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江西省九江第一中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷


高一数学期中复习试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合 U ? {1,2,3,4}, A ? {1,2,3}, B ? {2} 则 A ? CU B ? ( A. {2} B. {2,3} C. {3} ) ) D. {1,3}

8.已知 f ( x) 是定义在( 0,??) 上的单调增函数,若 f ( x) ? f (2 ? x) ,则 x 的范围是( A. (1, ??) 9.已知函数 f ( x) ? ? A. [?1, 1]
x



B. (??, 1)

C. (0, 2)

D. (1, 2)

?(a ? 1) x ? 2a, x ? 1 的值域为 R ,则实数 a 的范围是( ?ln x, x ? 1
B. (?1, 1] C. [1, ??)



D. (??, ?1) )

2.若函数 f ( x) ? 1 ? 2 x ,则 f ( x) 的定义域为( A. [0, ??) 3.已知函数 f ( x) ? ? A. ? 1
1.5

10. 函数 f ( x) ? 2 的定义域为 [ a, b] , 值域为 [1,4] ,a 变动时, 方程 b ? g (a) 表示的图形可以是 ( D. (??, 1]

B. [1, ??)

C.

(??, 0]
) D. 2

? ?log2 x, x ? 3 ,则 f ( f (?1)) 的值为( 3 ? x , x ? 3 ? ?
B. 0 C. 1

1 4.设 a ? 2 , b ? log1 1.5, c ? ( )1.5 ,则 a, b, c 大小关系( 2 2
A. a ? c ? b B. c ? a ? b C. a ? b ? c

A. ) D. b ? a ? c ) 11 . 已知函数 f ( x ) ? ? ( ) B. ? 3

B.

C.

D.

1 2 x ? x 在定义域内存在区间 [m, n] 上的值域为 [3m,3n] ,则 m ? n 的值是 2
C. ? 4 D. ? 5 )

下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中,既是映射关系又是函数关系的是(

A. ? 2 12.设函数 f ( x) ? ? A. 2

?3? x , x ? 0 ,则方程 f ( x) ? x ? 2 实根的个数是( f ( x ? 1 ), x ? 0 ?
C. 4 D. 4 个以上

B. 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷中的横线上. 13.已知 a 2 ? 4(a ? 0) ,则 log2 a ? 14.已知函数 f ( x ) ?
1

6.已知指数函数 f ( x) ? a A. (2,3)

x ?2

? 3 (a ? 0且a ? 1) 的图象恒过定点 p ,则定点 p 的坐标是(
C. (3,3) D. (3,4)
2

. .



B. ( 2,4)

x2 1 1 ,那么 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f ( ) ? f ( ) ? 2 2 3 1? x
1 1 ? ? 1,则 m ? a b


7.已知 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? x ,那么当 x ? 0 时 f ( x) 的解析式是 ( )
2

a b 15.设 2 ? 3 ? m ,且

A. f ( x) ? ? x ? x C. f ( x) ? x ? x
2

B. f ( x) ? x ? x
2

?log 1 x, x ? 1 ? 2 16.函数 f ( x) ? ? ,则满足方程 f [ f (m)] ? log1 f (m) 的 m 的取值范围是 2 ? ?? x ? 1, x ? 1



D. f ( x) ? ? x ? x
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 化简或求值:

已知二次函数 f ( x) 满足不等式 f ( x) ? 5x ? 2 的解集是 (1,2) ,且 f ( x) 的图像过点 (?1,?1) . 记函数 g ( x ) ? ?

? log2 x , x ? 0 ?? f ( x), x ? 0



1 ? 8 1 0 2 2 (Ⅰ) 2 ? (2 ) 2 ? ( ) 3 ? (3 ) ; (Ⅱ) lg 2 ? lg 2 ? lg 5 ? lg 2 ? lg 4 ? 1 . 4 27 3
?2
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1

1

(Ⅰ)求 f ? x ? 的解析式,并画出 g ( x) 的图像; (Ⅱ)求关于 x 的方程 2 g 2 ( x) ? 5g ( x) ? 2 ? 0 不同的根的个数.

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ?

1 . 2 ?1
x

(Ⅰ)确定 a 的值, 使 f ( x) 为奇函数; (Ⅱ)当 f ( x) 为奇函数时, 求 f ( x) 的值域.

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19.(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | 1 ? x ? 6} , B ? {x | 5 ? x ? 10} , C ? {x ax ? 1 ? 0} . (Ⅰ)求 A ? B , (CR A) ? B ; (Ⅱ)若 A ? C ? A ,求实数 a 的取值范围. 22. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x (a ? R) . (Ⅰ)设 t ? 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f ( x) 表示为 t 的函数 ? (t ) ; 20.(本小题满分 12 分) 已知幂函数 f ( x) ? (m2 ? 3m ? 3) x m?1 为偶函数, g ( x) ? loga [ f ( x) ? ax](a ? 0且a ? 1) . (Ⅰ)求 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)若 g ( x) 在区间 (2,3) 上为增函数,求实数 a 的取值范围. (Ⅱ)记 f ( x) 的最大值为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式.

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21. (本小题满分 12 分)

答案
一、 选择题:1-5 DCDAC 二、填空题:13. 4 三、 17.(1) 14. 6-10 BADBB 15. 6 ………5 分 11-12CA

当 m ? 2 时, f ( x) ? x3 ,不合题意,舍去. ∴ f ? x? ? x .
2

………6 分

5 2

16. (??, 0] (2)1. ………10 分 (2) f ( x) ? x2 , g ( x) ? loga ( x2 ? ax) ………7 分

1 ; 2

18.解:解: (1) 依题设

f ( x) ? a ?

1 的定义域为 R , 2 ?1
x

? f ( x) 为奇函数, ? f (? x) ? ? f ( x) ,即 a ?

1 1 ? ?a ? x , 2 ?1 2 ?1
?x

? a ? a ?2 ?3 ? ? ①当 a ? 1 时, ? 2 ,解得 1 ? a ? 2 ;②当 0 ? a ? 1 时, ? 2 , a 无实数解. ? ? ? 4 ? 2a ? 0 ?9 ? 3a ? 0
综上所述,实数 a 的取值范围是 (1, 2) ………12 分 ……6 分 21.解:(1)①由条件可设 f ( x) ? a( x ? 1)(x ? 2) ? 5x ? 2(a ? 0) 又因为 f ( x) 的图像过点 (?1,?1) ,所以 a ? 1

1 1 1 2x 1 1 1 ? ?x ? x ? x ? 1 ,? a ? . ? f ( x) ? ? x . 则 2a ? x 2 2 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
(2)由(1)知 f ( x) ?

1 1 1 x ? x ?1, , ? 2 ? 1 ? 1 ,? 0 ? x 2 2 ?1 2 ?1 1 1 1 ? 0?? , ? f x ( ? ) 2 ?1 2 2
x

??1 ? ?

所以 f ( x ) 的值域为 ( ?

1 1 , ). 2 2

……12 分

所以 f ( x) ? x 2 ? 2x .………4 分 ② g ( x) 图像………8 分

19.解: (1) A ? B ? {x | 1 ? x ? 10}

CR A ? {x | x ? 1或x ? 6}
(2)? A ? C ? A,? A ? C

?(CR A) ? B ? {x | 6 ? x ? 10} ………6 分

1 或t ? 2 2 1 1 即 g ( x ) ? 或 g ( x) ? 2 ,由(1)图像可知方程 g ( x ) ? 有 4 个不同根,方程 g ( x) ? 2 有 2 个不同根. 2 2
2 (2)设 t ? g ?x ? ,则函数 2t ? 5t ? 2 ? 0 ,? t ?

①当 a ? 0 时, C ? R ,此时符合 A ? C ,? a ? 0 ;

从而所求方程共有 6 个不同的根.………12 分 22.解: (1)∵ t ? 1 ? x ? 1 ? x , ∴要使 t 有意义,必须 1 ? x ? 0 且 1 ? x ? 0 ,即 ? 1 ? x ? 1
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?a ? 0 1 ? ②当 a ? 0 时, C ? { x | x ? ? } ,? A ? C ,? ? 1 ? a ? 0; a ? ? 1 ? ? a ?a ? 0 1 1 ? ③当 a ? 0 时, C ? { x | x ? ? } , ? A ? C ,? ? 1 ?? ?a?0. a 6 ? ?6 ? ? a
综上实数 a 的取值范围为 [? ,?? ) .

2 2 ∵ t ? 2 ? 2 1 ? x ? [ 2,4] ,且 t ? 0 ……①

∴ t 的取值范围是 [ 2 ,2] .

1 6

………12 分

2 20.解:(1)由 f ? x ? 为幂函数知 m ? 3m ? 3 ? 1 ,得 m ? 1 或 m ? 2 ,………2 分

1 2 1 1 t ? 1 ,∴ ? (t ) ? a ( t 2 ? 1) ? t ? at 2 ? t ? a , t ? [ 2 ,2] .…4 分 2 2 2 1 2 (2)由题意知 g (a ) 即为函数 ? (t ) ? at ? t ? a , t ? [ 2 ,2] 的最大值,………5 分 2 1 1 2 ∵直线 t ? ? 是抛物线 ? (t ) ? at ? t ? a 的对称轴,∴可分以下几种情况进行讨论: a 2
2 由①得: 1 ? x ?

当 m ? 1 时, f ? x ? ? x ,符合题意;
2

①当 a ? 0 时,函数 y ? ? (t ) , t ? [ 2 ,2] 的图象是开口向上的抛物线的一段,

由t ? ?

1 ? 0 知 ? (t ) 在 t ? [ 2 ,2] 上单调递增,故 g (a ) ? ? (2) ? a ? 2 ; a

②当 a ? 0 时, ? (t ) ? t , t ?[ 2 ,2] ,有 g (a ) =2; ③当 a ? 0 时, ,函数 y ? ? (t ) , t ? [ 2 ,2] 的图象是开口向下的抛物线的一段, 若t ? ?

1 2 时, g (a ) ? ? ( 2 ) ? 2 , ? (0, 2 ] 即 a ? ? a 2 1 1 1 2 1 , ,? ] 时, g (a ) ? ? (? ) ? ? a ? ? ( 2 ,2] 即 a ? (? a a 2a 2 2 1 1 ? (2,??) 即 a ? (? ,0) 时, g (a ) ? ? (2) ? a ? 2 . a 2

若t ? ? 若t ? ?

综上所述,有
? ? a?2 ? 1 g (a) ? ? ?? a ? 2a ? ? 2 ? ? 1 (a ? ? ) 2 2 1 .………12 分 , (? ?a?? ) 2 2 2 (a ? ? ) 2


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