kl800.com省心范文网

高考数学典型易错题会诊(中)


高考数学
典型易错题会诊 (中)

第 1 页 共 120 页





考点 1 集合与简易逻辑 典型易错题会诊 命题角度 1 集合的概念与性质 命题角度 2 集合与不等式 命题角度 3 集合的应用 命题角度 4 简易逻辑 命题角度 5 充要条件 探究开放题预测 预测角度 1 集合的运算 预测角度 2 逻辑在集合中的运用 预测角度 3 集合的工具性 预测角度 4 真假命题的判断 预测角度 5 充要条件的应用 考点 2 函数(一) 典型易错题会诊 命题角度 1 函数的定义域和值域 命题角度 2 函数单调性的应用 命题角度 3 函数的奇偶性和周期性的应用 命题角度 4 反函数的概念和性质的应用 探究开放题预测 预测角度 1 借助函数单调性求函数最值或证明不等式 预测角度 2 综合运用函数奇偶性、周期性、单调进行命题 预测角度 3 反函数与函数性质的综合 考点 3 函数(二) 典型易错题会诊 命题角度 1 二次函数的图象和性质的应用 命题角度 2 指数函数与对数函数的图象和性质的应用 命题角度 3 函数的应用 探究开放题预测 预测角度 1 二次函数闭区间上的最值的问题 预测角度 2 三个“二次”的综合问题 预测角度 3 含参数的对数函数与不等式的综合问题 考点 4 数 列 典型易错题会诊 命题角度 1 数列的概念 命题角度 2 等差数列 命题角度 3 等比数列 命题角度 4 等差与等比数列的综合 命题角度 5 数列与解析几何、函数、不等式的综合 命题角度 6 数列的应用 探究开放题预测
第 2 页 共 120 页

预测角度 1 数列的概念 预测角度 2 等差数列与等比数列 预测角度 3 数列的通项与前 n 项和 预测角度 4 递推数列与不等式的证明 预测角度 5 有关数列的综合性问题 预测角度 6 数列的实际应用 预测角度 7 数列与图形 考点 5 三角函数 典型易错题会诊 命题角度 1 三角函数的图象和性质 命题角度 2 三角函数的恒等变形 命题角度 3 三角函数的综合应用探究开放题预测 预测角度 1 三角函数的图象和性质 预测角度 2 运用三角恒等变形求值 预测角度 3 向量与三角函数的综合 考点 6 平面向量 典型易错题会诊 命题角度 1 向量及其运算 命题角度 2 平面向量与三角、数列 命题角度 3 平面向量与平面解析几何 命题角度 4 解斜三角形 探究开放题预测 预测角度 1 向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合 预测角度 2 平面向量为背景的综合题 考点 7 不等式 典型易错题会诊 命题角度 1 不等式的概念与性质 命题角度 2 均值不等式的应用 命题角度 3 不等式的证明 命题角度 4 不等式的解法 命题角度 5 不等式的综合应用 探究开放题预测 预测角度 1 不等式的概念与性质 预测角度 2 不等式的解法 预测角度 3 不等式的证明 预测角度 4 不等式的工具性 预测角度 5 不等式的实际应用 考点 8 直线和圆 典型易错题会诊 命题角度 1 直线的方程 命题角度 2 两直线的位置关系 命题角度 3 简单线性规划 命题角度 4 圆的方程 命题角度 5 直线与圆
第 3 页 共 120 页

探究开放题预测 预测角度 1 直线的方程 预测角度 2 两直线的位置关系 预测角度 3 线性规划 预测角度 4 直线与圆 预测角度 5 有关圆的综合问题 考点 9 圆锥曲线 典型易错题会诊 命题角度 1 对椭圆相关知识的考查 命题角度 2 对双曲线相关知识的考查 命题角度 3 对抛物线相关知识的考查 命题角度 4 对直线与圆锥曲线相关知识的考查 命题角度 5 对轨迹问题的考查 命题角度 6 考察圆锥曲线中的定值与最值问题 探究开放题预测 预测角度 1 椭圆 预测角度 2 双曲线 预测角度 3 抛物线 预测角度 4 直线与圆锥曲线 预测角度 5 轨迹问题 预测角度 6 圆锥曲线中的定值与最值问题 考点 10 空间直线与平面 典型易错题会诊 命题角度 1 空间直线与平面的位置关系 命题角度 2 空间角 命题角度 3 空间距离 命题角度 4 简单几何体 探究开放题预测 预测角度 1 利用三垂线定理作二面角的平面角 预测角度 2 求点到面的距离 预测角度 3 折叠问题 考点 11 空间向量 典型易错题会诊 命题角度 1 求异面直线所成的角 命题角度 2 求直线与平面所成的角 命题角度 3 求二面角的大小 命题角度 4 求距离 探究开放题预测 预测角度 1 利用空间向量解立体几何中的探索问题 预测角度 2 利用空间向量求角和距离 考点 12 排列、组合、二项式定理典型易错题会诊 命题角度 1 正确运用两个基本原理 命题角度 2 排列组合 命题角度 3 二项式定理
第 4 页 共 120 页

探究开放题预测 预测角度 1 在等可能性事件的概率中考查排列、组合 预测角度 2 利用二项式定理解决三项以上的展开式问题 预测角度 3 利用二项式定理证明不等式 考点 13 概率与统计 典型易错题会诊 命题角度 1 求某事件的概率 命题角度 2 离散型随机变量的分布列、期望与方差 命题角度 3 统计探究开放题预测 预测角度 1 与比赛有关的概率问题 预测角度 2 以概率与统计为背景的数列题 预测角度 3 利用期望与方差解决实际问题 考点 14 极 限 典型易错题会诊 命题角度 1 数学归纳法 命题角度 2 数列的极限 命题角度 3 函数的极限 命题角度 4 函数的连续性 探究开放题预测 预测角度 1 数学归纳法在数列中的应用 预测角度 2 数列的极限 预测角度 3 函数的极限 预测角度 4 函数的连续性 考点 15 导数及其应用 典型易错题会诊 命题角度 1 导数的概念与运算 命题角度 2 导数几何意义的运用 命题角度 3 导数的应用 探究开放题预测 预测角度 1 利用导数的几何意义 预测角度 2 利用导数探讨函数的单调性 预测角度 3 利用导数求函数的极值和最 考点 16 复 数 典型易错题会诊 命题角度 1 复数的概念 命题角度 2 复数的代数形式及运算 探究开放题预测 预测角度 1 复数概念的应用 预测角度 2 复数的代数形式及运算

第 5 页 共 120 页

考点 7 不等式不等式的概念与性质均值 不等式的应用不等式的证明 不等式的解法不等式的综合应用 不等式的概念与性质 不等式的解法 不等式的证明 不等式的工具性 不等式的实际应用 典型易错题会诊 命题角度 1 不等式的概念与性质 1.(典型例题)如果 a、b、c 满足 c<b<a,且 ac<0,那么下列选项中不一定成立的是 ( ) A.ab>ac B.c(b-a)>0 2 2 C.cb <ab D.dc(a-c)<0 [考场错解] A∵b>c,而 ab,ao 不一定成立,原因是不知 a 的符号. [专家把脉] 由 d>b>c,且 ac<0.则。与 c 必异号,又由 a>c,故 a>0,c<0,条件分析不透. [对症下药] C.由 a>b>c 且 ac>0,故 a>0 且 c<0. (1)由 b>c,又∵a>0,∴ab>ac.(2)∵b-a<0,c< 0 ? (b-a)?c>0,D.a-c>0,ac<O ? ac(a-c)<0, 而 C 中当 b=0 时显然不成立,故选 D 2.(典型例题)若 式有 ( A.1 个 C.3 个
1 1 b a ? ? 0 ,则下列不等式①a+b>ab;②|a|>|b|;③a<b④ ? ? 2 中,正确的不等 a b a b

) B.2 个 D.4 个
b a ? ≥2,故④也错. a b

[考场错解] A 只有①正确,②、③显然不正确,④中应是 [专家把脉] ∵④中忽视 与 不可能相等,∵a≠ b,故

b a ≠ . a b

[对症下药] B 方法 1:运用特值法,如 a=-,b=-3. 方法 2:运用性质由
1 1 ? ? 0 ,则 b<a<0,故而判断. a b 1 ) a 1 ) a

3.(典型例题)对于 0<a<1,给出下列四个不等式 ①loga(1+o)<loga(1+ ②1oga(1+o)>loga(1+
1? 1? 1 a 1 a

③a <a
1+a

1+a

④a >a 其中成立的是 ( ) A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④
第 6 页 共 120 页

[考场错解] B ∵1+a<1+

1 1 ,故 1oga(1+a)< loga(1+ ). a a 1 1 x ∴1+a< 1+ 而 y=1ogax 与 y=a 均为减函数.∴1oga(1+a)> a a

[专家把脉] 对数函数比较大小要考虑底数 a 的范围,它与指数函数一样. [对症下药] D ∵0<a<1.∴a<1<
1 1? 1 1+a 1oga(1+ ),a >a a . a
1 1 4.(典型例题)已知实数 a、b 满足等式 ( ) a ? ( ) b , ,下列五个关系式①0<b<a ②a<b<0 2 3

③0<a<b ④b<a<0 ⑤a=b 其中不可能成立的关系式有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 [考场错解] C ∵a=b 显然不成立,而 a 与 b 的大小不定,故①②③④只有可能两个成立,故有 3 个不可能成立,即 alg
1 1 =big ,-a1g2=-blg3. 2 3

又∵1g2<1g3,∴-a>-b,∴a<b,故②③正确.
1 1 [专家把脉] 题目中不可能成立,⑤中当 a=b=0 时, ( ) a ? ( ) b ,所以有可能成立. 2 3

[对症下药] B 由错解中可知 a《b,故②③正确.而 a=b=0 时也可能成立,故不可能成立的只 有①④. 专家会诊 (1)比较两个实数的大小,可采用作差和作商法,然后适当变形(如配方、因式分解等)后才能判断 其符号. (2)不等式性质的适用时要注意它的条件,如“ ab>0 时,a>b ? “a?b?
1 1 1 1 ” ? ”也不能强化条件变为“a>b>0 ? ? a b a b 1 1 ? ” a b

.不能弱化条件变成

考场思维训练 1 若,|a|>,|b|>0,且 ab>0,则下列不等式中能成立的是 A.
1 1 ? a b

(

)

B.

1 1 ? a ?b a

C. log 1 | a |? log 1 | b |
2
1 2

2

1 1 D. ( ) n ? ( ) b 2 2

答案: C 解析:利用特值法可看出某些选择不能成立,而事实上,∵|a|,|b|>0, 又 0< <1,∴10g ? |a|<log 1 |b|,由此也可直接得结论,应选 C
? 2

2 已知 a、b 为不等正数,s<t<0,M= 答案: M>N 解析:由

s ( a ? b) 2t ,N= ,则 M、N 的大小关系是_________. a?b 2ab

a?b 2 ( a ? b) 2 ? ? ? 0 >0, 2ab ab 2ab( a ? b)

第 7 页 共 120 页



a?b 2 (a ? b) ? (?s) ?2t 2t ( a ? b) ? s ? ,由 s<t<0 ? 0<-t<-s,故 ? ? ? 2ab a?b 2ab a?b a?b 2ab

命题角度 2 均值不等式的应用 1.(典型例题)设 a>,0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是 A. (a ? b)? ? ? ? 4 C. a 2 ? b 2 ? 2 ? 2a ? 2b
?1 ?a 1? b?

(

)

B. a 3 ? b 3 ? 2ab2 D. | a ? b | ? a ? b

[考场错解] Di | a ? b | ? | a | ? | b | 不一定大于或等于 a ? b [专家把脉] D 中直接放缩显然不易比较. [对症下药] B A:a+b≥2ab,
1 1 1 ?1 1? ? ? 2 ? ? (a ? b)? ? ? ? 4(a ? b时取 ? ) a b ab ?a b?

∴成立 2 2 2 2 C:a +b +2=a +1+b +1≥2a+2b (当且仅当 a=b=1 时取“=”) ∴成立 D:两边平方|a-b|≥a+b-2 ab( a ? b ) ∴a-b≥a+b-2 ab 或 a-b≤-a-b+2 ab 当 a ? b 时显然成立. 解得 a≥b 或 a≤b ∴成立. 2.(典型例题)设 x∈(0,π ),则函数 f(x)=sinx+ A.4 C.3 B.5 D.6
4 4 4 ? 2 sin x ? >0, f(x)=sinx+ =4,因 sin x sin x sin x

4 的最小值是 sin x

(

)

[考场错解] 因为 x∈(0,π ),所以 sinx>0, 此 f(x)的最小值是 4.故选 A

[专家把脉] 忽略了均值不等式 a+b≥2 ab (a.0, b>0)中等号成立的条件:当且仅当 a=b 时等号 成立.事实上,sinx=
4 不可能成立,因为它成立的条件是 sinx=±2,这不可能. sin x 4 1 3 3 =sinx+ + ,因为 sinx+ ≥2,当且仅当 sinx=1 即 sin x sin x sin x sin x

[对症下药] (1)f(x)=sinx+ x=

? ? 3 4 时等号成立. 又 ≥3, 当且仅当 sinx=1 即 x= 时等号成立. 所以 f(x)=sinx+ ≥2+3=5, 2 2 sin x sin x
4 .易知此函数在区间(0,1) t

f(x)的最小值是 5.故应选 B. (2)令 sinx=t,因为 x∈(0,π ),所以 0<t≤1,所给函数变为 y=t+ 上是减函数,所以,当 t=1 时,y 取最小值 5.故应选 B. 3.(典型例题)设 a≥0,b≥0,a +
2

b2 =1,求 a 1 ? b 2 的最大值. 2
第 8 页 共 120 页

[考场错解] 0i a 1 ? b 2 ? i ? [a 2 ?
1 2

1 1 4a 2 ? (1 ? b 2 ) ( 2a ) ? 1 ? b 2 ? ? 2 2 2

1 b2 1 1 3 ? a2 ? ] ? [(a 2 ? ) ? 1] ? (a=0 时取等号) [专家把脉]并非定值. 2 2 2 2 4

[对症下药] 为利用均值不等式时出现定值,先进行适当的“凑、配” .
b2 ?? b2 3 ? a2 ? ? , 2 2 2 1? b2 a2 ? 2 1? b 2 ?a 1? b2 ? 2 ? a ? ? 2? 2 2 a2 ?

3 3 2 1 ? b2 时取 “=”. 2? 2 ? ,当且仅当a ? f 2 4 2

专家会诊 (1) 利用均值不等式求最值时必须满足“一正”、二定、三等”.尤其是等号成立的条件,必须验证 确定,而要获得定值条件有时要配凑.要有一定的灵活性和变形技巧. (2) 利用均值不等式解决实际问题、证明不等式时,要会利用函数的思想和放缩法. 考场思维训练 1 已知 a2 ? b2 ? 1, b2 ? c2 ? 2, c2 ? a2 ? 2, 则ab ? bc ? ca的最小值为
A. 3 ? C. ? 1 2 1 B. ? 3 2 1 D. ? 3 2

(

)

1 ? 3 2

答案: B

?a 2 ? b 2 ? 1 ? 2 2 解析:联立 ? ?b ? c ? 2 ? 2 c ? a2 ? 2 ? ?
? 1 ?a ? ? 2 ? 1 ? ? ??b ? ? 2 ? 3 ? c?? 2 ? ? ? 2 2 2 2 6 2

? 2 ?a ? ? 2 解得: ? ?b ? ? ? 2 ?c ? ?

若 ab+c+ca=

ab+bc+ca















b=

2 2 6 ,a ? ,c ? ? 2 2 2



2 2 2 6 2 6 1 ? ? ? (? )? ? (? )? ? 3 2 2 2 2 2 2 2
x? y 1 1 , b ? .(logm x ? log m y ),c ? log m ( x ? y),则a b c的大小关系是 __________ 2 2 2

2.若x ? 2, y ? 2,0 ? m ? 1, 且a ? log m

_.

第 9 页 共 120 页

答案:解析:a≤b<c∵ ∴10gm

x? y ≥ xy ,0<m<1 2

x? y 1 ≤ logmx+logmy,,∴a≤b, 2 2
x? y xy ? 1 1 ? x y

又∵
1 1 ? ? x y



1 1 ? =1.又∵0<m<1,∴b<c.故 a≤b<c. 2 2

3. 若0 ? x ? , 则x2 (1 ? 3x)的最大值是 _______ .此时x ? ________ . 答案: 大值
4 2 , 解析: 243 9

1 3

∵x (1-3x)= x?x?( -2x)≤

2

3 2

2 3

4 2 2 ,当且仅当 x= -2x,即 x= 时,取得最 243 3 9

4 243

命题角度 3 不等式的证明 1.(典型例题)设函数 f ( x) ? 1 ? , x ? 0. (Ⅰ)证明:当 0<a<b,且 f(a)=f(b)时,ab>1; (Ⅱ)点 P(xo,yo)(0<xo<1)在曲线 y=f(x)上,求曲线在点 P 处的切线与 x 轴和 y 轴的正向所围成的三角 形面积表达式(用 xo 表示).
1 x

?考场错解?(1) ? f (a) ? f (b),
1 1 ? 1? a b 1 a2 ?

? 1? ?1 ?

2 1 2 b 2 ? a 2 2(a ? b) (a ? b)(2ab ? a ? b) ? 1? 2 ? ? 2 2 ? ?0? ? 0,? 2ab ? a ? b ? 2 ab ? ab ? 1 a b ab b a b a 2b 2

1? 1 (2) ? 0 ? x ? 1, y ? f ( x) ? ? ?1 ? ? ? ? 1 ? a? x

∴f′ ( x0 ) ? ?

1
2 x0

(0 ? x0 ? 1), 1
2 x0

曲线 y=f(x)在点 ( x0 , y0 )处的切线方程为: y ? y0 ? ?
y?? x
2 x0

( x ? x0 ),

?



2 ? x0 1 ,? 切线与x轴y轴正向的交点为( x0 (2 ? x0 ),0)和(0, (2 ? x0 )). x0 x0 1 (2 ? x0 )2 . 2

故所求面积表达式为A( x0 ) ?

[专家把脉] 在运用不等式时应考虑等号成立时是否符合条件. [ 对 症 下 药 ] ( Ⅰ )
?1 ? 1, x ? (0,1], 1 ? ?x 1? ? ? f(x)= x ? 1 1 ? , x ? (1,?? ). ? x ?







:



故f ( x)在(0,1]上是减函数, 而在(1,?? )上是增函数.

第 10 页 共 120 页

由0 ? a ? b且f (a) ? f (b)得0 ? a ? 1 ? b和 1 1 即 ? ? 2 ? 2ab ? a ? b ? 2 ab . a b 故 ab ? 1,即ab ? 1

1 1 ?1 ? 1? . a b

证法二: 由f (a) ? f (b)得1 ?
故1 ? 1 a 1 即 a 即

1 1 1 1 1 1 ? 1 ? .若1 ? 与1 ? 同号, 可得1 ? ? 1 ? ? a ? b.与0 ? a ? b矛盾. a b q b a b

1 1 与1 ? 必异号. a b 1 1 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? 2. b a b 1 ? ? 2 ? 2ab ? a ? b ? 2 ab . b

故 ab ? 1,即ab ? 1.

(Ⅱ)解法一:0<x<1 时, y ? f ( x) ? 1 ? ∴f′ ( x0 ) ? ?
即y ? ? x
2 x0

1 1 ? ? 1. x x

1
2 x0

,0 ? x0 ? 1 曲线y ? f ( x)在点P( x0 , y0 )处的切线方程为: y ? y0 ? ?

1
2 x0

( x ? x0 ),

?

2 ? x0 x0

? 1 ? ? 切线与x轴 y轴正向的交点为( x0 (2 ? x0 ),0)和? 0, 2 (2 ? x0 ) ?. ? x ? 0 ? ?

故所求三角形面积表达式为: A( x0 ) ?

1 1 1 x0 (2 ? x0 ). (2 ? x0 ) ? (2 ? x0 ) 2 . 2 x0 2

解法二:设过点 P(xo,yo)处的切线方和为:y-yo=k(x-xo),k 为待定系数. 代入 y ? f ( x) ?
2

1 ?1 x

(0 ? x ? 1)

并整理得 kx +(yo+1-kxo)x-1=0. 因为 P 是切点,所以方程有重根,故判别式
? 1 ? ? ? ? ( y0 ? 1 ? kx0 )2 ? 4k ? ? ? x ? kx0 ? ? 4k ? 0. ? 0 ? ? 1 ? 1 ? 即? ? x ? kx0 ? ? 0 ? k ? ? x 2 0 ? ? 0
2 2

(0 ? x0 ? 1).

曲线y ? f ( x)在点P( x0 , y0 )处的切线方程为: y ? y0 ? ? 即y ? ? x
2 x0

1
2 x0

( x ? x0 ),

?

2 ? x0 . x0

? 1 ? ? ? 切线与x轴 y轴正向的交点为( x0 (2 ? x0 ),0)和? ? 0, x (2 ? x0 ) ?. 0 ? ? 故所求三角形面积表达式为 : 1 1 1 A( x0 ) ? x0 (2 ? x0 ). (2 ? x0 ) ? (2 ? x0 )2 . 2 x0 2

第 11 页 共 120 页

2.(典型例题)已知 an ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) 求证:
n(n ? 1) n(n ? 2) ? an ? 2 2

(n ? ??),

[考场错解] ?当n ? ? ?时, 有 n(n ? 1) ? n.
? an ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n(n ? 1) ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 又 ? n(n ? 1) ? n ? 1, ? an ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) ? 2 ? 3 ? ? ? n ? (n ? 1) ? 综上所述, 有 n(n ? 1) n( n ? 2) ? an ? 成立. 2 2 n(n ? 1) 2 n(n ? 1) , 2

[专家把脉]在证 an ? [对症下药](1)同上.

n(n ? 2) n(n ? 3) n(n ? 2) 时, n(n ? 1) ? n ? 1放缩时得过大,2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? ? . 2 2 2

n ( n ? 2) . 2 n ? n ?1 ? n(n ? 1) ? 2 1? 2 2 ? 3 n ? n ?1 1 n ? 1 n(n ? 2) ? an ? ? ??? ? ? ( 2 ? 3 ? ? ? n) ? ? 2 2 2 2 2 2 (2)下证 : an ?

综上(1),(2)得:

n(n ? 1) n(n ? 2) ? an ? . 2 2
2

3. (典型例题)设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R 且 a≠0),若函数 y=f(x)的图象与直线 y=x 和 y=-x 均无公共点。
(1)求证 : 4ac ? b2 ? 1; (2)求证 : 对一切实数x, 恒有 | ax2 ? bx ? c |? 1 4 | a |.

[考场错解](1) ∵f(x)的图象与 y=x,y=-x 均无公共点,
? ? ? y ? x, ? y ? ? x, ?? 与? 均无解. 2 2 ? ? y ? ax ? bx ? c, ? ? y ? ax ? bx ? c. ??1 ? 0, 也就是 : ax 2 ? (b ? 1) x ? c ? 0, ax 2 ? (b ? 1) x ? c ? 0均无解 ? ? 相加得b 2 ? 1 ? 4ac ? 0 ? 4ac ?2 ? 1. ? ? 0 . 2 ? 1 b 1 b 1 2 要证 | ax ? bx ? c |? .即f ( x)在对称轴x ? ? 处的最小值大于 .故证 : f (? ) ? 4|a| 2a 4|a| 2a 4|a| b2 4ac ? b 2 1 ? b ? ? b ? ?| ax 2 ? bx ? c |? a? ? ?c ? ? . ? ? b? ? ??c ? 4a 4a 4|a| ? 2a ? ? 2a ?
2

(2)

[专家把脉]在运用二次函数的性质证明不等式时,忽视了 a>0 与 a<0 两种情况的讨论。 [对症下药](1)同错解(1)
4ac ? b 2 ? 1 ? b 2 ? 4ac ? ?1 ? 0, ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? c

(2)由 若a ? 0, f ( x) ? 0
若a ? 0, f ( x) ? 0 当a ? 0时,

( x ? R )恒成立. ( x ? R)恒成立.

第 12 页 共 120 页

4ac ? b 2 1 ? b ? ? b ? | ax 2 ? bx ? c |? a? ? ? ; ? ? b? ? ??c ? 4a 4|a| ? 2a ? ? 2a ? ? ? b ?2 ? b ? ? 当a ? 0时, | ax 2 ? bx ? c |? ?(ax 2 ? bx ? c) ? ? ?a? ? ? ? b? ? ? ? c? 2a ? 2a ? ? ? ? ? ? ?

2

=

b 2 ? 4ac 4ac ? b 2 1 ? ? . 4a 4( ? a ) 4|a|

综上所述不等式成立 专家会诊 (1) 证明不等式,要掌握不等式的证明基本方法,如分析法、综合法、放缩法、函数法、反证法、 换元法等. (2) 对不等式与数列、函数方和程、导数等内容的综合证明题,难度较大,要结合性质与不等式的 基本证明方法相结合,灵活解题,也体现了不等式的工具性,是高考命题的趋势。 考场思维训练 1.已知函数 f ( x) ? x3 ? (b ? 1) x2 ? cx(b, c为常数), (1)若 f(x)在 x=1 和 x=3 处取得极值,试求 b、c 的值; 2 答案:解析:(1)f′(x)=x +(b-1)x+c, 2 由题意得,1 和 3 是方程 x +(b-1)x+c=0 的两根
?1 ? b ? 1 ? 3 ?b ? ?3 ?? 解得? c ? 1 ? 3 ? ?c ? 3
1 3 1 2

(2) 若 f(x) 在 (- ∞ ,x1) ∪ (x2,+ ∞ ) 上单调递增且在 (x1,x2) 上单调递减,又满足 x2-x1>1. 求证: 2 b >2(b+2c); 答案:由题意得,当 x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)时,f′(x)>0;x∈(x1,x2)时 f′,(x)<0, ∴x1,x2 是方程 f′,(x)=x2+(b-1)x+c 的两根, 则 x1+x2=1-b,x1x2=c, 2 2 2 ∴b -2(b+2c)=b -2b-4c=(b-1) -4c-1 2 2 =(x1+x2) -4x1x2-1=(x2-x1) -1. ∵x2-x1>1,∴(x2-x1)2-1>0, ∴b2>2(b+2c). 2 (3)在(2)的条件下,若 t<x1,试比较 t +bt+c 与 x1 的大小,并加以证明。 2 答案:在(2)的条件下,x +(b-1)x+c=(x-x1)(x-x2), 即 x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)+x, 2 所以 t +bt+c-x1=(t-x1)(t-x2)+t-x1 =(t-x1)(t+1-x2), ∵x2>1+x1>1+t,∴t+1-x2<0,又 t<x1, ∴t-x1<0, ∴(t-x1)(t+1-x2)>0,即 t2+bt+c>x1 . 2.已知数列 ?xn ?满足 : xn?1
xn ? x , x1 ? 1 xn?1 xm ?1 ? 4 ? xm-1=2, xm ?1 ? 1

(1) 问是否存在 m∈N ? ,使 xm=2,并证明你的结论; 答案:假设存在 m∈N ,使 xm=2,则 2= 同理可得 xm-2=2,
第 13 页 共 120 页
*

以此类推有 x1=2,这与 x1=1 矛盾,故不存在 m∈N*,使 xm=2. (2) 试比较 xn 与 2 的大小关系; (3) 设 an ?| xn ? 2 |,求证当n ? 2时, 答案:当 n≥2 时,xn+1,-2=

?a ? 2 ? 2
i i ?1

n

1? n

.

xn ? 4 ?x ? 2 x ?2 x ?4 3 -2= n =- n , 又xn?1 ? n ? 1? , x1 ? 1 ,则 xn>0,∴xn+1-2 xn ? 1 xn ? 1 xn ? 1 xn ? 1 xn ? 1

与 xn-2 符号相反,而 x1=1< 2,则 x2>2,以此类推有:x2n-1<2,x2n>2;
? xn ?1 ? xn ? 4 3 ? 1? , x1 ? 1, 则xn ? 1, xn ? 1 xn ? 1 xn ? 4 | x ?2| 1 ?2 ? n ? | xn ? 2 |, xn ? 1 xn ? 1 2

?| xn ?1 ? 2 |?

(3)

1 1 1 an ?1 ? ? ? ( ) n ?1 a1 ? ( ) n ?1, (n ? 2) 2 2 2 1 n 1 ? ( )n 1 1 2 1 n ?1 2 ? 2 ? 21? n. ? ai ? 1 ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? 1 2 2 2 1? i ?1 2 ? an ?

?

命题角度 4 不等式的解法 1.(典型例题)在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y),若不等式(x-a) ?(x+a)<1 对任意实数 x 成立,则 a 的范围是
A ?1 ? a ? 1 1 3 C? ? a ? 2 2

(

)

B0 ? a ? 2 3 1 D? ? a ? 2 2

[考场错解]A ? ( x ? a) ? ( x ? a) ? ( x ? a)(a ? x) ? a2 ? x2 ? 1
? a 2 ? x2 ? 1,即a 2 ? 1, 故 ? 1 ? a ? 1

[专家把脉] 对 x?y=x(1-y)的运算关系式理解不清。 [对症下药] ? ( x ? a) ? ( x ? a) ? ( x ? a).(1 ? x ? a) ? ( x ? a)(1 ? a) ? x( x ? a) ? 1,即 ? a2 ? a ? ?( x2 ? x ? 1)
1 3 即a 2 ? a ? ( x ? ) 2 ? . 2 4 3 ? a2 ? a ? 4 1 3 即或 ? ? a ? 2 2

2.(典型例题)已知函数 f(x) ? (1) 求函数 f(x)的解析式;

x2 (a, b为常数)且方程f ( x) ? x ? 12 ? 0有两个实根为x1 ? 3, x2 ? 4. ax ? b

第 14 页 共 120 页

(2) 设 k>1,解关于 x 的不等式: f ( x) ?

(k ? 1) x ? k 2? x

? 9 ? 3a ? b ? ?9 ?a ? ?1 x2 x2 ? [考场错解] (1)将x1 ? 3, x2 ? 4分别代入方程 ? x ? 12 ? 0得? 解得? , 所以f ( x) ? ax ? b 2? x ?b ? 2 ? 16 ? ?8 ? ? 4a ? b
(2) x2 (k ? 1) x ? k ? ,即x 2 ? (k ? 1) x ? k 2? x 2? x

( x ? 2).

x 2 ? (k ? 1) x ? k ? 0, ( x ? k )(x ? 1) ? 0 又 ? k ? 1, 故1 ? x ? k .

[专家把脉](2)问中两边约去(2-x),并不知 2-x 的符号. [对症下药](1)同错解中(1)
(2)不等式即为 x2 (k ? 1) x ? k x2 ? (k ? 1) x ? k ? , 可化为 ? 0即( x ? 2)(x ? 1)(x ? k ) ? 0. 2? x 2? x 2? x

① 当 1<k<2, 解集为 x∈(1,k)∪(2,+ ∞); 2 ② 当 k=2 时,不等式为(x-2) (x-1)>0 解集为 x∈(1,2) ∪(2,+ ∞); ③ 当 k>2 时,解集为 x∈(1,2) ∪(k,+ ∞). 3.( 典 型 例 题 ) 设 函 数 f(x)=kx+2, 不 等 式 |f(x)|<6 的 解 集 为 (-1,2) 试 求 不 等 式 的 log a
6 ? log a (1 ? x)(0 ? a ? 1) 的解集。 f ( x)

[考场错解] ?| kx ? 2 |? 6,? ?6 ? kx ? 2 ? 6, 则对于x ? (?1,2)时不等式组?

?kx ? 4, 恒成立. ?kx ? ?8.

当 k>0 时,k≤2,当 k<0,k≥-4. ∴k=2 或-4. 当 k=2 时 f(x)=2x+2,当 k=-4 时 f(x)=-4x+2 再由解对数不等式。
6 ? log a (1 ? x)或 2x ? 2 6 log a ? log a (1 ? x) ? 4x ? 2 log a

[专家把脉]在求 k 的值时分析讨论不严密,上式中是在 x∈(-1,2)时恒成立,而 k 的值并不能使之 成立. 2 [对症下药] ∵|kx+2|<6, ∴(kx+2) <36, 2 2 即 k x +4kx-32<0.
? 4k ?? 2 ? (?1) ? 2, k 由题设可得 ? ? ? 32 ? ? (?1) ? 2, ? ? k2

解得 k=-4, ∴f(x)=-4x+2.
由log a 6 ? log a (1 ? x) (0 ? a ? 1)得 f ( x) 6 log a ? log a (1 ? x), ? 4x ? 2

第 15 页 共 120 页

? ?? 4 x ? 2 ? 0 ? 则?1 ? x ? 0 ? 6 ? ? 1? x ? ? 4x ? 2



② ③
由 ①解得 x ?
1 (2 x ? 1)(x ? 2) 1 1 , 由②解得 x<1,由③得 ? 0 ? ? ? x ? 或x ? 2, 2 2x ? 1 2 2

1 1? ? ? 原不等式的解集为?x | ? ? x ? ? 2 2? ?

4



(









)













5 1 的所有正实数a, 如果满足不等式 | x ? a |? b的一切实数x, 亦满足不等式 | x ? a 2 |? , 求实数b的取值范围. 4 2

[考场错解]A={x|a-b<x<a+b},
1 1? ? B ? ? x | a 2 ? ? x ? a 2 ? ?,由题设知, A ? B, 2 2? ? 1 ? a ? b ? a2 ? , ? ? 2 故? 必成立. ?a ? b ? a 2 ? 1 , ? 2 ? 1 ? b ? ?a 2 ? a ? 或 2 1 5 2 b ? a ? a ? (0 ? a ? ) 2 4

?
?

3 16

?b?

3 4

,?a 2 ? a ?

1

1 1 ? (a ? ) 2 ? 2 2 4

1 13 ?b? 4 16 1 3 ?b? . 4 4



? [专家把脉] 在求 b 的范围时,应考虑必成立的条件,如 b ? ?a2 ? a ? ,? ?a2 ? a ? ? ? , ? 2 2 ? ?16 4 ? 1 1 13 3
?b ? 13 才能上式恒成立. 16

[对症下药] ∵A={x|a-b<x<a+b},
1 1? ? B ? ?x | a2 ? ? x ? a2 ? ? 2 2? ? 由题设知, A ? B. 1 ? a ? b ? a2 ? , ? ? 2 必成立. 故? ?a ? b ? a 2 ? 1 , ? 2 ?

第 16 页 共 120 页

1 1 5 和b ? a 2 ? a ? (0 ? a ? )必成立. 2 2 4 1 ? 13 3 ? 3 2 ? ?a ? a ? ? ? , ?, 从而b ? 2 ?16 4 ? 16 即b ? ?a 2 ? a ? a2 ? a ? ?b ? 13 16 3 . 16 1 ? 1 13 ? 1 ? , ?, 从而b ? 2 ? 4 ? 4 16 ?

又 ? b ? 0, 故0 ? b ?

专家会诊 1. 解分式不等式时,应将化为等价的整式不等式,避免分类讨论。 2. 含绝对值的不等式应运用平方法,零点分段法、分类讨论及绝对值不等式的性质求解。 考场思维训练 1 关于 x 的不等式 ax-b>0 的解集是(1,+ ∞),则关于 x 的不等式 A.(-∞,-1)∪(2,+ ∞) B.(-1,2) C.(1,2) D(-∞,1) ∪(2,+ ∞) 答案: A 解析:a>0-且 2.若
?
2 a ax ? b x ?1 ? 0 ? (x+1)(x-2)>0 ? x<-1 或 x>2. =1, >0 ? b x?2 x?2 ax ? b ? 0 的解集是( x?2

)

? ? ? ? , 则不等式logsin a (1 ? x 2 ) ? 2的解集是 _______ .

答案:(-1,cosα )∪(-cosα ,1) 解析:∵ ∴0<sinα <1,logsinα (1-α ) ∴-1<x<cosα 或-cosα <x<1. 3.解不等式
2x 1 ? . x ?1 | x |
2

? <a<π , 2
2 2 2 2

>2 ? 0<1-x <sin α ? cos α <x <1,又 cosα <0.

答案:解析:①当 x>0 时,原不等式为

2x 1 > ? x>1,∴x>1②当 x<0 时,原不等式为 x ?1 x

2x 1 ? ? ? (x+1)?(2x-1)>0 且 x<0,∴x<-1. x ?1 x

综上①,②可得{x|x<-1 或 x>1}. 命题角度 5 不等式的综合应用 1.(典型例题)已知函数 f(x)=ax- x2的最大值不小于 , 又当x ? [ , ]时f ( x) ? . ( Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)设 0<a 1? , an?1 ? f (an ), n ? ??, 证明an ?
1 2 1 . n ?1 3 2 1 6 1 1 4 2 1 8

[考场错解](1)由于 f(x)的最大值不大于 , 所以f ( ) ?

1 6

a 3

a2 1 ? ,即a 2 ? 1 6 6

第 17 页 共 120 页

1 ?1 1? ? x ? ? , ?时f ( x) ? , 4 2 8 ? ? 1 ? 1 f( )? ? ? 4 8 ,? a ? 1 又? ? 1 ?f( ) ? 1 ? 2 8 ?

由①,②可得 a=1.
an ?1 ? a ? an ? 即an ?1 3 2 an , 2 3 2 ? an ? a n 2

(Ⅱ)

i ,当 n=1 时,0<a < 2 ,结论成立。
1

1

ii, 假设 n ? k (k ? 1)时,不等式成立,即a
n ? k ? 1时, ak ?1 ? ak ? 故n ? k ? 1时命题成立. 由

k

?

1 ,则 k ?1
2

3 2 1 3? 1 ? 2k ? 1 2k k ?1 1 ak ? ? .? ? ? ? . ? ? 2 k ?1 2 ? k ?1? 2(k ? 1) 2 2(k ? 1) 2 (k ? 2) 2 k ? 2

i,ii 可知,不等式成立.
3 2 1 6

[专家把脉]在证明不等式时,运用放缩法应有理论依据,不能套结论,而且放缩不能过大或过小. [对症下药](Ⅰ)解法:由于 f ( x) ? ax ? x 2的最大值不大于 ,
a a2 1 所以f ( ) ? ? ,即a 2 ? 1. 3 6 6 1 ?1 1? 又x ? ? , ?时f ( x) ? , 4 2 8 ? ? ? 1 f( )? ? ? 2 所以? ? f (1) ? ? 4 ? 1 ?a 3 1 , ? ? , ?2 8 8 8 ? 即? 解得a ? 1. 1 ?a 3 1 , ? ? . ? 4 32 8 8 ?

由①②得 a=1. (Ⅱ)证法一: ( ) 当 n ? 1时,0 ? a1 ? , 不等式0 ? an ?

i

1 2

1 成立; n ?1

2 1 1 因f ( x) ? 0, x ? (0, ),所以0 ? a2 ? f (a1 ) ? ? , 故n ? 2时不等式也成立. 3 6 3 (

ii )假设n ? k (k ? 2)时,不等式0 ? a

k

?

1 3 1 ? 1? 成立,因为f ( x) ? x ? x 2的对称轴x ? , 知f ( x)在?0, ?为增函数, k ?1 2 3 ? 3?

所以由0 ? ak ?

1 1 ? 得 k ?1 3 1 0 ? f (ak ) ? f ( )于是有 k ?1 1 3 1 1 1 1 k?4 1 0 ? ak ?1 ? ? . ? ? ? ? ? k ? 1 2 (k ? 1)2 k ? 2 k ? 2 k ? 2 2(k ? 1) 2 (k ? 2) k ? 2

所以当n ? k ? 1时, 不等式也成立.

第 18 页 共 120 页

根据( )(

i ii )可知, 对任何n ? ??,不等式a i

n

?

1 成立. n ?1

证法二 : ( )当n ? 1时,0 ? a1 ? (

1 1 , 不等式0 ? an ? 成立; 2 n ?1
k

ii )假设n ? k (k ? 1)时不等式成立,即0 ? a
2

ak ?1

1 , 则当n ? k ? 1时, k ?1 3 1 3 3 ? ak (1 ? ak ) ? .(k ? 2)ak .(1 ? ak )因(k ? 2) ak ? 0,1 ? ak ? 0, 所以 2 k?2 2 2 ?
2

3 1 ? ? ? ? ?1 ? (k ? 2 ? 2 )ak ? ?1 ? (k ? 2 ) ak ? 3 (k ? 2)ak .(1 ? ak ) ? ? ? ?? ? ? 1. 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 于是0 ? ak ?1 ? . k?2 因此当n ? k ? 1时, 不等式也成立.

根据( ) (

i ii ) 可知,对任何 n∈N ?, 不等式a

n

?

1 成立。 n ?1

证法三: ( )当n ? 1时,0 ? a1 ? , 不等式0 ? an ?
(

i

1 2

1 成立; n ?1

1 1 , 则当n ? k ? 1时, 若0 ? ak ? ,则 k ?1 k?2 3 1 0 ? ak ?1 ? ak (1 ? ak ) ? ak ? . 2 k?2 1 1 若 ? ak ? ,则 k?2 k ?1 3 1 3 1 2k ? 1 1 1 0 ? ak ?1 ? ak (1 ? ak ) ? (1 ? ? )? . ? 2 k ?1 2 k?2 2k ? 2 k ? 2 k ? 2

ii )假设n ? k (k ? 1)时,0 ? a

k

由①②知当 n=k+1 时,不等式 0 ? an ?
根据( )(

1 也成立. n ?1

i ii)可知, 对任何n ? ??,不等式a

n

?

1 成立. n ?1

2.(典型例题)六· 一节日期间,某商场儿童柜台打出广告:儿童商品按标价的 80%出售;同时,当 顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券: (如表所示) 消费金额(元) 获奖券的金额 (元) [200,400] 30 [400,500] 60 [500,700] 100 [700,900] 130 ? ?

依据上述方法,顾客可以获得双重优惠. 试问: (1) 若购买一件标价为 1000 元的商品,顾客得到的优惠率是多少? (2) 对于标价在[500,800]内的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到不小于 的优惠率? [考场错解](1)
1000 ? 0.2 ? 130 ? 33%. 1000 1 3

(3) 设商品的标价为 x 元,则 500≤x≤800,由已知得

第 19 页 共 120 页

? 0.2 x ? 100 1 ? 0.2 x ? 130 1 ? , ? ? , ? x 3 或? x 3 ? ?500 ? x ? 800, ?500 ? x ? 800. ? ? 解得 500 ? x ? 800.

[专家把脉]商品的标价为 x 元,而消费额在[500?0.8,800?0.8]之间,而不是 500~800 之间. [对症下药](1)同上 (3) 设商品的标价为 x 元,则 500≤x≤800,消费额:400≤0.8x≤640. 由已知得: ①?
? 0.2 x ? 60 1 ? , ? x 3 ?400 ? 0.8 x ? 500. ?



②?

? 0.2 x ? 100 1 ? , ? x 3 ?500 ? 0.8 x ? 640. ?

解不等式①无解,②得:625≤x≤750. 专家会诊 1.应用不等式的性质与几个重要不等式求出数的最值,比较大小,讨论参数的范围等,一定要注意 成立的条件,易忽视“一正、二定、三等。 ” 2.运用不等式解决实际问题时,首先将实际问题转化为函数的最值问题,从而运用不等式求最值, 注意成立时的实际条件与不等式成立条件应同时考虑。 考场思维训练
1 若1 ? 1 1 ? , 则下列结论中不正确的是( a b A.. log a b ? log b a )

B. | log a b ? log b a |? 2 C.(logb a ) 2 ? 1 D | log a b | ? | log b a |?| log a b ? log b a |

答案: D 解析:∵1<

1 1 < ,由倒数法则 0<b<a<1. a b

∵logab>logtba=1,∴0<logba<1,∴A、B、C 都不正确、而|logab|+|logba|>|logab+logba|.故选 D. 2 2x+1 2+2x-3 2 已知不等式 x -2x+a>0 时,任意实数 x 恒成立,则不等式 a <ax <1 的解集是( ) A.(1,2) B. ? ,2
1 2

C.(-2,2) D.(-3,-2) 2 答案: D 解析:∵x -2x+a>0 对 x∈R 恒成立.△<0,即 a>1. ∴不等式(a2x+1<ax2+2x-3<1 ? ? ?
?2 x ? 2 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ?x ? 2x ? 3 ? 0
2

? x ? ?2或x ? 2 ?? ∴x∈(-3,-2).故选 D. ?? 3 ? x ? 1.

3.某企业开发一种新产品, 现准备投入适当的广告费, 对产品进行促销, 在一年内, 预计年销量 Q(万 件)与广告费 x(万元)之间的函数关系为 Q=
3x ? 2 ( x ? 0), 已知生产此产品的年固定投入为 3 万元,每 x

第 20 页 共 120 页

年产 1 万件此产品仍需再投入 32 万元,若销售额为“年生产成本的 150%”与“年广告费的 50%”之 和,而当年产销量相等。 (1) 试将年利润 P 万元表示为年广告费 x 万元的函数; 答案:(1)P=(32Q+3)?150%+x?50%-(32Q+3)-x=- ? (2) 当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大? 答案: P=-( ?
x 2 32 32 1 )+49.5≤-2?4+49.5=41.5,当且仅当 x= 时,即 x=8 时,P 有最大值 41.5 x x 2 x 2 32 +49.5(x>0) x

万元. 探究开放题预测 预测角度 1 不等式的概念与性质 1.下列命题正确的是 (
b a A. ? ? 2,当且仅当a b均为正数 a b B.a ? b ? c ? 33 abc当且仅当a b c均为正数

)

C. log a b ? log b c ? log c a ? 3,当且仅当a b c ? (1,?? ) D. | a ? 1 |? 2当且仅当a ? 0时成立 a

[解题思路]利用均值不等式成立的条件判断。 [解答]D 对于 A,当 a、b 同为负数时也成立;对于 B,当 a、b、c 中有一个为 0,其余为正数时也成 立;对于 C,当 a、b、c∈(0,1)时也成立;D 正确。 . . . 2.已知 a=sin15 +cos15 ,b=sin16 ,则下列各式中正确的是 ( )
A.a ? a 2 ? b2 ?b 2 a 2 ? b2 2 B.a ? b ? D.b ? a 2 ? b2 2

C.b ? a ?

a 2 ? b2 ?a 2

[解题思路]利用两角和与差的公式化简 b、a、

a 2 ? b2 . 然后再比较大小. 2

[解答]B ? a ? 2 sin(15. ? 45. ) ? 2 sin 60., b ? 2 sin(15. ? 46. ) ? 2 sin 61.,?1 ? a ? b.又

a 2 ? b2 ? ab ? b, 故选B. 2

预测角度 2 不等式的解法 2 1.关于 x 的不等式 x|x-a|≥2a (a∈(-∞,0)的解集为 ( ) A.[-a,+ ∞] B.[a,+ ∞] C.[2a,a] ∪[-a+∞] D.(- ∞,a) [解题思路]讨论 a、x 的大小,去绝对值符号. 2 2 [解答]A 当 x>a,x -ax-2a ≥0, ∴x≥-a.当 x<a,不等式显然无解. 2.函数 y=f(x)是圆心在原点的单位圆的两段圆弧(如图,与 y 轴无交点),则不等式 f(x)<f(-x)+x 的解集为 ( )

第 21 页 共 120 页

? ? 2 5 2 5 ? ? A.? x | ? ? x ? 0, 或 ? x ? 1? 5 5 ? ? ? ? ? ? 2 3 2 3 ? ? B.? x | ?1 ? ? ,或 ? x ? 1? 3 3 ? ? ? ? ? ? 5 2 5 2 ? ? C.? x | ?1 ? x ? ? ,或 ? x ? 1? 2 2 ? ? ? ? ? ? 5 2 5 2 ? ? D.? x | ? ?x? , 且x ? 0? 2 2 ? ? ? ?

[解题思路]由 f(x)为奇函数,原不等式变形为 f(x)>

x .即可求解。 2 x 2

[解答]A 由已知有 f(x)为奇函数,则原不等式变形为 f(x)< , 画图可知 A 正确,所以选 A 3.函数 f ( x) ? sin x, g ( x) ? ?9( )2 ? 9( ) ? , 则使 g(x) ≥f(x)的 x 的取值范围是
? ?
A.?0,? ? ? ? 4? ? C.? , ? ?3 3 ? ?? 3 ? B.? , ? ? ?2 2 ? ?? 5 ? D.? , ? ? ?6 6 ?
x x 3 4

[解题思路]利用数形结合法. [ 解 答 ]D 用 数
x




?
6


5 6













f(x)=sinx



g(x)=-9 ( ? )2 ? 的图象, 从图像中观察,当 ? x ? ?时, g ( x)的图象在f ( x)的上方,?当x
?
?? 5 ? ? ? , ? ?时, g ( x) ? f ( x),所以选D. ?6 6 ?

1 2

3 2

4.解关于 x 的不等式 x | x ? a |?

2a 2 9

(a ? 0)

[解题思路]本题的关键不是对参数 a 进行讨论,而是取绝对值时必须对未知数进行讨论,得到两个 不等式组,最后对两个不等式组的解集求并集,得出原不等式的解集。 [解答]当 x≥a 时,不等式可转化为
? ?x ? a 即 ? 2 ? ?9 x( x ? a ) ? 2a ?x ? a ? 2 2 ?9 x ? 9ax ? 2a ? 0 ? ?当x ? a时不等式可化为 ?? x ? a ? ?x ? a ?? 即 2 ? 2 2 ?? ?ax(a ? x) ? 2a ? ?9 x ? 9ax ? 2a ? 0 ?? a 2a ?x ? 或 ?x?a 3 3 故不等式的解集为 ? 2a 3 ? 17 a ( ?? , ] ? ? , 3 6 ? ? 3 ? a ?. ? ?

预测角度 3 不等式的证明 1.已知定义域为[0,1]的函数 f(x)同时满足:(1)对于任意 x∈[0,1]总有 f(x) ≥0;
第 22 页 共 120 页

(2)f(1)=1;(3)若 x1≥0,x2≥0,x1+xz≤1,则有 f(x1+x2) ≥f(x1)+f(x2). (Ⅰ)试求 f(0)的值;(Ⅱ)试求函数 f(x)的最大值;(Ⅲ)试证明:当 x∈
( 1 1 1 ],1]时, f ( x) ? 2 x;当x ? [0, ]时, f ( x) ? f (2 x). 2x 2 2

[解题思路](1)赋值法; (2)变形 f(x2)=f[(x2-x1)+x1],即可求函数 f(x)的最大值; [解答](Ⅰ)令 x1 ? x2 ? 0, 依条件(3)可得f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0),即f (0) ? 0, 又条件(1) 得 f(0) ≥0, ∴f(0)=0. (Ⅱ)任取 0 ? x1 ? x2 ? 1, 可知x2 ? x1 ? (0,1],则f ( x2 ) ? f [(x2 ? x1) ? x1] ? f ( x2 ? x1) ? f ( x1)
即f ( x2 ) ? f ( x1) ? f ( x2 ? x1) ? 0.故f ( x2 ) ? f ( x1)于是当0 ? x ? 1时, 有 f ( x) ? f (1) ? 1.因此,当x ? 1时, f ( x)有最大值1.
1 1 当x ? ( ,1]时, f ( x) ? 1 ? 2 x,当x ? [0, ]时, f ( 2 x) ? f ( x) ? f ( x) ? 2 f (cx). 2 2

(Ⅲ)

? f ( x) ?

1 f (2 x). 2

3. 设 y=f(x)的定义域为 R,当 x<0 时,f(x)>1 且对任意的实数 x,y∈R,有 f(x+y)=f(x) · f(y)成立, 数列{an}满足 a1=f(0),且 f(an+1)= 4.
1 (n ? ??) f (?2 ? an )

(1) 判断 y=f(x)是否为单调函数,并说明理由; (2)
设bn ?

1 1 1 , 记Tn ? b1 ? b2 ? ...bn ,问是否存在无限集M ,当n ? M时都有 | Tn ? |? 成立?如存在请找出这样的集合M ;如不存在, 请说 an?1an 2 1000 1 1 1 )(1 ? )...(1 ? ) ? k ? 2n ? 1, 对一切n ? ? ? 均成立, 求k的最大值. a1 a2 an

(3)若不等式 (1 ?

[解题思路](1)利用函数的单调性证明;(2)裂项法求出 Tn 再解不等式;(3)利用函数的单调性求 k 的 最大值. [解答](1)设 x2 ? x1, 则f ( x2 ) ? f ( x1) ? f ( x2 ? x1),? f ( x2 ) ? f ( x1) ? [ f ( x2 ? x1) ? 1] ? f ( x1) (1)
? 0时, f (? x) ? 1, 所以0 ? f ( x) ? 1, 所以在R上f ( x1) ? 0, 且f ( x2 ? x1) ? 1(2),由(1) (2)可知,? f ( x2 ) ? f ( x1) ? 0, 所以f ( x)在R上为单调减函数.

对f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ),令x ? ?1, y ? 0, 得f (?1) ? f (0) ? f (?1),又由已知f (?1) ? 1, 所以f (0) ? 1, 又f (0) ? f ( x) ? f (? x),所以f ( x) ? f (? x) ? 1, 又

(2)由f (an ?1 ) ?

1 (n ? ??)得f (an ?1 ) ? f (?2 ? an ) ? 1,由已知有f (an ?1 ? an ? 2) ? f (0),由(1)知f ( x)在R上为单调减函数, f (?2 ? an )

? an ?1 ? an ? 2,? a1 ? f (0) ? 1,? an ? 2n ? 1

? bn ?

1 1 1 1 1 1 ? ( ? ),? Tn ? (1 ? ), (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1
1 1 1 1 1 |? ,则 | ? |? ,? n ? 250,? 存在这样无限集M , 取M ? ?n | n ? ?, n ? 250? 即可. 2 1000 2 2n ? 1 1000

若 | Tn ?

第 23 页 共 120 页

1 1 1 (3)由 (1 ? )(1 ? )...(1 ? ) ? k ? 2n ? 1恒成立, 知k ? a1 a2 an

(1 ?

1 1 1 )(1 ? )...(1 ? ) a1 a2 an 2n ? 1

恒成立.设F (n)

(1 ? ?

?

, 则F( n ?1) 2n ? 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )...(1 ? ) a1 a2 an ?1 2n ? 3
f (n ? 1) ? f ( n) 2(n ? 1) 4(n ? 1) 2 ? 1 ? 1,即F (n ? 1) ? F (n).

1 1 1 )(1 ? )...(1 ? ) a1 a2 an



? F (n) ? F (1) ?

2 2 2 3 ,? k ? 3 ,即k的最大值为 3 . 3 3 3

预测角度 4 不等式的工具性 1.若直线 2ax-by+2=0(a、b>0)始终平分圆 x +y +2x-4y+1=0 的周长,则 ? A.4 C.
1 4
2 2

1 a

1 的最小值是 b

(

)

B.2 D.
1 2

[解题思路]利用重要不等式求最小值。 [解答]A 直线 2ax-by+2=0 过圆心(-1,2), ∴a+b=1, ( ? )(a ? b) ? 4 2. 已知函数 f(x)=ax +8x+3(a<0), 对于给定的负数 a 有一个最大的正数 l(a), 使得在整个区间 [0,l(a)]上,不等式|f(x)| ≤5 恒成立,则 l(a)的最大值是( )
1 2 1 C. 4 A. B. 5 ?1 2
2

1 a

1 b

D.2

[解题思路]考虑区间[0,l(a)]的端点处不等式|f(x)| ≤5 恒成立.
12a ? 64 16 16 ? 8 ? 2a ? 16 4 ? 2a ? 16 [解答]Bf ( x)的最大值为 ? 3 ? ? 当3 ? ? 5时,即 ? 8 ? a ? 0时, l (a)为f ( x) ? 5的较小根, 帮l (a) ? ? 4a a a 2a a ? 2 4 ? 2a ? 16 1 1 2 ? 4 ? 2a ,? l (a) ? ( , );当a ? ?8时, l (a)为f ( x) ? ?5的较大根, 故l (a) ? ?2 ? ? 4 2 a 4 4 ? 2a ? 2 ? 4 4 ? 16 ? 2 ? 5 ?1 , 故l (a) 2

的最大值为

5 ?1 , 所以选B 2

3.设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>b>c),已知 f(1)=0,且存实数 m,使 f(m)=-a. (1) 试推断 f(x)在区间[0,+∞]上是否为单调函数,并说明你的理由; (2) 设 g(x)=f(x)+bx,对于 x1,x2∈R,且 x1≠x2,若 g(x1)=g(x2)=0,求|x1-x2|的取值范围; (3) 求证:f(m+3)>0. [解题思路]由二次函数的对称轴两边为单调的性质判断; (2)由根与系数的关系求出 a、 b、 c 的关系, 从而转化为二次函数的最值; [解答](1) ∵f(m)=-a,m∈R. ∴方程 ax +bx+c+a=0 有实根??=b2-4a(a+c) ≥0
2

2

第 24 页 共 120 页

∵f(1)=0, ∴a+b+c=0,即 a+c=-b. ∴b -4a· (-b)=b(b+4a) ≥0.
2

∵a>b>c, ∴a>0,c<0.从而 b+4a=-(a+c)+4a=3a-c>0. ∴b≥0.?x=
b ? 0. 2a

∴f(x)在[0,+∞]上是增函数. 2 (2)据题意 x1,x2 是方程 g(x)=0 即 ax +2bx+c=0 的两实根.
? | x1 ? x2 |2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? 4b2 a
2

?

4c 4 4 ? 2 (b2 ? ac) ? 2 [(a ? c)2 ? ac] a a a

= 4[( )2 ? ? 1] ? 4( ? )2 ? 3
? a ? b ? ?(a ? c).? 2a ? ?c ? 0 ? 又a ? c ? ?b ? 0,? c ? ?1. a c ? ?2, a

c a

c a

c a

1 2

c 1 1 9 ? ( ? ) 2 ? [ , ]. a 2 4 4 ?| x1 ? x2 |? [2,2 3 ]

第 25 页 共 120 页

参考答案 考点 1 集合与简易逻辑 考场思维训练 命题角度 1:集合的概念与性质 1.B 2. C 3. B
? 解析:由 N= ? x | x ? ? ? ?, 得N ? x | x ? 2 ? 1? 1

?

2 ? 1, CUN= x | x ?

?

?

2 ? 1 ,? M ? (CU N ) ? ?3,4?

?

解析: ∵xo ? M ? xo ? 3m ? 1, yo ? N ,? yo ? 3n ? 2,? x0 yo ? (3m ? 1)(3n ? 2) ? 9mn ? 6m ? 3n ? 2 ? 3(3mn ? 2 m ? n) ? 2 ? N .故选
a 解析:M= x | x ? 4 , a ? R ? M ? ?x | x ? 0? ? ?y | y ? 0? ? N .

?

?

选B

4.解析:? B ? ?0,6?, 它的子集的个数为 22=4。
5 ? ? y ? 3时的最小值. 5.解析:依题可知,本题等价于求函数不胜数 x=f(y)=(y+3).|y-1|+(y+3)在 2

(1) (2)

当 1

?

5 1 25 5 9 ? y ? 1时, x ? ( y ? 3)(1 ? y ) ? ( y ? 3) ? ? y 2 ? y ? 6 ? ? ( y ? ) 2 ? , 所以 y ? ? 时, xmin ? . 2 2 4 2 4

3 2 2 x=(y+3)(y-1)+(y+3)=y +3y=(y+



y ≤ 3 时 9 9 5 9 9 , 所以当 y ? 1时, xmin ? 4.而 4 ? ,因此当y ? ? 时, x有最小值 ,即 a ? . 2 4 4 2 4 4 )-

命题角度 2;集合与不等式 1.C 解析:由[x]2-5[x]+6≤0,解得 2≤[x] ≤3,由[x]的定义知 2≤x<4 所选 C.
1 3 , 1 2 ?? 1 4 ? m ? , 所以选B. 2 3 ? ?m ? 1 ? ? ? 2. B 解析:因不等式|x-m|<1 等价于 m-1<x<m+1,依题意有 ? m ?1 ? ? ?

3.B 4.解析: (1)当 a=2 时,A=(2,7) ,B=(4,5)∴ ( 2 ) ∵ B= ( 2a,a2+1 ) , 当
B ? A 的 a不存在;当 a ? 1 时, A ? ( 2,3a ? 1) 3

A ? B ? ( 4,5).

a<

?2a ? 3a ? 1 1 1 ? 时A ? (3a ? 1,2)要使B ? A, 必须? 2 , 此时a ? ?1;当a ? 时, A ? 3 3 ? ?a ? 1 ? 2

? ,

? ?2 a ? 2 B ? A, 必须? 2 , 此时1 要使 ≤a≤3. ? ?a ? 1 ? 3a ? 1

B? A

综上可知,使

? | ?1 | 的实数 a 的取值范围为[1,3]
1 ,? a ? 1. 4

命题角度 3:集合的应用 1.B 解析:AUB=?? ? ? à A= ? ? B ?=?? ? ? ? A=? ? a ?=0 ? 1 ò? ? ? ? B=? ? a ?>0 ? ? ? ÷ <0,? ? ? ? a> 2.D
4( x ?

4x ? 5 ?0? ? 3.? ? ? ? ? ? (1)? a ±=4 ? ± ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? x ?4 3a ? 5 5 ? ¨ 2? ? ? ? 3 ? M得 32 ? a ? 0,? a ? 9或a ? 3 ,
? ?

5 5 5 )( x ? 2) ? 0,? x ? ( ?? , ?2) ? ( , 2),故 M 为( ?? , ?2) ? ( , 2). 4 4 4

5a ? 5 5 ? M得 2 ? 0,?1 ? a ? 25, ? ? ? ? 51 ? ?a a ? 5 , 或 9 ? a ? 25.因此 a的取值范围是[1, 5 ) ? (9, 25). 3 3
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ü ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ò ? × ? ? ? -

1. B解析:p:x<-3 或 x>1,q:2<x<3,则 q 是 p 的充分但不必要条件,故┒p 是┒q 的充分但不必要条件。 2 第 26 页 共 120 页 2. 解析:命题 p 为真时,即真数部分能够取到大于零的所有实数,故二次函数 x +2x+a 的判别式△=4-4a≥0,从而 a≤1 题 q 为真时,5-2a>1? a<2. 若 p 为真,q 为假时,无解;若 p 为假,q 为真时,结果为 1<a<2,故选C. 3.B

(3)∵f(1)=0.设 f(x)=a(x-1)(x-

c ) a

c ? f (m) ? ?a,? a(m ? 1)(m ? ) ? ?a. a c c c ? (m ? 1)(m ? ) ? ?1 ? 0,? ? 0 ? ? m ? 1 ? m ? ?2. a a a ? m ? 3 ? 1. ? f (m ? 3) ? f (1) ? 0.

4.在 xOy 平面上有一系列点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),?,Pn(xn,yn),?,对每个正整数 n,点 PN 位于函数 2 y=x (x≥0)的图像上,以点 Pn 为圆心的圆 Pn 与 x 轴都相切,且圆 Pn 与圆 PN+1 又彼此相外切. 若 x1=1,且 xn+1<xn(n=1,2,3,?). (1) 求证:数列{
1 }是等差数列; xn

(2) 设圆 Pn 的面积为 SN,Tn ? S1 ? S2 ? S3 ? ... ? Sn ,求证 : Tn ? 3 ? .
2

[解题思路](1)利用定义判断;(2)裂项相消法求 TN. [ 解答](1)记圆 Pn 的半径为 rn,由条件知,yn-x 2 n , yn=rn,|PnPn+1|=rn+rn+1.所以
2 2 ( xn ? xn ?1)2 ? ( yn ? yn ?1)2 ? rn ? rn ?1 ? yn ? yn ?1, ( xn ? xn ?1)2 ? 4 yn yn ?1 ? 4 xn ? xn ?1,因为xn ?1 ? xn , 所以xn ? xn ?1 ? 2 xn ? xn ?1,

1 1 ? ? xn ?1 xn

所以数列{

1 }是等差数列, 公差为2. xn

2 2 2 1 1 1 1 1 2 4 2 ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, xn ? , Sn ? nrn ? ?xn .所以Tn ? ?x 1 ? ?x 2 ? ?x3 ? ... ? ?x n ? ? [1 ? 2 ? 2 ? ? ? ],因 xn 2n ? 1 3 5 (2n ? 1)2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ),所以1 ? 2 ? 2 ? ... ? ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ? 1 ? (1 ? 2 2 ( 2 n ? 3 )( 2 n ? 1 ) 2 2 n ? 3 2 n ? 1 2 3 2 3 5 2 2 n ? 3 2 n ? 1 2 (2n ? 1) 3 5 (2n ? 1) 3 所以Tn ? ?. 2

(2)由(1)知,

预测角度 5 不等式的实际应用 1. 某机关在“精简人员”中,对部分人员实行分流,规定分流人员在第一年可到原单位领取工资 的 100%,从第二年起,以后每年只能在原单位按上一年的 领取工资,该机关根据分流人员的 特长计划创办新的经济实体,该机关根据分流人员的特长计划创办新的经济实体,该经济实体 预计第一年属投资阶段,没有利润,第二年每人可获 b 元收入,从第三年起每人每年的收入可 在上一年基础上递增 50%,若某人在分流前工资收入每年为 a 元,分流后第 n 年总收入为 an 元. (1)求 an;(2) 当b ?
3 8 8 a时, 这个人哪一年收入量少? 最少收入是多少? 27 2 3

(3) 当 b ? a时, 是否一定可以保证这个人分流后的年收入永远超过分流前的收入? [解题思路]建立数学模型,求出 an,再运用重要不等式求 an 的最小值,解不等式.
?2? [解答](1) a1 ? a,当n ? 2时, an ? a? ? ?3?
n ?1

? b(1 ? 50%)n ? 2 ,即

第 27 页 共 120 页

?a ? an ? ? ? 2 ?n ?1 ? 2 ?n ?3 ?a? ? ? b? ? ? 3? ? ?3?

(n ? 1) (n ? 2)

(2)
当b ? 8 ?2? a时,当n ? 2时, an ? a? ? 27 ?3?
n ?1

?

8 ?3? ?? ? 27 ? 2 ?

n?2

?2? ? 2 a2 ? ? ? ?3?

n ?1

?

8 ?3? ?? ? 27 ? 2 ?

n?2

?

8 ?2? a, 而且仅当? ? 9 ?3?

n ?1

?

8 ?3? ?? ? 27 ? 2 ?

n?2

即n ? 3时取等号

(3) 当n ? 2, b ? a时an ? a? ?
?2? 仅当? ? ?3?
n ?1

3 8

?2? ?3?

n ?1

3 ?3? a? ? 8 ?2?

n?2

?2? ? 2 a? ? ?3?

n ?1

3 ?3? a? ? 8 ?2?

n?2

?a

?

3? 3? ? ? 8? 2?

n?2

即n ? 1 ? log 2
3

1 1 2 2 3 时取等号, 而1 ? log 2 ? 1 ? log 2 ? 2, 故等号不成立,? 当n ? 2时, 有an ? a, 但当n ? 2时, a2 ? a ? 2 2 3 3 8
3 3

25 3 ? a ? a, 故当b ? a时, 一定可以保证这个人分流后的年收入永远超过分流前的年收入. 24 8

2.某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药物预防,规定每人每天早晚八时 各服用一片,现知该药片含药量为 220 毫克,若人的肾脏每 12 小时从体内滤出这种药的 60%,在体内 的残留量超过 386 毫克(含 386 毫克),就将产生副作用. (1)某人上午八时第一次服药,问到第二天上午八时服完药时,这种药在他体内还残留多少. (2)长期服用的人这种药会不会产生副作用? [解题思路]依题意建立数列模型,写出 an,an-1 的关系式,求出 an 的范围. [解答](1)依题意建立数列模型,设人第 n 次服药后,药在体内的残留量为 an 毫克,则
a1 ? 220, a2 ? 220 ? 10.4, a3 ? 220 ? a2 (1 ? 0.6) ? 343.2

(2)由 an=220+0.4an-1
所以{an ? an ?

(n≥2)可得 an-

1100 1100 ? 0.4(an ?1 ? ) 3 3

(n ? 2)

1100 1100 1100 }是一个等比数列, an ? ? (a1 ? ) ? 0.4n ?1 ? 0 3 3 3

1100 ? 386不会产生副作用. 3

考点高分解题综合训练 1 设数集M ? {x | m ? x ? m ? }, N ? {x | n ? ? x ? n},且M 、 N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集, 如果把 b-a 叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度” ,那么集合 M∩N 的“长度”的最小值是
1 3 1 C. 12 A. 2 3 5 .D. 12 B.

3 4

1 3

(

)

答案: C 解析:集合 M 的长度为 、集合 N 的长度为 ,因 M、N 都是集合{x}0≤x≤1}的子集, 而{x}0≤x≤1}的长度为 1,由此得集合 M∩N 的“长度”的最小值是( ? )-1= 2 已知 OA ? ( x ? 5 , y),OB ? ( x ? 5 , y),且 | OA | ? | OB |? 6, 则 | 2x ? 3 y ? 12 | 的最大值为
(
3 4 1 3 1 . 12

3 4

1 2

)

第 28 页 共 120 页

A.12 ? 6 2 C.6

B.12 ? 6 2 D.12

答案: A 解析:略. 3 已知奇函数 f(x)在(-∞,0)上为减函数,且 f(2)=0,则不等式(x-1)f(x-1)>0 的解集为 A.{x|-3<x<-1} B.{x|-3<x<1 或 x>2} C.{x|-3<x<0 或 x>3} D.{x|-1<x<1 或<1<x<3} 答 案 : D 解 析 : 由 (x-1)f(x-1)>0 得
?x ? 1 ? 0 ? ? f ( x ? 1) ? 0

(

)







?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 设? ?? ? 1 ? x ? 3, ? ?? ? ?1 ? x ? 1 ? f ( x ? 1) ? f (2) ?x ? 1 ? 2 ? f ( x ? 1) ? f (?1) ?x ? 1 ? 2

4 函数 f(x)是 R 上的增函数,A(0,1),B(3,1)是其图像上的两点,那么|f(x+1)|<1 的解集是( A.(1,4) B(-1,2) C.(- ∞,1) ∪[4,+ ∞]D.(- ∞,-1) ∪[2,+ ∞]
2 3 2 3 2 3

)

答案: B 易知过 A、B 两点的直线即 y= x-1,即 f(x)= x-1 是增函数,由 f(x+1)= (x+1)-1, 得当 | f ( x ? 1) |? 1时, | ( x ? 1) ? 1 |? 1 ∴ ? 1 ? ( x ? 1) ? 1..即0 ? ( x ? 1) ? 2即0 ? x ? 1 ? 3. ? ?1 ? x ? 2. 5 已知 f(x)= ?
?? x ?x ( x ? 0) , 则不等式f ( x2 ? 5x ? 5) ? ?1 的解集为 ( x ? 0) ( )
2 3 2 3 2 3

A.{x|1<x<4} B.{x|x>3 或 x<2} C.{x|1<x<2 或 3<x<4} D.{x|x<0} 答案: C 解析:略. 6.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时 f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集为 ( ) A.(-3,0) ∪(3,+ ∞) B.(-3,0) ∪(0,3) C.(- ∞,-3) ∪(3,+ ∞) D.(- ∞,-3) ∪(0,3) 答案: D 解析:设 F(x)=f(x)?g(x), F(-x)=f(-x)?g(-x)=-f(x)?g(x)=-F(x) ∴F(x)为奇函数 又 x<0 时,F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′,(x)>0 ∴x<0 时,F(x)为增函数 ∵奇函数在对称区间上的单凋性相同, ∴x>0 时,9(x)也为增函数 ∵F(-3)=f(-3)g(-3)=0 ∴F(3)=-F(-3)=0 如图为一个符合题意的图象观
第 29 页 共 120 页

察知 9(x)=f(x),g(x)<0 解集为(-∞,-3)∪(0,3) 7 已知 y=logb(2-bx)在[0,1]上是增函数,则不等式:logb|x+2|>logb|x-4|的解集是________. 答案:{x|x<1,x7≠-2} 解析:因为当 b>0,所以 2-bx 在[0,1]上递减,由已知可知 0<b<1,所以 原不等式等价于 0<|x+2|<,x-4|,解得{x|x<|,x≠-2}. 8 已知函数 y=f(x)是偶函数, 当 x>0 时, f(x)=x+ .当x ? [?3,?1]时, 记f ( x)的最大值为m, 最小值为n, 则有m ? n ______ . 答案:依题意 x∈[-3,-1]时 f(x)=f(-x)=-x+ 9 定义符号函数 sgnx= ? ?0 答案:-2 解析:略; 10 已知关于 x 的不等式 (1)a=4 时,求集合 M; 答案:当 a=4 时,原不等式可化为
5 4 4 4 =( x ? ),∴m=f(-1)=5,n=f(-2)=4,m-n=1, ?x x 4 x

?1

x?0 x ? 0 , 则不等式 : x ? 2 ? (2 x ? 1)sgn x的解集是 ______ . x?0

?? 1 ?
ax ? 5 x2 ? a

? 0的解集为M .

4x ? 5 x2 ? 4

?0,
5 4 5 4

即 4(x- )(x-2)(x+2)<0,∴x∈(-∞,-2)∪( ,2),故 M 为(-∞,-2)∪( ,2). (2)若 3∈M 且 5 ? M,求实数 a 的取值范围。 答案:由 3∈M 得 由 5? M 得
3a ? 5 3 ?a
2

<0,∴a>9 或 a< , ①

5 3

5a ? 5 52 ? a
5 3

≥0,∴1≤<a25, ②
5 3

由①、②得 1≤a< ,或 9<a<25.因此 a 的取值范围是[1, ]∪(9,25). 11 已知函数 f(x)对任意实数 P、q 都满足 f(p+q)=f(p) f(q),且 f(1)= . (1)当 n∈N+时,求 f(n)的表达式; 答案:解:由已知得 f (n) ? f (n ? 1) ? f (1) ? ? f (n ? 1) ? ( )2 ? ? f (n ? 2) ? ? ? ( )n?1 ? f (1) ? ( )n .
(2)设an ? nf (n) (n ? ? ? ),求证 : (3)设bn ? nf (n ? 1) (n ? N ? ), sn ? f ( n)
1 3 1 3 1 3 1 3
.

1 3

?a ?
k ?1 k ?1 n

n

k

?

3 4

bk ,试比较

? S 与6的大小.
1
k ?1 k

n

答案:证明 由(1)可知则 an ? n ? ( )n , 设Tn ?
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

1 3

?ak则T
k ?1

n

n

? 1?

1 1 1 ? 2 ? ( ) 2 ? ? ? n( ) n 3 3 3

∴ Tn ? 1 ? ( )2 ? 2( )3 ? ? ? (n ? 1)( )n ? n ? ( )n ?1.

第 30 页 共 120 页

两式相减得 Tn ? ? ( )2 ? ( )3 ? ? ? ( )n ? n ? ( )n ?1
? 1? 1 ? 1 1 ? ( )n ? ? n ? ( )n ?1,? Tn ? 2? 3 3 ? ?

2 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

?
k ?1

n

ak ?

3 1 1 ?1 n 1 n 3 ? ( ) ? ?( ) ? . 4 4 3 2 3 4
n

n

(3)解 由(1)可知 bn ? n. ? sn ? 则
1 6 1 1 ? ? 6( ? ), Sn n(n ? 1) n n ?1

1 3

?bk ? 3 (1 ? 2 ? ? ? n) ?
1
k ?1

n(n ? 1) , 6

故有

?S
k ?1

n

1
k

? 6(1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ) ? 6(1 ? ) ? 6. 2 2 3 n n ?1 n ?1
2

12 某村计划建造一个室内面积为 800m 的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时?蔬菜的种植面积最大. 最大种植面积是多少? 答案:解:没矩形温室的左侧边长为 am,后侧边长为 bm,则 ab=800(m). 蔬菜的种植面积 S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b). 所以 S≤808-4 2ab =48(m2). 当 a=2b,即 a=40(m),b=20(m)时, S 最大值=648(m2). 答:当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积 为 648m2. 13 已知函数 f(x)(x∈R)满足下列条件:对任意的实数.x1,x2 都有
? ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )[ f ( x1) ? f ( x2 )] 和 | f ( x1) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 |,其中?是大于0的常数. 设实数a0 a b满足f (a0 ) ? 0和b ? a ? ?f (a)

(Ⅰ) 证明 ? ? 1,并且不存在b0 ? a0 , 使得f (b0 ) ? 0; 答案:任取 x1,x2 及,x1≠x2,则由λ (x1-x2) ≤(x1-x2)[f(x1)-f(x2)] 和,|f(x1)-f(x2),|≤|x1-x2| ② 2 2 可知λ (x1-x2) ≤(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]≤|x1-x2|?|f(x1)-f(x2)1≤|x1-x2| , 从而 A≤1.假设有 b0≠a0,使得 f(b0)=0,则由①式知 2 0<λ (a0-b0) ≤(a0-b0)[f(a0)-f(b0)]=0 矛盾. ∴不存在 b0≠a0,使得 f(b0)=0. (Ⅱ) 证明 b ? a0 )2 ? (1 ? ?2 )(a ? a0 , ) ; 答案:由 b=oa-λ f(a) ③ 2 2 2 2 2 可知(6-a0) =[a-a0-λ f(a)] =(a-a0) -2λ (a-a0)f(a)+λ [f(a)] ④ 由 f(a0)=0 和①式,得(a-a0)f(a)=(a-a0) 2 [f(a)-f(a0)]≥λ (a-a0) ⑤ 2 2 2 由 f(a0)=0 和②式知,[f(a)] =[f(a)-f(a0)] ≤(a-a0) ⑥ 2 2 2 2 2 2 由⑤、⑥代人④式,得(b-a0) ≤(a-a0) -2λ (a-a0) +λ (a-a0) =(1-λ 2)(a-a0)2
第 31 页 共 120 页
2 2

(Ⅲ) 证明 [ f (b)]2 ? (1 ? ?2 )[ f (a)]2. 答案:由③式可知[f(b)] =[f(b)-f(a)+f(a)] 2 2 =f(b)-f(a)] +2f(a)[f(b)-f(a)]+[f(a)] ≤(b-a) -2? =λ [f(a)] ≤λ [f(a) 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b?a

?

[f(b)-f(a)]+[f(a)] (用②式)

2

2 2 (b-a)[f(b)-f(a)]+[f(a)] ? 2 2 2 ?λ ?(b-a) +[f(a)] ?
2 2 2

(用①)

=λ [f(a)] -2λ [f(a)] +[f(a)] =(1-λ 2)[f(a)]2 14 已知函数 f(x)=
x2 ? 2 x ? 2 x ?1

(1)设 0<|x|<1,0<|t|≤1,求证:|t+x|+|t-x|<|f(tx+1)| 答案:∵f(x)=
1 ( x ? 1)2 ? 1 ∴f(tx+1)=tx+ tx x ?1
1 1 1 =|t|+ ≥2 | tx | ? =2,当且仅当,|tx|=1 时,上式取等号. | tx | | tx | tx

∴|f(tx+1)|= tx ?

∵0<|x|<1,0<|tx|<1.∴|tx|≠1,∴|f(tx+1)|>2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 s=(|t+x|+|t-x1) =2(t +x )+2|t -x |-(|t+x|+|t-x|) =2(t +x )+2|t -x |. 2 2 当|t|≥|x|时,s=4t ≤4;当|t||x|时 s=4x <4 ∴|t+x|+|t-x|≤2<1f(tx+1)|即,|t+x|+|t-x|<|f(tx+1)| n n n (3) 设 x 是正实数,求证:[f(x+1)] -f(x +1) ≥2 -2. 答案: n=1 时,结论显然成立 n n 当 n≥2 时,[f(x+1)] -f(x +1) =(x+
n?2 C1 ? nx

1 x

) -(x +

n

n

1 xn

)

1 1 1 1 1 2 n?2 n ?1 n ?1 n?2 2 n?4 n?2 n ?1 ? Cn x ? 2 ? ? ? Cn xh2 ? Cn ? C1 ? Cn x ? ? ? Cn ? n ?1 ? Cn ? n?2 ? nx x 2 x x x 1 1 1 ? ? n?2 2 n?4 n ?1 n ? 2 = ?C1 ? n ? 2 ) ? Cn (x ? n ? 4 ) ? ? ? Cn (x ? n ? 2 )? n (x x x x ? ? 1 2 n ?1 1 2 n ?1 ? [2 ? (C1 ? 2n ? 2. n ? Cn ? ? ? Cn )] ? Cn ? Cn ? ? ? Cn 2

考点 8 直线与圆 典型易错题会诊 命题角度 1 直线的方程 1.(典型例题)已知点 A ( 3,1), B(0,0)C( 3,0),设 ? BAC的平分线AE与BC相交于E, 那么有BC ? ?CE ,其中?等于
A.2 B. 1 2 C. ? 3 D. ? 1 3
| AC | | AB | ? | CE | | EB | ? 1 , 故 | BC |? 3 | CE |,? ? ? 3. 2

(

)

[考场错解] ∵ | AC |? 1, | AB |? 2,由内角平分线定理得 :

[专家把脉]主要是没有考虑到 BC与CE的向,? BC与CE的方向相反, ?应为负值.
第 32 页 共 120 页

[对症下药] ?| BC |? 3 | CE |,而BC与CE的方向相反, 故? ? ?3. 2.(典型例题)点(1,-1)到直线 x-y+1=0 的距离是 (
A. C. 1 2 2 2 B. D. 3 2 3 2 2

)

[考场错解]直接运用点到直线的距离公式.
| 1 ? 1 ? (?1) ? 1 ? 1 | 1 ?1
2 2

?

2 .故选C 2

[专家把脉]在运用点到直线的距离公式时,没有理解直线 Ax+By+C=0 中,B 的取值,B 应取-1,而不 是取 1. [对症下药]
| 1 ? 1 ? (?1) ? (?1) ? 1 | 1 ?1
2 2

?

3 2 故选D. 2

2.(典型例题)若直线 2x-y+c=0 按向量 a=(1,-1)平移后与圆 x +y =5 相切,则 c 的值为( ) A.8 或-2 B.6 或-4 C.4 或-6 D.2 或-8 [考场错解]C.直线 2x-y+c=0 按向量 a=(1,-1)平移后的直线方程为:2(x+1)-(y+1)+c=0 即: 2x-y+1+c=0,此直线与圆相切,故圆心到直线的距离等于半径,即
| 2 ? 0 ? (?1) ? 0 ? 1 ? c | 2 ?1
2 2

2

2

?

| 1? c | 5

? 5. ? c ? 4 或-6, 故选 C.

[专家把脉]坐标平移公式运用错误,应用 x-h,y-k 分别来替换原来的 x,y. [对症下药]A 直线 2x-y+c=0 按向量 a=(1,-1)平移后的直线为 2x-y-3+c=0,此直线与圆相切有:
| 0 ? 2 ? 0 ? (?1) ? (?3) | 5 ? c ? 8 或者说 c=-2,故选 A.

4.(典型例题)设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 a,且 sina+cosa=0,则 a、b 满足 A.A+b=1 B.a-b=1 C.a+b=0 D.a-b=0 [考场错解]C. ? sin a ? cosa ? 0 ? tan a ? ?1, 又 tan a ? k ? [专家把脉]直线 Ax+By+c=0 的斜率 k= ? , 而不是 . [对症下药]D ? sin a ? cosa ? 0 ? tan a ? ?1又tnaa ? k ? ? ? 1? a ? b ? 0.
a b A B A B 9 ? ?1. ? a ? b ? 0 故选C. b

(

)

专家会诊 1. 已知直线的方程,求直线的斜率与倾斜角的范围,反之求直线方程,注意倾斜角的范围及斜率 不存在时的情况。 2. 会用直线的五种形式求直线方程,不可忽视每种形式的限制条件。 考场思维训练

第 33 页 共 120 页

1 已知 A(3,0),B(-1,-6),延长 BA 到 P,使 答案:( 2 直线 ? ?
13 ,2) 3

| AP | | AB |

?

1 , 则点 P 的坐标是_________. 3

解析:由已知 P 分 AB 的比为- ,由定比分点坐标公式可得.

1 4

? x ? ?2 ? 2t ? ? y ? 3 ? 2t

(t为参数)上到点A(?2,3)的距离等于 2的一个点坐标是

(

)

A(-2,3)

B(-4,5) D(-3,4)

C(-2- 2 ,3 ? 2 )

答案: D 解析:略.
3设l1的倾斜角为? ,? ? (0, ),l1绕l1上一点P沿逆时针方向旋转?角得直线l2 , l2的纵截距为 ? 2, l2绕P逆时针方向旋转 ? ?角得直线l3 : x ? 2 2 2 则l1的方程为 __________ .

?

?

答案:16.2x-y+8=0 解析:由已知可设 l2 的方程为:y=tan2α ?x-2,l1 与 l3 垂直,l1,的斜率 为 k1=2,∴tan2α =
2 tan? 1 ? tan 2 ?
4 4 ? ? ,即 l2 的方程为 y=- x-2,解方程组得 P 点坐标(-3,2).由点斜 3 3

式得 l1,的方程为 y=2(x+3)+2. 命题角度 2 两直线的位置关系 1.(典型例题)已知过点 A(-2,m)和 B(M,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行,则 m 的值为 A.0 B.-8 C.2 D.10 [考场错解]A 两直线平行故斜率相等可得: [专家把脉] k ? ? 而不是 . [对症下药]B 利用两直线平行斜率相等可得:
m?4 ? ?2 ? m ? ?8故选B. ?2?m A B A B m?4 ? 2 ∴m=0.故选 A. ?2?m

(

)

2.在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 [考场错解]D 由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行,可设直线 y=kx+b 即,kx-y+b=0,
d1 ? | k ?2?b| k ?1
2

?1

d2 ?

| 3k ? 1 ? b | k2 ?1

? 2.

1 5? 5 5? 5 解得k1 ? ? , 此时b ? 或b ? . 2 2 2 3 5 或k2 ? , 此时b ? 0或b ? , 故符合题意的直线有4条, 故选D. 4 2

[专家把脉]当 k1 ? ? 时此时 kAB=- , 不符合题意。 [对症下药]B 法一:由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行可设直线 y=kx+b,即 kx-y+b=0

1 2

1 2

第 34 页 共 120 页

?2 k2 ?1 1 1 解得 : k ? ? 与k AB ? ? 平行不合题意舍去 2 2 3 5 或k ? 时b ? 0, b ? ? 符合题意有两条直线 4 2 d1 k ?1
2

| k ?2?b|

?1

d2

| 3k ? 1 ? b |

法二:以 A 为圆心,1 为半径画圆,以 B 为圆心 2 为半径作圆,∵圆心距|AB|= 5 ? 1 ? 2. ∴⊙A′与 ⊙B 必相交, 则⊙A 与⊙B 的分切线有两条, 即到点 A 距离为 1 到点 B 距离为 2 的直 线有 2 条. 3.(典型例题)如下图,定圆半径为 a,圆心为(b,c)则直线 ax+by+c=0 与直线 x-y+1=0 的交点在 A.第一象限 C.第三象限 ( )

B.第二象限 D.第四象限

[考场错解]B 由图知 b>a>c>0.取 b=3,a=2,c=1.解方程组
?2x ? 3 y ? 1 ? 0 4 得x ? ? ? 5 ?x ? y ? 1 ? 0 1 y ? 故交点在第二象限选B. 5

[专家把脉]由图看出的是长度大小关系,在比较时坐标值与长度值相混淆。 [对症下药]C 由图形如此图圆心在第二象限且 a、b、c 满足球队 0<c<a<-b,取 c=1,a=2,b=-3 解方程 组?
?2 x ? 3 y ? 1 ? 0 得 x=-2,y=-1,故选 C. ?x ? y ? 1 ? 0

此题也可以讨论 ax+by+c=0 在 y 轴截距及斜率与直线 x-y+1=0 进行比较去解决。 2 2 . 4.(典型例题)由动点 P 向圆 x +y =1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,<APB=60 ,则动点 P 的 轨迹方程为_____. [考场错解]设 A(x1,y2),B(x2,y2), ∴PA 的直线方程为 x1x+y1y=1.PB 的直线方程为 x2x+y2y=1.又∵ . 。 2 2 <APB=60 即两直线之间夹角为 60 ,从而求出 x1、y1、x2、y2 的关系. 联立两方程解得 x +y =3. [专家把脉]引方法过于繁琐复杂,使运算很易出错,应考虑此特殊性。 . [对症下药]如图∵<APB=60 ,OP 平分<APB . ∴<APO=30 ,在 Rt△AOP 中,|OA|=1 为定值∴|OP|=2 2 2 2 2 故 P 轨迹为以 O 为圆心,以 2 为半径的圆 x +y =4 故正确答案:x +y =4 5.(典型例题)曲线 C:
?x ? cos? (?为参数)的普通方程是 ______,如果曲线C与直线x ? y ? a ? 0有公共点, 那么实a的取值范围是 ___ . ? ? y ? ?1 ? sin ?

[考场错解]曲线 C 的普通方程可化为:x +(y+1) =1,与直线 x+y+a=0 有公共点,故联立得
? 2 2 ? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 消去 x.2y +2(a+1)y+a =0,有公共点故 ? ? x ? y ? a ? 0 ?
? ? 0 ? 2 ? 1 ? a ? 2 ? 1.

2

2

[专家把脉]忽略了直线与圆相切时的情况。
第 35 页 共 120 页

[对症下药] x2 ? ( y ? 1)2 ? 1; 2 ? 1 ? a ? 2 ? 1

由公式 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1消去参数?得 : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1, 是以(0,1)为圆心,1为半径的圆,由题意得 : 圆心(0,?1)到直线x ? y ? a ? 0的距离d ? 1, 利 式可得 2 ? 1 ? a ? 2 ? 1.

专家会诊 1. 两直线平行与垂直的充要条件在解题中的应用。 2. 夹角与距离公式是求距离或角、斜率的最值问题的工具.一定要注意公式的运用及条件. 3. 关于直线对称问题,即点关于直线对称,或直线关于直线对称.是命题热点。 考场思维训练 1 直线 l1:x+3y-7=0 、l2:kx-y-2=0 与 x 轴、y 轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则 k 的值等于 ( ) A.-3 B.3 C.-6 D.6 答案: B 解析:略. 2 已知点 M 是点 P(4,5)关于直线 y=3x-3 的对称点,则过点 M 且平行于直线 y=3x+3 的直线方程是 _____. 答案: y=3x+1 解析:略. 2 2 2 2 3 若曲线 x +y +a x+(1-a )y-4=0 关于直线 y-x=0 对称的图形仍是其本身,则实数 a= ( )
A.. ? 1 2 B. ? 2 2

1 2 C. 或 ? 2 2

1 2 D. ? 或 2 2

答案: B 解析:略. 4 求直线 l2:7x-y+4=0 到 l1:x+y-2=0 的角平分线的方程。 答案:解:法一:设 l2 到 l1 角平分线 J 的斜率为 k, ∵k1=-1,k2=7 ∴
k ?7 ?1 ? k 1 ? ,解之得 k=-3 或 k= ,由图形可知 1 ? 7k 1? k 3

k<0,∴k=-3,又由 ? 6x+2y-3=0

?x ? 2 y ? 2 ? 0 9 1 9? 1? ? 解得 l1,与 l2 的交点 Q ? ? ? , ? ,由点斜式得 y- =-3 ? x ? ? 即 4 7 x ? y ? 4 ? 0 4 4 4? ? ? ? ?
k1 ? k2 4 ? = 1 ? k1k2 3

法二:设 l2 到 l1 的角为θ ,则 tgθ =
? 2 式可知 2? 1 ? tg 2
2tg

,所以角θ 为锐角,而α 1=α 2=

? ,由二倍角公 2

tgθ = ∴tg ∴tg

4 3

? ? 1 =-2 或 tg = 2 2 2



? 为锐角, 2

? 1 k ?7 = = ,∴k=-3 等同解法一. 2 2 1 ? 7k

命题角度 3 简童单线性规划
第 36 页 共 120 页

1.(典型例题)已知点 P(x,y)在不等式组 ? ? y ? 1 ? 0,

? x ? 2 ? 0, 表示的平面区域内 , 则z ? x ? y的取值范围是 ? x ? 2 y ? 2 ? 0. ? ( )

A.[-2,-1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[1,2] [考场错解]由约束条件画出可行域,再平移 y=x.过(0,1)时截距最大为 1,过(2,0)时截距最小为-2, ∴取值范围为[-2,1]选 B. [专家把脉] z=x-y 可化为 y=x-z,此时 y=x-z 的截距为-z.故错选。 [对症下药]平移 y=x 得最大截距为 1,最小截距为-2,∴-2≤-z≤1∴1-≤z≤2. 2.(典型例题)设集合 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长}, 则 A 所表示的平面区域(不含边界的 阴影部分)是 ( )

?x ? 0 ? ?y ? 0 [考场错解]由题意可得 ? ?1 ? x ? y ? 0 ? ?1 ? x ? y ? x ? y

?x ? y ? 1 ? x?0 ? ? ? ?y ? 0 故选 D. ? ?x ? y ? 1 . ? 2 ?

[专家把脉]三角形两边之和大于第三边没有写完全, ?

?1 ? x ? y ? x ? y, 1 ?0? x? . 1 ? x ? y ? y ? x . 2 ?

0? y?

1 . 2

?x ? 0 ? ?y ? 0 [对症下药]由题意可列 ? ?1 ? x ? y ? x ? y ? ?1 ? x ? y ? y ? x ?1 ? x ? y ? 0 ? ? ?1 ? x ? y ? x ? y

1 ? ?0 ? x ? 2 ? ?0 ? y ? 1 ? ?? 2 故选 A. ?x ? y ? 1 ? 0 ? 1 ? x? y ? ? 2 ?

3.(典型例题)在坐标平面上,不等式组 ?

? y ? x ? 1, 所表示的平面区域的面积为 ? y ? ?3 | x | ?1.

(

)

第 37 页 共 120 页

A. 2

B.

3 2

C.

3 2 2

D.2

[考场错解]依条作出当 x≥0 时即 ?

?y ? x ?1 所表示的区域,其面积为 1,故当 x≤0 时,同理其面积 ? y ? ?3x ? 1

为 1,故总面积为 2,故选 D. [专家把脉]y=-3|x|+1 是关于 y 轴对称,但 y=x-1 并不关于 y 轴对称,故当 x≤0 时的面积与 x≥0 时的面积不相等。 [对症下药]先作出 y=-3|x|+1 的图像(依此函数为偶函数作),再作出 y=x-1 的图像, 再标出其围成的区域,如图所示:其阴影部分为所求且为 ,故选 B . 4.(典型例题)设实数 x,y 满足 ? ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则
?2 y ? 3 ? 0 ? ?x ? y ? 2 ? 0
y 的最大值是______. x 3 2

[考场错解]依题意作出可行域如图所示:
y 3 y 3 实指可行域内的点与原点相连的斜率, 求其最大值, 即离原点最远的点故CO连线斜率最大koc ? , 故 的最大值为 . x 7 x 7

[专家把脉]连线斜率的最大与最小并不取决于此点与原点的远近。 [对症下药]连接 OA,则 kOA 最大, kOA ? , 故 的最大值为 . 专家会诊 1. 对线性目标函数 z=Ax+By 中的 B 的符号一定要注意,当 B>0 时,z 最大,当 B<0 时,当直线过可 行域且 y 轴上截距最大时,z 值最小。 2. 由于最优解是通过图形来规定的,故作图要准确,尤其整点问题。 考场思维训练 1 在直角坐标面上有两个区域 M 和 N.M 是由 y≥0,y≤x 和 y≤2-x 三个不等式来确定的.N 是由不等式 t≤x≤t+1 来确定的,t 的取值范围是 0≤t≤1,设 M 和 N 的公共面积是函数 f(t),则 f(t)为 ( )
A. ? t 2 ? t ? 1 C.1 ? t 2 2 1 2 B. ? 2t 2 ? 2t 1 D. (t ? 2)2 2

3 2

y x

3 2

2

答案: A 解析:画出 M 和 N 的所表示的区域,可得面积等于-t2+t+ ,所以选 A 2 设实数 x,y 满足不等式组 ?
?1 ? x ? y ? 4 , 则函数f ( x, y) ? y ? ax(a ? 2)的最大值 最小值分别为 ? y ? 2 ?| 2x ? 3 | ( )

1 2

A.7+3a,1-3a B.7+3a,-1-2a C.-1-2a,1-3a D.以上都不对 答案: A 解析:画出不等式组所表示的平面区域,由线性规划的知识知选 A 3 某运输公司有 10 辆载重量为 6 吨的 A 型卡车与载重量为 8 吨的 B 型卡车,有 11 名驾驶员。在建 筑某段高速公路中,该公司承包了每天至少搬运 480 吨沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数 为 A 型卡车 8 次,B 型卡车 7 次;每辆卡车每天的成本费 A 型车 350 元,B 型车 400 元。问每天派出 A 型车与 B 型车各多少辆,公司所花的成本费最低,最低为多少? 答案:解:设每天派出 A 型车与 B 型车各 x、y 辆,并设公司每天的成本为 z 元.由题意,得
第 38 页 共 120 页

? x ? 10, ? y ? 5, ? ? ? x ? y ? 11, ?48 x ? 56 y ? 60, ? ? x, y ? N , ?

且 z=350x+400y.
? x ? 10, ? y ? 5, ? ? x ? ? y ? 11, ?6 x ? 7 y ? 55, ? ? ? x, y ? N ,

作出可行域,作直线 l0:350x+400y=0, 即 7x+8y=0. 作出一组平行直线:7x+8y=t 中(t 为参数)经过可行域内的点和原点距离最近的直线,此直线经 过 6x +7y=60 和 y=5 的交点 A( 点 A(
25 ,5)不是最优解. 6 25 ,5),由于点 A 的坐标不都是整数,而 x,y∈N,所以可行域内的 6

为求出最优解,必须进行定量分析. 因为,7?
25 +8?5≈69.2,所以经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)且与原点 6

最小的直线是 7X+8y=10,在可行域内满足该方程的整数解只有 x=10,y=0,所以(10,0)是最优解, 即当 l 通过 B 点时,z=350?10+400?O=3500 元为最小. 答:每天派出 A 型车 10 辆不派 B 型车,公司所化的成本费最低为 3500 元 命题角度 4 圆的方程 2 2 1(典型例题)从原点向圆 x +y -12y+27=0 作两条切线, 则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ( )
A.? B.2? C.4? D.6?


[考场错解]由半径为 3, 圆心与原点距离为 6, 可知两切线间的夹角为 60 , 故所相应的圆心角为 120, 故所求劣弧为圆弧长的 为2? ? 3 ? ? 4? .故选C . [专家把脉]没有理解清楚优弧,劣弧的概念,劣弧应为相对较短的一段弧。 [对症下药]所求劣弧是整个圆弧的 故所求弧长为2? ? 3 ? ? 2? . 2.(典型例题) △ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H. OH ? m(OA ? OB ? OC), 则实数 m=______. [考场错解]选取特殊三角形,取△ABC 为等边三角形,则 | OH |? 0,| OA ? OB ? OC |? 0, 故 m 可取任意实 数。 [专家把脉]情况太特殊, 若所取三角形为等腰三角形(非等边三角形)此时 | OH |? 0,| OA ? OB ? OC |? 0 此 时与 m 为任意实数相矛盾。 [对症下 药]
第 39 页 共 120 页
1 3 1 3 2 3 2 3

m ? 1. 由向量的加减法的几何意义又可求, 或利用直角三角形ABC, ? A ? 90..OH ? OA,OB ? ?OC.故OH ? OA ? OB ? OC,? m ? 1.

3.(典型例题)圆心在直线 2x-y-7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,-4),B(0,-2),则圆 C 的方程为 _____. [考场错解]设圆的方程为
2 2 2 2 2 x0 2 y0

( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? r .令y ? 0, x ? 2 x0 ? x ?

?

??4 ? 2 ? 2 x0 ? ? 2 2 ? r ? 0,?4 ? 2分别为方程的两根, 故?(?4) ? (?2) ? x0 ? y0 ? r2 ?2 x ? y ? 7 ? 0. 0 ? ? 0
2
2 2

解得 x0=-3,y0=-13,r= 168 .故所求圆的方程为(x+3) +(y+13) =168. [专家把脉]应是令 x=0,而不是令 y=0,故后面的结果均错。 [对症下药] 故解 ? 法一: ∵AB 的中垂线, y ? ?3 必过圆心

? y ? ?3 ? 0 得圆心坐标为 0?( 2,?3),| O ' A |? ?2 x ? y ? 7

5 . ? 所求圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5.

法二:设圆 C 的方程: ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? r 2
? 圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上
? 2 x0 ? y0 ? 7 ? 0



又 ? 圆过 A (0, -4) B (0, -2)
2 ? x0 ? (?4 ? y0 )2 ? r 2 2 x0 ? (?2 ? y0 )2 ? r 2

② ③

2 由①②③解得 ? ? y0 ? ?3 ? 圆的方程 ( x ? 2) ? ( y ?

? x0 ? 2

? r? 5 ?

3) 2

专家会诊 1.求圆的方程应注意根据所给的条件,恰当选择方方程的形式,用待定系数法求解. 2 讨论点、直线、圆与圆的位置关系时,一般可从代数特征(方程组解的个数)或几何特征去考虑, 其中几何特征数更为简捷实用。 考场思维训练 1 过 点 A ( 1 , -2 ), B ( -1 , 1 ), 且 圆 心 在 直 线 x ? y ? 2 ? 0 上 的 圆 的 方 程 是 ( )

A. ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 B. ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4

第 40 页 共 120 页

C. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 D. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 答案: A ∵只有 A 中的圆心(3,-1)在直线 x+y-2=0 上, ∴选 A. 2 方程 x ? 1 lg( x2 ? y 2 ? 1) ? 0 所以表示的曲线图形是 答案: D 解析:方程的解为 x=1 或 x +y =2,且 x +y >1,当 x=1,y≠0. 3.已知两点 A(-1,0) ,B(0,2) ,若点 P 是圆(x-1)2+ y2=1 上 的 动 点 , 则 △ ABP 面 积 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 ( )
1 (4 ? 2 1 B . (4 ? 2 1 C . (3 ? 2 1 D . (2 ? 2 A. . 1 5 ), ( 5 ? 1) 2 1 5 ), (4 ? 5 ) 2 1 5 ), (3 ? 5 ) 2 1 5 ), ( 5 ? 2 ) 2
2 2 2 2

答案: B 解析:过圆心 C 作 CM⊥AB 于 M,设 CM 交圆于 P、Q 两点,从图可以看出,△ABP 和△ABQ 分别为最大和最小值,可以求得最大值和最小值分别为 (4+ 5 ),
1 2 1 (4- 5 ),所以选 B 2

4 如图 8 – 5,已知点 A、B 的坐标分别是(-3,0) , (3,0) ,点 C 为线段 AB 上任一点,P、Q 分别 以 AC 和 BC 为直径的两圆 O1、O 2 的外公切线的切点,求线段 PQ 的中点的轨迹方 程. 答案:解:作 MC⊥AB 交 PQ 于点 M,则 MC 是两圆的公切线, ∴|MC|=|MQ|, |MC|=|MP|, 即 M 为 PQ 的中点. 设 M(x, y), 则点 C、 O1、 O2 的坐标分别是(x, 0)、 ( 0)、(
3? x ,0).连 O1M,O2M,由平几知识得:∠O1MO2=90°, 2
2 2 2

?3 ? x , 2

∴有|O1M| +|O2M| =|O1O2| ,即: (x=(
?3 ? x 2 2 3? x 2 2 ) +y +(x) +y 2 2 ?3 ? x 3 ? x 2 2 2 ) ,化简得 x +4y =9. 2 2

又∵点 C(x,0)在线段 AB 上,且 AC、BC 是圆的直径, ∴ -3<x<3. 故所求的轨迹方程为 x2+4y2=9(-3<x<3). 命题角度 5 直线与圆 1. (典型例题)已知直线 L 过点(-2,0,当直线 L) 与 圆
x2 ? y 2 ? 2 x





















k











第 41 页 共 120 页




A .( ? 2 2 ,2 2 ) C .( ? 2 2 , ) 4 4 B .( ? 2 , 2 ) D.( ? 1 1 , ) 8 8

[考场错解] 时 .
?k2 ?

设 此 直 线 为 y ? k ( x ? 2) . 圆 心 到 直 线 的 距 离 刚 好 好 等 于 半 径 ( 即 相 切 )
1 . 8

3k 1? k
2

? 1 ? k2 ?

1 , 故选 D . 8

[专家把脉] [对症下药 ] C.

计算出 k 2 , 见答案中有此结果, 便盲目选出答案 .并没有开方算出 k ? ? 可设直线方程为 y ? k ( x ? 2) 代入圆的方程中,用 ? ? 0 可得 k 2 ? 故 ?
1 8

2 . 4

2 2 ?k? .选 4 4

2. (典型例题) ― a=b‖ j 是―直线 y ? x ? 2 与圆 ( x ? a)2
? ( y ? b)2 ? 2相切的

(

)

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 [考场错解] 当 a ? b 时圆心坐标为 ( a, ? a ) , 圆心到直线的距离为
| a?a?2| 2 ? 2 与半径杨等,

故 a ? b 是直线和圆相切的充分人条件,同理不直线与圆相切时,圆心 ( a ,? b ) 到 y ? x ? 2 的距离为
(a ? b ? 2) 2 ? 2 ?a ?b.故

a ?b

是直线与圆相切的充分必要条件. 在运用点到直线的距离公式时, y ? x ? 2 应先变为 x ? y ? 2 ? 0 再计算. 这刊里 y 的

[专家把脉]

系数应为- 1 而不是未变形前的 1. [对症下药] 当 a ? b ,时圆心 ( a , ? a ) 到直线 x ? y ? 2 =0 的距离为
|a?a?2| 2

不一定刚好等于 2 ,故

不 是 充 分 条 件 , 当 直 线 与 圆 相 切 时 , ( a ,? b ) 到 直 线 x ? y ? 2 ? 0 的 距 离 应 等 于 半 径 , 即
| a?a?2| 2 ? 2 , 解得 a ? b ? 0 或a ? b ? ?4 故也不是必要 ,综合得 a ? b 是直线与圆相切的既不充分也不必

要条件.
1.

(典型例题) 圆心为( 1 ,2 ) 且与直线 5x ?12x ?

第 42 页 共 120 页

7=0 相切的圆的方程为__________. [考场错解]
5 ? 12
( y ? 2)2 ? 2.
2 2

圆心到直线的距离等于半径即
? r ? 2. ? 圆的方程为 ( x ? 1) 2 ?

| 1? 5 ? 2 ? (?12) ? 7 |

[专家把脉]

在算出 r 后,往 ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? r 2

中代入时、忘记后面是 r2. [对症下药] 由圆心到直线的距离等于半径得 r = 2.

?圆的方程为( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4.

4. (典型例题) 设 P < 0 是一常数,过点`Q(2P,0)的直线与抛物线 y 2 ? 2 px 交于相导两点 A、B 以线段 AB 为直径作圆 H(H 为圆心).试证抛物线顶点在圆 H 的圆周上;并求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方 程. [考场错解] 设 AB 直线方程为 y ? k ( x ? 2 p ).

A( x1, y1 ).B ( x2 , y2 )


? x1 ? x2 ?

y ? kx ? 2 px, y 2 ? 2 px

? k 2 x2 ? 4 p2k 2 ? 2 px ? 0.

4 pk 2 ? 2 p k2

, x1 ? x2 ? 4 p2

① 式中联立消去 x得ky2 ? 2 py ? 4 p 2k ? 0.
y1 ? y2 ? 2p , y1 ? y2 ? ?4 p 2 . k

由 kOB ? kOA ?

y1 y2 y1 ? y2 ? ? ? ?1. x1 x2 x1 ? x2

? OB ? OA ? O在圆H上 . r ? OH ? 2p ( 1 k2 x1 ? x2 y ? y2 2 ?( 1 ) ? 2 2

5 25 ? )2 ? 1 ? . 2 4 1

?当

? 0 时, r 取最小值 k2 又 ?? 0故不存在最小值

[专家把脉] ∵

1 k
2

? 0 时,,虽然不成立,而

1 ? 0 时说 k2

明 k 不存在,即直线 AB ? x轴 . [对症下药] 法一;由题意,
第 43 页 共 120 页

直线 AB 不能是水平线,故可设 直线方程为: ky ? x ? ?2 p. 又设 A
( x A , yB ), B( xB , yB ), 则其坐标

满足
? ky ? x ? 2 p ? 2 ? y ? 2 px

消去 x 得

y 2 ? 2 pky ? 4 p 2 ? 0. ,由此得
? y A ? y B ? 2 pk ? 2 . ? y A y B ? ?4 P

? x A ? xB ? 4 p ? k ( y A ? yB ) ? (4 ? 2k 2 ) p ? , ( y A yB ) 2 ? ? 4P 2 ? x A xB ? 2 ( 2 P) ?

因此 OA ? OB ? xAxB ? y A yB ? 0,即OA ? OB故O必 在圆 H 的圆周上. 又题意圆心 H ( xH , y H )
x ? xB ? x ? A (2 ? k 2 ) p. ? ? H 2 故? y ? y B ? A? y B ? kp. ? 2 ?
2 2 由前已证,OH 应是圆 H 的半径,且|OH|= xH ? yH

是 AB 中心点,

? k 4 ? 5k 2 ? 4 p . 从而当 k=0 时,圆 H 的半径最小,亦使

圆 H 和面积最小,此时,直线 AB 的方程为: x ? 2 p. 法二:由题意,直线 AB 不能是水平线,故可设直线方程 为: ky ? x ? 2 p又设A( x A , y A ), B( xB , yB ), 则其坐标满足
? ?ky ? x ? 2 p, ? y 2 ? 2 pky ? 4 p 2 ? 0. 分别消去x, y, 得? 2 ? 2 2 2 ? ? y ? 2 px ? x ? 2 p(k ? 2) x ? 4 p ? 0.



得 A、B 所在圆的方程 x2 ? y 2 ? 2 p(k 2 ? 2) x ? 2 pky ? 0. 明 显的,O, (0,0)满足上面方程 A、B、O 三点均在上面方 程所表示的圆上,又知 A、B 中点 H 的坐标为 (
y A ? yB ) ? ((2 ? k 2 ) p, kp), 故 | 0H | (2 ? k 2 )2 p 2 ? k 2 p 2 . 2 x A ? xB , 2

而前面圆的方程可以可表示为 [ x ? (2 ? k 2 ) p]2 ? ( y ? pk )2 ?
第 44 页 共 120 页

(2 ? k 2 )2 p 2 ? k 2 p 2 , 故|OH|为上面圆的半径 R,从而以 AB

为直径直圆必过点 O(0,0).又 R 2 ?| OH |2 ? (k 4 ? 5k 2 ?
4) p2 , 故当k ? 0 时.R2 J 最小.从而圆的面积最小,此时直

线 ABR 的方程为: x ? 2 p 法三:,同解法得 O 必在圆周上,又直径|AB
2 2 |= ( xA ? xB )2 ? ( yA ? yB )2 ? x2 A ? xB ? yB ?
2 x2 A ? xB ? 2 px A ? 2 pxB ? 2 x A xB ? 4 p ? x A xB ? 4 p .

上式当 x A ? xB 时,等号成立,直径|AB|最小,从而圆 面积最小,此时直线 AB 的方程为 x ? 2 p.

专家会诊 1.直线与圆、圆与圆的位置关系判断时利用几何法(即圆心到直线,圆心与圆心之间的距离, 结合直角三角形求解.) 2.有关过圆外或圆上一点的切线问题,要熟悉切线方程的形式. 考场思维训练 1 已知直线 ax+by+c=0(abc≠0)与圆 x2+y2=1 相切,则三条边分别为,|a|、|b|、|c|的三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不存在 答案: B 解析:
|c| a ? b2
2

?1.

2 若 a2+b2-2c2=0,则直线 ax+by+c=0 被 x2+y2=1 所截得的弦长为 A.
1 2

(

)

B.1

C.

2 2

D. 2

答案: D 解析:设圆心到直线的距离为 d,弦长为 l, 则 d2=
c2 a ? b2
2

?

1 ,l=2 R2 ? d 2 ? 2 . 2

3 如图,已知点 F(0,1),直线 L:y=-2,及圆 C:x2+(y-3)2=1. (1)若动点 M 到点 F 的距离比它到直线 L 的距离小 1,求动点 M 的轨迹 E 的方程; 答案:解①x =4y
2

②x1x2=-4 ③P(±2,1)Smin= 7

(2)过点 F 的直线 g 交轨迹 E 于 C(x1,y1)、H(x2,y2) 两点,求证:xlx2 为定值; (3)过轨迹 E 上一点 P 作圆 C 的切线,切点为 A、B,要使四边形 PACB 的面积 S 最 小,求点 P 的坐标及 S 的最小值. 4 如图 8-9,已知圆 C:(x+4)2+y2=4.圆 D 的圆心 D 在 y 轴上且与圆 C 外切.圆 D 与 y
第 45 页 共 120 页

轴交于 A、B 两点,点 P 为(-3,0). (1)若点 D 坐标为(0,3),求∠APB 的正切值; 答案:∵|CD|= | CO |2 ? | OD |2 =5,(O 为原点)且

圆 D 与圆 C 外切, ∴圆 D 半径 r=5-2=3, 此时,A、B 坐标分别为(0,0)、(0,6), ∴PA 在 x 轴上,且 BP 的斜率 k=2, ∴tan∠APB=2. (2)当点 D 在 y 轴上运动时,求∠APB 的最大值; 2 2 答 案 : 设 D 的 坐 标 为 (0 , a) , 圆 D 的 半 径 为 r , 则 (r+2) =16+a . ① 设 PA、PB 的斜率为 k1、k2,又 A、B 的坐标分别为(0,a-r)、(0,a+r).则 k1=
a?r 3 , k2 ? a?r , 3

a?r a?r ? 6r 3 ∴tan∠APB= 3 ? a ? r a ? r a2 ? r 2 ? 9 1? ? 3 3



由①解出 a 代人②,得 tan∠APB= ∴tan∠APB∈( ,
3 12 ) 2 5 12 . 5

2

6r 3 9 ? ? , 而 8r-6 为单调增函数,r∈[2,+∞]. 34r ? 3 2 8r ? 6

∠APB 的最大值为 arttan

(3)在 x 轴上是否存在定点 Q, 当圆 D 在 y 轴上运动时, ∠AQB 是定值?如果存在, 求出点 Q 坐标; 如果不存在,说明理由. 答案:假设存在 Q 点,设 Q(b,0),QA、QB 的斜率分别为 k1、k2,则中 k1=
a?r a?r ? k 2 ? k1 ? 1br ? b ?| |?| ? b tan ∠ AQB= | 将 2 a ? r a ? r 1 ? k 2 k1 b ? a2 ? r 2 1? ? ?b ?b

a?r a?r , k2 ? , ?b ?b

a =(r+2) -16 代 人 上 式 , 得

2

2

tan ∠

AQB= |

?2br b ? 12 ? 4r
2

|?|

?2b b ? 12 ?4 r
2

欲使∠AQB 大小与 r 无关,则应有 b =12,即 b=±2 3 ,

2

此时 tan∠AQB= 3 ,∠AQB=60°, ∴存在 Q 点,当圆 D 变动时,∠AQB 为定值 60°,这 Q 点坐标为(±2 3 ,0) 探究开放题预测 预测角度 1 直线的方程 1.求与直线 3x+4y+12=0 平行,且与坐标轴构成的三角形面积是 24 的直线乙的方程.
第 46 页 共 120 页

[解题思路] 满足两个条件才能确定一条直线.一般地,求直线方程有两个解法,即用其中一个条 件列出含待定系数的方程,再用另一个条件求出此参数. [解答] 解法一:先用“平行”这个条件设出乙的方程为 3x+4y+m=0①再用“面积”条件去求 m, ∵直线 l 交 x 轴于 A(m m 1 m m ,0),交了轴于 B(0,- )由 ? ? ? ? =24,得 m=±24,代入①得所 2 3 4 3 4

求直线的方程为:3x+4y±24=0 解法二: 先用面积这个条件列出 l 的方程, 设 l 在 x 轴上截距离 a, 在 y 轴上截距 b, 则有 , |ab|=24, 因为乙的倾角为钝角,所以 a、b 同号,|ab|=ab,l 的截距式为 ? 直线与 3x+4y+2=0 平行, ∴
48 a 2 ? 48a ? ? , 3 4 2
x a y 2 ? 1 ,即 48x+a y-48a=0②又该 48 1 2

∴a=±18 代入②得所求直线 l 的方程为 3x+4y±24=O 2.设正方形 ABCD(A、B、C、D 顺时针排列)的外接圆方程为 x2+y2-6x+a=0(a<9),C、D 点所在直 线 l 的斜率为 . (1)求外接圆圆心 M 点的坐标及正方形对角线 AC、BD 的斜率; (2)如果在 x 轴上方的 A、B 两点在一条以原点为顶点,以 x 轴为对称轴的抛物线上,求此抛物线 的方程及直线 l 的方程; (3)如果 ABCD 的外接圆半径为 2 , 在 x 轴上方的 A、 B 两点在一条以 x 轴为对称轴的抛物线上, 求此抛物线的方程及直线 l 的方程. [解题思路] (1)利用斜率公式求倾斜角.(2)(3)运用轨迹法. [解答] (1)由(x-3)2+y2=9-a(a<9)可知圆心 M 的坐标为(3,0),依题意:∠ABM=∠BAM=
1 3 1 3

? ,kAB= 4

1 3 =1,解得:k =- 1 ,k =2. ∴MA、MB 的斜率 A 满足: AC AB 1 2 1? k 3 k?

(2)设 MB、MA 的倾斜角分别为θ l、θ 2,则 tanθ 1=2, tanθ 2=- ,可以推出:cosθ 1= θ 1=
2 2 5 ,cosθ 2=5 ,sinθ 2= 5 5

1 2

5 ,sin 5

5 . 5

再设|MA|=|MB|=r,则 A(3-

5 2 2 5 r, 5r ) 5r , r ),B(3+ 5 5 5 5

设抛物线方程为 y2=2px(p>0),由于 A、B 两点在抛物线上,
? 5 2 2 r ) ? 2 p (3 ? 5 r ), ?( 1 ? 5 5 ? 解出:r= 5 ,p= ∴? . 2 2 5 ? 2 ( 5 r ) ? 2 p (3 ? r) ? 5 ? 5

得抛物线方程为 y2=x. 由此可知 A 点坐标为(1,1),且 A 点关于 M(3,0)的对称点 C 的坐标是(5,-1),∴直线 l 的方

第 47 页 共 120 页

程为 y-(-1)= (x-5),,即 x-3y-8=0. (3)将圆方程(x-3)2+y2=(2 5 )2 分别与 AC、BD 的直线方程: y= (x-2),y=2(x-3)联立,可解得 A(-1,2), B(5,4). 设抛物线方程为了 y2=a(x-m)(*)将 A(-1,2)、B (5,4)的坐标代入(*),得
?4 ? a(?1 ? m) ? ?16 ? a(5 ? m)
1 2

1 3

解得:a=2,m=-3, ∴抛物线的方程为 y2=2(x+3). A(-1,2),点关于 M(3,0)的观点为 C(7,-2), 故直线 l 的方程为 y-(-2)= (x-7),即 x-3y- 13=0.
1 3

预测角度 2 两直线的位置关系 1.若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点,其中 A(-2,3),B(3,2),求实数 m 的取值范围. [解题思路] 运用数形结合的思想来解,直线 mx+y+ 2=0 的斜率-m 应为倾角的正切,而当倾角 在(0°,90°)或 (90°,180°)内,角的正切函数都是单调递增的,因此当直线在∠ACB 内部变化 时,众应大于或等于 kBC,或者 k 小于或等于 kAC,当 A、B 两点的坐标变化时,求出 m 的范围. [解答] 直线 m+y+2=0 过一定点 C(0, -2), 直线 mx+y+2=0 实际上表示的是过定点 (0,-2)的直线系,因为直线与线段 AB 有交点,则直线只能落在∠ABC 的内部,设 BC、 CA 这两条直线的斜率分别为 k1、 k2, 则由斜率的定义可知, 直线 mx+y+2=0 的斜率 A 应满足 k≥k1, 或 k≤k2,∵A(-2,3) B(3,2)
4 3 5 k2 ? ? 2 4 5 4 5 ? ?m ? 或 ? m ? ? 即m ? ? 或m ? 3 2 3 2 ? k1 ?

2.如图 8-11,已知:射线 OA 为 y=kx(k>0,x>0),射线 OB 为了 y=-kx(x>0),动点 P(x,y)在∠AOx 的内部,PM⊥OA 于 M,PN⊥kOB 于 N,四边形 ONPM 的面积恰为 k. (1)当 k 为定值时, 动点 P 的纵坐标 y 是横坐标 x 的函数, 求这个函数 y=f(x)的解析 式; (2)根据 A 的取值范围,确定 y=f(x)的定义域. [解题思路] (1)设点的坐标而不求,直接转化. (2)垂足 N 必须在射线 OB 上, 所以必须满足条件: y< 解不等式即可. [解答] (1)设 M(a,ka),N(b,-kb),(a>0,b>0).则|OM|=a 1 ? k 2 ,|ON|=b 1 ? k 2 . 由动点 P 在∠AOx 的内部,得 0<y<kx.
第 48 页 共 120 页
1 1 x, 将它代入函数解析式, 得 x2 ? k 2 ? 1 ? x , k k

?| PM |? | PN |?

| kx ? y |
2

1? k | kx ? y | 1? k2

?

kx ? y

?

1? k2 kx ? y 1? k2

,

∴S 四边形 ONPM=S△ONP+S△OPM= (|0M|?|PM|+ |ON|?|PN|) = [a(kx-y)+b(kx+y)]= ∴k(a+b)x-(a-b)y=2k 又由 kPM=1 2 1 [k(a+b)x- (a-b)y]=k 2

1 2



1 y ? ka 1 y ? kb ? ,kPN= ? , k x?a k x?b

分别解得 a=

x ? ky 1? k
2

,b ?

x ? ky 1? k2

,代入①式消 a、b,并化简得 x2-y2=k2+1.

∵y>0,∴y= x2 ? k 2 ? 1 (2)由 0<y<kx,得 0< x2 ? k 2 ? 1 <kx
2 2 ? ?x ? k ? 1 ? 0 ?? 2 2 2 2 ? ?x ? k ? 1 ? k x ? ?x ? k 2 ? 1 ?? 2 2 2 ? ?(1 ? k ) x ? k ? 1

(*)

当 k=1 时,不等式②为 0<2 恒成立,∴(*) ? x> 2 . 当 0<k<1 时,由不等式②得 x2< 当 k>1 时,由不等式②得 x2> ∴(*) ? x> k 2 ? 1 但垂足 N 必须在射线 OB 上,否则 O、N、P、M 四点不能组成四边形,所以还必须满足条件: y<
1 1 x,将它代入函数解析式,得 x2 ? k 2 ? 1 < x k k

k2 ?1 1? k
2

,x<
k2 ?1 1? k2

1? k4 1? k
2

,? (*) ? k 2 ? 1 ? x ?

1? k4 1? k2

.

k2 ?1 1? k

,且 2

?0

解得 k 2 ? 1 ? x ?

k k4 ?1 k2 ?1

(k >1),或 x∈A(0<k≤1).

综上:当 k=1 时,定义域为{x|x> 2 } ; 当 0<k<1 时,定义域为{x| k 2 ? 1 <x< 当 k>1 时,定义域为{x| k 2 ? 1 <x< 预测角度 3 线性规划 1.已知 x、y 满足约束条件
1? k4 1? k2

};

1? k4 1? k2

}.

第 49 页 共 120 页

? x ? 1, ? ? x ? 3 y ? ?4, ?3x ? 5 y ? 30. ?

求目标函数 z=2x-y 的最大值和最小值. [解题思路] 由 x、y 满足的约束条件作出可行域,利用平移法求最值. [解答] 根据 x、 y 满足的约束条件作出可行域, 即如图所示的阴影部分(包括边界). 作直线 l0:2x-y=0,再作一组平行于 l0 的直线 l:2x-y= t,t∈R 可知,当 l 在 l0 的右下方时,直线 l 上的点(x,y)满足 2x-y>0,即 t>0,而且直线 l 往右平移时, t 随之增大.当直线 l 平移至 ll 的位置时,直线经过可行域上的点 B,此时所对应的 t 最大;当 l 在 l0 的左上方时,直线 l 上的点(x,y)满足 2x-y<0,即 t<0,而且直线 l 往左平移时,t 随之减小.当直 线 l 平移至 l2 的位置时,直线经过可行域上的点 C,此时所对应的 t 最小. 由? 由?
?x ? 3 y ? 4 ? 0, 解得点 B 的坐标为(5,3); ?3x ? 5 y ? 30 ? 0, ?x ? 1, 27 解得点 C 的坐标为(1, ). 5 ?3x ? 5 y ? 30 ? 0,

所以,z 最大值=2?5-3=7;z 最小值=2 2.已知三种食物 P、Q、R 的维生素含量与成本如下表所示. 食物 P 维生素 A(单位/kg) 维生素 B(单位/kg) 成本(元/kg) 400 800 6 食物 Q 600 200 5 食物 R 400 400 4

现在将 xkg 的食物 P 和 ykg 的食物 Q 及 zkg 的食物 R 混合, 制成 100kg 的混合物. 如果这 100kg 的混合物中至少含维生素 A44000 单位与维生素 B48000 单位,那么 x、y、z 为何值时,混合物的成 本最小? [解题思路] 由 x+y+z=100,得 z=100-x-y,所以上述问题可以看作只含 x、y 两个变量.设混合 物的成本为 k 元,那么 k=6x+5y+4(100-x-y)=2x+y+400.于是问题就归结为求∵在已知条件下的线性 规划问题. [解答] 已知条件可归结为下列不等式组:
? x ? 0, ? ? y ? 0, ? ? x ? y ? 100, ? ?400 x ? 600 y ? 400(100 ? x ? y ) ? 44000, ?800 x ? 200 y ? 400(100 ? x ? y ) ? 48000. ? ? ? x ? y ? 100,

? y ? 20, ① 即? ?2 x ? y ? 40.

在平面直角坐标系中,画出不等式组①所表示的平面区域,这个区域是直线 x+y=100,y=20, 2x-y=40 围成的一个三角形区域 EFG(包括边界),即可行域,如图所示的阴影部分. 设混合物的成本为 k 元,那么 k=6x+5y+4(100- x-y)=2x+y+400. 作直线 l0:2x+y=0,把直线 l0 向右上方平移至 l1 位置时,直线经过可行域上的 点 E,且与原点的距离最小,此时 2x+y 的值最小,从而 A 的值最小. 由?
?2 x ? y ? 40, ? y ? 20,
第 50 页 共 120 页

得?

? x ? 30, 即点 E 的坐标是(30,20). ? y ? 20,

所以,k 最小值=2?30+20+400=480(元),此时 z= 100-30-20=50. 答:取 x=30,y=20,z=50 时,混合物的成本最小,最小值是 480 元. 预测角度 4 直线与圆 1.已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点,AB=2、OT=t (0<t<1),以 AB 为直腰作直角梯形 AA'B'B, 使 AA'垂直且等于 AT, 使 BB'垂直且等于 BT,A'B'交半圆于 P、 Q 两点, 建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线 A'B'的方程; (2)计算出点 P、Q 的坐标; (3)证明:由点 P 发出的光线,经 AB 反射后,反射光线通过点 Q. [解题思路] (1)由两点式可求;(2)联立方程即可求出点 P、Q 的坐标; (3)要证由点 P 发出的光线经点 T 反射,反射光线通过点 Q,即只要证直线 PT 的斜 率和直线 QT 的斜率互为相反数. [解答] (1)显然 A'(1,1-t),B'(-1,l+t),于是直线 A'B,的方程为了 y=tx+1; (2)由方程组 ? ?
? x 2 ? y 2 ? 1, ? ? y ? ?tx ? 1,

解出 P(0,1)、 Q(
1? t2

2t 1? t
2

,

o ? t2 1? t2

);

(3) k PT ?

?0 2 1? 0 1 1? t2 1 ? ? , kQT ? 1 ? t ? ? . 2 2t 0?t t t t ( 1 ? t ) ?t 1? t2

由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点 T 反射,反射光线通 过点 Q. 2.已知⊙M:x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA、QB 分别切 OM 于 A、B 两点, (1)如果|AB|=
4 2 ,求直线 MQ 的方程; 3

(2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程. [解题思路] (1)由射影定理知:|MB|2=|MP|? |MQ|,得|MQ|=3,在 Rt△MOQ,求出 OQ.再求 直线 MQ 的方程;利用点 M、P、Q 在一直线上,斜率相等求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程. [解答] (1) 由 |AB|=
4 2 , 可 得 |MP|= 3
| MA |2 ?( | AB | 2 2 2 2 1 ) ? 12 ? ( ) ? ,由射影定理,得 2 3 3

|MB|2=|MP|?|MQ|,得,|MQ|=3, 在 RtAMOQ 中, |OQ|= | MQ |2 ? | MO |2 ? 32 ? 22 ? 5 , 故 a= 5 或 a=- 5 所以直线 MQ 方程是 2x+ 5 y-2 5 =0 或 2x- 5 y+2 5 =0; (2)连接 MB、MQ,设 P(x,y)、p(a,0),由点 M、P、Q 在一直线上,得
2 y?2 ? ,(*)由射影定理得 ?a x

第 51 页 共 120 页

|MB|2=|MP|?|MQ|, 即
7 1 )把(*)及(答案: )消去 a, 并注意到 y<2, 可得 x2+ ( y ? )2 ? ( y ? 2). x2 ( y ? 2)2 ? a2 ? 4 ? 1 ,(答案: 4 16

预测角度 5 有关圆的综台问题 1.设 P 是圆 M:(x-5)2+(y-5)2=1 上的动点,它关于 A(9,0)的对称点为 Q,把 P 绕原点依逆时针方 向旋转 90°到点 S,求|SQ|的最值. [解题思路] 运用复数的几何意义求出 SQ 的轨迹方程,再求|SQ|的最值. [解答] 设 P(x,y),则 Q(18-x,-y),记 P 点对应的复数为 x+yi,则 S 点对应的复数为: (x+yi)?i=-y+xi,即 S(-y,x)
?| SQ |? (18 ? x ? y )2 ? (? y ? x) 2 ? 182 ? x 2 ? y 2 ? 36 x ? 36 y ? 2 xy ? x 2 ? y 2 ? 2 xy ? 2 ? x 2 ? y 2 ? 18 x ? 18 y ? 81 ? 81 ? 2 ? ( x ? 9)2 ? ( x ? 9) 2

其中 ( x ? 9)2 ? ( x ? 9)2 可以看作是点 P 到定点 B(9,-9)的距离,其最大值为|MB|+r=2 53 +1 最小 值为|MB|-r=2 53 -1,则 |SQ|的最大值为 2 106 ? 2 ,|SQ|的最小值为 2 106 ? 2 2.已知圆(x+4)2+y2=25 的圆心为 M1,圆(x-4)2+y2=1 的圆心为 M2,一动圆与这两个圆都外切. (1)求动圆圆心 P 的轨迹方程; (2)若过点 M2 的直线与(1)中所求轨迹有两个交点 A、O,求|AMl|?|BM1|的取值范围. [解题思路] (1)利用定义法求轨迹;(2)设过 M2 的直线斜率为 k,联立方程,求|AM1|?|BM1|的取 值范围转化为求参数 k 的范围. [解答] (1)∵|PM1|-5=|PM2|-1,∴|PM1|- |PM2|=4 ∴动圆圆心户的轨迹是以 M1、M2 为焦点的双曲线的右支.c=4,a=2,b2=12,故所求轨迹方程 为
x2 y 2 ? ?1 4 12

(x≥2).
? 时,设其斜率为 k ,直线方程为了 y=k(x-4) ,与双曲线 2

(2) 当过 M2 的直线倾斜角不等于

3x2-y2-12=0 联立,消去 y 化简得(3-k2)x2+8k2x-16k2-12=0,又设 A (x1,y1)、B(x2,y2),x1>0,x2>0
? 8k 2 ?0 ? x1 ? x2 ? 2 k ?3 ? ? 16k 2 ? 12 ? ?0 由 ? x1x2 ? 2 解得 k2>3. k ? 3 ? ?? ? 64k ? 16(3 ? k 2 )(4k 2 ? 3) ? 0 ? ? ?

由双曲线左准线方程 x=-1 且 e=2,有 |AMl|?|BM1|=e|x1+1|?e|x2+1| =4[x1x2+(x1+x2)+1]=4 (
16k 2 ? 12 k ?3
2

?

8k 2 k2 ? 3

? 1) ? 100 ?

336 k2 ? 3

第 52 页 共 120 页

∵k2-3>0,∴|AM1|?|BM1|>100 又当直线倾斜角等于
? 2

时,A(4,y1)、B(4,y2),|AM1|= |BM1|=e(4+1)=10,|AM1|?|BM1|=100

故 |AM1|?|BM1|≥100. 考点高分解题综合训练 说明:1~4 解析:略
x ? ? x2 ? x? 1 ? ? 1? ? 方程 ? (λ ∈R 且λ ≠1)表示的曲线是 y ? y ? 1 ? ?y 2 ? 1? ? ?

1

(

)

A.以点 M1(x1,y1)、M2(x2,y2)为端点的线段 B.过点 M1(x1,y1)、M2(x2,y2)的直线 C.过点 Ml(x1,y1)、M2(x2,y2)两点的直线,去掉点 M1 的部分 D.过点 M1(x1,y1)、M2(x2,y2)两点的直线去掉 M2 的部分 答案: D 2 直线 l 经过 A(2,1)、B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范围是 A.[0,π ] C.[0, 答案: B
? ] 4

(

)

B.[0, D.[0,

? ? ]∪( ,π ) 4 2 ? 3 ]∪[ π ,π ] 4 4

3 曲线 y=1+ 4 ? x2 ,x∈[-2,2]与直线 y=k(x-2)+4 有两个交点时,实数 k 的取值范围是 答案: D 4 若 x、y 满足 x2+y2-2x+4y=0,则 x-2y 的最大值是
A. 3 2 B.8 D. 2 5

(

)

(

)

C.1 0

答案: C 5 使可行域为 ? ?3 y ? x A. |a|≤b C. |a|≥b
?y ? x

?x ? y ? 4 ?

的目标函数 z=ax+by(ab≠0),在 x=2,y=2 取得最大值的充要条件是 (

)

B. |a|≤|b| D. |a|≥|b|
a ,要使目标函数 z=ax+by 在 x=2, b

答案: A 解析:画出可行区域,直线 l:ax+by=0 的斜率为y=2 时,取得最大值,必须且只需||a |≤1 且 b>0. b

a |≤1,且直线 l 向上平移时,纵截距变大,所以必须且只需 b

6 已知向量 a=(2cosα , 2sina), b=(3cosβ , 3sinβ ), a 与 b 的夹角为 60°, 则直线 xcosα -ysinα + =0

1 2

第 53 页 共 120 页

与圆(x-cosβ )2+(y+sinβ )2= 的位置关系是 A.相切 B.相交 C.相离 D.随α ,β 的值而定 答案: C 解析:略 7 当 x, y 满足约束条件 ? ?y ? x A.-9 C.-12 B.9 D.12
?x ? 0

1 2

(

)

?2 x ? y ? k ? 0 ?

(k 为常数)时, 能使 z=x+3y 的最大值为 12 的 k 的值为

(

)

答案: A 解析:画出线性约束条件所表示的平面区域, ,由图可知,目标函数 y=- ? 的图像过直 线 y=x 与 2x+y+k=0 的交点时,z 最大,解得交点为(k k ,- ),得 z=12,所以选 A. 3 3

x 3

z 3

说明:8~11 解析:略 8 已知点 M(-3,0)、N(3,0)、O(1,0),⊙C 与直线 MN 切于点 B,过 M、N 与⊙C 相切的两直线 相交于点 P, 则 P 点的轨迹方程为 ( ) A.x2B.x2C.x2+ D.x2+
y2 =1 8 y2 =1(x>1) 8 y2 =1 8 y2 =1 10

答案: B 9 有下列 4 个命题: ①两直线垂直的充要条件是 k1k2=-1; ②点 M(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 外时,过点 M(x0,y0)与直线 Ax+By+C=0(AB≠0)平行的直线 方程为 A(x-x0)+B(y-y0)=0; ③直线 l1:y=2x-1 到 l2:y= x+5 的角是
1 3

? ; 4
| C1 ? C2 | A2 ? B2

④两平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离是 d=

其中正确的命题有

(

)

A.①② B.③④ C.②④ D.以上答案均对 答案: C 10 圆 x2+y2-4x+2y+c=0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 P,若∠APB=120°,则实数 c 等于 ____________ 答案:-11 11 直线 ?
x a y =1 与圆 x2+y2=r2(r>0)相切的充要条件是_________ b

答案:|ab|=r a 2 ? b 2

第 54 页 共 120 页

12 已知动圆户与定圆 C:(x+2)2+y2=1 相外切,又与定直线 L:x=1 相切,那么动圆圆心户的轨迹方 程是________ 2 答案: y =-8x 解析:设圆心的坐标为(x,y), 由已知有 1-x= ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 ,整理后可得. 13 已知△ABC 的顶点 A(3,-1),AB 边上的中线所在直线的方程为 6x+l0y-59=0,∠B 的平分线所 在直线的方程为:x-4y+10=0,求边 BC 所在直线的方程. 答案:解:设 B(a,b),B 在直线 BT 上,∴a-4b+10=0① 又 AB 中点 M(
3 ? a b ?1 , )在直线 CM 上,∴点 M 的坐标满足方程 6x+10y-59=0 2 2 3? a b ?1 +10? -59=0② 2 2

∴6?

解①、②组成的方程组可得 a=10,b=5 ∴B(10,5), 又由角平分线的定义可知,直线 BC 到 BT 的角等于直线 BT 到直线 BA 的角,又 kAB= ,kBT= ∴
kBT ? kBC k ?k ? BA BT 1 ? kBT kBC 1 ? kBA ? kBT
6 7 1 4

∴kBC=- , ∴BC 所在直线的方程为 y-5=- (x-10)即 2x+9y-65=0

2 9

2 9

14 某人有楼房一幢, 室内面积共 180m2, 拟分隔成两类房间作为旅游客房. 大房间每间面积为 18m2, 可住游客 5 名,每名游客每天住宿费为 40 元;小房间每间面积为 15m2,可住游客 3 名,每名 游客每天住宿费为 50 元.装修大房间每间需 1000 元,装修小房间每间需 600 元.如果他只能 筹款 8000 元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,能获得最大收 益? 答案:解:设隔出大房间 x 间,小房间 y 间时收益为 z 元,则 x、y 满足
?18 x ? 15 y ? 180, ? ?1000 x ? 600 y ? 8000, ? x, y ? N , ?

且 z=200x+150y.
?6 x ? 5 y ? 60, ? ?5 x ? 3 y ? 40, ? x, y ? N , ?

作出可行域及直线 l:200x+150y=0,即 4x+3y =0.(如图 4)把直线 l0 向上平移至 l1 的位置时, 直线经过可行域上的点 B,且与原点距离最大.此时,z=200x+150y 取最大值.但解 6x+5y=60 与 5x+3y=40 联立的方程组得到 B(
20 60 , ).由于点 B 的坐标不是整数,而 7 7

x、y∈N,所以可行域内的点 B 不是最优解. 为求出最优解,同样必须进行定量分析. 因为 4?
20 60 260 +3? = ≈37.1,但该方程的非负整数解(1,11)、(4,7)、(7,3)均不在可行域内, 7 7 7

所以应取 4x+3y=36.同样可以验证,在可行域内满足上述方程的整点为(0,12)和(3,8).此时 z 取最大值 1800 元.
第 55 页 共 120 页

15 设有半径为 3km 的圆形村落,A、B 两人同时从村落中心出发,B 向北直行,A 先向东直行, 出村后不久,改变前进方向,沿着与村落周界相切的直线前进,后来恰与。相遇.设 A、B 两 人速度一定,其速度比为 3:1,问两人在何处相遇? 答案:解:如图建立平面直角坐标系,由题意可设 A、B 两人速度分别为 3v 千米/小时,v 千米/ 小时,再设出发 x0 小时,在点 P 改变 方向,又经过 y0 小时,在点 Q 处与 B 相遇. 则 P、Q 两点坐标为(3vx0,0),(0,vx0+vy0). 2 2 2 2 2 2 由|OP| +|OQ| =|PQ| 知,(3vx0) +(vx0+vy0) =(3vy0) , 即(x0+y0)(5x0-4y0)=0. ∵x0+y0>0,∴5x0=4y0 ① 将①代人 kPQ=3 x0 ? y0 得 kPQ=4 3x0

又已知 PQ 与圆 O 相切,直线 PQ 在 y 轴上的截距就是两个相遇的位置. 设直线 y=- x+b 与圆 O:x +y =9 相切, 则有
| 4b | 32 ? 42
3 4
2 2

=3,∴b=

15 . 4

答:A、B 相遇点在离村中心正北 3

3 千米处. 4

16 设数列{an}的前 n 项和 Sn=na+n(n-1)b,(n=1,2,?),a、b 是常数且 b≠0. (1)证明:{an}是等差数列. 答案:证明:由条件,得 al=S1=a,当 n≥2 时, 有 an=Sn-Sn-1=[na++n(n-1)b]-[(n-1)a+(n- 1)(n-2)b]=a+2(n-1)b. 因此,当 n≥2 时,有 an-an-1=[a+2(n-1)b]-[a+2(n-2)b]=2b. 所以{an}是以 a 为首项,2b 为公差的等差数列. (2)证明:以(an,
Sn -1)为坐标的点 Pn(n=1,2,?)都落在同一条直线上,并写出此直线的方程. n
(

Sn ? 1 S ?1 na ? n( n ? 1)b ? 1) ? ( 1 ? 1) ?a ( n ? 1)b 1 n 1 a ? ? ? 答案:证明:∵b≠0,对于 n≥2,有 an ? a1 a ? 2(n ? 1)b ? a 2( n ? 1)b 2

∴所有的点 Pn(an, 了 y-(a-1)=

Sn 1 ? 1 )(n=1,2,?)都落在通过 P1 (a,a-1)且以 为斜率的直线上.此直线方程为 n 2 1 (x-a),即 x-2y+a-2=0. 2 1 2

(3)设 a=1,b= ,C 是以(r,r)为圆心,r 为半径的圆(r>0),求使得点 P1、P2、P3 都落在圆 C 外 时,r 的取值范围. 答案:解:当 a=1,b= 时,Pn 的坐标为(n, 使 P1(1,0)、P2(2,
1 2 n?2 ), n

1 )、P3(3,1)都落在圆 c 外的条件是 2

第 56 页 共 120 页

?(r ? 1) 2 ? r 2 ? r 2 ? 1 2 ? 2 2 ?(r ? 1) ? (r ? ) ? r 2 ? ?(r ? 3) 2 ? (r ? 1)2 ? r 2 ? ?(r ? 1) 2 ? 0 ? 17 ? 即?r 2 ? 5r ?0 ① 4 ? ② ?r 2 ? 8r ? 10 ? 0 ? ③

由不等式①,得 r≠1 由不等式②,得 r< - 2 或 r> + 2 由不等式③,得 r<4- 6 ,或 r>4+ 6 再注意到 r>0,1< - - 2 <4- 6 = + 2 <4+ 6 故使 P1、P2、P3 都落在圆 C 外时,r 的取值范围是(0,1)∪ (1, - 2 )∪(4+ 6 ,+∞). 考点 9 圆锥曲线 ?对椭圆相关知识的考查 ?对双曲线相关知识的考查 ?对抛物线相关知识的考查 ?对直线与圆锥曲线相关知识的考查 ?对轨迹问题的考查 ?考察圆锥曲线中的定值与最值问题 ?椭圆 ?双曲线 ?抛物线 ?直线与圆锥曲线 ?轨迹问题 ?圆锥曲线中的定值与最值问题 典型易错题会诊 命题角度 1 对椭圆相关知识的考查 1.(典型例题Ⅰ)设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△FlPF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( )
A. 2 2 B. 2 ?1 2 C.2 ? 2 D. 2 ? 1
5 2 5 2 5 2 5 2 5 2

[考场错解] A [专家把脉] 没有很好地理解椭圆的定义,错误地把 [对症下药] e=
2c ? 2a k 2k ? k | PF1 | 当作离心率. | PF2 |

D

设椭圆的方程为

x2 a2

?

y2 b2

=l (a,b >0) 由题意可设|PF2|=|F1F2|=k,|PF1|= 2 k,则

? 2 ?1

2.(典型例题)设双曲线以椭圆 的渐近线的斜率为 A.±2 B.±
4 3

x2 y 2 =1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线 ? 25 9
1 2 3 4

(

) C.± D.±

第 57 页 共 120 页

[考场错解] D 由题意得 a=5,b=3,则 c=4 而双曲线以椭圆 则 a=c =4,b=3 ∴k= ?
b 3 ?? a 4

x2 y 2 =1 长轴的两个端点为焦点, ? 25 9

[专家把脉] 没有很好理解 a、b、c 的实际意义. [对症下药] C 设双曲线方程为 b= 5 ∴双曲线渐近线斜率为±
b 1 =? a 2

x2 a2

?

y2 b2

=1,则由题意知 c=5,

a2 =4 c

则 a2=20 b2=5,而 a=2 5

3.(典型例题)从集合{1,2,3?,11}中任选两个元素作为椭圆方程

x2 m
2

?

y2 n2

=1 中的 m 和 n,则能组

成落在矩形区域 B={(x,y)‖x|<11,且|y|<9}内的椭圆个数为 ( ) A.43 B.72 C.86 D.90 [考场错解] D 由题意得,m、n 都有 10 种可能,但 m≠n 故椭圆的个数 10?10-10=90. [专家把脉] 没有注意,x、y 的取值不同. [对症下药] B 由题意得 m 有 10 种可能,n 只能从集合 11,2,3,4,5,6,7,81 中选取,且 m≠n,故椭圆的个数:10?8-8=72. 4.(典型例题)设直线 l 与椭圆
x2 y 2 =1 相交于 A、 B 两点,l 又与双曲线 x2-y2=1 相交于 C、 D 两点, ? 25 16

C、D 三等分线段 AB,求直线 l 的方程 ( ) [考场错解] 设直线 l 的方程为 y=kx+b 如图所示,l 与椭圆,双曲线的交点为 A(x1,y1)、B (x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),依题意 有 AC ? DB, AB =3 CD 由? ? x2
? y ? kx ? b 得(16 ? 25k 2 ) x 2 ? 50bkx ? (25b 2 ? 400) ? 0 (1) y2 ?1 ? ? ? 25 16
50bk 16 ? 25k 2 .

所以 x1+x2=由? ?
? y ? kx ? b ? ?x ? y ? 1
2 2

得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0

(2) 若 k=±1,则 l 与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故 k≠±1 所以 x3+x4=
2bk 1? k2

、由 AC ? BD ? x3-x1=x2-x4 ? x1+x2=x3+x4 ? 5 16 ? b 2 4

50bk 16 ? 25k 2

?

2bk 1? k2

? bk=0 或 b =0

①当 k=0 时,由(1)得 x1、2=±

由(2)得 x3、4=± b2 ? 1 由 AB ? 3CD ? x2 ? x1 =3(x4-x1)即

16 10 16 16 ? b2 ? 6 b2 ? 1 ? b ? ? 故 l 的方程为 y=± 13 4 13

②当 b=0 时,由(1)得 x1、2=±

20 16 ? 25k
2

,由(2)得 x3、4= ?

1 1? k2

由 AB ? 3CD ? x2 ? x1 =3(x4-x3)即

第 58 页 共 120 页

40 16 ? 25k
2

?

6 1? k
2

?k ??

16 16 , 故l的方程为y ? ? x. 25 25
16 16 ,y ? x 13 25

综上所述:直线 l 的方程为:y= ?

[专家把脉] 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在,致使造成思维片面,漏解. [对症下药] 解法一:首先讨论 l 不与 x 轴垂直时的,情况. 设直线 l 的方程为 y=kx+b,如图所示,l 与椭圆、双曲线的交点为:A(x1,y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)、D(x4,y4),依题意有 AC ? BD, AB ? 3CD . 由? ? x2
? y ? kx ? b, ? ? 25 ?

得(16+25k )x +50bkx+(25b -400)=0.(1) y2 ? 1. 16
50bk 16 ? 25k 2 .

2

2

2

所以 x1+x2=由? ?
? y ? kx ? b,

2 2 ? ? x ? y ? 1.

得(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0.

若 k=±1,则 l 与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故 k≠±1. 所以 x3+x4=
2bk 1? k2

由 AC ?BD ? x3 ? x1 ? x2 ? x4 ? x1+x2=x2+x4 ? ? 50bk
5 16 ? b2 . 4

16 ? 25k

2

?

2bk 1? k2

? bk ? 0 ? k ? 0 或

b=0.①当 k=0 时,由(1)得 x1,2 ? ?

由(2)得 x3、4=± ? b2 ? 1 由 AB ? 3CD ? x2 ? x1 ? 3 (x4-x3). 即
16 10 16 16 ? b2 ? b2 ? 1 ? b ? ? . 故 l 的方程为 y=± 13 4 13

②当 b=0 时,由(1)得 x1、2= ? 自(2)得 x3、4= ?
1 1? k
2

20 16 ? 25k 2
40 16 ? 25k
2

,由AB ? 3CD ? x2 ? x1 ? 3 (x4-x3).即

?

6 1? k
2

?k ??

16 . 25

故 l 的方程为 y= ?

16 x .再讨论 l 与 x 轴垂直时的情况. 25 4 25 ? c 2 . 5

设直线 l 的方程为 x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得 yl、2= ? y3、4= ? c2 ? 1.由 | AB |? 3 | CD |?| y2 ? y1 |? 3 | y4 ? y3 | . 即
8 25 25 25 ? c2 ? 6 c2 ? 1 ? c ? ? , 故l的方程为x ? . 5 241 241

综上所述,直线 l 的方程是:y= ?

16 16 25 x、y=± 和 x= ? 25 13 241

解法二:设 l 与椭圆、双曲线的交点为:

第 59 页 共 120 页

? xi2 yi2 ? 1, ? ? A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),则有 ? 25 16 ? x 2 ? y 2 ? 1. j ? j

i ? 1,2 j ? 3,4.

由 i 的两个式子相减及 j 的两个式子相减,得:
?16( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ) ? 25( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? 0, ? ?( x4 ? x3 )(x4 ? x3 ) ? ( y4 ? y3 )( y4 ? y3 ) ? 0.

因 C、D 是 AB 的三等分点,故 CD 的中点(x0,y0)与 AB 的中点重合,且 AB ? 3CD. 于是 x0= 因此 ?
x2 ? x1 x4 ? x3 y ?y y ? y3 ? , y0= 2 1 ? 4 , x2-x1=3 (x4-x3). 2 2 2 2

?16 x0 ( x4 ? x3 ) ? ?25 y0 ( y4 ? y3 ), (1) ( 2) ? x0 ? ( x4 ? x3 ) ? y0 ( y4 ? y3 ).

若 x0y0≠0,则 x2=x1 ? x4=x3 ? y4=y3 ? y2=y1. 因 A、B、C、D 互异,故 xi≠xj,yi≠yj,这里 ij=1,2,3,4 且 i≠j(1)÷(2)得 16=-25,矛盾, 所以 x0y0=0. ①当 x0=0,y0≠0 时,由(2)得 y4=y3≠0,这时 l 平行 x 轴. 设 l 的方程为 y=b,分别代入椭圆、双曲线方程得:xl、2= ? ∵x2-x1=3(x4-x3) ?
10 4 16 13 16 ? b2 ? 6 b2 ? 1 ? b ? ? 16 . 13 5 16 ? b 2 , x3、4= ? b2 ? 1. 4

故 l 的方程为 y=±

②当 y0=0,x0≠0,由(2)得 x4=x3≠0,这时 l 平行 y 轴. 设 l 的方程为 x=c,分别代入椭圆、双曲线方程得:yl、2= ? ∵y2-y1=3(y4-y3) ?
8 25 25 ? c2 ? 6 c2 ? 1 ? c ? ? 5 241
25 241
4 25 ? c 2 , y3、4= ? c2 ? 1. 5

故 l 的方程为: x ? ?

③当 x0=0,y0=0 时,这时 l 通过坐标原点且不与 x 轴垂直. 设 l 的方程为 y=kx,分别代入椭圆、双曲线方程得:x1、2= ?
? x2 ? x1 ? 3( x4 ? x3 ) ? k ? ? 16 16 . 故 l 的方程为 y= y ? ? x. 25 25
16 16 25 x 、y= ? 和 x= ? . 25 13 241

20 16 ? 25k
2

, x3,4 ? ?

1 1? k2

.

综上所述,直线 l 的方程是:y= ?

5.(典型例题)设 A、B 是椭圆 3x2+y2=λ 上的两点,点 N(1,3)是线段 AB 的中点,线段 AB 的垂 直平分线与椭圆相交于 C、D 两点. (1)确定 A 的取值范围,并求直线 AB 的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的 A,使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上?并说明理由.(此题不要 求在答题卡上画图) [考场错解] (1)设 A(x1,y1)B(x2,y2)则有:

第 60 页 共 120 页

2 2 ? ?3x1 ? y1 ? ? ? (x1-x2)(x1+x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0 ? 2 2 ? ?3x2 ? y2 ? ?

依题意,x1≠x2

∴kAB-

3( y1 ? y2 ) x1 ? x2

∵N(1,3)是 AB 的中点, ∴x1+x2=2,yl+y2=6 从而 kAB=-9 又由 N(1,3)在椭圆内,∴λ <3?12+32=12 ∴λ 的取值范围是(-∞,12) 直线 AB 的方程为 y-3=-9(x-1)即 9x+y-12=0 [专家把脉] ①用 “差比法” 求斜率时 kAB= ?
3( x1 ? x2 ) 这地方很容易出错. ②N(1, 3)在椭圆内, λ >3?12+32=12 y1 ? y 2

应用结论时也易混淆. [对症下药] (1)解法 1:依题意,可设直线 AB 的方程为 y=A(x-1)+3,代入 3x2+y2=λ ,整理得 (k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ =0.① 设 A(x1,y1)、B(x2、y2),则 x1,x2 是方程①的两个不同的根, ∴△=4[λ (k2+3)-3(k-3)2]>0,② 且 x1+x2=
2k (k ? 3) k2 ? 3

,由 N(1,3)是线段 AB 的中点,得

x1 ? x2 2 ? 1 ,∴A(k-3)=k +3. 2

解得 k=-1,代入②得,λ >12,即λ 的取值范围是(12,+∞). 于是,直线 AB 的方程为 y-3=-(x-1),即 x+y-4=0. 解法 2:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则有
2 2 ? ?3x1 ? y1 ? ? ? (x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0 ? 2 2 ? ?3x2 ? y2 ? ?

依题意,x1≠x2,∴kAB=-

3( x1 ? x2 ) y1 ? y2

∵N(1,3)是 AB 的中点,∴x1+x2=2,yl+y2=6,从而 kAB=-1. 又由 N(1,3)在椭圆内,∴λ >3?12+32=12, ∴λ 的取值范围是(12,∞). 直线 AB 的方程为 y-3=-(x-1),即 x+y-4=0. (Ⅱ)解法 1:∵CD 垂直平分 AB,∴直线 CD 的方程为 y-3 =x-1,即 x-y+2=0,代入椭圆方程,整 理得 4x2+4x+4 又设 C(x3,y3),D(x4,y4),CD 的中点为 M(x0,y0),则 x3, x4 是方程③的两根,∴x3+x4=-1,且 x0= (x3+x4)=- , y0=x0+2= , 即 M(- , ). 于是由弦长公式可得|CD|= 1 ? (? )2 ? | x3 ? x4 |? 2(? ? 3) . ④ 将直线 AB 的方程 x+y-4=0,代入椭圆方程得 4x2-8x+ 16-λ =0 ⑤ 同理可得|AB|= 1 ? k 2 . | x1 ? x2 |? 2(? ? 12) . ⑥ ∵当λ >12 时, 2(? ? 3) > 2(? ? 12) ,∴|AB|<|CD| 假设存在λ >12,使得 A、B、C、D 四点共圆,则 CD 必为圆的直径,点 M 为圆心.点 M 到直线
第 61 页 共 120 页
1 2 1 2 3 2 1 2 3 2

1 k

AB 的距离为 d=

| x0 ? y0 ? 4 | 2

1 3 |? ? ?4| 3 2 2 2 ? ? .⑦ 2 2
AB 2 9 ? ? 12 ? ? 3 CD 2 | ? ? ? ?| | . 2 2 2 2 2

于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 |MA|2=|MB|2=d2+ | 故当λ >12 时,A、B、C、D 四点均在以 M 为圆心, |

CD | 为半径的圆上. 2

(注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:) A、B、C、D 共圆 ? △ACD 为直角三角形,A 为直角 ? |AN|2 =|CN|?|DN|, 即(
AB 2 | CD | | CD | ) ?( ? d )( ? d) . ⑧ 2 2 2

由 ⑥ 式 知 , ⑧ 式 左 边 = =(

? ? 12
2

, 由 ④ 和 ⑦ 知 , ⑧ 式 右 边

2(? ? 3) 3 2 2(? ? 3) 3 2 ? ? 3 9 ? ? 12 ? )( ? ? ? )? , 2 2 2 2 2 2 2

∴⑧式成立,即 A、B、C、D 四点共圆解法 2:由(Ⅰ)解法 1 及λ >12, ∵CD 垂直平分 AB,∴直线 CD 方程为 y-3=x-1,代入椭圆方程,整理得 4x2+4x+4-λ =0.③ 将直线 AB 的方程 x+y-4=0,代入椭圆方程,整理得 4x2-8x+16-λ =0.⑤ 解③和⑤式可得 xl,2= 不妨设 A(1+
? CA ? ( CA ? (

2 ? ? ? 12 ?1 ? ? ? 3 , x3,4 ? . 2 2

1 1 ?1 ? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ?1 ? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ? ? 12 ,3 ? ? ? 12 , C( , ), D( , ) 2 2 2 2 2 2

3 ? ? ? 12 ? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ? ? ? 12 , ) 2 2

3 ? ? ? 12 ? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ? ? ? 12 , ) 2 2

计算可得 CA ? CA ? 0 ,∴A 在以 CD 为直径的圆上.又 B 为 A 关于 CD 的对称点,∴A、B、C、D 四 点共圆. (注:也可用勾股定理证明 AC⊥AD) 专家会诊 1.重点掌握椭圆的定义和性质,加强直线与椭圆位置关系问题的研究. 2.注重思维的全面性,例如求椭圆方程时只考虑到焦点在,轴上的情形;研究直线与椭圆位置关系 时忽略了斜率不存在的情形?? 3.注重思想方法的训练,在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦 达定理联系去解决;关于参数范围问题常用思路有:判别式法,自身范围法等.求椭圆的方程常用 方法有:定义法,直接法,待定系数法,相关点法,参数法等. 考场思维调练 1 已知椭圆的中心 O 是坐标原点,A 是它的左顶点,F 是它的左焦点,l1,l2 分别为左右准线,l1 与 x 轴交于 O,P、Q 两点在椭圆上,且 PM⊥l1 于 M,PN⊥l2 于 N,QF⊥AO,则下列比值中等 于椭圆离心率的有( )

第 62 页 共 120 页

(1)

| PF | | PF | | AO | | AF | | QF | ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) | PM | | PN | | BO | | BA | | BF |

A.1 个

B.2 个

C.4 个

D.5 个
| AO | a ? 2 =e,故(3)正确;对(5), | BO | a c

答案: C 解析:对(1),(4)的正确性容易判断;对(3),由于

可求得|QF|= |BF|=

b2 , a

| QF | a2 b2 ,故 ? e ,故(5)正确;(2)显然不对,所选 C. ?c ? | BF | c c

2 椭圆有这样的光学性质:从随圆的一个焦点出发的光线,经椭圆壁反射后,反射光线经过随圆的 另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A、B 是它的焦点,长轴长为 20,焦距为 2c,静放在点 A 的小球 (小球的半径不计),从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 ( ) A.4a B.2(a-c) C.2(a+c) D.以上答案均有可能 答案: D 解析:(1)静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发,经椭圆壁右顶点反弹 后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 2(d-c),则选 B; (2)静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发,经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点 A 时,小 球经过的路程是 2(a+c),则选 C; (3)静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发, 经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到 点 A 时,小球经过的路程是 4a,则选 A. 于是三种情况均有可能,故选 D. 3 已知椭圆 N (1)用 a,t 表示△AMN 的面积 S; (2)若 t∈[1,2],a 为定值,求 S 的最大值. 答案:易得 l 的方程为了 y= (x+a)?1 分由
t ? ? y ? 2 ( x ? 1) 2 2 2 ? , 得(a t +4)y -4aty=0 ? 2 ? x ? y2 ? 1 ? ? a2
t 2

x2 a2

+y2=1(a>1),直线 l 过点 A(-a,0)和点 B(a,ta)(tt>0)交椭圆于 M.直线 MO 交椭圆于

解得了 y=0 或 y= S=
4at a t ?4
4 t
2 2

4at a 2t 2 ? 4

即点 M 的纵坐标 yM=

4at a 2t 2 ? 4

S=S△AMN=2S△AOM=|OA|?yM=

4at a 2t 2 ? 4

(2)由(1)得,

=

4a 2 4 ? a 2t t

(t>0)

令 V= +a t,V′=-

2

4 t
2

+a 由 V′=O ? t ?

2

2 a

第 63 页 共 120 页

当时 t>

2 2 时,V′>0;当 0<t< 时,V′<0. . .10 分 a a 2 2 2 4 2 ∈[1,2]当 t= 时,Smax=a 若 a>2,则 0< <1,∵V= + a t 在[1,2]上递增, a a a t

若 1≤a≤2,则,故

进而 S(t)为减函数.∴当 t=1 时,Smax= 综上可得 Smax ? ? 4a 2
?a(1 ? a ? 2) (a ? 2) ? ? 4 ? a2

4a 2 4 ? a2

命题角度 2 对双曲线相关知识的考查 1.(典型例题 1)已知双曲线 x2x 轴的距离为
A. 4 3
y2 =1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF 1 ? MF 2 ? 0 ,则点 M 到 2

(
B. 5 3

)
C. 2 3 3 D. 3

[考场错解] B [专家把脉] 没有理解 M 到 x 轴的距离的意义. [对症下药] |ex0-a|=| 3 x0-1| 由|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2 得 x02= 则y02 ? ,| y0 |? 2. (典型例题)已知双曲线 的面积为
x2 a2 ? y2 b2
5 3 4 3
2 2 3 3. . 即点 M 到 x 轴的距离为 3 3

C

由题意得 a=1,b= 2 ,c= 3 可设 M (x0,y0)|MF1|=|ex0+a|=| 3 x0+1|,|MF2|=

=1(a>0, b>0)的右焦点为 F, 右准线与一条渐近线交于点 A, △OAF ( )

a2 (O 为原点),则两条渐近线的夹角为 2

A.30° B.45° C.60° D.90° [考场错解] B [专家把脉] 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角. [对症下药] D 由题意得 A(
1 a 2 ab ab 1 a2 , )s△OAF= ?c? ? ab ? ? a ? b ,则两条渐近线为了 y=x 2 c c c 2 2

与 y=-x 则求两条渐近线的夹角为 90°. 3.(典型例题Ⅲ)双曲线
x2 a2 ? y2 b2

=1(a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)
4 5

到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ c,求双曲线的离心率 e 的取值范围. [考场错解] 直线 l 的方程为 ? 0) 到 直 线 l 的 距 离 :
b(a ? 1) a ?b
2 2

x a

y b(a ? 1) =1 即 bx+ay-ab=0 点(-1,0)到直线 l 的距离: ,点(1, b a 2 ? b2



b(a ? 1) a ?b
2 2

+

b(a ? 1) a ?b
2 2

=

2ab a ?b
2 2

?

2ab 4 ? c 得 c 5

5a c2 ? a2 ? 2c2 于是得 5 e2 ? 1 ? 2e2

第 64 页 共 120 页

即 4e4-25e2+25≤0 解不等式得 ≤e2≤5,所以 e 的取值范围是 [? 5 ,? [专家把脉] 没有理解双曲线离心率的意义及自身存在的范围 e>1. [对症下药] 解法:直线 J 的方程为 ?
x a y =1,即 bx+ay-ab=0. b

5 4

5 5 ] ?[ , 5 ]. 2 2

由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1= 同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d2= s=d1+d2=
4 5

b(a ? 1) a 2 ? b2

.

b(a ? 1) a 2 ? b2

.

2ab a ?b
2 2

?

2ab . c

由 s ? c, 得

2ab 4 ? c,即5a c 2 ? a 2 ? 2c 2 .于是得5 e2 ? 1 ? 2e2 .即4e2 ? 25e2 ? 25 ? 0 c 5

解不等式,得

5 5 ? e2 ? 5.由于e ? 1 ? 0, 所以e的取值范围是 ? e ? 5. 4 2

专家会诊 1.注意双曲线两个定义的理解及应用,在第二定义中,要强调 e>1,必须明确焦点与准线的对应性 2.由给定条件求出双曲线的方程,常用待定系数法,当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式, 应防止遗漏. 3.掌握参数 a、b、c、e 的关系,渐近线及其几何意义,并注意灵活运用. 考场思维训练 1 已知 F1,F2 为双曲线
x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>0,b>0)的两个焦点,过 F2 作垂直 x 轴的直线,它与双曲线的一 )

个交点为 P,且∠pF1F2=30°,则双 曲线的渐近线方程为 (
A. y ? ? C. y ? ? 2 x 2 3 3 B. y ? ? 3 x D. y ? ? 2 x

答案: D 解析:由已知有 2 若 Fl、F2 双曲线
x2 a
2

| PF2 | b2 2 2 =tan30°= ,所以 2a =b 渐近线方程为 y=± 2 x ,所以选取 D | F1F2 2ac

?

y2 b2
?

=1 的左、右焦点,O 为坐标原点,P 在双曲线左支上,M 在右准线上,
OF ? OP

且满足 F1O ? PM ,

OP ? OM | OP | OM

| OF 1 || OP |

(1)求此双曲线的离心率;
? ?? ? ?? ?? 知四边形 PF1OM 为平行四边形,又由 答案:由 ?F D PM
1

??? ? ? ?? ??
OP OF1

| ??? ? || ?? ??
OP OF1

?

?? ?? ? ??? ?
OM OP

| ?? ?? || ??? ? |
OM OP

? ?? | =c 知 OP 平分∠F1OM, ∴PF1OM 菱形,设半焦距为 c,由 | ?OF 1

? ?? |? c 知 | ?PF
1

| ?? ?? |? c,?| ?? ?? |?| ?? ?? | ?2a ? c ? 2a, 又
PM PF2 PF1

| ?? ?? |
PF1

| ?? ?? |
PM

? e ,即 c+

1a ?e c

第 65 页 共 120 页

e2-e-2=0, ∴e=2(e=-1 舍去) (2)若此双曲线过点 N(2, 3 ),求双曲线方程: 答案:∵e=2= , ∴c=2a, ∴双曲线方程为 有
4 a2 ? 3 4a 2 ? 1,? a 2 ? 3 即所求双曲线方程为
c a

x2 a
2

?

y2 3a2

? 1 , 将点(2, 3 ) 代入,

x2 y 2 =1. ? 3 9

(3)设(2)中双曲线的虚轴端点为 B1,B2(B1 在 y 轴正半轴上),求 B2 作直线 AB 与双曲线交于 A、 B 两点,求 B1A ? B1B 时,直线 AB 的方程. 答案:依题意得 B1(0,3) ,B2(0,-3),设直线 AB 的方程为 y=kx-3,A(x1,y1),B(x2,y2)
? ? y ? kx ? 3 ? 则由 ? ? (3 ? k 2 ) x 2 ? 6kx ? 18 ? 0. ? ? 2 2 ?x ? y ?1 ? 9 ?3

∵双曲线的渐近线为 y=± 3 x ,∴当 k=± 3 时,AB 与双曲线只有一个交点, 即 k≠± 3 .∵x1+x2= y1+y2=k(x1+x2)-6=
6k 3 ? k2 , x1 ? x2 ?
2

?18 3 ? k2

.

?18 3 ? k2

,y1y2=k x1x2-k(x1+x2)+9=9

?? =(x2,y2 -3), ?? ?? ⊥ ?? ?? ? x1x2 ? y1 y2 ? 3( y1 ? y2 ) ? 9 ? 0, 又 ?B ? ?? ? (x1,y1 -3), ?? BB BA BB A
1 1 1 1

?18 3?k
2

? 9 ? 3?

?18 3?k
2

? 9 ? 0 ,即 k =5, ∴k=± 5 .

2

故所求直线 AB 的方程为 y= 5 x-3 或 y=- 5 x-3. 3 设双曲线
x2 2 -y =1 的右顶点为 A、P 是双曲线上异于顶点的一个动点,从 A 引双曲线的两条渐 4

近线的平行线与直线 OP(O 为坐标原点)分别交于 Q 和 R 两点. (1)证明:无论 P 点在什么位置,总有 | OP |2 ?| OQ ? AR | ;
1

答案:设 OP:y=kx 与 AR:y= 2
2 2k , ), 1 ? 2k 1 ? 2k

( x ? 2)联立

?? ? ?( 解得 ?OR

?? ? ?( 同理可得 ?OQ
2

4 ? 4k 2 2 2k , ? | , ), 所以| ??? ? · ??? OR OQ 1 ? 2 k 1 ? 2k | 1 ? 4k 2 |
2

?? ? | =(m,n),则由双曲线方程与 OP 方程联立解得 m = 设| ?OP
2= 2 2 ?? ? | m +n = 所以| ?OP

4 1 ? 4k
2

, n2 ?

4k 2 1 ? 4k 2

,

4 ? 4k 2 1 ? 4k 2

?| ??? ? ? ??? ? | (点在双曲线上,1-4k >0);
OQ OR

2

第 66 页 共 120 页

(2)设动点 C 满足条件: AC ? ( AQ ? AR) ,求点 C 的轨迹方程. 答案:∵ ??? ? ? ( ??? ? ? ??? ? ), ? 点 C 为 QR 的中心,设 C(x,y), AC AQ AR
2 ? ?x ? ? 1 ? 4k 2 则有 ? ? y ? 2k ? 1 ? 4k 2 ?
1 2

1 2

,消去 k,可得所求轨迹方程为 x2-x2-4y2=0(x≠0).

命题角度 3 对抛物线相关知识的考查。 1.(典型例题)过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等 于 5,则这样的直线 ( ) A.有且仅只有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 [考场错解] D 由题意得|AB|=5 p=4,通径长为 2?4=8 5<8,故不存在这样的直线. [专家把脉] 没有理解抛物线焦点的弦长及 p 的意义. [对症下药] B 解法一:由题意得 P=2,通径长为 4,而|AB|=x1+x2+p=7,由 7>4,则这样的直线 有且仅有两条,解法二:用待定系数法设直线方程为 y=k(x-1)采用设而不求的方法求出 k 有两个 值,即直线有且仅有两条. 2.(典型例题 1)设 A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线 y=2x2 上,l 是 AB 的垂直平分线. (1)当且仅当 x1+x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论; (Ⅱ)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围. [考场错解] (Ⅱ),设 l 在 y 轴上的截距为 b,依题意得 l 的方程为 y=2x+b,过点 A、B 的直线方 程可写为 y= ? x ? m, 与 y=2x2 联立得 2x2+
1 x-m=0 . 得 2 1 2 1 8 1 2 1 2

x1+

x2=-

1 ; 设 4

AB

的 中 点

N

的 坐 标 为 (x0 , y0) 则

x0= (x1+x2)=- ,y0=- x0+m= 由 N∈l,得

1 +m. 16

1 1 5 5 +m=- +b,于是 b= ? m ? 16 4 16 16 5 ,?? ]. 16 1 ,无法进一步求出 b 的范围,只好胡乱地把 m 当作 32

即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为[

[专家把脉] 没有借助“△>0”来求出 m> ?

大于或等于 0. [对症下药] (1)F∈l ? |FA|=|FB| ? A、B 两点到抛物线的准线的距离相等. ∵抛物线的准线是 x 轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意 y1、y2 不同时为 0, ∴上述条件等价于 yl=y2 ? x12 =x22 (x1+x2)(x1-x2)=0; ∵x1≠x2,∴上述条件等价于 x1+x2=0. 即当且仅当 x1+x2=0 时,l 经过抛物线的焦点 F。 (Ⅱ)设 l 在 y 轴上的截距为 b, 依题意得 l 的方程为 y=2x+b 过点 A、 B 的直线方程可写为 y=- x+m,
1 2

第 67 页 共 120 页

所以 x1、x2 满足方程 2x2+ x-m=0, 得 x1+x2=- ; A、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式
?? 1 1 +8m>0,即 m> ? 4 32 1 4

1 2

设 AB 的中点 N 的坐标为(x0,y0),则 x0= (x1+x2)=- ,y0=- x0+m= 由 N∈l,得
1 2 1 8 1 2 1 +m 16

1 5 1 5 1 9 +m=- +b,于是 b= +m> ? ? 16 16 4 16 32 32 9 ,+∞). 32

即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为(

3.(典型例题)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)上一定点 p(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于 A (x1,y1),B(x2,y2). (1)求该抛物线上纵坐标为
P 的点到其焦点 F 的距离; 2

(Ⅱ)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 斜率是非零常数. [考场错解] (1)当 y=
p 9 ? (? p) ? p. 8 8

y1 ? y2 的值,并证明直线 AB 的 y0

p p 时,x= 又抛物线的准线方程为 x=-P,由抛物线定义得,所求距离为 2 8

(Ⅱ)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB 由 y21=2px1,y20=2px0 相减得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故 kPA= 同理可得 kpB=
2P (x1≠x0). y1 ? y0

2P y ?y 1 (x2≠x0)由 kPA=-kPB 得 y0=-2 (yl+y2)故 1 2 ? ? . y1 ? y0 y0 2

设直线 AB 的斜率为 kAB。 由 y22=2px2,y21=2px1 相减得 (y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)故 kAB=
1 2

y2 ? y1 2p ? ( x1 ? x2 ). x2 ? x1 ( y1 ? y2 ) 4p 故 kAB 是非零常数. y0

将 y1+y2=- y0(y0>0)代入得 kAB=-

[专家把脉] ①没有掌握抛物线的准线方程,②计算不够准确. [对症下药] (1)当 y=
p p p 时,x= ,又抛物线 y2= 2px 的准线方程为 x= , 2 8 2 p p 5p -(- )= . 8 2 8

由抛物线定义得,所求距离为

(Ⅱ)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB 由 y12=2px1,y20=2px0
第 68 页 共 120 页

相减得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0), 故 kPA=
y1 ? y0 2p (x1≠x0). ? x1 ? x0 y1 ? y0 2p (x2≠x0). y1 ? y0

同理可得 kPB=

由 PA、PB 倾斜角互补知 kPA=-kPB, 即 故
2p 2p =,所以 yl+y2=-2y0, y1 ? y0 y2 ? y0 y1 ? y2 =-2. y0

设直线 AB 的斜率为 kAB

由 y22=2px2,y21=2pxl 相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1), 所以 k AB ?
y2 ? y1 2p ? ( x1 ? x2 ). x2 ? x1 y1 ? y2

将 yl+y2=-2y0(y0>0)代入得
k AB ? 2p p ? ? , 所以 kAB 是非零常数. y1 ? y2 y0

4.(典型例题)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=x2 上异于坐标原点 O 的两不同动点 A、B 满足 AO⊥BO(如图所示). (1)求△AOB 的重心 C(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程; (Ⅱ)△AOB 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. ∵OA⊥OB. [考场错解](Ⅰ)设△AOB 的重心为 G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则
x ?x ? x? 1 2 ? ? 3 (1) ? y ? y ? 1 ? y2 ? 3 ?

∵OA ? OB ? OA ? OB ? 0 x1x2+yly2=0(2) 又 点 A 、 B 在 抛 物 线 上 , 有 y1=x12 , y2=x22 代 入 (2) 化 简 得 xlx2=0 或 -1 ∴ y=
y1 ? y2 1 2 1 2 2 2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? [(x1+x2) -2x1x2]=3x + 3 3 3 3

或 3x2, 故重心为 G 的轨迹方程为 y=3x2 或 y=3x2+ . [专家把脉]没有考虑到 x1x2=0 时,△AOB 不存在 [对症下药] (Ⅰ)设△AOB 的重心为 G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则
x ?x ? x? 1 2 ? ? 3 (1) ? y ? y ? 1 ? y2 ? 3 ?
? OA ? OB ? kOA ? kOB ? ?1,即x1x2 ? y1 y2 ? 0(2)

2 3

又点 A、B 在抛物线上,有 y1=x12,y2=x22 代入(2)化简得 xlx2=-1

第 69 页 共 120 页

∴y=

y1 ? y2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? [(x1+x2) -2x1x2]= ? (3x) 2 ? =3x + 3 3 3 3 3 3 2 3

所以重心为 G 的轨迹方程为 y=3x2+ (Ⅱ)S△AOB= | OA || OB |? 由(1)得 S△AOB=
1 2

1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ( x1 ? y1 )(x2 ? y2 )? x1 x2 ? x1 y2 ? x2 y2 ? y1 y2 2 2

1 6 1 1 1 6 6 6 x1 ? x2 ?2 ? 2 x1 ? x2 ?2 ? 2 (?1)6 ? 2 ? ? 2 ? 1 2 2 2 2

当且仅当 x16=x26 即 x1=-x2=-1 时,等号成立。 所以△AOB 的面积存在最小值,最小值为 1。 专家会诊 1. 用待定系数法求抛物线标准方程,注意分类讨论思想。 2. 凡涉及抛物线的弦长,弦的中点,弦的斜率问题时要注意利用韦达定理,能避免求交点坐标的 复杂运算。 3. 解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质。 考场思维调练 1 已知抛物线 y2=4x 的准线与 x 轴交于 M 点,过 M 作直线与抛物线交于 A、B 两点,若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于 D(x0,0) (1)求 x0 的取值范围. 1. 答案:由题意易得 M(-1,0) 2 2 2 2 2 设过点 M 的直线方程为 y=k(x+1)(k≠0)代入 y =4x 得 k x +(2k -4)x+k =0 (1) 再设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1 ? x2 ?
4 ? 2k 2 , x1 ? x2 ? 1

y1 ? y2 ? k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1) ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ?

4 k

∴AB 的中点坐标为 (

2 ? k2 2 , ). k2 k
2 1 2 ? k2 ? ? (x ? ),令y ? 0得 k k k2

那么线段 AB 的垂直平分线方程为 y ?
x? k2 ? 2 k
2 k2
2

即x0 ?

k2 ? 2 k2

? 1?
2

2 k2

.
4 2

又方程(1)中Δ =(2k -4)2-4k >0,∴0<k <1, ∴
? 2,? x0 ?3.

(2)△ABD 能否是正三角形?若能求出 x0 的值,若不能,说明理由 答案:若Δ ABD 是正三角形,则有点 D 到 AB 的距离等于 |AB| =(1+k )(x1-x2) =(1+k2)[(x1+x2) -4x1x2]=
| k2 ? 2 |
2 2 2 2

3 | AB | . 2
.

16(1 ? k 2 )(1 ? k 2 ) k4

点以 AB 的距离 d=

k2

?k ?

2k 2 ? 2 k 1? k2

1? k2

?

2 1? k2 k

第 70 页 共 120 页

3 4(k 2 ? 1) 3 16(1 ? k 4 ) | AB |2 得 : ? ? 据d 4 4 k2 k4
2

∴4k +k -3=0,(k +1)(4k -3)=0, ∴k = ,满足 0<k <1. ∴△ABD 可以为正△,此时 x0=
11 . 3

4

2

2

2

2

3 4

2

2 经过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线 l 与该抛物线交于 A、B 两点. (1)若线段 AB 的中点为 M(x,y),直线的斜率为 A,试求点 M 的坐标,并求点 M 的轨迹方程; 答案:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),直线 AB 的方程为:y=k(x-1)k≠0) 2 把 y=k(x-1)代入 y =4x 得:
k 2 x 2 ? ( 2 k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 2k 2 ? 4 k2 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1) 4 k

? x ?x k2 ? 2 ?x ? 1 2 ? 2 ? 2 k 2 ? 点M的坐标为M ( k ? 2 , 2 ) ?? k2 k ? y ? y1 ? y2 ? 2 ? 2 k ?

消去 k 可得点的轨迹方程为:y2=2x-2(x>0) (2)若直线 l 的斜率 k>2,且点 M 到直线 3x+4y+m=0 的距离为 ,试确定 m 的取值范围.
| 3? k2 ? 2 k
2

1 5

? 4? 5

答案: ? d ? ∴| 3? ∴
6 k2

2 ?m| k

?

1 5

6 k
2

|?

8 6 8 ? m |? 1? 3 ? 2 ? ? m ? ?1 k k k

?

8 ? ?1 ? 3 ? m k

∵ k ? 2?0 ? ∴0<1-3-m< ∴0<1-3-m< ∴

6 k2
11 2

?

3 8 6 8 11 ,0 ? ? 4 ? 0 ? 2 ? ? 2 k k 2 k

11 11 或 0<1-3-m< 2 2

15 19 <m<-2 ∴或 ? <m<-4 2 2 19 19 <m<-2 ∴m 的取值范围为( ? ,-2). 2 2

∴? 3

在以 O 为坐标原点的直角坐标系中,已知点 T(-8,0),点 M 在 y 轴上,点 N 在 x 轴的正半轴

上,且满足 TM ? MP ? 0, MP ? PN. (1)当 M 在 y 轴上移动时,求点 P 的轨迹 C;
? ?? ? ??? ? ,知 P 是 M、N 中点,又 M 在 y 轴上,N 在 x 轴正半轴上,故 答案:设点 P(x,y)由 ?MP PN

M 坐标为(0,2y),N 个坐标为(2x,0).(x>0)
第 71 页 共 120 页

?? ?? ? (8,2 y ), ?? ?? ? ( x,? y )
TM TM MP

?? ?? ? ?? ?? ? 0 ,
PM

得 8x-2y 即 y =4x(x>0)

2=0

2

故点 P 的轨迹是(0,0)为顶点,以(2,0)为焦距的抛物线.(除去原点) (2)若动直线 l 经过点 D(4,0),交曲线 C 与 A、B 两点,求是否存在垂直于 x 轴直线 l'被以 AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出 l'的方程,若不存在,请说明理由. 答案:设 AD 中点为 H,垂直于 x 轴的直线 l′的方程为 x=a. 以 AD 为直径的圆交 l′于 E、F 两点。EF 的中点为 G 因为|EH|= |AD|
1 2 1 2 1 4

,|HG|= | ( x1 ? 4)2 ? y12 (其中(x1,y1)为坐标)
2

x1 ? 4 ?a| 2

所以|EG|2=|EH|2= [(x1-4) +yx2]- [(x1-2a) +4] = [(x1-4)2+4x1]- [(x1-2a) +8(x1-2a)+16]= [4ax1-12x1-4a +16a] =(a+3)x1-a2+4a 所以当 a=3 时,以 AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值,l′的方程 x=3. 命题角度4 对直线与圆锥曲线的关系的考查 1.(典型例题Ⅰ)设双曲线C:
x2 a2 ? y 2 ? 1 (a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B,

1 4

2

1 4

1 4

2

1 4

2

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围; (Ⅱ)设直线l与y轴的交点为P,且 PA ?
5 PB ,求a的值. 12

[考场错解] (1)由C点与l相交于两个不同的点, 故 知 方 程 组 ?a2 4a4+8a2(1-a2) >0 解得:0<a< 2 双曲线的离心率e=
1? a2 ? a 1 a2 ? 1,

? x2 ? y2 ?1 ? ? ?x ? y ? 1

有 两 个 不 同 的 实 数 解 , 消 去 y 并 整 理 得 (1-a2)x2+2a2x-2a2=0 ① 故

∵0<a< 2 ∴ e ?

6 即离心率e的取值范围( 2

6 ,?? ). 2

(Ⅱ),设A(x1,y1)B(x2,y2)P(0,1)∵ PA ? ∴ (x1 , yl-1)=

5 PB, 12

5 5 (x2 , y2-1) 由 此 得 x1= x2 , 由 于 x1 , x2 都 是 方 程 ① 的 根 , 且 1-a2 ≠ 0 , 所 以 12 12

17 2a 2 5 2 2a 2 2a 2 289 17 ? ? ?a ? ? . x2 ? ? , x2 ? 消去 x 得 2 2 2 12 2 60 13 12 1? a 1? a 1? a

[专家把脉] (1)没有考虑到1-a2≠0(Ⅱ)没有注意到题目本身的条件a>0. [对症下药]
? x2 ? y 2 ? 1, ? (1)由C与l相交于两个不同的点,故知方程组 ? a 2 ? ?x ? y ? 1

第 72 页 共 120 页

有两个不同的实数解,消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0 所以 ? ?
?1 ? a 2 ? 0
4 2 2 ? ?4a ? 8a (1 ? a ) ? 0

解得0<a< 2 且 a≠1.

双曲线的率心率e=

1 ? a2 ? a

1 a
2

? 1 ? 0 ? a ? 2 且 a≠1,∴e>

6 且e≠ 2 , 2

即离心率e的取值范围为(

6 )∪( 2 ). 2
5 PB 12

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).∵ PA ? ∴ (x1,y1-1)=
5 12

(x2,y2-1) 由 此 得 x1=

5 x2 , 由 于 x1 , x2 都 是 方 程 ① 的 根 , 且 1-a2 ≠ 0 , 所 以 12

2a 2 5 2 2a 2 2a 2 289 17 17 , x2 ? ? ? x2=,消 x ,得 ,由a>0,所以a= 2 2 2 2 60 12 12 13 1? a 1? a 1? a

2.(典型例题Ⅱ)给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点 (1)设l的斜率为1,求 OA 与 OB 夹角的大小; (Ⅱ)设 FB ? ? AF ,若λ ∈[4,9],求l在y轴上截距的变化范围. [考场错解] (1)设 OA 与 OB 夹角为α ;由题意l的方程为了y=x-1,将y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0

设 A(x1 , y1)B(x2 , y2) 则 有 x1+x2=6 , x1x2=1 . 易 得 OA ? OB =x1x2+y1y2=-3 ,
2 2 2 2 | OA || OB |? x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? 41 cosα =

OA ? OB | OA || OB |

??

3 41 ∴α =-arccos 41

(Ⅱ)由题意知 FB ? ? AF ? FB ? ? AF ,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为A'、B'. ∴|FB|=|BB'|,|AF|=|AA'| ∴|BB’|=λ |AA'|,λ ∈[4, 9] 设l的方程为y=k(x-1)由 ?
? ? y ? k ( x ? 1) 得k2x2-(2k2 +4)x+k2=0 2 ? y ? 4 x ?
k2 ? 2 ? 2 k2 ?1 k2

∴x=

k2 ? 2 ? 2 k2 ?1 k
2

∴|AA'|=

+l

=

2(k 2 ? 1) ? 2 k 2 ? 1 k2 k2 ? 2 ? 2 k2 ?1 k2 2(k 2 ? 1) ? 2 k 2 ? 1 k2

|BB'|=

?

第 73 页 共 120 页

?

| BB' | 2(k 2 ? 1) ? 2 k 2 ? 1 ? ?? | AA' | 2(k 2 ? 1) ? 2 k 2 ? 1 2( k 2 ? 1) ? 2 k 2 ? 1 2(k ? 1) ? 2 k ? 1
2 2

?4 ?

? 9(k ? 0) ? k ? [?

4 3 ,? ] 3 4

[专家把脉] (Ⅰ)没有理解反余弦的意义.(Ⅱ)思路不清晰. [对症下药] (1)C的焦点为F(1,0),直线l的斜率为1,所以l的方程为了y=x-1. 将y=x-1代入方程y2=4x,并整理得x2-6x+1=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有xl+x2=6,x1x2=1.
OA ? OB =(x1,y1)?(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3.

所以 O A与 O B 夹角的大小为π -arc cos 即?
? x 2 ? 1 ? ? (1 ? x1 ), ? y 2 ? ??y1
2 2 2 2

3 41 (Ⅱ)由题设 FB ? ? AF 得 (x2-1,y2)=λ (1-x1,-y1), 41



② 由②得y2 =λ y 1.∵y 1=4x1,y22=4x2,∴x2=λ 2x1 ③ 联立①、③解得x2=λ ,依题意有λ >0,∴B(λ ,2 )或B (λ ,-2 ),又9(1,0),得直线l方程为(λ -1)y= (x-1)或(λ -1)y=2 ? (x-1).当λ ∈[4,9]时,l在 y轴上的截距为 ? ? 1 或- ? ? 1 由 ? ?1 = ∴4≤
3
2 ?

2 ?

2 ?

2

? ?1

?

2 2 ? ,可知: 在[4,9]上是递减的, ? ?1 ? ?1

4 4 3 2 ? 2 ? ≤ ,- ≤≤3 3 4 ? ?1 ? ?1

直线l在y轴上截距的变化范围为[- ,3.(典型例题)已知椭圆C:
x2 a2 ? y2 b2

4 3

3 3 4 ]∪[ , ]. 4 4 3

? 1 (a>b>0)的左、右焦点为Fl、F2,离心率为e直线l:y=ex+a与x轴、

y 轴分别交于点 A 、 B , M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点, P 是点 Fl 关于直线 l 的对称点为 P ,设
AM ? ? AB.

(1)证明:λ =1-e2; (Ⅱ)确定λ 的值,使得△PF1F2是等腰三角形. [考场错解] (Ⅱ)要使△PF1F2为等腰三角形必有三种情况: (1)当|PF1|=|F1F2|时 设点p的坐标是(x0,y0)
? y0 ? 0 1 ?? ? e ? x0 ? c 则? y ? 0 x ?c ? 0 ?e? 0 ?a ? 2 ? 2

? e2 ? 3 c ? x0 ? e2 ? 1 解得 ? ? 2(1 ? e 2 )a ? ? y0 ? e2 ? 1 ?
? c ] +[
2

由|PF1|=|F1F2| 得[

( e 2 ? 2) c e ?1
2

2(1 ? e 2 ) a e2 ? 1

] 2 ? 4c 2
2
1

两边同时除以4a2,化简得

(e 2 ? 1) 2 e ?1
2

? e 2 从而e = 3 于是

? ? 1 ? e2 ? .

2 3

第 74 页 共 120 页

(2)当|PF1|=|F1F2|时,同理可得 [ 解得e2=3于是λ =1-3=-2. (3)当|PF2|=|F1F2|时,同理可得 解得e2=1 于是λ =1-1=0
2 3
[

(e 2 ? 3)c e ?1
2

? c] 2 [

(e 2 ? 3)c e2 ? 1

? c] 2

(e2 ? 3)c e2 ? 1

? c]2[

? (e2 ? 3)c e2 ? 1

? c]2

=4c2

综上所述,当λ = 或-2或0时△PF1F2,F2为等腰三角形. [专家把脉] (1)没有注意到因为PF1⊥l, 所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角, 要使△PF1F2为等腰三 角形,必有|PF1|=|F1F2| (2)没有注意到椭圆离心率的范围. [对症下药] (1)证法一:因为A、B分别是直线l:y= ex+a与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分 别是(- e )(0,a).
? y ? ex ? a, x ? ?c, ? 2 2 由 ? x2 y2 得 b 2 这里c ? a ? b . ? 2 ? 2 ? 1, y ? c , b ?a
a ,0

所以点M的坐标是(-c,
a ?a ? ?c?? e e 即? ? 2 b ? ? ?a ? ?a

a a b2 b2 ),由 AM ? ? AB 得(-c+ , )=λ ( e ,a). a e a

解得? ? 1 ? e 2

证法二:因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是(- e ,0),(0, a),设M的坐标是(x0,y0),由 AM ? ? AB 得( x 0 ? 所以 ?
a , a ), e

a

a ? x2 y2 ? x 0 ? (? ? 1) ? 0 =1, 因为点M在椭圆上,所以 0 e 2 a b2 ? y ? ?a. ? 0

a (? ? 1)]2 (?a ) 2 (1 ? ? ) 2 ?2 e ? ? 1, 所以 ? ? 1. 即 2 2 2 a b e 1 ? e2 [

e4-2(1-λ )e2+(1-λ )2=0,解得e2=1-λ 即λ =1-e2. (Ⅱ)解法一:因为PF1⊥l,所以 ∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有 |PF1|=|F1F2|,即 2 |PF1|=c. 设点F1到l的距离为d,由 2 |PF1|=d, =
| e( ?c ) ? 0 ? a | 1? e
2
1 1

?

| a ? ec | 1 ? e2

?c,



1 ? e2 1? e
2

=e.所以e2= ,于是λ =1-e2= .

1 3

2 3

第 75 页 共 120 页

即当λ = 时,△PF1F2为等腰三角形. 解法二:因为 PF1 ⊥ l ,所以,∠ PF1F2=90 ° + ∠ BAF1 为钝角,要使△ PF1F2 为等腰三角形,必有 |PF1|=|F1F2|,设点P的坐标是(x0,y0),
? e2 ? 3 ? y0 ? 0 1 , ?x0 ? ?? ? e ? x0 ? c ? e2 ? 1 则? 解得 ? x0 ? c 2(1 ? e 2 )a ? y0 ? 0 ? ? e ? a y0 ? . ? ? 2 ? 2 e2 ? 1 ?

2 3

由|PF1|=|FlF2|得 [

(e 2 ? 3)c e ?1
2

? c] 2 ? [
2

2(1 ? e 2 ) a e ?1
2

] 2 =4c ,

2

两边同时除以4a2,化简得

(e ? 1) e ?1
1

=e2.从而e2=

1 3

2 2 于是λ =l-e2= .即当λ = 时,△PF1F2为等腰三角形. 3 3

4.(典型例题)抛物线C的方程为y=ax2(a<0),过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1,k2的两 条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P、A、B三点互不相同),且满足k2+λ k1=0(λ ≠0 且λ ≠-1). (Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)设直线AB上一点M满足 BM =λ MA ,证明线段PM的中点在y轴上 (Ⅲ)当A=1时,若点P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围. [考场错解] (1)抛物线C的方程y=ax2(a<0)得,焦点坐标为(
a a ,0)准线方程为x=4 4

(Ⅲ)∵P(-1,1)在y=ax2上,故a=-1∴y=-x2 由(Ⅱ)易得y1=-(k1+1)2,y2=(k2+1)2,因此,直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A(-k1 -1,-k21-2k1-1),B(k1-1,-k21+2k1-1) 于是 AP = (k1+2,k21+2k1), AB =(2k1,4k1), AP, AB ? 2k1(k1+2)(2k1+1)因∠PAB为钝角且P、A、B三 点互不相同,故必有 AP ? AB <0 易得k1的取值范围是 k1<-2或 <kl<0,又∵yl=-(k1+1)2 故当k1<-2时,y<-1;当- <k1<0时-1<yl<1 2 1 4 1 2

即y1∈ . [专家把脉] 没有掌握好抛物线的标准形式及交并集的概念. [对症下药] (1)由抛物线C的方程y=ax2(a<0)得,焦点坐标为(0,
1 1 ),准线方程为y=- . 4a 4a

(Ⅱ)证明:设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0),直线 PB的方程为y-y0=k2(x-x0). 点P(x0,y0)和?点A(x1,y1)的坐标是方程组 ? ?
? y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ) (1)
2 ? ? y ? ax (2)

的解.将②式代入①式得ax2-k1x+klx0-y0=0,于是 x1+x0=

k1 k ,故x1= 1 -x0③ a a

第 76 页 共 120 页

又点P(x0,y0)和点B(x2,y2)的坐标是方程组 ? ?

? y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ) (4)
2 ? ? y ? ax

(5)

的解.将⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0-y0=0.于是x2+x0= 由已知得,k2=-λ kl,则x2= ? k1 ? x0 ⑥
a

k2 k ,故x2= 2 -x0, a a

?

设 点 M 的 坐 标 为 (xM,yM) , 由 BM = λ MA , 则 xM=
xM ? ? x0 ? ?x0 ? ? x0, 1? ?

x2 ? ?x1 .将③式和⑥式代入上式得 1? ?

即xM+x0=0.所以线段PM的中点在y轴上. (Ⅲ)因为点P(1,-1)在抛物线y=ax2上,所以a=-1,抛物线方程为y=-x2. 由③式知x1=-k1-1,代入y=-x2得y1=-(k1+1)2. 将λ =1代入⑥式得x2=k1-1,代入y=-x2得y2=- (k2+1)2. 因此, 直线PA、 PB分别与抛物线C的交点A、 B的坐标为 A(-k1, -1, -k21-2k1-1), B(k1-1, -k12+2k1-1). 于是 AP =(k1+2,k12+2k1), AB =(2K1,4K1), AP ? AB = 2k1(k1+2)+4kl(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1). 因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同,故必有 AP ? AB <0. 求得k1的取值范围是k1<-2或- <k1<0.又点A的纵坐标y1满足y1=-(k1+1)2,故当k1<-2时, y1<-1; 当- <k1<0时,-1<y1<- ). 专家会诊 1.判定直线与圆锥曲线交点个数的基本方法是联立方程组,判断方程组解的组数,对于直线与双 曲线的交点个数问题还可借助直线与渐近线斜率的关系来判断,而直线与抛物线的位置关系则 可借助直线与抛物线对称轴的位置关系来判定,不可混淆. 2.涉及弦长的问题中,应熟练地利用韦达定理,设而不求计算弦长,不要蛮算,以免出现差错. 3.涉及弦长的中点问题,常用―差分法‖设而不求,将弦所在直线的斜率,弦的中点坐标联系起来, 相互转化。 考场思维调练 1 设椭圆
x2 m2 ? y2 n2 ? 1 ,双曲线 x2 m2 ? y2 n2 ? 1 ,抛物线y =2(m+n)x,(其中m>n>0)的离心率分别为e1、e2、
2

1 2

1 2

1 .即y1∈(-∞,-1)U(-1, 4

1 4

e3,则 ( A.e1e2>e3 C e1e2=e3

) B.e1e2<e3 D.e1e2与e3大小不确定
1? n n , e2 ? 1 ? , e3 ? 1.3e1 ? e2 ? m m m2 ? n 2 m2 ? 1, 故选 B.

答案: B 解析:e1=

2 已知平行四边形ABCD,A(-2,0),B(2,0),且|AD|=2 (1)求平行四边形ABCD对角线交点E的轨迹方程.
第 77 页 共 120 页

答案:设 E(x,y),D(x0,y0)
? ? ??? ? ? 2 ??? ? , ∵ABCD 是平行四边形,∴ ??? AB AD AE

∴(4,0)+(x0+2,y0)=2(x+2,y) ∴(x0+6,y0)=(2x+4,2y)
? x0 ? 6 ? 2 x ? 4 ? ∴? ? ? ?y ? 2y ? 0 ? x0 ? 2 x ? 2 ?? ? y0 ? 2 y
2

又|AD|=2,∴(x0+2)2+y0 =4, 2 ∴(2x-2+2) =4 即:x2+y2=1 ∴ ABCD 对角线交点E的轨迹方程为x2+y2=1. (2)过A作直线交以A、 B为焦点的椭圆于M、 N两点, 且|MN|= 求椭圆的方程. 答案:设过 A 的直线方程为 y=k(x+2) 以 A、B 为焦点的椭圆的焦距 2C=4,则 C=2 设椭圆方程为
x2 a2 ? y2 b2 ? 1, x2 a2 ? ? y2 a 2? 4 ?1 ?0 (*)
8 4 2 ,MN的中点到了轴的距离为 , 3 3

将 y=k(x+2)代入(*)得
2 2 2

x2 a2
4

k 2 ( x ? 2)2 a2 ? 4
2

即(a2+a2k2-4)x +4a k -a +4a =0 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则
x1 ? x2 ? 4a2k 2 4?a ?a k
2 2 2

, x1 ? x2 ?
4 3

4a2k 2 ? a4 ? 4a2 a 2 ? a 2k 2 ? 4

∵中点到轴的距离为 ,且 MN 过点 A,而点 A 在 y 轴的左侧,∴MN 中点也在 y 轴的左侧。
2a 2 k 2 a ?a k ?4 8 ? a2 3
2 2 2

?

?

4 ?8 ,? a 2 k 2 ? 2a 2 ? 8,? x1 ? x2 ? , 3 3

x1 ? x2 ?

? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1x2 8 4 ? ( ) 2 ? (8 ? a 2 ) 3 3 8 8 ?| MN |? 2 ? 1 ? k 2 | x1x2 |? 2 3 3 64 32 4 2 128 ? (1 ? k 2 )( ? ? a )? 9 3 3 9

即 12a +12a k -32k =160 ∴12a +12(2a -8)-32k =160 ∴a ·
2 2 2 2 2

2

2 2

2

∴k2=

9a 2 ? 64 8

9a 2 ? 64 ? 2a 2 ? 8,9a 4 ? 80a 2 ? 64 ? 0 8
2 2

(a -8)(9a -8)=0,∵a>c=2, ∴a =8
第 78 页 共 120 页

∴b =a -c =8-4=4, ∴所求椭圆方程为
x2 y 2 ? ? 1. 8 4

2

2

2

(3)与E点轨迹相切的直线l交椭圆于P、Q两点,求 |PQ|的最大值及此时l的方程. 答案:由(1)可知点 E 的轨迹是圆 x 2 ? y 2 ? 1 设是圆上的任点,则过(x0,y0)点的切线方程是 x0x+y0y=1 当 y0≠0 时, y ?
1 ? x0 x 代入椭圆方程得: y0

(2 x0 2 ? y0 2 ) x 2 ? 4 x0 x ? 2 ? 32 y0 2 ? 0, , 又x0 2 ? y0 2 ? 1 ? ( x0 2 ? 1) x 2 ? 4 x0 x2 , x1x2 ? 32 x0 2 ? 30 x0 2 ? 1 1 ( x0 2 ? 1) 2 ? 1 ( x0 2 ? 1) 2
4 (?128 x0 ? 8 x 2 ? 120 | PQ |2

? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1x2 ? ? (1 ? (1 ? ? ? 1 1 ? x0
2

x0 2 x2 ? y 2 ) )(x1 ? x2 ) 2 ? 0 2 0 ( x1 ? x2 ) 2 y0 y0 1 (1 ? x0 2 ) 2 (?128 x0 4 ? 8 x0 2 ? 120)

?

2 16 x0 ? 15

(1 ? x0 2 ) 2

2 令 16x0 ? 15 ? t ? 31

则 | PQ |2 ?

1 256t 256 ? ? , t ? 1 2 t 2 ? 2t ? 1 1 ( ) t? ?2 16 t

∵15≤t<31 ∴当 t=15 时|PQ| 取最大值为 15,|PQ|的最大值为 15 此时 16 x02 ? 0,? y0 ? 1,? 直线 l 的方程为 y=±1. ②当时,容易求得故所求的最大值为 15 ,此时l的方程为y=±1. 命题角度5 对轨迹问题的考查 1.(典型例题)已知双曲线的中心在原点,离心率为若它的一条准线与抛物线 y2=4x的准线重合,则 该双曲线与抛物线y2=4x的交点到原点的距离是 ( ) A.2 3 ? 6 B. 21
2

C.18+12 2 D.21 [考场错解] C [专家把脉] 对双曲线的定义理解不够深刻. [对症下药] B 设双曲线方程为
x2 a
2

?

y2 b
2

=1,由题意得

c a2 ? 3 ,? ? ?1 则a= 3 b= 6 ,则双曲线方 a c

第 79 页 共 120 页

? x2 y 2 ?1 x2 y 2 ? ? 程为 ? =1,由 ? 3 6 得A(3,2 3 ) , 3 6 ? 2 ? y ? 4x

故交点到原点的距离为 32 ? (2 3 )2 ? 21. 2.(典型例题)已知点A(-2,0) 、B(3,0),动点P(x,y)满足 PA ? PB =x2,则点P的轨迹是 A. 圆 C.双曲线 B.椭圆 D.抛物线 ( )

[考场错解] C 由 PA ? PB =x2,得(-2-x,-y)? (3-x,-y)=x2 即(-2-x)(3-x)+(-2x)(-y)+(-y)(3-x)+ (-y)?(-y)=x2 化简得y2+2xy-x-3y-6=0则点 P的轨迹是C. [专家把脉] 没有理解数量积的坐标运算. [对症下药] D 考查了圆锥曲线中的轨迹方程. 由题 PA =(-2-x,-y), PB =(3-x,-y),由 PA ? PB =x2. ∴(-2-x)?(3-x)+y2=x2即y2=x+6. 3.(典型例题)如图,直线l1:y=kx(k>0)与直线l2:y=-kx之间的阴影区域 (不含边界)记为W,其左半 部分记为W1,右半部分记为W2. (1)分别用不等式组表示 W1和W2; (Ⅱ)若区域Ⅳ中的动点p(x,y)到l1,l2的距离之积等于d2,求P点的轨迹C的方程; (Ⅲ)设不过原点O的直线l与(Ⅱ)中的曲线C相交于Ml,M2两点,且与l1,l2分别交于M3,M4两点,求 证△OM1M2的重心与△OM3M3的重心重合. [考场错解] (1)W1={(x,y)|y≠±kx x<0|W2={(x,y)}y=±kx,x>0| (Ⅱ)直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0由题意得
| kx ? y | k ?1
2

?

| kx ? b | k ?1
2

=d2即

| k 2 x2 ? y 2 | k2 ?1

=d2

∴k2x2-y2±(k2+1)d2=0故动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2±(k2+1)d2=0 (Ⅲ)略 [专家把脉] 没有很好地理解题意,第二问出现两解,致使第三问过于复杂难以完成. [对症下药] 解:(I)W1={(x,y)|kx<y-kx,z< 0|,W2={(x,y)|kx<y<bc,x>0}, (Ⅱ)直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0,由题意得
| kx ? y | k ?1
2

?

| kx ? b | k ?1
2

=d2,即

k 2 x2 ? y 2 k ?1
2

=d2,

由P(x,y)∈W,知k2x2-y2>0, 所以
k 2 x2 ? y 2 k ?1
2

=d2,即k2x2-y2-(k2+1)d2=0,

所以动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2-(k2+1)d2=0; (Ⅲ)当直线J与,轴垂直时,可设直线J的方程为,x=a (a≠0).由于直线l,曲线C关于x轴对称, 且l1与l2关于x轴对称,于是M1M2,M3M4的中点坐标都为(a,0),所以△OM1M2,△OM3M4的重

第 80 页 共 120 页

心坐标都为( a,0),即它们的重心重合, 当直线l1与x轴不垂直时,设直线J的方程为y=mx+n(n ≠0). 由? ?
?k 2 x 2 ? y 2 ? (k 2 ? 1)d 2 ? 0 , 得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0 ? ? y ? mx ? n

2 3

由直线l与曲线C有两个不同交点,可知k2-m2≠0且△=(2mn)2+4(k2-m2)?x(n2+k2d2+d2)>0 设M1、M2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2= 设M3、M4的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4), 由?
? y ? kx ? y ? ?kx n ?n 及? 得x3= ,x4= k ?m k?m ? y ? mx ? n ? y ? mx ? n
2mn k ? m2
2

2mn k 2 ? m2

,y1+y2=m(x1+x2)+2n,

从而x3+x4=

=x1+x2,

所以y3+y4=m(x3+x4)+2n=m(x1+x2)+2n=y1+y2, 于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合. 4.(典型例题)已知椭圆
x2 a2 ? y2 b2

=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的

动点,满足 | F1Q | =2a,点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足 PT ?TF2 =0, | TF2 |≠0. (1)设x为点P的横坐标,证明| F1P |=a+ x ; (Ⅱ)求点T的轨迹C的方程; (Ⅲ)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=b2,若存在,求∠F1MF2的正 切值;若不存在,请说明理由. [考场错解] (1)证明:由焦半径公式得 F1P =a+ ex=a+ x (Ⅱ)设点T的坐标为(x、y) 由 | PT | ? | TF2 | =0 得 PT ? TF2又 | PQ |?| PF2 |?| QF |? TF2 , 在△QF1F2中 OT ?
1 2 2 2 | F1Q |? a 故有x +b = a (x=±a) 2 c a c a

(Ⅲ)C上存在M(x0,y0)使s=b2的充要条件是:
2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 (1) ? ?1 2 ? ? 2c | y0 |? b (2) ?2

又 MF1 =(-C-x0-y0), MF2 =(c-x0,y0) 由 MF1 ? MF2 =x02-c2+y20=a2-c2=b2 即 | MF 1 || MF2 | sin∠FlMF2 1 || MF 2 | cos∠F1MF2=b 又s= | MF
2

1 2

第 81 页 共 120 页

得tan ∠FlMF2=2 [专家把脉] (1)没有注意证明题的书写格式(2)思考问题不够全面. [对症下药] (1)证法一:设点P的坐标为(x,y).由P(x,y)在椭圆上,得
| F1P |? ( x ? c)2 ? y 2 ? ( x ? c)2 ? b 2 ? b2 a2 x 2 ? (a ? c 2 x) . 2 a

由|x|≤a,知a+ x ≥-c+a>0,所以 | F1P | =a+

c a

c x. a

证法二:设点P的坐标为(x,y).记 | F1P |? r1,| F2 P |? r2 , 则r1= ( x ? c)2 ? y2 ,r2= ( x ? c)2 ? y2 .

由r1+r2=2a,r21-r22=4cx,得 | F1P | =r1=a+ x . 证法三:设点P的坐标为(x,y).椭圆的左准线方程a+ x =0. 由椭圆第二定义得
| F1P | | x?
c a c a

c a

a2 | c

?

c c a2 c 即 | F1P |? | x ? |?| a ? x | . a a c a
c a

由x≥-a,知a+ x ≥-c+a>0,所以 | F1P | =a+ x (Ⅱ)解法一:设点T的坐标为(x,y). 当 | PT | =0时,点(a,0)和点(-a,0)在轨迹上. 当 | PT |? 0 且 | TF2 |? 0 时,由 | PT | ? | TF2 | =0,得 | TP |? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以T为线段F2Q的中点. 在△QF1F2中, | OT |?
1 2 2 2 | F1Q | =a,所以有x +y =a 2

综上所述,点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2 解法二:设点T的坐标为(x,y).当| | PT | |=0时,点(a,0)和点(-a,0)在轨迹上. 当 | PT |? 0 且 TF2 ? 0 时,由 PT ? TF2 ? 0 又| PQ |=| PF2 |,所以T为线段F2Q的中点.
? ?x ? 设点Q的坐标为(x',y'),则 ? ? ?y ? ? ? x'? c 2 , y' . 2

第 82 页 共 120 页

因此 ?

? x' ? 2 x ? c, ① ? y' ? 2 y.

由 | F1Q | =2a得(x'+c)2+y'2=4a2.② 将①代入②,可得x2+y2=a2. 综上所述,点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2 (Ⅲ)解法一:C上存在点M(x0,y0)使S=b2的充要条件是
2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 , (3) ? ?1 2 ? ? 2c | y0 | b .(4) ?2

由③得,|y0|≤a,由④得,|y0|≤ 当a<

b2 b2 ,所以,当a≥ 时,存在点M,使S=b2; c c

b2 时,不存在满足条件的点M. c b2 时, MF1 =(-c-c0,-y0), MF2 =(c-c0,-y0), c

当a≥

由 MF1 ? MF2 =x02-c2+y20=a2-c2=b2,
MF 1 ? MF2 ?| MF 1 | ? | MF2 | cos ?F 1MF2 , S? 1 2 | MF 1 | ? | MF2 | sin ?F 1MF2 ? b , 得 tan ?F 1MF2 ? 2. 2

解法二:C上存在点M(x0,y0)使S=b2的充要条件是
0 0 ? x2 ? y2 ? a 2 , (3) ? ?1 2 ? ? 2c | y0 |? b .(4) ?2

由④得|y0| ?

b2 b4 ,上式代入③得x20=a2- 2 c c b2 时,存在点M,使s=b2; c

=(a-

b2 b2 ) (a+ )≥0. c c

于是,当a≥ 当a<

b2 时,不存在满足条件的点M. c
y y b2 时,记k1=kF1M= 0 , k2 ? kF 2M ? 0 , x0 ? c x0 ? c c
k1 ? k 2 | =2. 1 ? k1k2

当a≥

由|F1F2|<2a,知∠F1MF2<90°,所以tan∠F1MF2= |

专家会诊 (1)求轨迹方程的本质是用代数形式将动点的运动规律表示出来,实质上是一个翻译过程,故选 取一定解题策略找到动点运动规律的一些表现形式是关键,往往和研究曲线几何性质,讨论直 线与曲线位置关系等联系在一起. (2)求轨迹要注意取值范围和―杂点‖的去除. 考场思维训练 1 已知椭圆:
x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0), 点户为其上一点, F1、 F2为椭圆的焦点, ∠F1PF2

的外角平分线为l,点F2关于l的对称点为Q,F2Q交l于点R.
第 83 页 共 120 页

(1)当P点在椭圆上运动时,求R形成的轨迹方程; 1. 答案:∵点 F2 关于 l 的对称点为 Q,连接 PQ, ∴∠F2PQ=∠QPR,|F2R|=|PQ|=|PF2|又因为 l 为∠F1PF2 外角的平分线,故点 F1、P、Q 在同一直线上, 设存在 R(x0,y0),Q(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0). 2 2 2 |F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c) +y1 =(2a) .
x ?c ? x ? 1 ? ? 0 2 又 ? y ?y ? 1 ? 0 2 ?

得 x1=2x0-c,y1=2y0. 2 2 2 2 2 2 ∴(2x0) +(2y0) =(2a) , ∴x0 +y0 =a 故R的轨迹方程为:x2+y2=a2(y≠0) (2)设点R形成的曲线为C,直线l:y=k(x+ 2 a)与曲线C相交于A、B两点,当△AOB的面积取得最大 值时,求k的值. 答案:如下图:∵S△AOB= |OA|?|OB|?sinAOB= 当∠AOB=90°时,S△AOB 最大值为 a
| 2 ak | 1? k2

1 2

a2 sinAOB 2

1 2

2.

此时弦心距|OC|=

.

在RT△AOC中,∠AOC=45°,∴

| OC | 2 ak 2 3 ? ? cos 45 °= ,? k ? . | OA | a 1 ? k 2 2 3

2 已知两点M(-2,0),N(2,0),动点P在y轴上的射影为H,| PH |是2和 PM ? PN 的等比中项. (1)求动点P的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线;
? ? (? x,0), ?? ?? ? (?2 ? x,? y) 2. 答案:设动点的坐标为 P(x,y),则 H(0,y), ???
PH PM

??? ? ? (2 ? x,? y) ? ?? ??? ??? ? ? (-2-x,-y)·(2-x,-y)=x -4+y
PN PM PN
2 2 2

2

2

?? ? ??? ? ,即 x =2(x -4+y ) ?? ?? =|x|,由题意得|PH| =2? ??
| PH |
PM PN

2



x2 y 2 =1,所以点P的轨迹为椭圆 ? 8 4

(2)若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q,求实轴最长的双曲线C的方程. 答案:由已知求得 N(2,0)关于直线 x+y=1 的对称点 E(1,-1),则|QE|=|QN| 双曲线的C实轴长2a=|QM|-|QN|=||QM|-|QE||≤|ME|= 10 (当且仅当Q、E、M共线时取“=”),双曲线 C的实半轴长a=
10 2

3 已知△OFQ的面积为2 6 ,且 OF ? FQ =m.

第 84 页 共 120 页

(1)设 6 <m<4 6 ,求向量 OF 与 FQ 的夹角θ 正切值的取值范围;
?1 | ??? ? | ? | ??? ? | sin(? ? ? ) ? 2 6 OF FQ 答案: ? ?2 ?| ??? ? | ? | ??? ? | cos? ? m FQ ? OF

∴tanθ = ∴
?
4

4 6 ,? 6 ? m ? 4 6 ?1 ? tan? ? 4 m

? ? ? arctan4.

(2)设以O为中心,F为焦点的双曲线经过点Q(如图),| OF |=c,m= 时,求此双曲线的方程. 答案:设所求的双曲线方程为
x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0), Q( x1, y1),则 ??? ? ? ( x1 ? c , y1)
FQ

6 ? 1)c2 ,当 | OQ | 取得最小值 4

? S?OFQ ? ? y1 ? ?

1 | ??? ? | ? | y1 |? 2 6 , OF 2

4 6 又由 ??? ? ? ??? ? OF FQ c 6 ? 1)c 2, 4 96 c
2

? (c,0) ? ( x1 ? c, y1 ) ? ( x1 ? c) ? c ? ( ? x1= 6 2 2 c,?| ??? ? |? x1 ? y1 ? OQ 4

?

3c 2 ? 12 . 8

当且仅当 c=4 时,| O A | 最小此时Q的坐标为( 6 , 6 )或( 6 ,? 6 )
6 ?6 ? 2 ? 2 ?1 b ?a 2 ? ? ? ?a ? 4 ?? ? 2 ? ? ?b ? 12 ? 2 2 ?a ? b ? 16 ? ?

?

所求方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 12

(3)设F1为(2)中所求双曲线的左焦点, 若A、 B分别为此双曲线渐近线l1、 l2上的动点, 且2|AB|=5|F1F|, 求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 答案:设 A(x1,y1),B(x2,y2)l1 的方程为 y=- 3 x, l2 的方程为 y=- 3 x 则有 y1= 3 x 1① y2=- 3 x 2②∵2|AB|=5|FF1|
? 2 ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 5.2c ? 40



? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 20(3)设M ( x, y )由(1)(2)得y1 ? y2 ? 3 ( x1 ? x2 ) y1 ? y2 ? 3 ( x1 ? x2 ) ? 2 y ? 3 ( x1 ? x2 ), y1 ? y2 ? 2 3 x ? x1 ? x2 ? 2y 3 ,

第 85 页 共 120 页

y1-y2=2 3 x 代入③得 ( ∴

2y 3

)2 ? (2 3 x)2 ? 400

y2 x2 ? ? 1 ? M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆. 300 100 3

命题角度6 考查圆锥曲线中的定值与最值问题 1.(典型例题)如图,点A、B分别是椭圆
x2 y 2 =1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点.点P在 ? 36 20

椭圆上,且位于x轴的上方,PA⊥PF. (1)求点P的坐标; (2)设M椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小 值. [考场错解] (1)设P(x,y)则 AP =(x+6,y) 则2x2+9x+18=0.∴x= ∴点P的坐标( ,
3 或x=-6 2

? x2 y 2 ?1 ? ? FP ? (x-4,y)由已知可得 ? 36 20 ? 2 ?( x ? 6)(x ? 4) ? y ? 0

3 5 3 )或(-6,0). 2 2
| k ?6| |k ?6| ?| k ? 6 | 解得k=2 于是 2 2 4 9 9 (x- )2+15.∴当x= 时d取 9 2 2

(2)直线AP: x- 3 y+6=0, 设点M(A, 0)则M到直线AP的距离为

或 18 i)当k=2时,椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d,d2=(x-2)2+y2= 最小值 15 ⅱ)当k=18时,同理得d2= (x9 2 4 9

81 2 81 ) -385当x= 时,d2=-385矛盾,故舍去 2 2

综上所述:当x= 时d取得最小值 15 [专家把脉] 没有考虑到椭圆的分面有界性,致使思路不清晰,计算繁琐. [对症下药] [解](1)由已知可得点A(-6,0),F(0,4)
? x2 y 2 ?1 ? ? 设点P(x,y),则 AP =(x+6,y), FP =(x-4,y),由已知可得 ? 36 20 ? 2 ?( x ? 6)(x ? 4) ? y ? 0

则 2x2+9x-18=0,x= 或x=-6.由于y>0,只能x= ,于是y= 点P的坐标是( ,
3 5 3 ) 2 2

3 2

3 2

5 3 . 2

(2)直线AP的方程是x- 3 +6=0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是 |m-6|,又-6≤m≤6,解得m=2.

|m?6| |m?6| .于是 = 2 2

椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有,d2=(x-2)2+y2 =x2-4x+4+20- x2 = (x- )2+15, 由于-6≤m≤6,∴当x= 时,d取得最小值 15
9 2

5 9

4 9

9 2

第 86 页 共 120 页

2. (典型例题)如图, 直线y=

1 1 x严与抛物线y= x2-4交于A、 B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=-5 2 8

交于点Q. (1)求点Q的坐标 (2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时,求△OPQ面积的最大值. [考场错解] (1)略(Ⅱ)由(1)得Q(5,-5) 直线OQ的方程为x+y=0 设P(x, d=
| x? 1 2 x ?4| 1 1 5 5 8 ? | x 2 ? 8 x ? 32 |,| OQ |? 5 2 ? S? OPQ ? | OQ | d ? | x 2 ? 8 x ? 32 |? | ( x ? 4) 2 ? 48 | 2 16 16 2 8 2

1 2 x -4)∵点P到直线OQ的距离 8

∵-4≤x≤8. ∴S△OPQ最大值=

5 |(-4+4)2-48|=15 16

[专家把脉] 要注意二次函数最大值的求法. [对症下药]
1 ? y? x ? ? x ? ?4 ? ? x2 ? 8 ? 2 ,? 2 , 即A(-4,-2),B(8,4),从而AB的中点为 (1)解方程组 ? ,得 ? 1 ? y1 ? ?2 ? ? y ? 1 x2 ? 4 ?y ? 4 ? 8 ?
1 ,得线段AB的垂 2

M(2,1),由 k AB ?

直平分线方程y-1=-2(x-2).令y=-5,得x=5,∴Q(5,-5). (2) 直 线 OQ 的 方 程 为 x+y=0 , 设 P(x ,
| x? 1 2 x ?4| 1 8 ? | x 2 ? 8 x ? 32 || OQ |? 5 2 . 2 8 2
1 5 2 | OQ | d ? | x ? 8 x ? 32 | . 2 16 1 2 x -4) , ∵ 点 P 到 直 线 OQ 的 距 离 8

d=

? S?OPQ ?

∵P为抛物线上位于线段AB下方点,且P不在直线OQ上. ∴ -4≤x<4 3 -4或4 3 -4<x≤8.∴S△OPQ最大值=30 3.(典型例题)设椭圆方程为x2+
1 2

y2 =1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B、O是坐标原点,点P 4
1 2 1 2

满足 OP ? (OA ? OB) ,点N的坐标为( , ),当l绕点M旋转时,求: (Ⅰ)动点户的轨迹方程; (Ⅱ) | NP | 的最小值与最大值. [考场错解] (1)①若l的斜率存在,设为k,则l:y =kx+1代入4x2+y2=4中得,(k2+4)x2+2kx-3=0 ∴x1+x2=
?2 k k ?4
2

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ?

8 k ?4
2

第 87 页 共 120 页

? OP ? (

?k
2

k ?4 k ?4

,

4
2

)?k2 ?

4 x k ? 4, ? ? y y 4

i)A=0时,x=0 y=1,∴P(0,1) ii)k≠0时,k=
4 x ?4? ? y y ? 4 ?4 y 4

∴P点的轨迹为:x2+y2-y=0(y≠O) ②若l不存在斜率,∴A、B为上、下顶点.∴P(0,0) (2)解:∵N( , ),i),∵k不存在时P(0,0),?| PN |? k≠0时x2+(y- )2= 。 又∵N( , ) ?| NP | max=2r=1
1 1 2 2 1 2 1 4
1 1 2 2

2 2 , ii) k=0时P(0,1). ? | PN |? , iii) 2 2

∴ | NP | min=0.

[专家把脉] 思路不清晰. [对症下药] (1)解法一:直线l过点M(0,1),设其斜率为A,则J的方程为y=kx+1. 记A(x1,y1)、B(x2,y2),由题设可得A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)是方程组 ? ?
2k ? , ? x1 ? x2 ? ? 4 ? k2 将①代入②并化简得.(4+k2)x2+2kx-3=0.所以 ? ? ?y ? y ? 8 2 ? 1 4 ? k2 ?
? y ? kx ? 1, (1)

的解. y2 2 ? 1(2) ?x ? 4 ?

于是

OP ?

1 x ? x y ? y2 ?k 4 (OA ? OB) ? ( 1 2 , 1 )?( , ). 2 2 2 2 4 ? k 4 ? k2

?k ? , ?x ? ? 4 ? k2 设点P的坐标为(x,y),则 ? ?y ? 4 , ? 4 ? k2 ?

消去参数k得 4x2+y2-y=0. ③ 当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P的轨迹方程为 4x2+y2-y=0 解法二:设点P的坐标为(x,y),因A(x1,y1)、B(x2,y2)在椭圆上,所以
2 x1 ? 2 x2 ? 2 y1 ? 1, ④ 4 2 y2 ? 1⑤ 4

2 2 2 2 ? x2 ? ( y1 ? y2 )?0 ④-⑤得 x1

1 4

所以(x1-x2)(x1+x2)+ (y1-y2)(y1+y2)=0 当x1≠x2时,有

1 4

第 88 页 共 120 页

1 y ?y x1 ? x2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 2 ? 0 ⑥ 4 x1 ? x2
? x1 ? x2 , ?x ? 2 ? y ?y ? 并且 ? y ? 1 2 , ⑦ 2 ? ? y ? 1 y1 ? y2 ? x ? x ?x 1 2 ?

将⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0.⑧ 当x1=x2时,点A、B的坐标为(0,2)、(0,-2),这时点p的坐标为(0,0)也满足⑧,所以点P的轨 迹方程为
x2 ? 1 16 1 ( y ? )2 2 ? 1. 1 4
1 1 1 。 即- ≤x≤ 所以 16 4 4

(Ⅱ)解法:由点P的轨迹方程知x2≤

1 1 1 1 1 7 | NP |2 ? ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? ( x ? )2 ? ? 4 x 2 ? ?3( x ? )2 ? 2 2 2 4 6 12

故当x= 时, | NP | 取得最小值,最小值为 ,当x= ? 时, | NP | 取得最大值,最大值为 4.(典型例题)如图,P是抛物线C:y= x2上—点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q. (1)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点 M的轨迹方程; (Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求 范围. [考场错解] (1)设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x0,y0) 由y= x2①得y'1=x x2+
2 2 x -x1 -2=0 x1
1 2

1 4

1 4

1 6

21 . 6

1 2

| ST | | ST | 的取值 ? | SP | | SQ |

∴直线l的方程为y= x12=-

1 2

1 (x-x1)②联立①②消去y得, x1

∵M为PQ的中点,

x1 ? x2 1 ? ?? ? x0 ? 2 x1 ? ∴? ? y ? 1 x2 ? 1 ( x ? x ) 0 1 0 1 ? 2 x1 ?

消去x1得y0=x02+

1
2 2 x0

?1

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+

1 2x2

+1.

(Ⅱ)设直线y=kx+b,分别过P、Q作PP'⊥x轴, QQ'⊥y轴垂足分别为P'、Q'则
| ST | | ST | | OT | | OT | |b| |b| ? ? ? ? ? , | SP | | SQ | | P' P | | Q' Q | | y1 | | y2 |

由?

1 2 ? ?y ? x 消去x得y2-2(k2+b)y+b2=0③ 2 ? y ? kx ? b ?

第 89 页 共 120 页

则? ?
?

? y1 ? y2 ? 2(k 2 ? b)
2 ? ? y1 y2 ? b

| ST | | ST | 1 1 1 ? ?| b | ( ? )? 2|b| ? 2|b| | SP | | SQ | | y1 | | y2 | | y1 y2 |

1 b2

?2

?

| ST | | ST | 的取值范围是[2,+∞]. ? | SP | | SQ |

[专家把脉] (1)没有注意―杂点‖的去除; (Ⅱ)没有注意利用重要不等式时等号成 立的条件. [对症下药] 解法:(1)设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M (x0,y0),依题意x1≠0,yl>0, y2>0. 由y= x2,① 得y'=x. ∴过点P的切线的斜率k切=x1, ∵x1=0不合题意, ∴x1≠0. ∴直线l的斜率k1= ?
1 1 2 1 1 ? ? ,直线l的方程为y- x 1= ? (x-x1).② x 2 k切 x

1 2

方法一:联立①②消去y,得x2+ ∵M为PQ的中点,
x1 ? x2 1 ? ?? ? x0 ? 2 x1 ? ?? ? y ? 1 x 2 ? 1 ( x ? x). 0 1 0 ? 2 x1 ?

2 2 x -x 1-2=0. x1

消去x1,得y0=x02+
1 2

1
2 2 x0

+1(x0≠0),∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+
1 2

1 2x2

+1(x≠0),

方法二:由y1= x21,y2= x22,x0= x0=
1 y1 ? y2 ? k1=x1 x1 ? x2

x1 ? x2 1 1 1 ,得y1-y2= x21- x22= (x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2),则 2 2 2 2

∴x1=-

1 , x0

将上式代入②并整理,得y0=x20+ ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+

1
2 2 x0

+1(x0≠0),

1 2x2

+1(x≠0).

(Ⅱ)设直线l:y=kx+b,依题意k≠0,b≠0,则T(0,b).分别过P、Q作PP'⊥x轴,QQ'⊥y轴, 垂足分别为p'、 Q',则
| ST | | ST | | OT | | OT | |b| |b| ? ? ? ? ? . | SP | | SQ | | P' P | | Q' Q | | y1 | | y2 |

由?

1 2 ? ?y ? x 消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0.③ 2 ? y ? kx ? b ?

第 90 页 共 120 页

则? ?

? y1 ? y2 ? 2(k 2 ? b),
2 ? ? y1 y2 ? b .

方法一:
? | ST | | ST | 1 1 ? ?| b | ( ? )? 2|b| | SP | | SQ | y1 y2 1 b2 ? 2.

∵y1、y2可取一切不相等的正数, ∴
| ST | | ST | 的取值范围是(2,+∞). ? | SP | | SQ |
| ST | | SP | ? | ST | | SQ | ?| b | y1 ? y 2 y1 y 2 ?| b | 2(k 2 ? b) b2

方法二:∴

.

当b>0时, 当b<0时,

| ST | | ST | 2(k 2 ? b) 2(k 2 ? b) 2k 2 =|b| +2>2; ? ? ? | SP | | SQ | b b b2 | ST | | ST | 2(k 2 ? b) 2(k 2 ? b) =-b ? ? . | SP | | SQ | b b2

又由方程③有两个相异实根,得△=4(k2+b)2-4b2= 4k2(k2+2b)>0. 于是k2+2b>0,即k2>-2b. 所以
| ST | | ST | 2(?2b ? b) ? ? ?2 | SP | | SQ | ?b

∵当b>0时,
?

2k 2 可取一切正数, b

| ST | | ST | 的取值范围是(2+∞). ? | SP | | SQ |

方法三: 由P、Q、T三点共线得kTQ=kTP, 即
y2 ? b x2 ? y1 ? b . x1

则x1y2-bx1=x2y1-bx2,即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2). 于是b=
x2 ? 1 2 1 2 x1 ? x1 ? x2 1 2 2 ? ? x1x2 . x2 ? x1 2
|? 1 1 x1x2 | | ? x1x2 | x x 2 2 ? ?| 2 | ? | 1 |? 2. 1 1 1 2 x x 1 2 x2 x2 2 2

| ST | | ST | | b | | b | ? ? ? ? ? | SP | | SQ | y1 y2

?|

x2 | ST | | ST | 的取值范围是(2,+∞). | 可取一切不等于l的正数, ? x1 | SP | | SQ |

专家会诊 ①直线过定点的问题,常用直线系的思想处理. ②定值问题常常用函数的思想处理,即把所求定值通过一些基本变量表示,最终化成常数. ③最值问题往往用几何方法,函数或不等式等方法处理. 考场思维调练

第 91 页 共 120 页

1 已知椭圆C:

x 2 y 2 m2 (m>0),经过其右焦点F且以 a =(1,1)为方向向量的 ? ? 5 3 2

直线l交椭圆C于A、B两点,M为线段AB的中点,设O为椭圆的中心,射线 OM交椭圆C于N点. (Ⅰ)证明: OA ? OB ? ON; (Ⅱ)求 OA ? OB 的值. 答案: a = m2 , b2 ? m2 ,? c 2 ? a 2 ? b2 ? m2 ∵直线 l 过焦点 F(m,0)且与向量 a(1,1)平行, ∴直线 l 的方程为:y=x-m 将其代和椭圆 C 的方程,并整理可得:8x2-10mx- m 2 ? 0 …① 设 A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN). ∵M 是线段 AB 的中点,在方程①中由韦达定理,可得:
x A ? xB 5 3 ? m, yM ? xM ? m ? ? m, 2 8 8 5 3 ? M ( m, m). 8 8 xM ?
2

5 2

3 2

5 2

设 N’为 OM 延长线上的点,且 M 为 ON’的中心,则 N’ ( m,? m),且四边形OAN ' B为 平行四边形,将 N’的坐标代入椭圆 C 方程的左端并化简得 ? ( m)2 ? ? (? m)2 ? m2 , N’点在椭圆 C 上,N’与 N 点重合, ∴四边形OANB为平行四边形于是 OA ? OB ? On. 2 已知椭圆C:
x2 a
2

5 4

3 4

1 5

5 4

1 3

3 4

1 2

?

y2 b
2

? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e=
9 , 4

1 ,P1为椭圆上一点,满足 2

F1F2 ? P 1F2 ? 0, P 1F1 ? P 1F2 ?

斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的两个交点为P、Q,与y轴交点为C,点Q分有向线段 GF1 所 成的比为λ . (Ⅰ)求椭圆C的方程. 答案:设 | P 1F 1|?r 1,| P 1F2 | ? r2 , F 1F2 ? P 1F2 ? 0, △P2F1F2 为直角三角形且∠P1F2F1=90°, 则 r1cos∠F1P1F2,由
P 1F 1?P 1F2 ? 又e ? 9 9 3 3 9 b2 3 ? r1r2 cos F1P ? r2 ? ,由(2a ? )2 ? ? 4c 2 得 ? , 1F2 ? 4 4 2 2 4 a 2

c 1 ? , 解得a 2 ? 4, b2 ? 3, a 2 x2 y 2 ? ?1 4 3
第 92 页 共 120 页

? 椭圆C的方程为

(Ⅱ)设线段PQ中点R在左准线上的射影为H,当 1≤λ ≤2时,求|RH|的取值范围. 答案:可求得|RH|=3
3 3 ? 4k 2

在 y=k(x+1)中,令 x=0 得 y=k,即得 G(o,k),定比分点坐标公式
? k2 ? 3 3 45 ? k 2 ? 24, (3? 2 ? 8? ? 4),显然f (? ) ? 3? 2 ? 8? ? 4 在[1,2]上递增,∴ 4 4

1 1 ?| RH |? 3 . 33 16

3 过椭圆C:

x2 a2

?

y2 b2

=1(a>b>0)外一定点A(m,0)作一直线l交椭圆C:于P、Q两点,又Q关于x轴对

称点为Ql,连结PQ1交x轴于B点. (1)若 AP ? λ AQ ,求证 PB =λ BQ1. ,
3. 答案:连结 AQ1,因为 Q 与 Q1 关于 x 轴对称,而 A 在 x 轴上则在△APQ1 中,AB 平分∠PAQ1

由内角平分线定理可知:|A P :| AQ | ?| PB | :| BQ1 |而AP ? ?AQ ? AP与AQ 同向 ,故λ >0 且 |A Q1 ?| AQ |则 | PB | :| BQ1 | ? ?, 又 P、B、Q1 在同一直线且 PB 与 BQ1同向 于是有: PB ? ? BQ1 (2)求证:点B为一定点(
a2 ,0). m

答案:设过 A(m,0)的直线 l 与椭圆 C: 与 Q 关于 x 轴对称,则 Q1(x2,-y2) 由 a2
2 x1

x2 a
2

?

y2 b2

? 1 ,交于 P(x1,x2),Q(x2,y2),Q1

?

2 y1

b

2

? 1及

2 x2

a

2

?

2 y2

b2

? 1相减得

( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) a2

?

( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) b2
b 2 ( x ? x2 ) a 2 ( y1 ? y2 )

?0

? k PQ ?

y1 ? y2 b 2 x1 ? x2 ? 2? 1 x1 ? x2 a y ? y2 a 2 y1 ( y1 ? y2 ) b 2 ( x1 ? x2 )

PQ直线方程 : y ? y1 ? ?

( x ? x1 )

而 PQ 过 A(m,0),则有:
m ? x1 ? ? a 2b 2 ? b 2 x1x2 ? a 2 y1 y2 b 2 ( x1 ? x2 )

而 PQ1 过 B(Xb,0),同理可求得:
xB a 2b 2 ? b 2 x1x2 ? a 2 y1 y2 b 2 ( x1 ? x2 )
2

下面利用分析法证明:mxB=a ,
即证 : ( a 2b 2 ? b 2 x1x2 ) 2 ? (a 2 y1 y2 ) 2 [b 2 ( x1 ? x2 )]2
2 2 2 2 2 2 2


2 2 2

只需证: [a b +b x1x2-ab (x1+x2)][a b +b x1x2+ab (x1+x2)]=(a y1y2) 2 2 2 2 2 2 只需证: b [a -a(x1+x2)+x1x2]·b [a +a(x1+x2)+x1+x2]=(a y1y2) 4 2 2 即证: b (a-x1)(a-x2)(a+x1)(a+x2)=(a y1y2) ②
2 2 2 ) ? x1 y1 而(x1,y1)在椭圆上,则 b2(a2- x1



第 93 页 共 120 页

2 2 2 同理 b2 (a2 ? x2 ) ? a2 y2


2

由③?④可知②成立,从而①式得证.mxB=a 成立. ∴xB=
a2 m ?点B为一定点( a2 ,0) m

另法:证(1)设 l 直线过 A(m,0)和椭圆交于 P(x1,y1),Q(x2,y2),而 Q1 与 Q 关于 x 轴对称, 则 Q1(x1,-y2) 由 AP ? ?AQ ,则 y1-0=λ (y2-0) ∴0-y1=λ (-y2-0)
(2) 由AP ? ?AQ, 则m ? 由AP ? ?AQ, 则xB ?

∴ PB ? ? BQ1.
x1 ? ?x2 1? ?



x1 ? ?x2 ② 1? ?
2 2 x1 ? ?2 x2

由①?②得 mxB ?

2 x1 2 x1

1 ? ?2



a2 ? b

?

2 y1

b2 ?1

?1


?由y1 ? ?y2 ,由 ④-⑤? ?2得
2 x1 2 ? ?2 x2 2
2 x1

2 y1 2

a

2

a

2

?

2 ?2 x2

a

2

? 1 ? ?2

2 2 x1 ? ?2 x2 ? a2 (1 ? ?2 )

1? ?

? a2

由③⑥可知 mxB=a ∴点B为一定点 (

2

∵ xB ?

a2 m

a2 ,0). m

探究开放题预测 预测角度l 椭圆 1.以椭圆两焦点为直径端点的圆,交椭圆于四个不同点,顺次连结这四个点和两个焦点,恰好围成 一个正六边形,那么这个椭圆的离心率等于( ) A.
2 2 B. 3 3 C. 3 ? 1 D. 3 ? 1

[解题思路] 利用正六边形的性质,求出交点坐标,代入椭圆方程中,可求e. [解答]C 设椭圆方程为 在椭圆上,∴
c2 4a
2

x2 a
2

?

y2 a ? c2
2

c 3 ? 1, 则( , c) 2 2 c ? 3 ? 1. a

?

3c2 a ? c2
2

? 1, 解得e ?

2.设F1、F2为椭圆的两个焦点,椭圆上有一点P与这两个焦点张成90度的角,且∠PF1F2>PF2F1, 若椭圆离心率为 为( )
6 ,则∠PF1F2:∠PF2F1 3

第 94 页 共 120 页

A.1:5 B.1:3 C.1:2 D.1:l [解题思路] 求角的比,联想到运用正弦定理,转化为焦半径的比,再利用合比性质解三角形. [解答]A 提示:设∠PF1F2=α ,则∠PF2F1=90°-α ,0<α <45°,在△PF1F2中,由正弦定理得:
| PF1 | | PF2 | 2c | PF1 | ? | PF2 | ? ? ,? ? 2c. cos? sin ? cos? ? sin ? sin 90? sin ? ? cos? ? a 3 6 3 ? ? , sin(? ? 45? ) ? ,? 0 ? ? ? 45? ,? ? ? 15? , ?PF2 F1 ? 75? , ?PF1F2 : ?PF2 F1 ? 1 : 5. c 2 2 6
P ) 的准线为下准线,焦点为下焦点,椭圆和抛物线分别与直线 2

3 .已知一椭圆以抛物线 x2=2p(y+

x= 3 y 在第一象限内交于点A、B,且A为OB的中点(O为原点). (1)求椭圆的离心率; (2)若椭圆过点(0,5),求抛物线和椭圆的方程. [解题思路] (1)运用椭圆第二定义;(2)椭圆过点 (0,5)可求出F,运用定义求出两方程. [解答] (1)由已知抛物线的准线为y=-p,焦点为坐标原点,所以椭圆的下准线为y=-p,下焦点为原 点O,则点B的坐标是方程组
p ? 2 ? x ? 2 p( y ? ) 2 的解,由方程组得3y2=2py+p2,即3y2-2py-p2=0 ? ?x ? 3 y ?

解之得yl=p,y2= ?

p 3

(舍去) ∴B( 3 p,p),A(

3p p , ). 2 2

由点A在椭圆上,根据椭圆的第二定义有
3p 2 p ) ? ( )2 2 2 2 ? e得,e ? 3p 3 2

| OA | =e (dA为A到椭圆下准线的距离) dA

(

即得

(2)椭圆过点(0,5),故

5 5 5 2 2 ? 得p= , ∴抛物线的方程为x =5(y+ ) 2 4 5? p 3

设M(x,y)为椭圆上任一点,由椭圆下焦点为(0, 0),下准线为y=- ? ,离心率为 . 4.椭圆的中心是原点O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线l与x轴相交于点A, |OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点. (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 OP ? OQ =0,求直线PQ的方程; (3)设 AP =λ AQ (λ >1),过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M,证明 FM =-λ FQ . [解题思路] (1)设出椭圆的方程,由a、b、c的关系及|OF|=2|FA|可求.(2)运用设而不求的方法求 直线PQ的斜率; (3)运用向量的坐标,将M、E点表示出来,即可求证. [解答] (1)解:由题意,可设椭圆的方程为
x2 a
2

5 2

2 3

?

y2 = 1(a> 2 ). 2

第 95 页 共 120 页

?a 2 ? c 2 ? 2, ? 由已知得 ? a2 ?c ? 2( ? c) c ?

解得a= 6 ,c=2.
6 x2 y 2 。 ? ? 1 ,离心率e= 3 6 2

所以椭圆的方程为

(2)解:由(1)可得A(3,0).
? ?1 设直线PQ的方程为y=k(x-3). 由方程组 ? ?6 2 ? y ? k ( x ? 3) ? ? x2 y2

得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0,依题意△= 12(2-3k2)>0,得设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2= x1x2=
27k 2 ? 6 3k 2 ? 1 18k 2 2k 2 ? 1

6 6 <k< . 3 3

,①



由直线PQ的方程得y1=k(x1-3),y2=k(x2-3).于是 yly2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9].③ ∵ OP ? OQ =0, ∴xlx2+y1y2=0. ④
5 6 6 (? , ). 5 3 3

由①②③④得5k2=1,从而k= ?

所以直线PQ的方程为x- 5 y-3=0或x+ 5 -3=0 (3)证明: AP =(x1-3,y1), AQ =(x2-3,y2).由已知得
? x1 ? 3 ? ? ( x2 ? 3), ? ? y1 ? ?y2 , ? 2 5? ? 1 ? 2 方程组 ? x1 ? y1 ? 1, 注意λ >1,解得x2= 2? 2 ?6 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1. ?6 2 ?

因F(2,0)、M(x1,-y1),故 FM =(x1-2,-y1)=(λ (x2- 3)+1,-y1)=( 而 FQ =(x2-2,y2)=( 预测角度2 双曲线 1.双曲线
? ?1 ,y2),所以 FM =-λ FQ . 2?

1? ? ? ?1 ,-y1)=-λ ( ,y2). 2 2?

x2 y 2 =1的左右焦点分别为 F1、F2、p是双曲线右支上一点, I为△PF1F2 的内心,PI ? 4 5

交x轴于Q点,若|F1Q|=|PF2|,则I分线段PQ的比为 A.2 B
3 2 C. 1 2 D. 2 3

(

)

[解题思路] 利用双曲线的第一定义及三角形内心的性质求得. [解答]A 设
| PI | | PI | | F1P | | FP| =λ ,由内角平分线性质定理知,λ = ? , 又 | F1Q | ? | F2 P |? 1 ? ?. | IQ | | IQ | | F1Q | | F2 P |

第 96 页 共 120 页

又|F1P|-|F2P|=4, ∴|F2Q|=

∴|F2P|=

4

? ?1

,

1 4 4 4 |F2P|= ,∴|F1F2|= |F1Q|+|QF2|=|PF2|+|QF2|= =6, ? ? ? (? ? 1) ? ? 1 ? (? ? 1)

解方程,得λ 1=- (舍去),λ 2=2,故I分PQ的比为2.选A 2. 2.设A是双曲线
x2 a2 ? y2 b2

1 3

b>0)的右顶点,P是双曲线上除顶点外的任一点,过A作两渐近线 ? 1 (a>0,

的平行线分别交直线OP于Q和R两点. (1)求证:|OP|2=|OQ|?|OR|; (2)试确定双曲线上是否存在这样的点P,使得△AQR的面积等于
ab ,如果存在,则求出点P的 4

坐标;如果不存在,请说明理由. [解题思路] (1)联立OP与渐近线方程,求出Q、R点坐标,从而可证;(2)反证法,假设存在这 样的点户,利用S△ARQ=S△OARQ-S△OAR,求出点P的坐标,检验是否符合条件. [解答] (1)证明:设P(x0,y0)(y0≠0),则直线OP的方程为y=
? ?y ? 由? ? ?y ? ? ? x, abx0 aby0 x0 得Q点坐标为 ( , ). bx ? ay bx b 0 0 0 ? ay0 ( x ? a), a y0
y0 2 2 2 2 2 2 x ,且b x0 -a y0 =a b . x0

? y0 ? y ? 0 x, abx0 aby0 x 由? 得R点坐标为 ( , ). ? bx0 ? ay0 bx0 ? ay0 ? y ? ? b ( x ? a), ? a ?

∴|OQ|?|OR|=

2 2 ab x0 ? y0

| b0 ? ay0 |

?

2 2 ab x0 ? y0

| bx0 ? ay0 |

?

2 2 a 2b2 ( x0 ? y0 ) 2 2 b2 x0 ? a 2 y0

=x02+y02=|OP|2.

即|OP|2=|OQ|?|OR|. (2)假设存在这样的点 P,依据双曲线的对称性,可先讨论 P 在第一象限内的情形. 设 P(x0,y0)(x0>0,y0>0),yQ>yR 则 S△ARQ=S△OARQ-S△OAR= a(yQ-yR) = a(
1 2 aby 0 bx 0 ? ay 0 ? aby 0 bx 0 ? ay 0 )? a 3 by 0
2 2 b 2 x0 ? a 2 y0

1 2

?

2 ay 0

b

.

由 S△ARQ=

ab b b2 5 ,得, ∴y02= ,从而 y0= ,∴x0= a 2 4 4 2 b 5 a, )符合条件. 2 2

所以第一象限内的点 P(

根据双曲线的对称性,另外还有三个这样的点 P(-

5 5 5 b b b a, )、P(a,- )和 P( a,- ) 2 2 2 2 2 2

3.已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点且两条渐近线与以点 A(0 2 )为圆心, 1 为半径的圆相切,又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 y=x 对称。
第 97 页 共 120 页

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点,另一直线l经过M(-2,0)及AB的中点,求直 线l在y轴上的截距b的取值范围; (Ⅲ)若Q是双曲线C上的任一点,F1F2为双曲线C的左、右两个焦点,从F1引∠F1QF2的平分线的垂 线,垂足为N,试求点N的轨迹方程。 [解题思路](1)直接设方程可求; (2)联立方程求出直线L的方程由k的范围从而求出b的范围; (3) 运用相关点法求点N的轨迹方程 [解答](Ⅰ)设双曲线C的渐近线方程为y=kx,则kx-y=0 ∵该直线与圆x2+(y- 2 ) =1相切,∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x。 故设双曲线C的方程为
2 2 2

x2 a2

?

y2 a2

。 ? 1 ,又双曲线C的一个焦点为(0 2 )
2 2

∴2a =2,a =1. ∴双曲线C的方程为x -y =1. (Ⅱ)由 ? ?
? y ? mx ? 1 ? ?x ? y ? 1
2 2

2

2

得(1-m )x -2mx-2=0

2

2

令f(x)=(1-m )x -2xm

赞助商链接

高考数学经典易错题经典解析(下)

高考数学经典易错题经典解析(下) - 高中数学总复习 经典易错题会诊 与 试题预测 目 录 考点 1 集合与简易逻辑 经典易错题会诊 命题角度 1 集合的概念与性质 ...

数学经典易错题会诊与高考试题预测16

数学经典易错题会诊高考试题预测16 隐藏>> 经典易错题会诊与 2012 届高考试题...这一错误是机械地照搬实数集中分数指数幂运算法 则,所以对于数学中的有关定理...

数学经典易错题会诊与高考试题预测12 (2)

数学经典易错题会诊高考试题预测12 (2) - 数学,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课稿,备课教案导学案学案

数学经典易错题会诊与高考试题预测16

数学经典易错题会诊高考试题预测16 - 语文数学英语,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课稿,备课教案学案导学案

...诊断、练习)典型易错题会诊 考点1 集合与简易逻辑

2013高考数学三部曲(复习、诊断、练习)典型易错题会诊 考点1 集合与简易逻辑_数学...3 已知命题“非空集合 M 中至少有一个元素是集合 N 中的元素”是假命题,...

2014高考数学易错题精讲教案一

经典易错题会诊与 2014 届高考试题预测(一) 考点 1 集合与简易逻辑 集合的概念与性质 集合与不等式 集合的应用 简易逻辑 充要条件 集合的运算 逻辑在集合中的...

高考数学易错题汇总及解析(函数)_图文

高考数学易错题汇总及解析(函数) - 高考数学易错题汇总及解析(函数) 失分点 1 忽视空集致误 例 1 已知集合 A={x|x -3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m ...

数学经典易错题会诊与高考试题预测12

数学经典易错题会诊高考试题预测12 - 学而思网校 www.xueersi.com 经典易错题会诊与 2012 届高考试题 预测(十二) 考点 12 排列、组合、二项式定理 ? 正确运用...

数学经典易错题会诊与高考试题预测15

数学经典易错题会诊高考试题预测15 - 数学,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课稿,备课教案学案导学案

数学经典易错题会诊与高考试题预测12

数学经典易错题会诊高考... 暂无评价 23页 2财富值喜欢此文档的还喜欢 数学...{1,2,3,4,5,6,7}中的某 4 个,∴这样的映射有 C47 个,∴选 B [...