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四川省泸州市2013届高三第一次诊断性考试数学(理)试题


四川省泸州市 2013 届高三第一次诊断性考试

数学(理)试题
本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)两部分, 共 150 分.考试时间 120 分钟。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率: - Pn(k)= C· k· P (1-P)n k

第一部分(选择题共 60 分)
注意事项: 1.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案,不能答在草稿子、试题卷上. 2.本部分共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.复数
5 i? 2

+i3 的值是

` B.-2 - 2i C.i 一 2 D.2 一 i





A.2+2i

- 2. .函数 f(x)= x ? 1 与 g(x)= 2 x+l 在同一坐标系下的图象是





3.己知 lgx=log2100+log 1 25,则 x 的值是
2





A.2

B.

1 2

C.10

D.100 ( )

4.函数 f(x)=x3-3x+e 的导函数是 A.奇函数 C.偶函数

B.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

5.若函数 f(x)的唯一的一个零点同时在区间(0,16)(0,8)(0,4)(0,2)内,下列命题 , , , 正确是的 ( ) A.函数 f(x)在区间(2,16)内没有零点 B.函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C.函数 f(x)在区间(1,16)内有零点 D.函数 f(x)在区间(2,16)内没有零点 6.为了得到函数 y= sin 2x 的图象,可将函数 y=sin(2x ? A.向左平移 C.向右平移
?
12

?
6

)的图象
?
6





个长度单位 个长度单位

B.向左平移 D.向右平移

个长度单位 个长度单位 ( )

?
6

?
12

7.下列命题,其中说法错误的是 2 A.命题“若 x2 -3x-4=0,则 x =4”的逆否命题为 “若 x≠4,则 x -3x-4≠0” B.“x=4”是“x2 -3x-4=0.”的充分条件 C.命题“若 m>0,则方程 x2+x-m =0 有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若 m2+n2 =0,则 m=0 且 n=0”的否命题是“若 m2+n2≠0,则 m≠0 或 n≠0”
??? ? ???? ????
???? ????

8. △ ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若 A B ? A C ? 2 A O ,且 | A C | ? | A O | ,则向量 B A 在
???? B C 方向上的投影是

??? ?


3 2 3 2



A.

3 2

B.

C.3

D.-

9.己知函数 f(x)= ?

? s in ? x ( 0 ? x ? 1) ? 1 o g 2 0 1 2 x ( x ? 1)

,若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c) ,则 a+b+e 的

取值范围是 ( ) A. (1,2010) B. (2,2011) C. (2,2013) D. [2,2014] 10.某公司为了实现 1000 万元的利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:销售利润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且奖金数额 y(单位:万元)随销售利润 x(单位:万元)的 增加而增加,但奖金数额不超过 5 万元,同时奖金数额不超过利润的 25%,下列模型中能符合 公司的要求的是(参考数据:1.003600≈6,1n7≈ 1.945,1n10 ≈2.302) A.y=0.025x B.y =l+log7x C.y=1.003x 11.在△ ABC 中,AB= 6 ? A.2
2,?C ?

D.y =
?
6

1 4000

x2 ( D.5
x ? y 1 ? xy

,则 AC+BC 的最大值为 C.4



B.3

12.定义在(-1,1)上的函数 f(x)对任意 x,y 满足 f(x)-f(y)=f(

) ,当 x∈(-1,0)

时,f(x)>o,若 P=f(

1 5

)+f(

1 11

) ,Q=f(

1 2

) ,R=f(0) ,则 P,Q,R 的大小关系为 ( )

A. R>Q>P

B.R>P>Q

C.P>R>Q

D.Q>P>R

第二部分(非选择题共 90 分)
注意事项: (1)必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答,作图题可先用铅 笔绘出确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效. (2)本部分共 10 个小题,共 90 分, 二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13.已知向量 a=(x,3),且 b=(1,2), 且 a∥b, 则向量 a 的模长是 ; 14.函数 y= sin(2x+
?
4

) ( x ? [?

?
4

,

3? 4

]) 的减区间是



?1 ? , ( x ? ? 1), 15.函数 f ( x ) ? ? x 在 R 上是减函数,则实数 a 的取值范围是___ ? ? x ? a , ( x ? ? 1). ?



16.设集合 s 为非空实数集,若数? ( ? ) 满足: (1)对 ? x ? S , 有 x ? ? ( x ? ? ) ,即? ( ? ) 是 S 的上界 (下界)(2)对 ? a ? ? ( a ? ? ), ? x o ? S ,使得 xo >a(xo <a) : ,即? ( ? ) 是 S 的最小(最大)上 界(下界) ,则称数? ( ? ) 为数集 S 的上(下)确界,记作? ? s u p S ( ? ? in f S ) .给出如下命题: ① 若 S = {x|x2 < 2} ,则 supS =- 2 ; ② 若 S={x|x=n|,x∈N},则 infS=l ③ 若 A、B 皆为非空有界数集,定义数集 A+B={z|z=x+y, x ? A ,y∈B},则 sup(A+B)= sup A+supB 其中正确的命题的序号为 (填上所有正确命题的序号) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分) 老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇让同学背诵,规定至少要背出其中 2 篇才能及格.某同学只能 背诵其中的 6 篇。 (Ⅰ)求抽到他能背诵的课文的数量的分布列; (Ⅱ)求他能及格的概率。

18. (本题满分 12 分)

在△ ABC 中,角 A、 B、c 的对边分别为 a、b、c,若 bcosA-acosB= (I)求证:tanB=3tanA; (Ⅱ)若 c o s C ?
5 5

1 2

c。

,求角 A 的值.

19. (本题满分 12 分) 已知命题 p:夹角为 m 的单位向量 a,b 使|a-b |>l,命题 q:函数 f(x)= msin(mx)的导函数 为 f′(x) ,若 ? x o ∈R, f ? ( x o ) ? (I)求集合 A; (Ⅱ)若 B= { x ? R | x ? ? a } ,且 B ? A= ? ,求实数 a 的取值范围.
2

4? 5

2

. 设符合 p∧q 为真的实数 m 的取值的集合为 A.

20. (本题满分 12 分) 如图,A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B、P 在单位圆上,且 B ( ? (Ⅰ)求
4 c o s ? ? 2 s in ? 5 c o s ? ? 3 s in ? 3 4 , )x,?AOB ? ? . 5 5

的值;
???? ??? ? ??? ?

( Ⅱ ) 令 ∠AOP= ? ( 0 ? ? ? ? ), O Q ? O A ? O P , 四 边 形 OAQP 的 面 积 为 S ,
??? ???? ? f (? ) ? ( O A ? O Q ? 1) S ? S
2

,求 f (? ) 的最大值及此时 ? 的值.

21. (本题满分 12 分) 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(1-x)=f(x)且 x ? [0,l]时,f(x)= (Ⅰ)求函数 f(x)在[-l,l]上的解析式; (II)当 ? 为何值时,关于 x 的方程 f ( x ) ? ? 在[-2,2]上有实数解?
2x 4 ?1
x



22. (本题满分 14 分) 已知函数 f(x)= x3+mx,g(x)=nx2 +n2,F(x)=f(x)+g(x) 。 (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 F(x)在 x=l 处有极值为 10,求曲线 F(x)在(0,F(0) )处的切线方程; (Ⅲ)若 n2< 3m,不等式 F (
1 ? 1n x x ?1 ) ? F( k x ) 对 ? x ? (1, ? ? ) 恒成立,求整数 k 的最大值。


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