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高考数列万能解题方法



等和性:等差数列 若m?n

?an ?

等积性:等比数列

?an ?

? p ? q 则 am ? an ? ap ? aq
? 2 p 则 am ? an ? 2a p



m ? n ? p ? q 则 am ? an ? a p ? aq
m ? n ? 2 p 则 am ? an ? (ap )2

主 要 性 质

推论:若 m ? n

推论:若

an?k ? an?k ? 2an
a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ???
即:首尾颠倒相加,则和相等 1、 等差数列中连续 m 项的和, 组成的新数列是等差数 列。即:

an?k ? an?k ? (an )2
a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ???
即:首尾颠倒相乘,则积相等

sm , s2m ? sm , s3m ? s2m , ??? 等 差 , 公 差 为

m2 d 则有 s3m
差数列。 如: a1 , a4 , a7 , a10 , ??? (下标成等差数列) 3、

? 3(s2m ? sm )
1、 等比数列中连续项的和, 组成的新数列是等比数列。 即: sm , s2m

2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等

? sm , s3m ? s2m , ??? 等比,公比为 q m 。

?an ?,?bn? 等 差 , 则 ?a2n ? , ?a2n?1? ,

2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个 等比数列。 如: a1 , a4 , a7 , a10 , ??? (下标成等差数列) 3、

?kan ? b? , ? pan ? qbn ? 也等差。

4、等差数列

?an ? 的通项公式是 n 的一次函数,即:

?an ?,?bn? 等比,则 ?a2n ? , ?a2n?1? , ?kan ?
?0

an ? dn ? c ( d ? 0 )
等差数列

也等比。其中 k

4、等比数列的通项公式类似于 n 的指数函数, 即: an

?an ? 的前 n 项和公式是一个没有常数项的

? cqn ,其中 c ?

n 的二次函数,
即: Sn

a1 q

? An2 ? Bn ( d ? 0 )

等比数列的前 n 项和公式是一个平移加振幅的 n 的指数函数,即: sn



5、项数为奇数 2n ? 1 的等差数列有:

? cqn ? c(q ? 1)

s奇 n ? s ? s ? an ? a中 s偶 n ? 1 奇 偶
s2n?1 ? (2n ?1)an
项数为偶数 2 n 的等差数列有:

5、 等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比 数列。



s奇 a ? n , s偶 ? s奇 ? nd s偶 an?1

1

s2n ? n(an ? an?1 )
6、 an

? m, am ? n 则 am?n ? 0

sn ? sm 则 sm?n ? 0(n ? m) sn ? m, sm ? n 则 sm?n ? ?(m ? n)
证 明 方 法 2、中项法: an?1 ? an?1 证明一个数列为等差数列的方法: 1、定义法: an?1 ? an 证明一个数列为等比数列的方法: 1、定义法:

? d (常数) ? 2an (n ? 2)

an?1 ? q(常数) an
2 ? (an) (n ? 2, an ? 0)

2、中项法: an?1 ? an?1

设 元 技 巧

三数等差: a ? d , a, a ? d 四数等差: a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d

三数等比:

a , a, aq或a, aq, aq 2 q
2

四数等比: a, aq, aq

, aq3

1、若数列 联 系 2、若数列

?an ? 是等差数列,则数列 ?C a ? 是等比数列,公比为 C d ,其中 C 是常数, d 是 ?an ? 的公差。
n

?an ? 是等比数列,且 an ? 0 ,则数列 ?loga an ? 是等差数列,公差为 loga q ,其中 a 是常数且

a ? 0, a ? 1 , q 是 ?an ? 的公比。

(n ? 1) ?s 数列的项 an 与前 n 项和 Sn 的关系: an ? ? 1 ?sn ? sn?1 (n ? 2)
数列求和的常用方法: 1、拆项分组法:即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和。 2、错项相减法:适用于差比数列(如果 即把每一项都乘以 数列求和。 3、裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和。

?an ? 等差, ?bn ? 等比,那么 ?anbn ? 叫做差比数列)

?bn ? 的公比 q ,向后错一项,再对应同次项相减,转化为等比

? ? 1 ? ? 1 ? ? 适用于数列 ? ? (其中 ?an ? 等差) ?和? a ? a ? ? an ? an?1 ? ? n n ? 1 ? ?

可 裂 项 为 :

1 1 1 1 ? ( ? ) , an ? an ?1 d an an ?1

2

1 1 ? ( an?1 ? an ) an ? an?1 d
等差数列前 n 项和的最值问题: 1、若等差数列

?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,则前 n 项和 Sn 有最大值。
? an ? 0 ; ? ?an?1 ? 0
q 的非零自然数时 Sn 最大; 2p

(ⅰ)若已知通项 an ,则 Sn 最大 ?

(ⅱ)若已知 Sn

? pn2 ? qn ,则当 n 取最靠近 ?

2、若等差数列

?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,则前 n 项和 Sn 有最小值
? an ? 0 ; ? ?an?1 ? 0
q 的非零自然数时 Sn 最小; 2p

(ⅰ)若已知通项 an ,则 Sn 最小 ?

(ⅱ)若已知 Sn 数列通项的求法:

? pn2 ? qn ,则当 n 取最靠近 ?

⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 ⑵已知 Sn (即 a1 ? a2

S ,(n ? 1) ? ? ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ? S1 ? S ,(n ? 2) 。 n n ?1

?

f (1),(n ? 1) ? ? 。 ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) ,(n ? 2) ? f ( n ? 1) ? ⑶已知条件中既有 Sn 还有 an ,有时先求 Sn ,再求 an ;有时也可直接求 an 。 ⑷若 an?1 ? an ? f (n) 求 an 用累加法: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 an?1 a a a ⑸已知 ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 an an ?1 an ? 2 a1
已知 a1 ? a2 ? ?? an ⑹已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。 特别地, (1)形如 an

? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待

定系数法转化为公比为 k 的等比数列后,再求 an ;形如 an

? kan?1 ? k n 的递推数列都可以除以

k n 得到一个等差数列后,再求 an 。
(2)形如 an

?

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b

3

(3)形如 an?1

? ank 的递推数列都可以用对数法求通项。
an?1 ? q 时,分奇数项偶数项讨论,结果可能是分段形式。 an?1

(7) (理科)数学归纳法。 (8)当遇到 a n ?1

? an?1 ? d或

数列求和的常用方法: (1)公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式。 (2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用 公式法求和。 (3)倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考 虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的推导方法). (4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选 用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). (5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂 项相消法求和.常用裂项形式有:

1 1 ?1? 1 ; ② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? ③ 2 ? 2 ? ? 2? ? ? ; k k ?1 2 k ?1 k ?1 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k n 1 1 1 1 1 1 ④ ; ? [ ? ] ;⑤ ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)! n! (n ? 1)! 2 2 ? 1 ? ? 2( n ? n ? 1) ⑥ 2( n ? 1 ? n ) ? n ? n ?1 n n ? n ?1
① 二、解题方法: 求数列通项公式的常用方法: 1、公式法 2、 由S n 求an

(n ? 1时,a 1 ? S1 ,n ? 2时,a n ? S n ? Sn?1 )
3、求差(商)法

1 1 1 如:?a n ?满足 a 1 ? 2 a 2 ? ?? ? n a n ? 2 n ? 5 2 2 2 1 解: n ? 1时, a 1 ? 2 ? 1 ? 5,∴a 1 ? 14 2 1 1 1 n ? 2 时, a 1 ? 2 a 2 ? ?? ? n ?1 a n ?1 ? 2 n ? 1 ? 5 2 2 2 1 ? 1 ? ? ? 2 ? 得: n a n ? 2 2

?1?

?2?

∴a n ? 2 n?1

?14 ( n ? 1) ∴a n ? ? n?1 ( n ? 2) ?2
[练习]

4

数列?a n ?满足S n ? S n ?1 ?

5 a n ?1 ,a 1 ? 4 ,求a n 3

(注意到a n?1 ? S n ?1 ? S n 代入得:

S n?1 ?4 Sn

又S1 ? 4,∴?Sn ?是等比数列,Sn ? 4 n

n ? 2时,a n ? Sn ? Sn?1 ? ?? ? 3·4 n?1
4、叠乘法

例如:数列?a n ?中,a1 ? 3,

a n ?1 n ? ,求a n an n ?1

解:

a2 a a a 1 2 n ?1 1 · 3 ?? n ? · ?? ,∴ n ? a1 a2 a n?1 2 3 n a1 n
3 n

又a 1 ? 3,∴a n ?
5、等差型递推公式

由a n ? a n?1 ? f ( n) ,a 1 ? a 0 ,求a n ,用迭加法
n ? 2 时,a 2 ? a 1 ? f (2) ? ? a 3 ? a 2 ? f (3) ? ?两边相加,得: ?? ?? ? a n ? a n ?1 ? f ( n) ? ?

a n ? a 1 ? f (2) ? f (3) ? ?? ? f ( n) ∴a n ? a 0 ? f (2) ? f (3) ? ?? ? f ( n)
[练习]

数列?a n ?,a1 ? 1,a n ? 3n?1 ? a n?1 ?n ? 2?,求a n
(a n ? 1 n 3 ?1 ) 2

?

?

6、等比型递推公式

a n ? ca n ?1 ? d c、d为常数,c ? 0,c ? 1,d ? 0

?

?

可转化为等比数列,设a n ? x ? c?a n?1 ? x?

? a n ? ca n?1 ? ?c ? 1?x
令 (c ? 1) x ? d,∴x ? d c ?1
5

d ? d ? ∴ ?a n ? ,c为公比的等比数列 ?是首项为a 1 ? c ? 1? c ?1 ? ∴a n ? d d ? ? n ?1 ? ? a1 ? ? ·c c ?1 ? c ? 1?

d ? n?1 d ? ∴a n ? ? a 1 ? ?c ? ? ? c ?1 c ?1
[练习]

数列?a n ?满足a1 ? 9,3a n?1 ? a n ? 4,求a n

? 4? (a n ? 8? ? ? ? 3?
7、倒数法

n ?1

? 1)

例如:a 1 ? 1,a n ?1 ?

2a n ,求a n an ? 2

由已知得:
1 a n ?1

1 a n ?1

?

an ? 2 1 1 ? ? 2a n 2 an



?

1 1 ? an 2

?1? 1 1 ? ? ?为等差数列, ? 1,公差为 a1 2 ?a n ?
? 1 1 1 ? 1 ? ?n ? 1?· ? ?n ? 1? an 2 2
2 n ?1

∴a n ?

数列前 n 项和的常用方法: 1、公式法:等差、等比前 n 项和公式 2、裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。

如:?a n ?是公差为d的等差数列,求?
解: 由

1 k ?1 a k a k ?1

n

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ?d ? 0? a k ·a k ?1 a k ?a k ? d ? d ? a k a k ?1 ?

∴?

n 1 1? 1 1 ? ?? ? ? ? a k ?1 ? k ?1 a k a k ?1 k ?1 d ? a k n

6

? ?
[练习]

? 1 1 ?? 1 1? ? 1 1? 1 ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? d ?? a 1 a 2 ? ? a 2 a 3 ? ? a n a n ?1 ? ? 1? 1 1 ? ? ? ? d ? a 1 a n ?1 ?

求和:1 ?

1 1 1 ? ? ?? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n
1 ) n ?1

(a n ? ?? ? ??,S n ? 2 ?
3、错位相减法:

若 ?a n ?为等差数列,?b n ?为等比数列,求数列 ?a n b n ?(差比数列)前n项 和,可由Sn ? qSn 求Sn ,其中q为?b n ?的公比。

如:Sn ? 1 ? 2x ? 3x 2 ? 4x 3 ? ?? ? nx n?1

?1?
?2?

x·Sn ? x ? 2x 2 ? 3x 3 ? 4x 4 ? ?? ? ?n ? 1?x n?1 ? nx n ? 1 ? ? ? 2 ? :?1 ? x?Sn ? 1 ? x ? x 2 ? ?? ? x n?1 ? nx n

x ? 1时,S n

?1 ? x ? ? nx ?
n

n

?1 ? x?2

1? x
n?n ? 1? 2

x ? 1时,S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n ?

4、倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

? S n ? a 1 ? a 2 ? ?? ? a n ?1 ? a n ? ?相加 ? S n ? a n ? a n ?1 ? ?? ? a 2 ? a 1 ?

2Sn ? ?a1 ? a n ? ? ?a 2 ? a n?1 ? ? ?? ? ?a1 ? a n ???
[练习]

x2 ? 1? ? 1? ? 1? 已知f ( x) ? ,则f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? f ? ? ? f (4) ? f ? ? ? 2 ? 2? ? 3? ? 4? 1? x
? 1? ? ? ? x?
2

x ? 1? (由f ( x) ? f ? ? ? ? ? x? 1 ? x2

2

? 1? 1? ? ? ? x?

2

?

x2 1 ? ?1 2 1? x 1 ? x2

7

? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ∴原式 ? f (1) ? ?f (2) ? f ? ? ? ? ?f (3) ? f ? ? ? ? ?f (4) ? f ? ? ? ? 2? ? ? ? 3? ? ? ? 4? ? ?
?
深圳一模

1 1 ?1?1?1 ? 3 ) 2 2

8

深圳二模

9

广州一模

广州二模

10

韶关调研

11

12


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