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福建省三明一中2010届高三上学期期中考试(数学理)

三明一中 2009-2010 上学期学段考试卷 -
高三(理科) 高三(理科)数学试题
__班 __班 姓名_______ 姓名_______

在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:(本大题 10 题,每小题 5 分,共 50 分)在每小题给出的四个选项中,只有 选择题: 本大题 在每小题给出的四个选项中 一项是符合题目条件的. 一项是符合题目条件的 1.等比数列 {a n } 中, a 2 = 9, a 4 = 81 ,则公比为( A.3 B. ± 3 C.9 ) D. ± 9 )

2.设集合 A = {x || 4 x ? 1 |≥ 9} , B = {x |

x ≥ 0} ,则 A ∩ B = ( x+3

A . {x | ?3 < x < ?2}

5 C . {x | x ≤ ?3或x ≥ } 2

5 B . {x | ?3 < x < ?2或0 ≤ x ≤ } 2 5 D . {x | x < ?3或 x ≥ } 2


3.已知 a = 1, b = 6, a ? (b ? a ) = 2 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是( A.

π
2

B.

π
3

C.

π
4

D.

π
6


4.等差数列 {an } 中,若 a4 + a5 + a6 = 27 ,则前 9 项的和 S9 等于( A. 144 B. 99 C. 81 D. 66

5.函数 y=Asin(ωx+φ)在一个周期上的图象为下图所示.则函数的解析式是 ( x 2π y=2sin( - ) 2 3
y
B.

)

A.

x 4π y=2sin( + ) 2 3
4π 3

2
2π 3 8π 3

x 2π C.y=2sin( + ) 2 3 x π D.y=2sin( - ) 2 3

o -2

x



6.若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,在区间 (? ∞,0] 上是减函数,且 f ( 2) = 0 , 则使 f ( x ) < 0 的 x 的取值范围为( )

A . (?∞,2)

B . (2,+∞)

C . (?2,2)

D. (?∞,?2) ∪ ( 2,+∞) )

7.若正方体的棱长为 2 ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(

A.

2 6

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

8. ?ABC 中角 A、B、C 成等差,边 a, b, c 成等比,则 ?ABC 是( A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形



D.等腰直角三角形

9.设向量 a 与 b 满足: a = 3, b = 4, a ? b = 0 .以 a, b, a ? b 的模为边长构成三角形,则 它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 ( A. 6 B. 5 C. 4 ) D. 3

10.设 a, b, c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 a 与 b 不共线,

a ⊥ b, a = b ,则 b ? c 的值一定等于(
A. 以 a,b 为两边的三角形面积 C.以 a ,c 为两边的三角形面积

) B.以 a,b 为邻边的平行四边形的面积 D. 以 a ,c 为邻边的平行四边形的面积

(本大题共 小题, 把答案填在题中横线上. 二、填空题: 本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)把答案填在题中横线上. 填空题: ( 11.若圆 x 2 + y 2 + ax ? 2 y ? 4 = 0 关于直线 x + y = 0 对称曲线是它本身,则 a =__ 12.已知数列 {a n } 中, a1 = 3, n ≥ 2 时, a n = 4a n ?1 + 3 ,则通项公式 a n = 13. 两异面直线 l1 ,l 2 上的方向向量分别为 a = (0,1,0) 和 b = (0,1,1) ,则两异面直线 l1 ,l 2 所成角的大小为___ 14. 已知 f ( x) 是定义在实数集上的函数,且 f ( x + 1) = ? f ( x) ,若 f (1) = 4 ,则

f (2009) = _______
15.给出下列四个命题: (1)函数 y = ? sin (kπ + x ), (k ∈ Z ) 是奇函数; (2)函数 y = sin ? 2 x +

? ?

π?

? 的图象由 y = sin 2 x 的图象向左平移 个单位得到; 3 3? ? ?

π

(3)函数 y = tan x 的图象关于点 ? kπ +
2

π

? ,0 ?, (k ∈ Z ) 对称; 2 ?

(4)函数 y = (sin x + cos x ) + cos 2 x 的最大值为 3。 其中正确命题的序号是__________(把你认为正确的命题序号都填上) 解答应写出文字说明, 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分)解答应写出文字说明,证明过程和解题过程. 解答题: 本大题共 小题, 解答应写出文字说明 证明过程和解题过程. 16. (本小题满分 13 分)

在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (Ⅰ) 求 AB 的值; (Ⅱ) 求 sin ? 2 A ?

? ?

π?

? 的值 4?

17. (本小题满分 13 分) 在直角坐标系 xoy 中,以 O 为圆心的圆和直线 x ? 3 y ? 4 = 0 相切。 (Ⅰ)求圆 O 的方程; (Ⅱ)过点 P ( ?1,?2) 的直线 l 与圆 O 交于 A、B 两点,且 AB = 2 3 ,求直线 l 的方程。

18. (本小题满分 13 分)

已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n = nbn ,其中 {bn } 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数 列.
(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (II)若 c n =

1 ,求数列 {c n }的前 n 项和 Tn . a n ( 2bn + 3)

A1

E D

C1 B1

19. (本小题满分 13 分)

A B

C

如图:在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB = 上,且 DE ⊥ AE (I)证明:平面 ADE ⊥ 平面 ACC1 A1 ;

2 AA1 ,点 D 是 A1 B1 的中点,点 E 在 A1C1

(II)求直线 AD 和平面 ABC 1 所成角的正弦值。

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = ln( ax + 1) +

1? x , x ≥ 0 ,其中 a > 0 1+ x

( Ι ) 若 f ( x) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值; ( ΙΙ ) 求 f ( x) 的单调区间;
(Ⅲ)若 f ( x ) 的最小值为 1,求 a 的取值范围。

21. (本小题满分 14 分)注意:第(3)小题平行班不做,只(1)(16)班做,是特保班 注意: 、 16)班做, 注意 小题平行班不做, (16 的请在答卷( 内打√ 的请在答卷( )内打√ 已知向量 a = ? cos

? ?

3 3 ? x x? ? ? π? x, sin x ?, b = ? cos ,? sin ? ,且 x ∈ ?0, ? , 2 2 ? 2 2? ? ? 2?

设 f ( x ) = a ? b ? 2λ a + b . (Ⅰ) 求 a ? b 及 a + b ; (II) 若 f ( x ) 的最小值是-

3 ,求 λ 的值; 2

(Ⅲ) 若方程 f ( x ) ? 4 = 0 有解,求 λ 的取值范围。

上学期学段考试卷 三明一中 2009-2010 上学期学段考试卷 -
高三理科数学参考答案

1 B 11 14

2 D 2 4

3 B

4 C

5 C 12 15

6 C
4n ?1

7 B

8 A 13

9 C

10 D
π
4

(1) (3)
AB BC = sin C sin A

16.解: (Ⅰ)在△ABC 中,根据正弦定理, 于是 AB =

sin C BC = 2 BC = 2 5 sin A

(Ⅱ)在△ABC 中,根据余弦定理,得 cos A =

AB 2 + AC 2 ? BD 2 2 5 = 2 AB ? AC 5

于是 sin A = 1 ? cos A =
2

5 5 4 3 , cos 2 A = cos 2 A ? sin 2 A = 5 5

从而 sin 2 A = 2 sin A cos A = 所以 sin(2 A ?

π
4

) = sin 2 A cos

π
4

? cos 2 A sin

π
4

=

2 10

17.解: (Ⅰ)令圆 O 的半径为 R,由以 O 为圆心的圆和直线 x ? 3 y ? 4 = 0 相切得

R=

0+0?4 1+ 3

=

4 =2 2

所以圆 O 的方程为 x 2 + y 2 = 4 (Ⅱ)由题得: AB = 2 3 ,又半径 R = 2 ? 圆心 O 到直线 l 的 距离 d =

22 ? ( 3)2 = 1

若 l ⊥ x 轴时,直线 l 的方程是 x = ?1 符合 若 l 不垂直 x 轴时,令直线 l 的方程是 y = k ( x + 1) ? 2 即 kx ? y + k ? 2 = 0

d=

k ?2 k +1
2

=1? k =

3 4

所以

y=

3 ( x + 1) ? 2 4

综上可知,直线 l 的方程为

x + 1 = 0 或 3x ? 4 y ? 5 = 0

(II) 由(Ⅰ)得 c n =

1 1 1 1 = ( ? ) (4n ? 3)(4n + 1) 4 4n ? 3 4n + 1
1? 1 1 1 1 1 ? ?(1 ? 5 ) + ( 5 ? 9 ) + ? ? ? + ( 4n ? 3 ? 4n + 1) ? 4? ?

∴ Tn = c1 + c 2 + c3 + ? ? ? + c n =

=

1 1 n (1 ? )= 4 4n + 1 4n + 1

19.解: (I) 如图所示,由正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 性质知 AA1 ⊥ 平面 A1 B1C1 . 又 DE ? 平面 A1 B1C1 ,所以 DE ⊥ AA1 .而 DE ⊥ AE, AA1 ∩ AE=A, 所以 DE ⊥ 平面 ACC1 A1 .又 DE ? 平面 ADE,故平面 ADE ⊥ 平面 ACC1 A1 (II) 如图所示, O 是 AC 的中点, O 为原点建立空间直角坐标系, 设 以 不妨设 A A 1 = 2 , 则 AB=2,相关各点的坐标分别是 A(0,-1,0), B( 3 ,0,0) C 1 (0,1, 2 ) , , D(

3 1 ,? , 2 ) 。 2 2
3 1 , ? , 2 ). 2 2

易知 AB =( 3 ,1,0), AC1 =(0,2, 2 ), AD =(

z
r 设平面 ABC 1 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,则有
A1 E D B1 C1

A

o
B

C

y

x

?n· AB = 3 x + y = 0, ? ? ?n· AC1 = 2 y + 2 z = 0. ?
解得 x = ?

3 y, z = ? 2 y. 3

故可取

n = (1,? 3 , 6 ) .
n ? AD n ? AD = 2 3 10 ? 3 = 10 5 10 。 5

所以, cos < n, AD >=

由此即知,直线 AD 和平面 AB C 1 所成角的正弦值为

20. 解(Ⅰ) f '( x) =

a 2 ax 2 + a ? 2 ? = , ax + 1 (1 + x)2 (ax + 1)(1 + x) 2
解得 a = 1.

∵ f ( x ) 在 x=1 处取得极值,∴ f ′(1) = 0 ? a + a ? 2 = 0 (Ⅱ) f '( x) =

ax 2 + a ? 2 , (ax + 1)(1 + x)2
∴ ax + 1 > 0.

∵ x ≥ 0, a > 0,

①当 a ≥ 2 时,在区间 (0, +∞)上,f '( x) > 0, ∴ f ( x ) 的单调增区间为 (0, +∞ ). ②当 0 < a < 2 时, 由 f '( x) > 0解得x >

2?a 2?a ,由f '( x) < 0解得x < , a a
2-a 2-a ), 单调增区间为( + , ∞). a a

∴ f ( x)的单调减区间为(0,

(Ⅲ)当 a ≥ 2 时,由(Ⅱ)①知, f ( x)的最小值为f (0) = 1; 当 0 < a < 2 时, (Ⅱ) 由 ②知,f ( x ) 在 x =

2?a 2?a 处取得最小值 f ( ) < f (0) = 1, a a

综上可知,若 f ( x ) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [2, +∞).

21.解: (Ⅰ) a ? b = cos

x x 3 3 x cos ? sin x sin = cos 2 x 2 2 2 2

a + b = 2 + 2 cos 2 x = 4 cos 2 x = 2 cos x = 2 cos x
2 2 2 (II) f ( x) = cos 2 x ? 4λ cos x = 2 cos x ? 4λ cos x ? 1 = 2(cos x ? λ ) ? 2λ ? 1

? π? x ∈ ?0, ? ? cos x ∈ [0,1] ? 2?
当 λ ≥ 1 时,由 cos x = 1 得 f ( x )min = 1 ? 4λ = ? 当 λ ≤ 0 时,由 cos x = 0 得 f ( x )min = ?1 ≠ ?

3 5 , λ = (舍去) , 2 8

3 , (舍去) 2 3 1 ,λ = , 2 2

2 当 0 < λ < 1 时,由 cos x = λ 得 f ( x )min = ?2λ ? 1 = ?

综上可知 λ = (Ⅲ)

1 . 2

若方程 f ( x ) ? 4 = 0 有解
2 ? 即方程 2 cos x ? 4λ cos x ? 5 = 0 ,在 x ∈ ?0,

π?
2? ?

?

时有解,

又 ∴

cos x = 0 不满足方程,∴ cos x ≠ 0 ,令 t = cos x ∈ (0,1]
4λ = 2 cos x ? 5 5 = 2t ? , cos x t

∵ y = 2t ?

5 5 在 t ∈ (0,1] 时单调递增,∴ y = 2t ? ≤ ?3 , t t
∴λ ≤ ?

∴ 4λ ≤ ?3 ,

3 . 4


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