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南阳市2011—2012学年上学期高二期末质量评估--数学理


高二数学(理)参考答案
一、DCCAC
二、13. 三、 17.依题意,p: 2? …………………………………………………………(3 分) x ? 7,
3 5 5

DBDDD 14.

AC

3

15.

3 ?1

16②

q: 1 ? x ? 3, …………………………………………………………(6 分)

? p 且 q 为假, p 或 q 为真,? p 与 q 一真一假,
2? ? ?3, 7 ? 。…………………………………………(10 分) ?实数 x 的取值范围是 ?1,
18:(1)由 3a=2csin A 及正弦定理得, a 2sin A sin A = = . c sin C 3 ∵sin A≠0,∴sin C= 3 . 2

π ∵△ABC 是锐角三角形,∴C= .……………………………………………………(6 分) 3 π (2)∵c= 7,C= ,由面积公式得 3 1 π 3 3 absin = ,即 ab=6.① 2 3 2 π 由余弦定理得 a2+b2-2abcos =7, 3 即 a2+b2-ab=7, ∴(a+b)2=7+3ab.② 由①②得(a+b)2=25,故 a+b=5. …………………………………………………(12 分) 19. 解:若向工商银行贷款,每年需还 y 元,则: 9 8 105×(1+4%)10=y(1+4%) +y(1+4%) +…+y(1+4%)+y………………………(4 分) 1.0410-1 即 10 ×1.04 = · y ………………………………………………………… (8 分) 1.04-1
5 10

∴y≈

105 ? 1.48 ? 0.04 ≈12333(元) ……………………………………………(11 分) 0.48

答:向工商银行贷款,每年应付 12333 元. ………………………………………(12 分)

20: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由

S2 n 4n ? 2 a ? a2 得: 1 ? ? 3 ,所以 a2 ? 2 ,即 a1 Sn n ?1 d ? a2 ? a1 ? 1 ,所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n. ……………………(4 分)
a

(Ⅱ)由 bn ? an p n ,得 bn ? npn 。所以 Tn ? p ? 2 p2 ? 3 p3 ? ?? (n ?1) pn?1 ? npn , 当 p ? 1 时, Tn ? 当 p ? 1 时,

n( n ? 1) ;…………………………………………………(6 分) 2

pTn ? p2 ? 2 p3 ? 3 p4 ? ?? (n ?1) pn ? npn?1 ,
(1 ? P)Tn ? p ? p ? p ? ? ? p
2 3 n?1

? p ? np
n

n?1

p(1 ? p n ) np n?2 ? (n ? 1) p n?1 ? p n?1 ? ? np ? . 1? p 1? p

………………………………………………………(11 分)

n(n ? 1) ? , p ?1 ? 2 ? 即 Tn ? ? n?2 。……………………(12 分) n?1 ? np ? (n ? 1) p ? p , p ? 1 ? (1 ? p)2 ?
21 解:? PA ? 平面ABCD , ?DAB 点, 射线 坐标系,

? 90? ,则以 A 为坐标原

AD 、 A、 B A分别为 P x, y, z轴 建立如图空间直角

? PA ? AD ? DC ? 1, AB ? 2, AB / / DC, M 是PB的中点,
1 则A(0, 0, 0), B(0, 2, 0), C (1,1, 0), D(1, 0, 0), P(0, 0,1), M (0,1, ), 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (1)解:显然 AC 与 PB 的夹角即 AC 与 PB 所成的角, 因AC ? (1,1,0), PB ? (0, 2, ?1),
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AC ? PB 10 ? ??? ? ? 故 | AC |? 2,| PB |? 5, AC ? PB ? 2, 所以cos ? AC, PB ?? ??? . 5 | AC | ? | PB |

10 . …………………………………………………(6 分) 5 ?? ?? ???? (2):设平面AMC的法向量为n1 ? ( x, y, z ), 则n1 ? AC ? ( x, y, z ) ? (1,1,0) ? 0 ?? ???? ? ?? 1 n1 ? AM ? ( x, y, z ) ? (0,1, ) ? 0 ? 取n1 ? (-1,1,-2) 2 ?? ? ?? ? ??? ? 设平面BMC法向量为n2 ? ( x, y, z ), 则n2 ? BC ? ( x, y, z ) ? (1, ?1,0) ? 0 ?? ? ???? ? ?? ? 1 n2 ? CM ? ( x, y, z ) ? (?1,0, ) ? 0 ? 取n2 ? (1,1, 2) 2 则AC与PB所成角的余弦值为

则二面角 A ? MC ? B 的平面角即 n1 与 n2 的夹角? cos ? n1 , n2 ?? ? , 则所求二面角 A ? MC ? B 的余弦值为 ?

??

?? ?

?? ?? ?

2 3

2 .…………………………………………(12 分) 3

22.解: (1)设点 M 的坐标为 M(x, y)(x≠0),则 C ( x , y ? 1), D ( x, y ? 1). 又 A(0, 2), B (0, ?2). 由 AC⊥BD 有 AC ?BD ?0 ,即 ( x, y ? 3)?( x, y ? 3) ? 0 , ∴ x2 ? y 2 ? 9( x ? 0). . …………………………………………………(4 分) (2)设 P(x, y) ,则 M ?3x, y ? ,代入 M 的轨迹方程有 9 x2 ? y 2 ? 9( x ? 0). 从而所求 P 的轨迹方程为 x 2 ?
y2 ? 1( x ? 0). …………………………(8 分) 9
???? ????

(3)易知 l 的斜率存在,设方程为 y ? kx ? 1. 联立 9x2+y2=9 有 (9 ? k 2 ) x2 ? 2kx ? 8 ? 0. 设 E(x1, y1), F(x2, y2),则 x1 ? x2 ? ?
2k 9?k 2 ?8 ,x x ? 1 2 9?k 2

.

??? ? ??? ? OF ? 0 ,∴ x1x2 ? y1 y2 ? 0. ∵ OE ?
∴ x1x2 ? ? kx1?1?? kx2 ?1? ? 0 . 即所求 l 的方程为 y ? ? 整理,得
?8( k 2 ?1) 2k 2 ? ? 1 ? 0. k 2 ?9 k 2 ?9

解得: k

1 ?? . 3

1 x ? 1. ……………………………………………(12 3

分)


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