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苏教版数列习题精选(含答案详解)


( 2012 年 南 师 附 中 ) 已 知 数 列

?an ?

满 足 : a1=m ( m 为 正 整 数 ),

? an ? ,当an为偶数时, 若 a 4 ? 4 ,则 m 所有可能的取值为__4 或 5 或 32______。 an ?1 ? ? 2 ?3an ? 1,当an为奇数时。 ?
7 a ? 8 或 1 a ? 16 a ? 8 a ? 4 3 析:本题可以逆向推导。由 4 可得 。 (1) 、若 3 则 2 或 3 (舍) ,


a1 ? 32 或 5; a ? 1 ,则 a2 ? 2 或 0(舍) a ?4 (2) 、若 3 ,则 1

(2012 年泰兴) 已知数列 {an }中a1 ? 1,a 2 ? 2 , 当整数 n ? 1 时, Sn?1 ? Sn?1 ? 2(Sn ? S1 ) 都 成立,则 S 5 ? ____21_________ 析: 即

S5 ? 1 ? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 21 (Sn?1 ? Sn ) ? (Sn ? Sn?1 ) ? 2S1 ? 2

S ? 1 ? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 21 an?1 ? an ? 2 (n ? 2) a ,数列{ n }从第二项起构成等差数列, 5

注:本题由 2011 江苏卷 20 题(1)改变而来。

(2012 年泰兴)王老师从 2011 年 1 月 1 日开始每年的 1 月 1 日到银行新存入 a 元(一年定 期) ,若年利率 r 保持不变,且每年到期存款及利息均自动转为新的一年定期,到 2018 年 1 月 1 日将所有存款及利息全部取回,他可以取回 元 答案:

a(1 ? r )8 ? a(1 ? r ) r
7 6

析 : 复 利 问 题 , 本 题 为 等 比 数 列 模 型 。 a(1 ? r ) ? a(1 ? r ) ? ? ? a(1 ? r ) =

a(1 ? r )[1 ? (1 ? r )7 ] a(1 ? r )8 ? a(1 ? r ) ?r r =

(南师附中最后一卷)已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其中 a1= 3,b1=1,a2=b2,3a5=b3,若存在常数 u,v 对任意正整数 n 都有 an=3logubn+v,则 u+v =______________. 答案:6

2012 (泰州期末)10.在集合{x| x ∈Z,x∈Z} 中取三个不同元素排成一列,使其成等比数列, 则此等比数列的公比为 答案: ? ▲ .

1 ,?2 2

(南京三模)13.如图,将数列 ?an ? 中的所有项按每一行比上一行多 两项的规则排成数表.已知表中的第一列 a1 , a2 , a5 ,? 构成一个公 比为 2 的等比数列,从第 2 行起,每一行都是一个公差为 d 的等 差数列。若 a4 ? 5, a86 ? 518 ,则 d = ▲ .

解答:第 2 行成公差为 d 的等差数列,可得: a2 ? a4 ? 2d ? 5 ? 2d , 第 n 行的数的个数为 2n ? 1 , 从第 1 行到第 n 行的所有数的个数总和为

n(1 ? 2n ? 1) ? n2 , 2

86=92+5, 第 10 行的前几个数为: 所以 a82 ? a86 ? 4d ? 518 ? 4d 。 a82 , a83 , a84 , a85 , a86 ,? , 第一列 a1 , a2 , a5 , a10 , a17 , a26 , a37 , a50 , a65 , a82 ,? 构成一个公比为 2 的等比数列, 故有 a82 ? a2 ? 28 ? 518 ? 4d ? (5 ? 2d ) ? 28 ,解得: d ? 1.5 。

(南师大信息卷)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2S2 ,3S3 成等差数列, 则等比数列{ an }的公比为
1 . 3

提示:设等比数列{ an }的公比为 q(q ? 0) ,由 4S2 ? S1 ? 3S3 ,得

4(a1 ? a1q) ? a1 ? 3(a1 ? a1q ? a1q2 ) ,即 3q2 ? q ? 0 ,? q ?

1 . 3

(南师大信息卷)如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型:数字 1 出现在第 1 行;数字 2,3 出现在第 2 行;数字 6,5,4(从左至右)出现在第 3 行; 数字 7,8,9,10 出现在第 4 行; 依此类推, 则第 63 行从左至右的第 5 个数应是 2012. 提示:由每行的行号数和这一行的数字的个数相同可求出第 63 行最左边的数是
63 ? (63 ? 1) ? 2016 ,所以,从左至右的第 5 个数应是 2016-4=2012. 2
1

2

3

6

5

4

7

8

9

10

15

14

13

12

11

(南师大信息卷)已知数列{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,?}的首项是 1,随后两项都是 2, 接下来 3 项都是 3, 再接下来 4 项都是 4, ?, 以此类推, 若 an?1 ? 20, an ? 21 , 则 n = 211 . 提示:∵ n ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 20 ?
20 ? (1 ? 20) ? 210 , ? n ? 211 . 2

(南师大信息卷)各项都为正数的数列 ?an ? ,其前

n 项的和为 Sn ,且

Sn ? ( Sn?1 ? a1 )2 (n ? 2) ,若 bn ?
4n 2 ? 6n . 2n ? 1

an?1 an ,且数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Tn , ? an an?1

则 Tn =

提示: Sn ? Sn?1 ? S1 , Sn ? n S1 , Sn ? n2 a1 ,

an ? Sn ? Sn?1 ? (2n ?1)a1 , bn ?
Tn ? ( 2 ? 2 2 ? ?) 1 3 2 ? ( 2? 3

2n ? 1 n2 ? 1 2 2 ? ? 2? ? , 2n ? 1 n2 ? 1 n ?2 n 1? 2 2 2 2 ??? ) ? ( 2? ) 5 n ?2 n 1? 2 1

1

2 4 n 2 ? n6 ? 2n ? 2 ? ? . 2n ? 1 2n ? 1

( 南 师 大 信 息 卷 ) 已 知 { an } 是 等 比 数 列 , a2 ? 2, a5 ?

1 , 则 4

Sn ? a1 ? a2 ? ?? an (n ? N ? ) 的取值范围是 [4,8) .
n ?1 a ? 2, a5 ? 提示: 因为 { an } 是等比数列,所以可设 an ? a 1 q . 因为 2
n

1 ,所以 4

?1? 4[1 ? ? ? ] n ?a1q ? 2 ? a1 ? 4 2? ?1? ? ? ? ? 8 ? 8? ? ? . ? 4 1 ,解得 ? 1 .所以 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 a1q ? q? ?2? ? ? 1? ? 4 ? 2 2

?1? 1 因为 0 ? ? ? ? ,所以 4 ? Sn ? 8 . ?2? 2
(苏锡常一模) 等差数列 ?an ? 中, 已知 a8 ? 15 ,a9 ? 13 , 则 a12 的取值范围是 答案: (??, 7] (苏锡常一模) 设 u (n) 表示正整数 n 的个位数,an ? u(n2 ) ? u(n) , 则数列 ?an ? 的前 2 0 1 2 项和等于 答案:2 . .

n

( 南 通 三 模 ) 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ?an ? 满 足 a1 a7 ? 4 , a6 ? 8, 若 函 数

1 3 1 0 ? f ?( ) = f ( x) ? a1x ? a 2x2 ? a x 3 ? ?? a x 1 0 的导数为 f ( x ) ,则 2



.

解 析 : 考 查 等 比 数 列 的 基 本 知 识 、 导 数 的 运 算 。 各 项 为 正 的 等 比 数 列 ?an ? 满 足 :

a1a7 ? 4, a6 ? 8







a1 ?

1 ,q ? 2 4
, 将 x?







an ? 2n?3





f ?( x) ? a1 ? 2a 2 x ? ? ? 10a10 x 9

1 1 n ?1 ? n , 所 以 代 入 得 na n x 2 4

1 1 55 f ?( ) ? (1 ? 2 ? ? ? 10) 。 答案: 2 4 4

(盐城二模)在等比数列 ?an ? 中, 已知 a1a2a3 ? 5 , a7 a8a9 ? 40 , 则 a5 a6 a7 ? 答案:20



.

(南京二模)设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 27 答案:35

S3 1 S ? ,则 6 ? _____________ S6 3 S7

(苏州调研)在等比数列 {an } 中,若 a3a5a7 ? ?8 ,则 a2 a4 ? ________. 答案:4 (南京一模)记等比数列

?an ? 的 前 n 项 积 为 Tn (n ? N * ) , 已 知 am?1am?1 ? 2am ? 0 , 且

T2m?1 ? 128 ,则 m ?
答案: m ? 4

.

(南通一模)观察下列等式:
13 ? 1 ,
13 ? 23 ? 9 ,
13 ? 23 ? 33 ? 36 , 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 100 ,

?? 猜想: 13 ? 23 ? 33 ? ? ? ? ? n3 ?
? n(n ? 1) ? 答案: ? ? 2 ? ?
2



( n ? N* ).

解析:法一:先看出等式右边依次为:12,(1+2)2,(1+2+3)2,(1+2+3+4)2; 再归纳出所求式子为 (1 ? 2 ? ? ? n)2 ;最后用等差数列求和公式即得. 法二:猜想数列{an}:1,3,6,10,?的通项公式.
3 ? 2 ? 3, 6 ? 3?4, 10 ? 4 ? 5 猜想出 an ? ①由 1 ? 1 ? 2 , 2 2 2 2

n(n ? 1) . 2

②作数列{an}:1,3,6,10,?的差分数列,知其为等差数列,?

(江苏最后 1 卷)13.将所有的奇数排列如右表,其中第 i 行第 j 个数表示 为 aij ,例如 a32 ? 9 .若 aij ? 445 ,则 i ? j ? 13. 【解析】本题主要考查数列的通项. 【答案】34 解答如下: ▲ .

1 3 5 7 9 11 ?? (第 12 题)

可 以 求 得 通 项 aij ? i 2 ? i ? 2 j ?1 , 所 以 i 2 ? i ? 2 j ?1 ? 445 且 1 ? j ? i , 从 而

?i 2 ? i ? 444 ? ,解得 i ? 21 ,于是 j ? 13 ,故 i ? j ? 34 ?2 ? ?i ? i ? 446
(常州期末)已知等比数列 ?an ? 的各均为正数,且 a1 ? 2a2 ? 3, a42 ? 4a3a7 ,则数列 ?an ? 的通项公式为 答案: 。

3 2n

(苏北四市) 已知等差数列 {an },{bn } 的前n项和分别为 Sn 和 Tn , 若 是整数,则n的值为 【答案】 15

Sn 7n ?4 a 5 , 且 n ? Tn n?3 b2 n

解:设 Sn ? An(7n ? 45), Tn ? An(n ? 3), 则可求得 an ? A(14n ? 38), bn ? A(2n ? 2) , ∴

an A(14n ? 38) a n ? 16 ,∴当 n ? 15 时, n 是整数。 ? ? 3? b2 n A(4n ? 2) 2n ? 1 b2 n

说明: 此解法学生须知: 数列 {an } 为等差数列的一个充要条件是其前 n 项和 Sn ? an2 ? bn 。

(南通一模)各项均为正偶数的数列 a1 , a2 , a3 , a4 中,前三项依次成公差为 d (d ? 0) 的等差 数列,后三项依次成公比为 q 的等比数列,若 a4 ? a1 ? 88 ,则 q 的所有可能的值构成的 集合为 【答案】 5 ,8 3 7 .

? ?

解:设这四个数为 a1 , a1 ? d , a1 ? 2d , a1 ? 88 ,其中 a1 , d 均为正偶数,则

(a1 ? 2d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 88) ,整理得 a1 ?

4d (22 ? d ) ? 0, 3d ? 88

(注意体会这里用“ a1 ? 0 ”而不用“ a1≥2 ”的好处,实际是一种估算能力)

所以 (d ? 22)(3d ? 88) ? 0 ,即 22 ? d ? 88 , 3 所以 d 的所有可能值为 24,26,28, 当 d ? 24 时, a1 ? 12 , q ? 5 ; 3 当 d ? 26 时, a1 ? 208 (舍去) ; 5 当 d ? 28 时, a1 ? 168 , q ? 8 , 7 所以 q 的所有可能值构成的集合为 5 ,8 . 3 7

? ?

(盐城二模)在等差数列 ?a n ?中, a2 ? 5 , a6 ? 21 ,记数列 ?

?1? ? 的前 n 项和为 Sn ,若 ? an ?


S 2 n ?1 ? S n ?
【答案】5

m 对 n ? N ? 恒成立,则正整数 m 的最小值为 15

解:由题设得 an ? 4n ? 3 ,∴ S 2 n ?1 ? S n ? 令 Tn ?

m 1 1 1 m ? ?? ? ? , 可化为 15 4n ? 1 4n ? 5 8n ? 1 15

1 1 1 ? ??? , 4n ? 1 4n ? 5 8n ? 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? 则 Tn ?1 ? , 4n ? 5 4n ? 9 8n ? 1 8n ? 5 8n ? 9 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?0, ∴ Tn ?1 ? Tn ? 8n ? 5 8n ? 9 4n ? 1 8n ? 2 8n ? 2 4n ? 1 1 1 14 ∴当 n ? 1 时, Tn 取得最大值 ? ? , 5 9 45 m 14 14 ? 由 解得 m ? ,∴正整数 m 的最小值为 5。 15 45 3

(百校联考)已知无穷数列 {an } 的各项均为正整数, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和. (1) 若数列 {an } 是等差数列, 且对任意正整数 n 都有

S n3 ? ? S n ? 成立, 求数列 {an } 的
3

通项公式; (2)对任意正整数 n ,从集合 {a1 , a2 ,?, an } 中不重复地任取若干个数,这些数之间经 过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数,且这些正整数与 a1 , a2 ,?, an 一起 恰好是 1 至 Sn 全体正整数组成的集合. (i)求 a1 , a2 的值; (ii)求数列 {an } 的通项公式. 解: (1)设无穷等差数列 {an } 的公差为 d ,则 Sn ? na1 ?

n(n ? 1) ?d d ?? ? d ? n ? n ? ? a1 ? ?? , 2 2 ?? ? ?2

所以 Sn3 ? n3 ? n3 ? ? a1 ?

?d ?2

? ?

d ?? ? 2 ?? ?
3

且 ? Sn ? ? n3 ? n ? ? a1 ?
3

?d ?2

? ?

d ?? ? 2 ?? ?

2 3 ?d3 3 d2 ? d? 2 d? d? d? ? ? ? n ? n ? 3 ? ? a1 ? ? n ? 3 ? ? a1 ? ? n ? ? a1 ? ? ? 4 ? 2? 2? 2? 2? ? ? ?8 ? ? 3

因为 S n3 ? ? S n ? 对于一切正整数 n 都成立,
3





?d3 d ? ? , 2 ?8 2 ? 3d d (a ? ) ? 0, ? ? 4 1 2 ? ? 3d (a ? d ) 2 ? 0, ?2 1 2 ? ?(a1 ? d )3 ? a1 ? d . ? 2 2 ?

① ②
???????????????????? 4 分

③ ④

因为数列 {an } 的各项均为正整数,所以 d ? 0 由①,可得 d ? 0 或 d ? 2 . 当 d ? 0 时,由④得 a1 ? 1 ,且同时满足②③. 当 d ? 2 时,由②得 a1 ?

d ? 1 ,且同时满足③④. 2

因 此 , 共 有 2 个 无 穷 等 差 数 列 满 足 条 件 , 通 项 公 式 为 an ? 1 或

an ? 2n ? 1 ???? 6 分
( 2 ) ( i ) 记

An ? {1,2,?, Sn }







a1 ? S1 ? 1 ???????????????????? 7 分
对于 S2 ? a1 ? a2 ? 1 ? a2 ,有 A2 ? {1,2,?, S2 } ? {1, a2 ,1 ? a2 ,|1 ? a2 |} ? {1,2,3,4} 故

1 ? a2 ? 4







a2 ? 3 ?????????????????????????? 9 分
(ii)由题意可知,集合 {a1 , a2 ,?, an } 按上述规则,共产生 Sn 个正整数.??????? 10 分 而集合 {a1 , a2 ,?, an , an?1} 按上述规则产生的 S n ?1 个正整数中,除 1,2,?, Sn 这 Sn 个 正整数外,还有 an?1 , an?1 ? i,| an?1 ? i | (i ? 1,2,?, Sn ) ,共 2Sn ? 1 个数. 所 以 ,

Sn?1 ? Sn ? (2Sn ? 1) ? 3Sn ? 1 ????????????????????? 12


1 1 ? 3( S n ? ) , 所 以 2 2 1 1 1 1 S n ? ( S1 ? ) ? 3n ?1 ? ? ? 3n ? ????????? 14 分 2 2 2 2 n?2 当 时 , 1 1 1 1 an ? S n ? S n ?1 ? ? 3n ? ? ( ? 3n ?1 ? ) ? 3n ?1 ??????????? 15 分 2 2 2 2


S n ?1 ?

而 a1 ? 1 也满足 an ? 3n?1 所 以 , 数 列

{an }













an ? 3n?1 ???????????????????? 16 分

(天一)已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为其前 n 项和,且 满足
2 an ? S2 n ?1 , n ? N* .数列 ?bn ? 满足 bn ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 a n 和数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ;

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

(2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,求实数 ? 的取值范围; (3)是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的值;若不存在,请说明理由.
2 19.解: (1) (法一)在 an ? S2n?1 中,令 n ? 1 , n ? 2 ,

2 2 ? ? ?a1 ? S1 , ?a1 ? a1 , 得? 即? 2 2 ? ? a ? S , ?(a1 ? d ) ? 3a1 ? 3d , 3 ? 2 解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,? an ? 2n ? 1

?????????2 分

2 又? an ? 2n ? 1 时, Sn ? n2 满足 an ? S2 n ?1 ,? an ? 2n ? 1 ??????3 分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 n ?Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? )? . ??????5 分 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 a ? a 2 n ?1 ? an (法二)? ?an ? 是等差数列, ? 1 2 a ? a 2 n ?1 ? S 2 n ?1 ? 1 (2n ? 1) ? (2n ? 1)an . ??????????2 分 2 2 2 由 an ? S2n?1 ,得 an ? (2n ? 1)an , 又? an ? 0 ,? an ? 2n ? 1 ,则 a1 ? 1, d ? 2 . ?????????3 分 ? bn ?
( Tn 求法同法一) (2)①当 n 为偶数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 17 恒成立. ?????????????6 分 n n 8 ? 2n ? ? 8 ,等号在 n ? 2 时取得. n ????????????????7 分 ? 此时 ? 需满足 ? ? 25 . ②当 n 为奇数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式 (n ? 8)(2n ? 1) 8 ?? ? 2n ? ? 15 恒成立. ?????????????8 分 n n 8 8 ? 2n ? 是随 n 的增大而增大, ? n ? 1 时 2 n ? 取得最小值 ?6 . n n

??

????????????????9 分 ? 此时 ? 需满足 ? ? ?21 . 综合①、②可得 ? 的取值范围是 ? ? ?21 . ???????????????10 分 1 m n , Tn ? (3) T1 ? , Tm ? , 3 2m ? 1 2n ? 1 若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 ( 即
m 2 1 n ) ? ( ), 2m ? 1 3 2n ? 1

m2 n . ?????????12 分 ? 4m2 ? 4m ? 1 6n ? 3 m2 n 3 ?2m2 ? 4m ? 1 2 ? 由 ,可得 ? ? 0 ,即 ?2m ? 4m ? 1 ? 0 , 2 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3 n m

? 1?

6 6 . ??????????????14 分 ? m ? 1? 2 2 又 m ? N ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 . 因此,当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时,数列 ?Tn ?中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列.?16 分

m2 1 n 1 1 ? ,即 2m2 ? 4m ? 1 ? 0 , ? ? ,故 2 4m ? 4m ? 1 6 6n ? 3 6 ? 3 6 n 6 6 , (以下同上) . ??????????????14 分] ? m ? 1? ? 1? 2 2
[另解:因为

(南京三模)已知数列 ?an ? 的奇数行项是公差为 d1 的等差数列,偶数项是公差为 d2 的等差 数列, Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 1, a2 ? 2 . (1)若 S5 ? 16, a4 ? a5 ,求 a10 ; (2)已知 S15 ? 15a8 ,且对任意 n ? N ,有 an ? an?1 恒成立,求证:数列 ?an ? 是等差数列;
?

(3)若 d1 ? 3d2 (d1 ? 0) ,且存在正整数 m 、 n(m ? n) ,使得 am ? an .求当 d1 最大时, 数列 ?an ? 的通项公式。

(南通三模)已知 α,β 是方程 x2-x-1=0 的两个根,且 α<β.数列{an},{bn}满足 a1=1, a2=β,an+2=an+1+an,bn=an+1-αan(n∈N*). (1)求 b2-a2 的值; (2)证明:数列{bn}是等比数列; (3)设 c1=1,c2=-1,cn+2+cn+1=cn(n∈N*) ,证明:当 n≥3 时,an=(-1)n 1(αcn-2+βcn) . 解:因为 α,β 是方程 x2-x-1=0 的两个根,所以 α+β=1,α·β=-1,β2=β+1. ( 1 ) 由 b2= a3 - αa2= a1+a2 - αa2=1+ a2 - αβ=2+ a2 , 得 b2 - a2=2. ????????4 分 bn+1 an+2-αan+1 an+1+an-αan+1 (2)因为 b = = an+1-αan an+1-αan n = (1-α)an+1+an an+1-αan = βan+1+an an+1-αan = βan+1-αβan an+1-αan


=β, ???????????8 分 又 b1= a2-αa1=β-α≠0, 所以{bn}是首项为 β-α, 公比为 β 的等比数列.?? 10 分 (3)由(2)可知 an+1-αan=(β-α)βn 1.




同理, an+1-βan=α(an-βan-1) .又 a2-βa1=0,于是 an+1-βan=0. ② 由
1









an=β

n



.?????????????????????????13 分 下面我们只要证明:n≥3 时, (-1) n 1(αcn-2+βcn)= β n 1. 因为 (-1)n(αcn-1+βcn+1) αcn-1-βcn+βcn-1 cn-1-βcn cn-2-cn-βcn =- αcn-2+βcn =- αcn-2+βcn=- αcn-2+βcn (-1)n-1(αcn-2+βcn)
n-2 n n-2 n
- -

cn-2-(1+β)cn -αβcn-2-β2cn =- αc +βc =- αc +βc =β. 又 c1=1,c2=-1,c3=2,则当 n=3 时,(-1)2(αc1+βc3)= (α+2β)=1+β=β2, 所以{(-1) n (-1) n 所
-1 -1

(αcn-2+βcn)}是以 β2 为首项,β 为公比的等比数列.

(αcn-2+βcn)是它的第 n-2 项, (-1)
n




1

(αcn-2+βcn)=

β2

·

βn



3

=βn



1

=

an.????????????????16 分 (苏锡常一模)数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 .数列 ?bn ?满足 bn ? an?1 ? (?1)n an , n ? N ? . (1)若数列 ?an ? 是等差数列,求数列 ?bn ?的前 6 项和 S6 ; (2)若数列 ?bn ?是公差为 2 的等差数列,求数列 ?an ? 的通项公式; (3)若 b2n ? b2n?1 ? 0 , b2 n ?1 ? b2 n ?

6 , n ? N ? ,求数列 ?an ? 的前 2 n 项的和 T2 n . 2n

( 常 州 期 末 ) 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 的 前

n 项 和 为 Sn , 满 足

且 a1 , a2 , a7 依次是等比数列 ?bn ? 的前三项。 (1) 求数列 ?an ? 8Sn ? an2 ? 4an ? 3(n ? N ? ) ,
? 及 ?bn ? 的通项公式; (2) 是否存在常数 a ? 0 且 a ? 1 , 使得数列 ?an ? loga bn ? (n ? N ) 是

常数列?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由。

(2012 年南通二模)设数列{ a n }的各项均为正数.若对任意的 n ? N* ,存在 k ? N* ,使 得 an? k 2 ? an ? an ? 2k 成立,则称

数列{ a n }为“Jk 型”数列. (1)若数列{ a n }是“J2 型”数列,且 a2 ? 8 , a8 ? 1 ,求 a2 n ; (2)若数列{ a n }既是“J3 型”数列,又是“J4 型”数列,证明:数列{ a n }是等比数列.

解: (1)由题意,得 a 2 , a 4 , a 6 , a8 ,?成等比数列,且公比 q ? 所以 a2n ? a2 qn?1 ? 1 2

? ?
a8 a2

1 3

?1, 2

??

n?4



(2)证明:由{ a n }是“ J 4 型”数列,得
a1 , a 5 , a 9 , a13 , a17 , a21 ,?成等比数列,设公比为 t .

由{ a n }是“ J 3 型”数列,得
a1 , a 4 , a 7 , a10 , a13 ,?成等比数列,设公比为 ? 1 ; a 2 , a 5 , a8 , a11 , a14 ,?成等比数列,设公比为 ? 2 ; a 3 , a 6 , a 9 , a12 , a15 ,?成等比数列,设公比为 ?3 ;



a13 a a ? ?14 ? t 3 , 17 ? ?24 ? t 3 , 21 ? ?34 ? t 3 . a1 a5 a9
4

所以 ?1 ? ?2 ? ?3 ,不妨记 ? ? ?1 ? ? 2 ? ?3 ,且 t ? ? 3 . 于是 a3k ? 2 ? a1? k ?1 ? a1

? ??
3

(3k ? 2) ?1



a3k ?1 ? a5? k ? 2 ? a1t? k ? 2 ? a1? a3k ? a9? k ?3 ? a1t 2? k ?3 ? a1?

k?2 3

? a1 ? a1

? ??
3 3

(3k ?1) ?1



k ?1 3

? ??

3k ?1



所以 an ? a1

? ??
3

n ?1

,故{ a n }为等比数列.

20( 南 京 一 模 ) 已 知 数 列

?an ? 满 足

a1 ? a(a ? 0, a ? N * ) , a1 ? a2 ? ??? ? an ? pan?1 ? 0

( p ? 0, p ? ?1, n ? N * ) .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ;

(2)若对每一个正整数 k ,若将 ak ?1 , ak ?2 , ak ?3 按从小到大的顺序排列后 ,此三项均能构成 等差数列, 且公差为 dk . ①求 p 的值及对应的数列 ?dk ? . ②记 Sk 为数列 ?dk ? 的前 k 项和,问是否存在 立?若存在,求出

a ,使得 Sk ? 30 对任意正整数 k 恒成

a 的最大值;若不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ)因为 a1 ? a2 ? ??? ? an ? pan?1 ? 0 ,所以 n ? 2 时, a1 ? a2 ? ??? ? an?1 ? pan ? 0 ,两式 相减,得

p ?1 an?1 p ? 1 的等比数 ? (n ? 2) , 故 数 列 ?an ? 从 第 二 项 起 是 公 比 为 p an p
当 n=1 时 ,

列…………………………3 分 又

a1 ? pa2 ? 0

,





a2 ?

a p

,





a ? (n ? 1) ? …………………………5 分 an ? ? a p ? 1 n?2 ? p ( p ) (n ? 2) ? a p ? 1 k ?1 a p ?1 k a p ? 1 k ?1 ) , ak ? 2 ? ( ) , ak ?3 ? ( ) , (2)①由(1)得 ak ?1 ? ( p p p p p p p ?1 p ?1 ?1 或 ? ?2 , 解 得 [1] 若 ak ?1 为 等 差 中 项 , 则 2ak ?1 ? ak ?2 ? ak ?3 , 即 p p 1 p ? ? …………6 分 3 此 时 , 所 以 ak ?1 ? ?3a(?2)k ?1, ak ?2 ? ?3a(?2)k
dk ?| ak ?1 ? ak ?2 |? 9a ? 2k ?1 ……………………8 分
[2] 若 ak ?2 为 等 差 中 项 , 则 2ak ?2 ? ak ?1 ? ak ?3 , 即 解………………………………9 分 [3] 若 ak ?3 为 等 差 中 项 , 则 2ak ?3 ? ak ?1 ? ak ?2 , 即

p ?1 ?1 , 此 时 无 p

p ?1 p ?1 1 ?1 或 ? ? ,解得 p p 2

p??


2 , 3


ak ?1 ? ?

3a 1 k ?1 3a 1 (? ) , ak ?3 ? ? (? ) k ?1 2 2 2 2

,





d k ?| ak ?1 ? ak ?3 |?

9a 1 k ?1 ? ( ) ……………11 分 8 2 1 2 9a 1 k ?1 ? ( ) ………………… 12 综上所述 , p ? ? , dk ? 9a ? 2k ?1 或 p ? ? , d k ? 3 3 8 2


10 1 时, Sk ? 9a(2k ?1) ,则由 Sk ? 30 ,得 a ? , 3 3(2k ? 1) 10 ?1 , 所 以 必 定 有 a ?1 , 所 以 不 存 在 这 样 的 最 大 正 整 当 k ?3 时, 3(2k ? 1)
②[1]当 p ? ? 数……………………14 分 [2] 当 p ? ?

2 9a 1 (1 ? ( ) k ) , 则 由 Sk ? 30 , 得 a ? 时 , Sk ? 3 4 2

40 ,因为 1 k 3(1 ? ( ) ) 2

40 40 ,所以 a ? 13 满足 Sk ? 30 恒成立;但当 a ? 14 时,存在 k ? 5 ,使得 ? 1 k 3 3(1 ? ( ) ) 2 40 即 Sk ? 30 , a? 1 k 3(1 ? ( ) ) 2
(南京二模) 已知数列{an}满足: a1 ?

a2

?

?

a3

?

2

? ... ?

an

?

n ?1

? n 2 ? 2n(其中常数? ? 0, n ? N ? )

(1)求数列{an}的通项公式; (2)当 ? =4 时,是否存在互不相同的正整数 r,s,t,使得 ar , a s , at 成等比数列?若存在, 给出 r,s,t 满足的条件;若不存在,说明理由; (3)设 S n 为数列{an}的前 n 项和,若对任意 n ? N ,都有 (1 ? ? )S n ? ?an ? 2?n 恒成
?

立,求实数 ? 的取值范围。 解: (1)当 n=1 时,a1=3. a2 a3 an 当 n≥2 时,由 a1+ λ +λ2+?+ n-1=n2+2n, λ an-1 a2 a3 得 a1+ λ + λ2+?+ n-2=(n-1)2+2(n-1). λ an - ①-②得: n-1=2n+1,所以 an=(2n+1)·λn 1, (n≥2) . λ 因为 a1=3,所以 an=(2n+1)·λn
- -1

① ②

(n∈N*). ?????????? 4 分

(2)当 λ=4 时,an=(2n+1)·4n 1. 若存在 ar,as,at 成等比数列,则 [(2r+1) ·4r 1] [(2t+1) ·4t 1]=(2s+1)2 ·42s 2. 整理得(2r+1) (2t+1) 4 r
+t -2s - - -

=(2s+1)2.

?????????? 6 分

由奇偶性知 r+t -2s=0. 所以(2r+1) (2t+1)=(r+t+1)2,即(r-t)2=0. 这与 r≠t 矛盾,故不存在这样的正整数 r,s,t,使得 ar,as,at 成等比数列. ????????? 8 分 (3)Sn=3+5λ+7λ2+?+(2n+1)λn 1. 当 λ=1 时,Sn=3+5+7+?+(2n+1)=n2+2n. 当 λ≠1 时,Sn=3+5λ+7λ2+?+(2n+1)λn 1, λ Sn= 3λ+5λ2+?+(2n-1)λn 1+(2n+1)λn.
- - - -

(1-λ)Sn=3+2(λ+λ2+λ3++?+λn 1)-(2n+1)λn λ(1-λn 1) =3+2× -(2n+1)λn. ????????? 10 分 1-λ 要对任意 n∈N ,都有(1-λ)Sn+λan≥2λn 恒成立, ①当 λ=1 时,左=(1-λ)Sn+λan=an=2n+1≥2,结论显然成立; λ(1-λn 1) ②当 λ≠1 时,左=(1-λ)Sn+λan=3+2× -(2n+1)λn+λan 1-λ λ(1-λn 1) 3-λ 2λn =3+2× = - . 1-λ 1-λ 1-λ 3-λ 4-2λ n * 因此,对任意 n∈N ,都有 ≥ ·λ 恒成立. 1-λ 1-λ 3-λ * 当 0<λ<1 时,只要 ≥λn 对任意 n∈N 恒成立. 4-2λ 3-λ 3 只要有 ≥λ 即可,解得 λ≤1 或 λ≥2. 4-2λ 因此,当 0<λ<1 时,结论成立. ?????????? 14 分
- - * -

3-λ 4-2λ n * 当 λ≥2 时, ≥ ·λ 显然不可能对任意 n∈N 恒成立. 1-λ 1-λ 3-λ * 当 1<λ<2 时,只要 ≤λn 对任意 n∈N 恒成立. 4-2λ 3-λ 3 只要有 ≤λ 即可,解得 1≤λ≤2. 4-2λ 3 因此当 1<λ≤2时,结论成立. 3 综上可得,实数 λ 的取值范围为(0,2]. ?????????? 16 分

(盐城二模)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , 且对任意的 k ? N * , a2k ?1 , a2k , a2k ?1 成等比数列, 其公比为 qk . (1) 若 qk ? 2(k ? N * ) , 求 a1 ? a3 ? a5 ???? ? a2k ?1 ; (2) 若对任意的 k ? N * , a2 k , a2 k ?1 , a2 k ?2 成等差数列, 其公差为 dk , 设 bk ? ① 求证: ?bk ? 成等差数列, 并指出其公差; ② 若 d1 ? 2 , 试求数列 ?dk ? 的前 k 项和 Dk . 解: (1)因为 qk ? 2 ,所以 所

1 . qk ? 1

a2 k ?1 ? 4 ,故 a1 , a3 , a5 , ???, a2k ?1 是首项为 1,公比为 4 的等比数列, a2 k ?1

k?

a1 ?
…… 4 分

1? 1?

k

(

k

………………………………………………a3 ?

(注: 讲评时可说明, 此时数列 ?ak ? 也是等比数列, 且公比为 2) (2)①因为 a2 k , a2 k ?1 , a2 k ?2 成等差数列,所以 2a2k ?1 ? a2k ? a2k ?2 , 而

a2 k ?

a2 k ?1 , a2 k ? 2 ? a2 k ?1 ? qk ?1 qk

,





1 ? qk ?1 ? 2 qk

,



qk ?1 ? 1 ?

qk ? 1 ………………………… 7 分 qk q 1 1 1 1 得 ? k ? ? 1,所以 ? ? 1 ,即 bk ?1 ? bk ? 1 , qk ?1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ?1 ? 1 qk ? 1
所 以

?bk ?











,









1………………………………………………………………………9 分
2 ② 因 为 d1 ? 2 , 所 以 a3 ? a2 ? 2 , 则 由 a2 ? 1? a 3? a ? 2 2 , 解 得 a2 ? 2 或

a2 ? ?1 ………………10 分
( ⅰ ) 当 a2 ? 2 时 , q1 ? 2 , 所 以 b1 ? 1 , 则 bk ? 1 ? (k ?1) ?1 ? k , 即

1 ?k ,得 qk ? 1

qk ?

k ?1 ,所以 k a2k ?1 (k ? 1)2 ? a2 k ?1 k2

,



a2 k ?1 ?

a2 k ?1 a2 k ?1 a ? ????? 3 ? a1 a2 k ?1 a2 k ?3 a1

?

(k ? 1)2 k2 22 ? ????? ?1 ? (k ? 1)2 ……12 分 2 2 2 k (k ? 1) 1 a (k ? 1) 2 ? k (k ? 1) , 所 以 a2 k ? 2 k ?1 ? k ?1 qk k



dk ? a2k ?1 ? a2k ? k ? 1

,



Dk ?

k ( k ? 3) ……………14 分 2
1 1 3 , 则 bk ? ? ? ( k ? 1) ? 1 ? k ? , 即 2 2 2

( ⅱ ) 当 a2 ? ?1 时 , q1 ? ?1 , 所 以 b1 ? ?

1 3 ?k? , qk ? 1 2

1 a a a 2 得 , 所 以 qk ? a2 k ? ? 2 k ?1 ? k ? 1????? ? a 2 3 a2 k ? a k ? 1 a 2 k? 2 1 3 2 1 (k ? 2 k ? ) ( ) 2 ( ) 1 2 ? 2 ? ????? ?1 ? k ?2 42 , ( ) 3 2 5 2 1 2 2 (k ? k? ) ? ( ) ( ) 2 2 2 a 则 a2 k ? 2 k ?1 ? (2k ? 1)(2k ? 3) ,所以 dk ? a2k ?1 ? a2k ? 4k ? 2 ,从而 Dk ? 2k 2 . qk k ( k ? 3) Dk ? 综 上 所 述 , 或 2 Dk ? 2k 2 …………………………………………………………………16 分 k?
an+an+2 ≤an+1;② 存在实 2 数 M,使得 an≤M,其中 n∈N*,那么我们称数列{an}为Ω 数列. (1) 设数列{bn}的通项为 bn=5n-2n,且是Ω 数列,求 M 的取值范围; 1 7 (2) 设{cn}是各项为正数的等比数列,Sn 是其前 n 项和,c3= ,S3= ,证明:数列{Sn} 4 4 是Ω 数列; (3) 设数列{dn}是各项均为正整数的Ω 数列,求证:dn≤dn+1. 解:∵ bn+1-bn=5-2n,∴ n≥3,bn+1-bn<0,故数列{bn}单调递减; 当 n=1,2 时,bn+1-bn>0,即 b1<b2<b3, 则数列{bn}中的最大项是 b3=7,所以 M≥7. 1 7 (2) 证明:∵ {cn}是各项正数的等比数列,Sn 是其前 n 项和,c3= ,S3= , 4 4 c3 c3 7 设其公比为 q>0,∴ 2+ +c3= . q q 4 1 1 2 整理,得 6q -q-1=0,解得 q= ,q=- (舍去). 2 3 1 1 ∴ c1=1,cn= n-1,Sn=2- n=Sn+2,S<2. 2 2 Sn+Sn+2 1 1 1 对任意的 n∈N*,有 =2- n- n+2<2- n=Sn+2,且 Sn<2, 2 2 2 2 故{Sn}是Ω 数列. (3) 证明:假设存在正整数 k 使得 dk>dk+1 成立,有数列{dn}的各项均为正整数, dk+dk+2 可得 dk≥dk+1+1,即 dk+1≤dk-1.因为≤ dk+1, 2 (南师附中最后一卷)如果无穷数列{an}满足下列条件:①

1 1 3

所以 dk+2≤2dk+1-dk≤2(dk-1)-dk=dk-2. 由 dk+2≤2dk+1-dk 及 dk>dk+1 得 dk+2<2dk+1-dk+1=dk+1,故 dk+2≤dk+1-1. dk+1+dk+3 因为 ≤dk+2,所以 dk+3≤2dk+2-dk+1≤2(dk+1-1)-dk+1=dk+1-2≤dk-3, 2 由此类推,可得 dk+m≤dk-m(m∈N*). 又存在 M,使 dk≤M,∴ ? m>M,使 dk+m<0,这与数列{dn}的各项均为正数矛盾, 所以假设不成立,即对任意 n∈N*,都有 dk≤dk+1 成立.


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