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第八讲 解析几何典型问题


定值问题
20.(2010 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)(本小题满分 14 分) 已知 A 、 B 分别是直线 y ?

3 3 x和 y ? ? x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 3 , 3 3

P 是 AB 的中点.
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 Q(1 , 0) 任意作直线 l (与 x 轴不垂直) ,设 l 与(1)中轨迹 C 交于 M 、N 两 点,与 y 轴交于 R 点.若 RM ? ? MQ , RN ? ? NQ ,证明: ? ? ? 为定值. 解: (1)设 P( x , y ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) .

???? ?

???? ?

??? ?

????

x ?x ? x? 1 2, ? ? 2 ∵ P 是线段 AB 的中点,∴ ? y ? ? y ? 1 y2 . ? ? 2
∵ A、B 分别是直线 y ?

………2 分

3 3 3 3 x和y?? x2 . x 上的点,∴ y1 ? x1 和 y2 ? ? 3 3 3 3
…………4 分

? x1 ? x2 ? 2 3 y , ? ∴? 2 3 x. ? y1 ? y2 ? 3 ? ??? ? 2 2 又 AB ? 2 3 ,∴ ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 12 .
2 ∴ 12 y ?

…………5 分 …………6 分

x2 4 2 x ? 12 ,∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 ? y 2 ? 1. 3 9

(2)依题意,直线 l 的斜率存在,故可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .…………7 分 设 M ( x3 , y3 ) 、 N ( x4 , y 4 ) 、 R(0 , y5 ) ,

? y ? k ( x ? 1) , ? ? y2 ? 1. ? ?9 2 2 消去 y 并整理,得 (1 ? 9k ) x ?18k 2 x ? 9k 2 ? 9 ? 0 ,
则 M 、N 两点坐标满足方程组 ? x 2 ∴ x3 ? x 4 ?

…………9 分 ………10 分

18k , ① 1 ? 9k 2

2

x3 x4 ?

9k ? 9 . 1 ? 9k 2
2



∵ RM ? ? MQ ,∴ ( x3 , y3 ) ? (0 , y5 ) ? ??(1 , 0) ? ( x3 , y3 )? .

? x3 ? ?(1 ? x3 ) , ∴ x3 ? ?(1 ? x3 ) .∵ l 与 x 轴不垂直,∴ x3 ? 1 , ? y 3 ? y 5 ? ??y 3 . x3 x4 ∴? ? ,同理 ? ? . ………12 分 1 ? x3 1 ? x4
即?

( x ? x ) ? 2 x3 x4 x3 x . ? 4 ? 3 4 1 ? x3 1 ? x4 1 ? ( x3 ? x4 ) ? x3 x4 9 将①②代入上式可得 ? ? ? ? ? . 4
∴? ? ? ?

…………14 分

说明:本题主要考查直线与椭圆的的有关知识、求轨迹方程的方法,以及运算求解和推理 论证能力. 19.(2010 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)(本题满分 14 分) 已知椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的面积为π ab , M 包含于平面区域 a2 b2

?| x |? 2 π ?:? 内,向平面区域 ? 内随机投一点 Q,点 Q 落在椭圆内的概率为 . 4 ?| y |? 3
(Ⅰ)试求椭圆 M 的方程; 1 3 (Ⅱ)若斜率为 的直线 l 与椭圆 M 交于 C 、 D 两点,点 P(1, ) 为椭圆 M 上一点, 2 2 记直线 PC 的斜率为 k1 ,直线 PD 的斜率为 k 2 ,试问: k1 ? k2 是否为定值?请证 明你的结论. 解: (Ⅰ)平面区域 ? : ? 示. ………2 分

?| x |? 2 ?| y |? 3

是一个矩形区域,如图所

依题意及几何概型,可得

πab 8 3

?

π , 4

…………………………………3 分 即 ab ? 2 3 . 因为 所以,

0 ? a ? 2,0 ? b ? 3 ,

]

a ? 2, b ? 3 .
………………………………5 分

y

所以,椭圆 M 的方程为

x y ? ?1 4 3
1 x?b, 2

2

2

………………6 分

y? 3

P

(Ⅱ)设直线 l 的方程为: y ?

l?
O

D

x

y?? 3
x ? ?2

C

x?2

20. (本题满分 14 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有公共焦点 F2 , 点A a 2 b2 是曲线 C1 , C2 在第一象限的交点,且 AF2 ? 5 .
如图, 抛物线 C1 : y 2 ? 8x 与双曲线 C2 : (Ⅰ)求双曲线 C2 的方程;

M 与双曲线的一条渐近线相切, (Ⅱ)以 F 1 为圆心的圆
圆 N : ( x ? 2) ? y ? 1.已知点 P(1, 3) ,过点 P 作互相垂
2 2

直且分别与圆 M 、圆 N 相交的直线 l1 和 l2 ,设 l1 被圆 M 截 得的弦长为 s , l2 被圆 N 截得的弦长为 t . 请说明理由.

s 是否为定值? t

解: (Ⅰ)∵抛物线 C1 : y 2 ? 8x 的焦点为 F2 (2,0) , ∴双曲线 C2 的焦点为 F1 (?2,0) 、 F2 (2,0) , 设 A( x0 , y0 ) 在抛物线 C1 : y 2 ? 8x 上,且 AF2 ? 5 , 由抛物线的定义得, x0 ? 2 ? 5 ,∴ x0 ? 3 ,
2 ∴ y0 ? 8 ? 3 ,∴ y0 ? ?2 6 ,

∴ | AF1 |?

(3 ? 2) 2 ? (?2 6) 2 ? 7 ,

又∵点 A 在双曲线上, 由双曲线定义得, 2a ?| 7 ? 5 |? 2 ,∴ a ? 1 , ∴双曲线的方程为: x ?
2

y2 ? 1. 3

(Ⅱ)

s 为定值.下面给出说明. t
2 2 2

设圆 M 的方程为: ( x ? 2) ? y ? r ,双曲线的渐近线方程为: y ? ? 3x , ∵圆 M 与渐近线 y ? ? 3x 相切,∴圆 M 的半径为 r2 ? 故圆 M : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,

2 3 1 ? ( 3 )2

? 3,



设 l1 的方程为 y ? 3 ? k ( x ?1) ,即 kx ? y ? 3 ? k ? 0 , 设 l2 的方程为 y ? 3 ? ?

1 ( x ? 1) ,即 x ? ky ? 3k ?1 ? 0 , k

∴点 M 到直线 l1 的距离为 d1 ?

| 3k ? 3 | 1? k
2

,点 N 到直线 l2 的距离为 d 2 ?
2

| 3k ? 1| 1? k 2



? 3k ? 3 ? 6 3k ? 6k 2 ∴直线 l1 被圆 M 截得的弦长 s ? 2 3 ? ? , ? 1? k 2 ? ? ?2 1? k 2 ? ? ? 3k ? 1 ? 2 3k ? 2k 2 直线 l2 被圆 N 截得的弦长 t ? 2 1 ? ? , ? 2 2 ? 1? k 2 ? ? 1 ? k ? ?
2



s 6 3k ? 6k 2 6( 3k ? k 2 ) s ? ? ? 3 ,故 为定值 3 . t t 2 3k ? 2k 2 2( 3k ? k 2 )

s 为定值 3 ,证明如下: t 易知两圆的圆心分别是 F1 (?2,0), F1 (2,0) ,半径分别是 3,1 .且 PF1 ? PF2 .
解法 2(几何证法) (Ⅱ) (1) 当 l1 是直线 PF1 时, 则 l2 是 PF2 ,此时,弦长等于直径,故 ? t y
P

s

2 3 ? 3 2

F1

O

F2

(2) 当 l1 不是直线 PF1 时, 设 l1 被圆 M 截得的弦为 B1C1 ,弦的中点为 D1 ,设 l2 被圆 N 截得的弦为 B2C2 ,弦的中点为

D2
由 PF1 ? PF2 及 l1 ? l2 ,可得 ?F1PD1 ? ?F2 PD2 , 故 Rt△F 1PD 1∽Rt△F 2 PD2 ,所以

F1D1 PF1 ? ? 3, F2 D2 PF2

F1D1 F1B1 BD ? ? 3 ,所以 Rt△F1B1D1∽Rt△F2 B2 D2 ,所以 1 1 ? 3 F2 D2 F2 B2 B2 D2 y P s 2 B1D1 B 故 ? ? 3 1 t 2 B2 D2 D1
所以
C1 F1 B2

O

D2

F2 C2

x

20. (本小题满分 14 分) 已知 A 、 B 分别是直线 y ?
3 3 x和y?? x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 3 , 3 3

P 是 AB 的中点.
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 Q(1 , 0) 作直线 l (与 x 轴不垂直)与轨迹 C 交于 M 、N 两点,与 y 轴交于点 ???? ? ???? ? ???? ???? R .若 RM ? ? MQ , RN ? ? NQ ,证明: ? ? ? 为定值.

解: (1)设 P( x , y ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) . P AB ∵ 是 线 段









x ?x ? x? 1 2, ? ? 2 ∴? ? y ? y1 ? y2 . ? ? 2
∵ A、B 分别是直线 y ?

…………………………2 分

3 3 x和y?? x 上的点, 3 3 3 3 ∴ y1 ? x2 . x1 和 y2 ? ? 3 3 ? x1 ? x2 ? 2 3 y , ? ∴? 2 3 x. ? y1 ? y2 ? 3 ?
…………4 分 又 ∴ ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 12 . ∴ 12 y ?
2

………………

??? ? AB ? 2 3
…………………………5 分



4 2 x ? 12 , 3



2



P







C









x ? y 2 ? 1. 9
y ? k ( x ? 1) . ………………………7 分

…………………………6 分

( 2 ) 依 题 意 , 直 线 l 的 斜 率 存 在 , 故 可 设 直 线 l 的 方 程 为

设 M ( x3 , y3 ) 、 N ( x4 , y 4 ) 、 R(0 , y5 ) ,

? y ? k ( x ? 1) , ? 则 M 、N 两点坐标满足方程组 ? x 2 ? y2 ? 1. ? ?9 y 消 去 并 整







(1 ? 9k ) x ?18k x ? 9k ? 9 ? 0 ,
2 2 2 2

…………………………9 分
2



x3 ? x 4 ? 9k 2 ? 9 . 1 ? 9k 2


18k 1 ? 9k 2





x3 x4 ?

…………………………10 分

∵ RM ? ? MQ ,∴ ( x3 , y3 ) ? (0 , y5 ) ? ??(1 , 0) ? ( x3 , y3 )? .

? x3 ? ?(1 ? x3 ) , ∴ x3 ? ?(1 ? x3 ) .∵ l 与 x 轴不垂直,∴ x3 ? 1 , ? y 3 ? y 5 ? ??y 3 . x3 ∴ , 同 ?? 1 ? x3
即?



??

x4 . 1 ? x4
∴? ? ? ? 将

…………………………12 分

( x ? x ) ? 2 x3 x4 x3 x . ? 4 ? 3 4 1 ? x3 1 ? x4 1 ? ( x3 ? x4 ) ? x3 x4
①② 代 入 上 式 可 得 …………………………14 分

9 ??? ? ? . 4

说明:本题主要考查直线与椭圆的的有关知识、求轨迹方程的方法,以及运算求解和推理论 证能力.

四、最值问题 1.已知 M 为抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点, F 为抛物线的焦点,定点 P?3 , 1? ,则

| MP | ? | MF | 的最小值为( B )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

2..设 F1、F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6, 25 16

4) ,则|PM|+|PF1|的最大值为 .15 解析:|PF1|+| PF2|=10,|PF1|=10-| PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-| PF2| 易知 M 点在椭圆外,连结 MF2 并延长交椭圆于 P 点,此时|PM|-| PF2|取最大值|MF2|,
2 2 故|PM|+|PF1|的最大值为 10+|MF2|= 10 ? (6 ? 3) ? 4 ? 15 .

3. P 是双曲线
2

x 2 y2 - =1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+ 9 16
2

y =1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 9 4.已知点 F 为抛物线 y = -8x 的焦点,O 为原点,点 P 是抛物线准线上一动点,点 A ( C ) D.4+2 5 B ?2,4?

在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为 A. 6 B.

2? 4 2

C. 2 13

2 5 在抛物线 y ? x 上到直线 y ? 2 x ? 4 距离最短的点的坐标是__A______A ?1,1?

C?

?1 1? , ? ?4 2?

D?

?3 9? , ? ?2 4?
D )

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是( 6. 椭圆 16 4

A3

B

11

C 2 2

D 10

20. (2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题) (本小题满分14分) 已知点 F ? 0,1? ,直线 l : y ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足 为 Q ,且 QP? QF ? FP?FQ . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D ? 0,2? ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A 、 B 两点,设 DA ? l1 , DB ? l2 ,求

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

l1 l2 ? 的最大值. l2 l1

20. (本小题满分14分) (本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与 方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力)

由①、②解得, x ? a ? 2 . 不妨设 A? a ? 2,0? , B ? a ? 2,0? , ∴ l1 ?

? a ? 2?

2

? 4 , l2 ?

? a ? 2?

2

?4 .

l1 l2 l12 ? l2 2 2a 2 ? 16 ∴ ? ? ? l2 l1 l1l2 a 4 ? 64

?2

?a

2

? 8?

2

a 4 ? 64

? 2 1?

16a 2 , a 4 ? 64



当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 16 16 ? ? 2 1? ≤2 1 ? ?2 2. 64 l2 l1 2 ? 8 2 a ? 2 a

当且仅当 a ? ?2 2 时,等号成立. 当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 ? ? 2. l2 l1

故当 a ? ?2 2 时,

l1 l2 ? 的最大值为 2 2 . l2 l1

19. (2010年3月广东省广州市高三一模数学文科试题) (本小题满分14分) 已知动点 P 到定点 F

?

2, 0 的距离与点 P 到定直线 l : x ? 2 2 的距离之比为

?

2 . 2

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

FN ? 0 , (2)设 M 、 N 是直线 l 上的两个点,点 E 与点 F 关于原点 O 对称,若 EM ?
求 MN 的最小值. 19. (本小题满分14 分) (本小题主要考查椭圆、基本不等式等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的 数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解:设点 P ? x, y ? ,

???? ? ??? ?

依题意,有

?

x? 2

?

2

? y2

x?2 2

?

2 . 2

整理,得

x2 y 2 ? ? 1. 4 2 x2 y 2 ? ? 1. 4 2

所以动点 P 的轨迹 C 的方程为

[

20. (本题满分 14 分) 已知点 P(a, ?1) ( a ? R ),过点 P 作抛物线 C : y ? x 的切线,切点分别为 A( x1 , y1 ) 、
2

. B( x2 , y2 ) (其中 x1 ? x2 ) (Ⅰ)求 x1 与 x2 的值(用 a 表示) ; (Ⅱ)若以点 P 为圆心的圆 E 与直线 AB 相切,求圆 E 面积的最小值. 20. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由 y ? x 可得, y? ? 2 x .
2

……………………………

1分 ∵直线 PA 与曲线 C 相切,且过点 P(a, ?1) ,



2 x1 ?

x12 ? 1 x1 ? a





x12 ? 2ax1 ?1 ? 0 ,


……………………………3 分

2a ? 4a 2 ? 4 x1 ? ? a ? a2 ? 1 2
2





x1 ?


1, a ?


a ? …………………………… 4分
得 :


2

x2 ? a ? a 2 ? 1





x2 ?


a? 1

a ?


……………………………5 分 ∴

x1 ? x2

x1 ? a ? a 2 ? 1



x2 ? a ? a 2 ? 1 .

……………………………6 分 ……………………………

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可知,x1 ? x2 ? 2a ,x1 ? x2 ? ?1, 7分 则 直 线

AB







k?

2 y1 ? y2 x12 ? x2 ? ? x1 ? x2 , x1 ? x2 x1 ? x2

……………………………8 分

2 ∴直线 AB 的方程为: y ? y1 ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 ) ,又 y1 ? x1 , 2 ∴ y ? x1 ? ( x1 ? x2 ) x ? x12 ? x1x2 ,即 2ax ? y ? 1 ? 0 .

∵点 P 到直线 AB 的距离即为圆 E 的半径, 即r ? 10 分

2a 2 ? 2 4a 2 ? 1



……………………………

4(a 2 ? 1)2 (a 2 ? 1) 2 2 ∴r ? ? ? 1 4a 2 ? 1 2 a ? 4

1 3 1 9 1 3 (a 2 ? ? ) 2 (a 2 ? ) 2 ? (a 2 ? ) ? 4 2 4 16 4 4 ? 1 1 a2 ? a2 ? 4 4

1 9 3 9 3 ? (a 2 ? ) ? ? ?2 ? ? 3, 4 16(a 2 ? 1 ) 2 16 2 4
当且仅当 a 2 ?

1 3 2 1 9 2 ,即 a ? ? , a ? ? 时取等号. ? 4 4 2 4 16(a 2 ? 1 ) 4
E
面 积 的 最 小 值





S ? ? r 2 ? 3? .

……………………………14 分

存在性问题
19. (广东省惠州市 2010 届高三第三次调研理科) (本小题满分 14 分) 已知点 P 是⊙ O :

x2 ? y 2 ? 9 上的任意一点,过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D ,动点 Q 满足 DQ ?
(1)求动点 Q 的轨迹方程;

????

? 2 ??? DP 。 3

(2)已知点 E (1,1) ,在动点 Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点 M 、 N ,使

??? ? 1 ???? ? ???? OE ? (OM ? ON ) (O 是坐标原点),若存在,求出直线 MN 的方程,若不存在, 2
请说明理由。 19、解: (1)设 P( x0 , y0 ), Q ? x, y ? ,依题意,则点 D 的坐标为 D( x0 , 0) 分 ∴ DQ ? ( x ? x0 , y), DP ? (0, y0 ) 分 ……………1

????

??? ?

………………………2



? ? ? ? 2 ? ? ?? D Q? DP ∴ 3

? x ? x0 ? 0 ? x0 ? x ? ? 即? ? 2 3 y ? y0 y0 ? y ? ? 3 2 ? ?
x2 y2 ? ?1 9 4

………………………4

分 ∵ P 在⊙ O 上,故 x02 ? y02 ? 9 分 ∴ 点 Q 的轨迹方程为 (2)假设椭圆 ∴ ………………………5

x2 y2 ? ?1 9 4

………………………6 分

x2 y2 ? ? 1 上存在两个不重合的两点 M ( x1, y1 ), N ? x2 , y2 ? 满足 9 4

? x1 ? x2 ?1 ??? ? 1 ???? ? ???? ? ? x1 ? x2 ? 2 ? 2 OE ? (OM ? ON ) ,则 E (1,1) 是线段 MN 的中点,且有 ? 即? …9 分 2 ? y1 ? y2 ? 1 ? y1 ? y2 ? 2 ? ? 2
又 M ( x1, y1 ), N ? x2 , y2 ? 在椭圆

x2 y2 ? ? 1上 9 4



? x12 y12 ? ?1 ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 ? 9 4 两式相减,得 …… 12 ? 2 2 9 4 ? x2 ? y2 ? 1 ? 4 ? 9




k MN ?

y1 ? y2 4 ?? x1 ? x2 9

∴ 直线 MN 的方程为 4 x ? 9 y ? 13 ? 0

∴ 椭圆上存在点 M 、 N 满足 OE ?

??? ?

? ???? 1 ???? (OM ? ON ) ,此时直线 MN 的方程为 2
…………………………14 分

4 x ? 9 y ? 13 ? 0

19. (本题满分 14 分) 已知点 C(1,0) ,点 A、B 是⊙O: x2 ? y 2 ? 9 上任意两个不同的点,
A

y

???? ??? ? 且满足 AC ? BC ? 0 ,设 P 为弦 AB 的中点.
(1)求点 P 的轨迹 T 的方程; (2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点:它到直线 x ? ?1 的 距离恰好等于到点 C 的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在, 说明理由. 解: (1)法一:连结 CP,由 AC ? BC ? 0 ,知 AC⊥BC ∴|CP|=|AP|=|BP|=
2 2

P B x
O

C

???? ??? ?

1 | AB | ,由垂径定理知 | OP |2 ? | AP |2 ?| OA |2 2
--------------------------4 分
2 2 2 2

y A P B x
O

即 | OP | ? | CP | ? 9

设点 P(x,y) ,有 ( x ? y ) ? [( x ?1) ? y ] ? 9 化简,得到 x ? x ? y ? 4
2 2

C

----------------------8 分

法二:设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,P ( x, y) , 根据题意,知 x12 ? y12 ? 9, x22 ? y22 ? 9 , 2x ? x1 ? x2 , 2 y ? y1 ? y2 , ∴ 4x2 ? x12 ? 2x1x2 ? x22 , 4 y 2 ? y12 ? 2 y1 y2 ? y22 故 4x2 ? 4 y2 ? ( x12 ? y12 ) ? (2x1x2 ? 2 y1 y2 ) ? ( x22 ? y22 ) ? 18 ? 2( x1x2 ? y1 y2 ) ----4 分 又 AC ? BC ? 0 ,有 (1 ? x1 , ? y1 ) ? (1 ? x2 , ? y2 ) ? 0 ……①

???? ??? ?

∴ (1 ? x1 ) ? (1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 0 ,故 x1 x2 ? y1 y2 ? ( x1 ? x2 ) ?1 ? 2x ?1 代入①式,得到 4x2 ? 4 y 2 ? 18 ? 2(2 x ?1) 化简,得到 x2 ? x ? y 2 ? 4 --------------------------8 分

(2)根据抛物线的定义,到直线 x ? ?1 的距离等于到点 C(1,0)的距离的点都在抛 物线

y 2 ? 2 px 上,其中


p ? 1 ,∴ p ? 2 ,故抛物线方程为 y 2 ? 4x 2

----------------10

? y2 ? 4x ? 2 由方程组 ? 2 得 x ? 3x ? 4 ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? ?4 2 ? ?x ? x ? y ? 4
分 由于 x ? 0 ,故取 x ? 1 ,此时 y ? ?2 故满足条件的点存在的,其坐标为 (1, ?2) 和 (1, 2)

----------------12

---------------------14 分

探究性问题
20. (广东省惠州市 2010 届高三第三次调研文科) (本小题满分 14 分)

x2 y 2 设 F1 、 F2 分别是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点。 a b 3 ) 到两点 F1 、 F2 距离和等于 4 ,写出椭圆 C 的方程和焦点坐 (1)设椭圆 C 上点 ( 3, 2
标; (2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M , N 两点,当直线

PM , PN 的斜率都存在,并记为 k PM ,k PN ,试探究 kPM ? KPN 的值是否与点 P
及直线 L 有关,不必证明你的结论。

解: (1)由于点 ( 3,

( 3) 3 ) 在椭圆上, 2 ? a 2

2

(

3 2 ) 2 ?1 b2

得 2 a =4, …………2 分 ……4 分

椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

,焦点坐标分别为 (?1, 0), (1, 0)

(2)设 KF1 的中点为 B(x, y)则点 K (2 x ? 1, 2 y) 把 K 的坐标代入椭圆

………………………5 分 ……………7 分

x2 y 2 ? ?1 4 3

中得

(2 x ? 1) 2 (2 y ) 2 ? ?1 4 3
2

线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程为 ( x ? ) ?

1 2

y2 ?1 3 4

………………………8 分

(3)过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称 设 M ( x0 , y0 ) N ( ? x0 , ? y0 ),

p( x, y) ,
……10 分

x0 2 y0 2 x2 y 2 M , N , P 在椭圆上,应满足椭圆方程,得 2 ? 2 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 a b a b

kPM ? KPN =

b2 y ? y0 y ? y0 y 2 ? y02 ? = ? ? 2 a2 x ? x0 x ? x0 x ? x02

……………………………13 分 ………………14 分

故: kPM ? KPN 的值与点 P 的位置无关,同时与直线 L 无关,


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