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辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测(二)数学(文)试题

2019 年沈阳市高中三年级教学质量检测(二) 数 学(文科)
2019.4

命题:东北育才双语学校 王海涛 沈阳市第 20 中学 李蕾蕾 沈阳市第 11 中学 孟媛媛 东北育才学校 候雪晨 沈阳市第 120 中学 董贵臣 沈阳市第 4 中学 韩 娜 主审:沈阳市教育科学研究院 王孝宇 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷第 3 至 5 页。 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡指定区域. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号。第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答,在本试 卷上作答无效. 3.考试结束后,考生将答题卡交回.

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.

1,2,3?,集合 B ? ?2,3,4,5?,则 1. 已知集合 A ? ?
A. A ? B 2. 设复数 z ? B. B ? A C. A ? B ? ?2,3?

1,4,5? D. A ? B ? ?

1? i ( i 是虚数单位) ,则 z ? 2
B.

A.

2 2

1 2

C.1

D. 2

3. 下列命题中,真命题的是 A. ?x ? R, x >0
2

1 B. ?x ? R,?1<sin x<
D. ?x0 ? R, tan x0 ? 2

C. ?x0 ? R,2 0 <0
x

4. 已知平行四边形 ABCD 中, AD ? (2,8), AB ? (?3,4) ,则 AC 的坐标为 A. (?1,?12) B. ( ?1,12)
2

C. (1,?12)

D. (1,12)

5. 若 a , b, c 成等比数列,则函数 y ? ax ? bx ? c 的图像与 x 轴的交点个数为 A.0 B.1 C.2 D. 不确定 6. 一次实验:向下图所示的正方形中随机撒一大把豆子,经查数,落在正方形中的豆子的
·1·

总数为 N 粒,其中 m(m<N ) 粒豆子落在该正方形的内切圆内,以此估计

圆 周 率

?为
A.

m N

B.

2m N

C.

3m N

D.

4m N

7. 已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为 y ? ? 离心率为 A.

3 x 则该双曲线的 4

5 4

B.

5 3

C.

5 5 或 4 3

D.

3 4 或 5 5
? ?? ,则 x 0 = ? 2? ?

8. 已知曲线 f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos2 x 关于点 ( x0 ,0) 成中心对称,若 x0 ? ?0, A.

?
12

B.

? 6

C.

? 3

D.

5? 12

9. 若 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 ?2.1? ? 2, ?? 2.1? ? 3 .执行如图所示的程序框图,则输 出的 S 值为 A.2 B.3 C.4 D.5 10.某高校进行自主招生,先从报名者筛选出 400 人参加考试,再 按笔试成绩择优选出 100 人参加面试.现随机抽取 24 名笔试者的 成绩,如下表所示: 分数段 人数 [60,65) 2 [65,70) 3 [70,75) 4 [75,80) 5 [80,85) 9 [85,90) 1

据此估计参加面试的分数线大约是 A.75 B.80 C.85

D90

11.四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上, AB ? 平面 ABCD ,△ BCD 是边长为 3 的等边三角形.若 AB ? 2 ,则球 O 的表面积为 A.

2? 32

B. 12?

C. 16?

D. 32?

12.已知函数 f ( x) 满足:①定义域为 R ;②对任意 x ? R ,有 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ;③当

?e x ( x ? 0) x ? ?? 1,1?时, f ( x) ? 1 ? x 2 .若函数 g ( x) ? ? ,则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在区 ln x ( x > 0 ) ?
间 ?? 5,5? 上零点的个数是 A.7 B.8 C.9
·2·

D.10

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸上.) 13. 如图,某几何体的主视图和俯视图都是矩形,左视图是等腰直角三角形,则该几何体的 体积为__________.

?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 14. 已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 , 则目标函数 z ? 2 x ? y ?x ? 2 ?
的最小值为______. 15. 已知函数 f ( x) ? x( x ? a)(x ? b) 的导函数为 f ?( x ) ,且

f ?(0) ? 4 ,则 a 2 ? 2b 2 的最小值为_____.
16. 已知抛物线 y ? 2 px( p>0) 的焦点为 F ,△ABC 的顶点都在抛物线上,且满足
2

FA ? FB ? ? FC ,则

1 1 1 ? ? ? _______. k AB k BC kCA

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应位置. 17.(本小题满分 12 分)在△ ABC 中,角 A, B, C 的对应边分别是 a , b, c 满 b ? c ? bc ? a .
2 2 2

(I)求角 A 的大小; (II)已知等差数列 ?a n ?的公差不为零,若 a1 cos A ? 1,且 a2 , a4 , a8 成等比数列,求

? 4 ? ? ? 的前 n 项和 S n . ? an an ?1 ?
△ 18.(本小题满分 12 分)投掷质地均匀的红、蓝两颗骰子,观察出现的点数,并记红色骰子出现的点 数为 m ,蓝色骰子出现的点数为 n .试就方程组 ? (I)求方程组只有一个解的概率; (II)求方程组只有正数解的概率. △

?x ? 2 y ? 2 解答下列问题. ?m x? ny ? 3

·3·

19.(本小题满分 12 分)如图, BC 为圆 O 的直径, D 为圆周上异于 B、C 的一点, AB 垂直于圆 O 所在的平面, BE ? AC 于点 E , BF ? AD 于点 F . (I)求证: BF ? 平面 ACD ; (II)若 AB ? BC ? 2, ?CBD ? 45o ,求四面体 BDEF 的体积.



20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的方程式

3 x2 y2 ? 2 ? 1(a>b>0) ,离心率为 ,且经过点 2 3 a b

(

6 ,1) . 2
(I)求椭圆 C 的方程; (II)圆 O 的方程是 x ? y ? a ? b ,过圆 O 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线,若切线的斜
2 2 2 2

率都存在,分别记为 k1 , k 2 ,求 k1 ? k2 的值. △ 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? mx ? sin x , g ( x) ? ax cos x ? 2 sin x(a>0) . (I)若曲线 y ? f ( x) 上任意相异两点的直线的斜率都大于零,求实数 m 的值; (II)若 m ? 1 ,且对任意 x ? ?0,

? ?? ,都有不等式 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围. ? 2? ?


请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做第一题记分。在答题卡选答区 域指定位置答题,并用 2B 铅笔在答题卡上所选题目的题号涂黑。注意所做题目的题号必须和所涂题 目的题号一致。
·4·

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选将 如图,△ABC 内接圆 O , AD 平分 ?BAC 交圆于点 D ,过点 B 作圆 O 的切线交直线 AD 于点 E . (I)求证: ?EBD ? ?CBD (II)求证: AB ? BE ? AE ? DC .

△ 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知直线 l 的 参数方程为 ?

?x ? 2 ? t ? y ? 3 ? 3t

( t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程为 p ? 2 cos? ? 0 .

(I)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (II)求圆 C 上的点到直线 l 的距离的最小值. △ 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? 3 ? 2x ?1 . (I)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (II)若关于 x 的不等式 f ( x)<m ? 1 的解集非空,求实数 m 的取值范围.



·5·

·6·

·7·

·8·

·9·

·10·

·11·

·12·


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