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几何法 反证法ppt课件(26张) 高中数学选修4-5 北师大版_图文

4 .3 几何法 反证法 学习目标 1.了解几何法的证明过程,并会 用几何法证明简单的不等式. 2.掌握反证法,并会用反证法证 明不等式. 思维脉络 1.几何法 通过构造几何图形,利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法. 点拨 利用几何法的关键是根据不等式的结构特点构造相应的几何图形. 2.反证法 反证法证不等式是先假设所要证的不等式不成立,也就是说不等式的反面成立, 以此为出发点,结合已知条件,进行推理论证,最后推出矛盾的结果,从而断定假设 错误,因而确定要证的不等式成立. 它的步骤是:(1)作出否定结论的假设;(2)进行推理,导出矛盾;(3)否定假设,肯定 结论. 点拨 反证法适宜证明“存在性问题,唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个” 等字样的问题,或者说“正难则反”,直接证明有困难时,常采用反证法,下面我们列 举一些常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设. 常见 至少有 至多有 唯一 不是 不可能 全 都是 词语 一个 一个 一个 否定 一个也 有两个或 没有或有 有或 是 不全 不都是 假设 没有 两个以上 两个以上 存在 对某些数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时在使用反证法 时,对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中,更是如此. 做一做2 用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( A.假设至少有一个钝角 B.假设没有一个钝角 C.假设至少有两个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 解析:由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少 有两个钝角”,故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,应假设至 少有两个钝角,故选C. ) 答案:C 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究二用反证法证明不等式 1.用反证法证明,就是从结论的反面出发,要求结论反面的情况只有有限多种, 然后证明这种反面的结论都是不可能的,是与已知条件、已知事实或已证明过的 定理相矛盾的. 2.要证不等式M>N,先假设M≤N,由题设及其他性质推出矛盾,从而肯定M>N成 立.凡涉及的证明不等式为否定性命题,唯一性命题或是含“至多”“至少”等字句时, 可考虑使用反证法. 探究一 探究二 探究三 3.用反证法证明不等式要把握三点: (1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证,缺少任何一种 可能,证明都是不完全的. (2)反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证;否则,仅否 定结论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法. (3)推导出来的矛盾可以是多种多样的,有的与已知条件相矛盾,有的与假设相矛 盾,有的与定理、公理相违背,有的与已知的事实相矛盾等,但推导出的矛盾必须是 明显的. 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 ① |1 + + | < , 则 |4 + 2 + | < , ∴ |9 + 3 + | < 1 2 1 , 2 1 2 3 1 2 2 9 7 - < 2 + < - , 2 2 19 17 - < 3 + < - , 2 2 - < + < - , ② ③ 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 变式训练2已知函数f(x)=x2-x,x∈R,若正数m,n满足mn>1,证明:f(m),f(n)至少有 一个不小于零. 证明:假设f(m)<0,f(n)<0, 即m2-m<0,n2-n<0. ∵m>0,n>0, ∴m-1<0,n-1<0, ∴0<m<1,0<n<1, ∴mn<1,这与mn>1矛盾, ∴假设不成立,即f(m),f(n)至少有一个不小于零. 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 1 2 3 4 5 1.用反证法证明:如果整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a,b,c中 至少有一个偶数.下列假设中正确的是( A.假设a,b,c都是偶数 B.假设a,b,c都不是偶数 C.假设a,b,c至多有一个偶数 D.假设a,b,c至多有两个偶数 ) 答案:B 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 4.设a,b∈R,给出下列条件: 2 3 4 5 ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1. 其中能推出“a,b中至少有一个实数大于1”的条件是 (填序号). 解析:对于①,a,b均可小于1;对于②,a,b均可等于1;对于④⑤,a,b均可为负数;对于③, 若a,b都不大于1,则a+b≤2,与③矛盾.故若③成立,则“a,b中至少有一个实数大于1” 成立. 答案:③ 1 5.已知x,y,z∈(0,1).求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1. 2 3 4 5 分析:构造一个边长为1的正三角形,利用三角形的面积关系来证明. 证明:如图所示,构造正三角形ABC,设其边长为1,BD=x,AF=y,CE=z,则根据面积 关系S△ABC>S△BDF+S△DCE+S△AEF,得1· 1· sin 60°>x(1-y)sin 60°+y(1-z)· sin 60°+z(1-x)sin 60°.整理,得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1. 即得证.