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【全程复习方略】(山东专用)2014版高考数学 第八章 第七节 双曲线课时提升作业 理 新人教A版


【全程复习方略】 (山东专用)2014 版高考数学 第八章 第七节 双曲线课时提 升作业 理 新人教 A 版
一、选择题

4 x 2 y2 1.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y ? x, 则双曲线的离心率为( 3 a b

)

?A?

5 3

? B?

21 3

?C ?

5 4

?D?

7 2

2.双曲线

x2 ? y 2 ? 1(n>1)的左、右两个焦点为 F1,F2,P 在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|= 2 n ? 2, 则△ n
) (B)1
2 2

PF1F2 的面积为( (A)

1 2

(C)2
2 2

(D)4

3.已知双曲线 mx -ny =1(m>0,n>0)的离心率为 2,则椭圆 mx +ny =1 的离心率为 ( )

?A?

1 3

? B?

6 3

? C?

3 3

?D?

2 3 3

4.已知双曲线

x 2 y2 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y ? 3x, 它的一个焦点在抛物线 y =24x 的准线 a 2 b2
)

上,则双曲线的方程为(

x 2 y2 ? ?1 36 108 x 2 y2 ?C? ? ? 1 108 36

?A?

? B?

x 2 y2 ? ?1 9 27 x 2 y2 ? D? ? ? 1 27 9

5.(2013?贵阳模拟)设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近 线垂直,那么此双曲线的离心率为( )

? A?

2

? B?

3

? C?

3 ?1 2

? D?

5 ?1 2

6.(2012?浙江高考)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点,若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )

-1-

(A)3

(B)2

(C) 3

(D)

2

7. 设 F1,F2 分别为双曲线

x 2 y2 ? ? 1 (a > 0,b > 0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P ,满足 a 2 b2
)

|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( (A)3x±4y=0 (B)3x±5y=0 (C)4x±3y=0 (D)5x±4y=0 8.(能力挑战题)已知点 F1,F2 分别是双曲线

x 2 y2 ? =1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线 a 2 b2
)

交于 A,B 两点,若△ABF2 为锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是(

1? ? A? (1,
二、填空题

2)????????????? B? (1,3)??????????????? C? ( 2 ?1, ? ?)?????????????? D ? (??,1 ? 2)

9.(2013 ?昆明模拟 ) 已知双曲线 _________.

x 2 y2 ? ? 1 的右焦点的坐标为 9 a

?

13, 0 , 则该双曲线的渐近线方程为

?

10.(2013?威海模拟)设点 P 是以 F1,F2 为左、右焦点的双曲线 足 PF1 PF2 =0,tan∠PF2F1=

x 2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)左支上一点,且满 a 2 b2

2 , 则此双曲线的离心率为_________. 3

11.(能力挑战题)过双曲线的右焦点 F 作实轴所在直线的垂线,交双曲线于 A,B 两点,设双曲线的左顶点 为 M,若点 M 在以 AB 为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率 e 的取值范围为_________. 三、解答题 12.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2, 且过点

P 4, ? 10 .
(1)求双曲线的方程. (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证: MF1 MF2 =0. (3)求△F1MF2 的面积. 13.(2013?哈尔滨模拟)椭圆 C1:

?

?

x 2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,点 P 是双曲线 C2: a 2 b2

x 2 y2 ? ? 1 在第一象限内的图象上一点,直线 AP,BP 与椭圆 C1 分别交于 C,D 点,若 S△ACD=S△PCD. a 2 b2
(1)求 P 点的坐标. (2)能否使直线 CD 过椭圆 C1 的右焦点,若能,求出此时双曲线 C2 的离心率;若不能,请说明理由.

-2-

答案解析 1.【解析】选 A.由已知得

b 4 ? , 即 3b=4a, a 3

∴9b =16a ? 9(c -a )=16a ?

2

2

2

2

2

c 2 25 ? , a2 9

?e ?

c 5 ? . a 3

2.【解析】选 B.不妨设点 P 在双曲线的右支上,则

PF1 ? PF2 ? 2 n,又 PF1 ? PF2 ? 2 n ? 2, ? PF1 ? n ? 2 ? n, PF2 ? n ? 2 ? n,
又c ?
2

n ? 1,
2 2

∴|PF1| +|PF2| =|F1F2| , ∴∠F1PF2=90°,

?S

PF1F2

?

1 PF1 PF2 ? 1. 2

3.【解析】选 B.由已知双曲线的离心率为 2,得:

1 1 ? m n ? 2, 1 m
解得:m=3n,又 m>0,n>0, ∴m>n,即

1 1 ? , n m
2 2

故由椭圆 mx +ny =1 得

y2 x 2 ? ? 1. 1 1 n m

∴所求椭圆的离心率为: e ?

1 1 ? n m ? 1 n

1 1 ? n 3n ? 6 . 3 1 n
2 2

【误区警示】本题极易造成误选而失分,根本原因是由于将椭圆 mx +ny =1 焦点所在位置弄错,从而把 a 求错造成.
-3-

? ?c ? 6, 2 ? ? 2 ?a ? 9, 2 2 4.【解析】选 B.由题意可知 ?a ? b ? c , 解得 ? 2 ? ?b ? 27, ?b ? ? 3, ?a

x 2 y2 ? ? 1. 所以双曲线的方程为 9 27
5. 【 解 析 】 选 D. 因 为 焦 点 在 x 轴 上 与 焦 点 在 y 轴 上 的 离 心 率 一 样 , 所 以 不 妨 设 双 曲 线 方 程 为

b x 2 y2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0),则双曲线的渐近线的斜率 k ? ? , 一个焦点坐标为 F(c,0),一个虚轴的端点为 2 a a b
B(0,b),所以 kFB= ? , 又因为直线 FB 与双曲线的一条渐近线垂直,所以 k k FB ? 然不符合), 2 2 2 2 2 即 b =ac,c -a =ac,所以,c -a -ac=0, 即 e -e-1=0,解得 e ?
2

b c

b b b (? ) ? ?1(k ? ? 显 a c a

1? 5 (负值舍去). 2

【变式备选】双曲线 ( )

x 2 y2 b2 ? 1 ? ? 1 (a > 0,b > 0) 的离心率为 2, 则 的最小值为 a 2 b2 3a

? A?

2 3 3

? B?

3 3

?C ? 2
c ? 2, a

? D ?1

【解析】选 A.因为双曲线的离心率为 2,所以 即 c=2a,c =4a ; 2 2 2 又因为 c =a +b , 所以 a +b =4a ,即 b ? 3a,
2 2 2 2 2

因此

b2 ? 1 3a 2 ? 1 1 1 2 3 ? ?a? ?2 ? , 3a 3a 3a 3 3
1 3 时等号成立. , 即a ? 3a 3

当且仅当 a ?



b2 ? 1 2 3 的最小值为 . 3a 3

x 2 y2 6.【解析】选 B.设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1(a1>0,b1>0),椭圆的方程为 a1 b1
-4-

x 2 y2 ? ? 1 (a2>0,b2>0), a 2 2 b2 2
由于 M,O,N 将椭圆长轴四等分, 所以 a2=2a1,又 e1 ?

c c , e2 ? , a1 a2

所以

e1 a 2 ? ? 2. e 2 a1

7.【解析】选 C.设 PF1 的中点为 M,因为|PF2|=|F1F2|, 所以 F2M⊥PF1,因为|F2M|=2a, 在直角三角形 F1F2M 中,

| F1M |? (2c) 2 ? (2a) 2 ? 2b,故 PF1 ? 4b,
根据双曲线的定义得 4b-2c=2a,即 2b-c=a, 2 2 2 2 2 2 因为 c =a +b ,所以(2b-a) =a +b , 2 即 3b -4ab=0,即 3b=4a, 故双曲线的渐近线方程是 y ? ?

4 x, 3

即 4x±3y=0. 8.【解析】选 A.如图,设 A(-c,y0)(y0>0),

因为点 A 在双曲线

x 2 y2 ? ? 1 上, a 2 b2

2 c2 y0 代入得 2 ? 2 ? 1, a b

解得 y0 ? b (
2 2

c2 b4 b2 ? 1) ? , y ? . 0 a2 a2 a

因为△ABF2 为锐角三角形, 所以 0°<∠AF2F1<45°, 从而|AF1|<|F1F2|,即

b2 2 <2c,b <2ac, a
-5-

化简得 c -2ac-a <0. 2 2 两边同除以 a ,得 e -2e-1<0, 解得 1 ? 2<e< 1 ? 2. 又 e>1,所以 1<e<1+ 2 . 9.【解析】∵右焦点坐标是 ∴9+a=13,即 a=4, ∴双曲线方程为

2

2

?

13, 0 ,

?

x 2 y2 ? ? 1, 9 4
x y ? ? 0, 即 2x±3y=0. 3 2


∴渐近线方程为

答案:2x±3y=0 10.【解析】由已知得|PF2|-|PF1|=2a 又 PF , 1 PF 2 ?0 ∴ PF 1 ? PF 2, 因此在以 P 为直角顶点的 Rt△PF1F2 中, 由 tan∠PF2F1=

PF1 2 2 得, ? 3 PF2 3



由①②解得|PF1|=4a,|PF2|=6a. 2 2 2 又|PF1| +|PF2| =|F1F2| , 2 2 2 即(4a) +(6a) =(2c) .
2 即 13a =c ,∴离心率 e ?
2 2

c2 ? 13. a2

∴e= 13 . 答案:

13

11.【思路点拨】设出双曲线方程,表示出点 F,A,B 的坐标,由点 M 在圆内部列不等式求解.

x 2 y2 【解析】设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0),右焦点 F 坐标为 F(c,0),令 a b
A(c, b2 b2 ), B(c, ? ), a a
2 2

所以以 AB 为直径的圆的方程为 ? x ? c ? ? y ?

b4 . a2

-6-

又点 M(-a,0)在圆的内部,所以有 ? ?a ? c ? ? 0 ?
2

b4 , a2

即a ?c ?
2

b2 ? a 2 ? ac ? c2 ? a 2 , a
c ) ,解得:e>2 或 e<-1. a

? e -e-2>0 (e ? 又 e>1,∴e>2. 答案:(2,+∞)

12.【解析】(1)∵e= 2, ∴可设双曲线方程为 x -y =λ (λ ≠0). ∵过点 P 4, ? 10 , ∴16-10=λ ,即λ =6. ∴双曲线方程为 x -y =6. (2)方法一:由(1)可知,双曲线中 a=b= 6,
2 2

2

2

?

?

? c ? 2 3,? F1 ?2 3, 0 , F2 2 3, 0 . ? k MF1 ? m m , k MF2 ? , 3? 2 3 3? 2 3
m2 m2 ?? . 9 ? 12 3

?

? ?

?

k MF1 k MF2 ?

∵点 M(3,m)在双曲线上, 2 2 ∴9-m =6,m =3. 故 k MF1 k MF2 ? ?1, ∴MF1⊥MF2.

?MF 1 MF 2 ? 0.
?3 ? 2 3, ?m , 方法二:∵ MF 1= MF2 ? 2 3 ? 3, ?m , 3 ? 2 3 ? 3 ? 2 3 ? m ? ?3 ? m . ∴ MF 1 MF 2 =
2 2

?

?

?

?

?

? ?

?

∵M(3,m)在双曲线上, 2 2 ∴9-m =6,即 m -3=0.

?MF 1 MF 2 ? 0.
(3)△F1MF2 的底|F1F2|= 4 3, △F1MF2 的边 F1F2 上的高 h=|m|= 3 ,

-7-

?S

F 1MF2

? 6.

13.【思路点拨】(1)由 S△ACD=S△PCD? AC=PC,即 C 为 AP 中点且在椭圆上,据此可求出 P 点坐标. (2)只需将 F2(c,0)代入直线 CD 的方程,设法求 a,c 的比值即可. 2 2 2 2 2 2 【解析】(1)设 P(x,y)在双曲线上,则有 b x -a y =a b ①, ∵A(-a,0),B(a,0), ∴PA 的中点为 C(

x ?a y , ), 2 2


点 C 在椭圆上,代入椭圆方程,化简得 2 2 2 2 2 2 2 b x +a y -2ab x=3a b 2 2 2 2 2 ①+②:2b x -2ab x=4a b , 2 2 ∴x -ax-2a =0,(x+a)(x-2a)=0. ∵P 在双曲线右支上,∴x+a≠0,则 x=2a. 2 2 2 2 代入①:a y =3a b ,P 在第一象限,

? y>0, y ? 3b, 得P 2a, 3b .
(2)由 P(2a, 3b )及 B(a,0)得 PB: y ?

?

?

3b ? x ? a ?. a

代入椭圆方程: b x ? a
2 2
2 2 2 2 2

2

3b 2 2 x ? 2ax ? a 2 ? ? a 2 b 2 , 2 ? a

∴4b x -6ab x+2a b =0. 2 2 2x -3ax+a =0,(2x-a)(x-a)=0. ∵x<a,∴x=

a , 2

从而 y ?

3b a 3 (? ) ? ? b, a 2 2 3 a 3 b). 同理可得 C( , b). 2 2 2
a , 即 a=2c, 2

得 D( , ?

a 2

C,D 横坐标相同,知 CD⊥x 轴. 如 CD 过椭圆右焦点 F2(c,0),∴c= 从而 b ? a ? c ?
2 2 2

3 2 a . 设双曲线半焦距为 c′, 4

则 c? ? a ? b ?
2 2 2

7 2 7 a ,? e? ? . 4 2 7 . 2

于是直线 CD 可通过椭圆 C1 的右焦点,此时双曲线 C2 的离心率为 e? ?

-8-


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