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北京版(第01期)-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编:专题06 数列(解析版) Word版含解析


一.基础题组
a4 ? 8 , 1. 【北京市海淀区 2013 届高三 5 月模拟】 已知数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, 且 a1 ? a3 ? 4 ,
则 a1 ? q 的值为( A. 3 ) B. 2 C. 3 或 ?2 D. 3 或 ?3

2.【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 =6, a1 =4,则公差 d 等于( A.1 B ) D3

5 3

C.- 2

3. 【北京 101 中学 2014 届高三上学期 10 月阶段性考试数学试卷 (理科) 】 设等比数列 ?a n ? 的前 n 项 和为 S n ,若 8a 2 ? a 5 ? 0 ,则下列式子中数值不能确定的是( )

1

A.

a5 a3

B.

S5 S3

C.

a n ?1 an

D.

S n ?1 Sn

4.【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】已知数列{an}满足

log3 an +1 = log3 an+1 (n
A.-5

N + ) 且 a2 + a4 + a6 = 9 ,则 log 1 (a5 + a7 + a9 ) 的值是(
3

)

1 B.- 5

C .5

1 D. 5

5.【北京市海淀区 2014 届海淀高三上学期期中考试数学试题(理科) 】已知数列 ?an ? 的通项公式

an ? 2n (3n ? 13) ,则数列的前 n 项和 S n 的最小值是(
A. S 3 【答案】B 【解析】 B. S 4 C.

) D. S 6

S5

2

试题分析:观察 an ? 2 (3n ? 13) 可知,随 n 的增大, an ? 2 (3n ? 13) 由负数增大为正数,其中,
n n

a1 , a2 , a3 , a4 为负数, a5 开始以后各项均为正数,所以,数列的前 n 项和 S n 的最小值是 S 4 ,选 B.
考点:数列的单调性,数列的通项. 6.【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】已知数列{an}满足 a1 =1,a2=1,an+1=|an-an-1|(n≥2),则该数列前 2011 项的和 S2011 等于( A.1341 B.669 C.1340 D.1339 )

7. 【北京市顺义区 2013 年高考数学二模试卷(理科)】 已知数列 ?a n ?中, a n ? ?4n ? 5 ,等比数列 ?bn ? 的公比 q 满足 q ? an ? an ?1 ?n ? 2? ,且 b1 ? a2 ,则 b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( A. 1 ? 4
n

)

B. 4 n ? 1

C.

1 ? 4n 3

D.

4n ? 1 3

8.【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】在等差数列{an}中,

3

S1 S2 S15 其前 n 项和是 Sn,若 S15>0,S16<0,则在 , ,…, 中最大的是( a1 a2 a15 S1 A. a1 S8 B. a8 S9 C. a9 S15 D. a15

)

9.【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考(二)数学试题(理科) 】已知数列 {a n } 满 足 an ? ?

?(1 ? 3a) n ? 10a, n ? 6 ?a
n? 7

,n ? 6

( n ? N* ) ,若 {a n } 是递减数列,则实数 a 的取值范围是(
5 ? C. ? ?8,1? 1 5? D. ? ?3,8?

)

1 ? A.? ?3,1?

1 1? B.? ?3,2?

10.【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】设 {a n } 是任意等比 数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是( )

4

A. X ? Z ? 2Y C. Y 2 ? XZ

B. Y (Y ? X ) ? Z (Z ? X ) D. Y (Y ? X ) ? X (Z ? X )

11.【北京市顺义区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】已知数列 ?a n ?中, a n ? ?4n ? 5 , 等比数列 ?bn ? 的公比 q 满足 q ? an ? an ?1 ?n ? 2? ,且 b1 ? a2 ,则 b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( A. 1 ? 4 n B. 4 n ? 1 )

C.

1 ? 4n 3

D.

4n ? 1 3

12.【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】在数列{an}中,an+1 → → → → → → =an+a(n∈N*, a 为常数), 若平面上的三个不共线的非零向量OA, OB, OC满足OC=a1OA+a2010OB,

5

三点 A、B、C 共线且该直线不过 O 点,则 S2010 等于( A.1005 B.1006 C.2010

) D.2012

13.【北京市房山区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】已知数列 ?an ? 的前 n 项和为

S n , a1 ? 1 , 2Sn ? an?1 ,则 S n ? (
A. 2n?1 B. 2n ? 1

) C. 3n?1 D. 1 (3n ? 1) 2

14.【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】数列 {an } 的通项

an ? n 2 (cos 2
A. 470 【答案】A 【解析】

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 S n ,则 S30 为( 3 3
B. 490 C. 495

) D. 510

试题分析: an ? n (cos
2

2

n? n? 2n? 2n? ,注意到数列 {cos ? sin 2 ) ? n2 cos } 的周期为 3,并且 3 3 3 3

6

15.【北京市昌平区 2013 届高三第二次质量抽测数学试题(理科)】设等比数列 {a n } 的公比为 q ,其 前 n 项的积为 Tn ,并且满足条件 a1 ? 1 , a99 a100 ? 1 ? 0 , ① 0 ? q ? 1; ② a99 ? a101 ? 1 ? 0 ;

a99 ? 1 ? 0 .给出下列结论: a100 ? 1

③ T100 的值是 Tn 中最大的;④ 使 Tn ? 1 成立的最大自然数 n 等于 198. 其中正确的结论是 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

T199 ? a1a2 ?? a199 ? (a1a199 ) ? (a2 a198 )? (a99a101 ) ? a100 ? 1,所以使 Tn ? 1 成立的最大自然数 n 等于

7

198,所以④正确。所以选 B. 考点:等比数列 16.【北京 101 中学 2014 届高三上学期 10 月阶段性考试数学试卷(理科) 】若数列 ?a n ? 的通项公式

an ?
cn ?

?n ? 1?2

1

,记 c n ? 2?1 ? a1 ??1 ? a 2 ???1 ? a n ? ,试计算 c 3 ?

,推测

.

17.【北京市海淀区 2014 届海淀高三上学期期中考试数学试题(理科) 】已知数列 {an } 为等比数列, 若 a1 ? a3 ? 5, a2 ? a4 ? 10 ,则公比 q ? ____________.

18.【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】求和:

1?

1 1 1 ? ??? ? ___________ . 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n

【答案】

2n n ?1

【解析】数列求和问题都是根据通项公式的特征定求和方法:若通项公式是分式型,考虑采用裂项

8

19.【北京市东城区 2013 届高三下学期综合检测(二)数学试题(理科)】各项均为正数的等比数列

?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? 2 , S4 ? 5S2 ,则 a1 的值为________, S 4 的值为________.

20.【北京市西城区 2013 年高三二模试卷(理科) 】在等差数列 {an } 中,a2 ? 5 ,a1 ? a4 ? 12 , 则 an ? ______;设 bn ?

1 (n ? N* ) ,则数列 {bn } 的前 n 项和 S n ? ______. a ?1
2 n

【答案】 2n ? 1 ; 【解析】

n 4( n ? 1)

试题分析:由已知 ?

?a2 ? a1 ? d ? 5 ?d ? 2 ?? ,所以 an ? 2n ? 1, ?a1 ? a1 ? 3d ? 12 ?a1 ? 3

9

bn ?

1 1 1 1 1 ?1 1 ? ? ? ? ? ?? ? ?, 2 a ? 1 (2n ? 1) ? 1 4 n(n ? 1) 4 ? n n ? 1 ?
2 n

1? 1 1 1 1 1 ? n . Sn ? ?1 ? ? ? ………… ? ?? 4? 2 2 3 n n ? 1 ? 4(n ? 1)
考点:等差数列通项公式,裂项法求数列和. 21. 【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】设数列 ? an ? 的前 n 项 和为 S n ( n ? N ) , 关于数列 ? an ? 有下列三个命题:
?

①若 an ? an ?1

(n ? N ? ) ,则 ? an ? 既是等差数列又是等比数列;

b ? R ? ,则 ? an ? 是等差数列; ②若 S n ? a n 2 ? b n ? a 、
③若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 ? an ? 是等比数列。
n

这些命题中,真命题的序号是___________ .

二.能力题组
1.【北京市海淀区 2013 届高三 5 月模拟】若数列 {an } 满足:存在正整数 T ,对于任意正整数 n 都 有 an ?T ? an 成立,则称数列 {an } 为周期数列,周期为 T . 已知数列 {an } 满足 a1 ? m (m ? 0) ,

10

?an ? 1, an ? 1, ? an ?1 = ? 1 0 ? an ? 1. ?a , ? n
则下列结论中错误 的是( .. )

A. 若 a3 ? 4 ,则 m 可以取 3 个不同的值 B. 若 m ? 2 ,则数列 {an } 是周期为 3 的数列 C. ?T ? N* 且 T ? 2 ,存在 m ? 1 , {an } 是周期为 T 的数列 D. ?m ? Q 且 m ? 2 ,数列 {an } 是周期数列

2.【北京市朝阳区 2013 届高三下学期综合检测(二)数学试题(理科) 】数列 {2 ? 1} 的前 n 项
n

1,3, 7,?, 2n ? 1 组成集合 An ? {1,3, 7,?, 2n ? 1}( n ? N? ) ,从集合 An 中任取 k (k ? 1, 2,3,?, n) 个
数,其所有可能的 k 个数的乘积的和为 Tk (若只取一个数,规定乘积为此数本身) ,记

S1 ? 1 ; T1 ? 1 ? 3 , Sn ? T1 ? T2 ? ? ? Tn . T1 ? 1 , 例如当 n ? 1 时,A1 ? {1} , 当 n ? 2 时,A2 ? {1,3} ,

11

T2 ? 1? 3 , S2 ? 1 ? 3 ? 1? 3 ? 7 .则当 n ? 3 时, S3 ?

;试写出 S n ?



3.【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】数列 ?a n ?中,

a1 ? 8, a4 ? 2 且满足 a n ? 2 ? 2a n ?1 ? a n ?n ? N ? ?
(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)设 S n ?| a1 | ? | a 2 | ? ? ? | a n | ,求 S n ;

(Ⅱ)若 10 ? 2n ? 0则n ? 5 , n ? 5时, S n ?| a1 | ? | a 2 | ? ? ? | an |

? a1 ? a2 ? ? ? an ?

8 ? 10 ? 2n ? n ? 9n ? n 2 , 2

12

4.【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】已知 a1 ? 2 ,点

(an , an ?1 ) 在函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 的图像上, (其中 n ? 1, 2,3,? )
(Ⅰ)求证数列 {lg(an ? 1)} 是等比数列; (Ⅱ)设 Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? ? ? (1 ? an ) ,求 Tn 及数列 {an } 的通项.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 lg(an +1) = 2

n- 1

lg(a1 +1) = 2n - 1 lg 3 = lg 32
2

n- 1

,\ an +1 = 3

2n- 1

,\ an = 32 - 1.

n- 1

\ Tn = 32 鬃 32 32 鬃 ? 32

0

1

2

n- 1

= 31+2+2

+?+2n- 1

= 32

n

-1

13

考点:1.等比数列的判断与证明; 2.等比数列求和.

三.拔高题组
1.【北京市东城区 2013 届高三下学期综合检测(二)数学试题(理科)】在数列 ?an ? 中,若对任意 的 n ? N* ,都有 下命题: ①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列; ②若数列 ?an ? 满足 an ?
2n ?1 1 ,则数列 ?an ? 是比等差数列,且比公差 t ? ; 2 n 2
an ? 2 an ?1 ,则称数列 ?an ? 为比等差数列, t 称为比公差.现给出以 ? ? t ( t 为常数) an ?1 an

③若数列 ?cn ? 满足 c1 ? 1 , c2 ? 1 , cn ? cn?1 ? cn?2 ( n ≥ 3 ) ,则该数列不是比等差数列; ④若 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是等比数列,则数列 ?an bn ? 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是________.

c4 ? c3 ? c2 ? 1 ? 2 ? 3 ,因为

c3 c2 c c c c c c 3 2 1 ? ? 2 ? 1 ? 1 , 4 ? 3 ? ? ? ? ,所以 3 ? 2 ? 4 ? 3 ,即③ c2 c1 c3 c2 2 1 2 c2 c1 c3 c2

数列不是比等差数列。所以③正确。④若 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,不妨设

an ? n, bn ? (?1) n ,则 anbn ? n ? (?1) n ,所以

an ? 2 (n ? 2)(?1) n ? 2 n?2 ? ?? , n ?1 an ?1 (n ? 1)(?1) n ?1

14

an ?1 (n ? 1) ? (?1) n ?1 a a n ?1 n?2 n ?1 n ?1 n ? 2 ? ?? ,所以 n ? 2 ? n ?1 ? ? 不是常数, ? (? )? ? n an n ? (?1) n an ?1 an n ?1 n n n ?1
所以数列 {an bn } 不是比等差数列,所以④错误。所以正确的命题是①③ 考点:数列新定义 2. 【北京大学附属中学河南分校 2013-2014 学年 10 月月考数学试题(理科)】 等比数列 {an } 的前 n 项 和为 S n ,已知对任意的 n ? N ,点 (n.Sn ) 均在函数 y = b + r (b > 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图
x

?

像上. (Ⅰ)求 r 的值; (Ⅱ)当 b = 2 时,记 bn ?

n ?1 n ? N ? ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 4a n

?

?

? 数列 {an } 是等比数列, a1 = b + r = b - 1 ,\ r = - 1 .
(Ⅱ)当 b = 2 时,由(Ⅰ)知 an = 2

n +1 , 2n +1 2 3 4 n +1 1 2 3 4 n +1 \ Tn = 2 + 3 + 4 +? + n +1 , Tn = 3 + 4 + 5 +? + n +2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2
n- 1

,\ bn =

15

1 1 (1 - n - 1 ) 1 2 1 1 1 1 n +1 1 23 n +1 3 1 n +1 2 两式相减得 Tn = 2 + 3 + 4 + 5 +? + n +1 - n +2 = + - n +2 = - n +1 - n +2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 12 3 1 n +1 3 n + 3 \ Tn = - n - n +1 = - n +1 2 2 2 2 2
考点:1.根据前 n 项和公式求通项公式;2.错位相减法求和. 3. 【北京市东城区 2013 届高三下学期综合检测 (二) 数学试题(理科)】 已知数列 ?an ? , a1 ? 1 , a2n ? an , . a4 n ?1 ? 0 , a4n?1 ? 1 ( n ? N* ) ⑴求 a4 , a7 ; ⑵是否存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N* ,有 an ?T ? an ; ⑶设 S ?
a a a1 a2 ? ? 3 ? ? ? nn ? ? ,问 S 是否为有理数,说明理由. 10 102 103 10

若 T 为偶数,设 T ? 2t ( t ? N * ) , 则 a2n ?T ? a2n ? an , 而 a2n ?T ? a2n ? 2t ? an ?t

16

从而 an ?t ? an . 而 t ? T ,与 T 为其中最小的正整数矛盾. 综上,不存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an ?T ? an .

4.【北京市东城区 2014 届高三上学期期中考试数学试题(理科) 】已知数列 {a n } 满足:① a2 ? 0 ; ②对于任意正整数 p, q 都有 a p ? aq ? 2 p ? q 成立. (I)求 a1 的值; (II)求数列 {a n } 的通项公式; (III)若 bn ? (an ? 1) ,求数列 {bn } 的前 n 项和.
2

1 【答案】 (I) a1 ? 2 . (II)数列 {a n } 的通项公式 an ? 2n . (III) Sn ? (4n ?1 ? 16) ? 2n ? 2 ? n . 3
【解析】

17

5.【北京市海淀区 2014 届海淀高三上学期期中考试数学试题(理科) 】已知数列 {an } 的首项 a1 ? a,

? an , an ? 3l , l ? N* , ? 其中 a ? N , an ?1 ? ? 3 令集合 A ? {x | x ? an , n ? N*} . ? a ? 1 , a ? 3l , l ? N* . n ? n
*

(I)若 a4 是数列 {an } 中首次为 1 的项,请写出所有这样数列的前三项; (II)求证: {1,2,3} ? A ; (III)当 a ? 2014 时,求集合 A 中元素个数 Card ( A) 的最大值. 【答案】 (I)27,9,3;8,9,3;6,2,3..(II)见解析. (III)集合 A 重元素个数 Card ( A) 的最大值为 21. 【解析】 试题分析: (I)依次代入写出 27,9,3;8,9,3;6,2,3.

18

所以数列 {an } 中必存在某一项 am ? 3 (否则会与上述结论矛盾! )

19

若 am ? 3 ,则 am?1 ? 1, am?2 ? 2 ;若 am ? 2 ,则 am?1 ? 3, am?2 ? 1 ,若 am ? 1 ,则 am?1 ? 2, am?2 ? 3 , 由递推关系易得 {1,2,3} ? A . ---------------------------------------8 分

20


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