分 ?3 ? ? 3?

x

y ? t 2 ? 2at ? 3

?1 ? t ? ? ,3? ,对称轴 t=a. ???????????????2 分 ?3 ?

1 1 2a 28 ?1? ① a ? 时,h ?a ? ? f ? ? ? ? ② ? a ? 3时, h?a ? ? f ?a ? ? ?a 2 ? 3 ? ; 3 3 3 9 ? 3?

③ a ? 3时,h?a ? ? f ?3? ? ?6a ? 12 ????????????5 分
? 2a ? 28 ,a<1/3

∴h(a)=

2 3 ?9 ?a 3, ? a ? 3

1 3

?6a ? 12 ,a>3

------7 分

(2) 因为 h(a)=12-6a 在(3,+∞)上为减函数,而 m>n>3 ∴h(a)在[n,m]上的值域为[h(m) ,h(n)]----- -----------(8 分) ∵h(a)在[n,m]上的值域为[n2,m2], ∴h(m)=n2 h(n)=m2 12? 6n=m2-----(9 分)

即:12? 6m=n2

两式相减得:6(m-n)=(m-n) (m+n) 又 m>n>3∴m+n=6,而 m>n>3 时有 m+n>6,矛盾.-----------(12 分) 故满足条件的实数 m,n 不存在.-------------------(13 分) 21. 解:(1)当 cosθ =0 时,f(x)=4x3,则 f(x)在(-∞,+∞)内是增函数,故无极 值.-------------2 分 (2)f′(x)=12x2-6xcosθ , 令 f′(x)=0,得 x1=0,x2= cosθ .----3 分 2

7

当 cosθ >0 时,容易判断 f(x)在(-∞,0],[ 上是减函数, 故 f(x)在 x= 由 f(

cosθ cosθ ,+∞)上是增函数,在[0, ] 2 2

cosθ cosθ 1 3 处取得极小值 f( )=- cos3θ + cosθ .----5 分 2 2 4 16

cosθ 1 3 3 )>0,即- cos3θ + cosθ >0,可得 0<cosθ < . 2 4 16 2 π π 3π 11π <θ < 或 <θ < .-----------7 分 6 2 2 6 3 cosθ ,此时,当 f(0)>0 16

由于 0≤θ ≤2π ,故

同理,可知当 cosθ <0 时,f(x)在 x=0 处取得极小值 f(0)=

时,cosθ >0,与 cosθ <0 相矛盾,所以当 cosθ <0 时,f(x)的极小值不会大于零. 综上,要使函数 f(x)在(-∞,+∞)内的极小值大于零,参数 θ 的取值范围为( ∪( 3π 11π , ).-----------9 分 2 6 cosθ ,+∞)内都是增函数,由题设:函数在(2a 2 π π , ) 6 2

(3)由(2),知函数 f(x)在区间(-∞,0]与[

?2a-1<a, -1,a)内是增函数,则 a 需满足不等式组? ?a≤0

?2a-1<a, 或? 1 2a-1≥ cosθ 2 ?

(其中 θ ∈

(

π π 3π 11π 3 , )∪( , )时,0<cosθ < ).--------------------12 分 6 2 2 6 2 从而可以解得 a≤0 或 4+ 3 ≤a<1, 8 4+ 3 ,1).---------------14 分 8

即 a 的取值范围是(-∞,0]∪[

8


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