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第二章 随机变量及其概率分布_图文

第二章 随机变量及其概率分布

第一节 随机变量

第二章

一、随机变量的概念 二、随机变量的概率分布

一、随机变量的概念
有些随机事件本身与数量有直接关系,如掷一颗骰 子可能出现1点、2点、…、6点,但也有些随机事件 就其本身而言与数量并无关系,如掷一枚硬币只可能 出现正面向上或反面向上,与数量无关,但可以取这 样一个变量,规定
?0, 当出现正面 X ? ??1, 当出现反面 可见,总可以将一个随机事件数量化.

考虑“投掷骰子,直到出现6点为止”的试验,用 Y表示

投掷的次数,则由于各次试验是相互独立的,于是

P(Y

?

i)

?

(1)(5)i ?1,, 66

i

?

1,2,3,? ? ? .

考虑“测试电子元件寿命”这一试验,用Z 表示它的 寿命(单位:h),则 Z 的取值随着试验结果的不同
而在连续区间 (0,? ?) 上取不同的值,当测试结果确
定后, Z 的取值也就确定了.
上面3个例子中的 X,Y , Z 具有下列特征: (1)取值是随机的,事前并不知道取到哪个值; (2)所取的每一个值,都相应于某个随机现象; (3)所取的每个值的概率大小是确定的.

定义1 一般地,如果一个变量,它的取值随着试 验结果的不同而变化着,当试验结果确定后,它所 取的值也就相应地确定,这种变量称为随机变量. 随机变量度可用英文大写字母 X ,Y ,Z …(或希腊
字母 ? ,? ,? …)表示.
例如,某长途汽车站每隔 10min 有一辆汽车经过. 假设乘客在任一时刻达到汽车站是等可能的,则“乘 客等候.汽车的时间”X 是一个随机变量,它在 0 ~ 10 min之间取值:0 ? x ?10.

对于随机变量 X ,通常分为两类: 一类是 X 所可能取的值能一一列举出来,这类就称
为离散型随机变量; 例如上面所说的“掷一颗骰子”就是一个离散随机变量; 另一类是 X 所能取的值不能一一列举出来,而是充
满某一实数区间,这类就称为连续型随机变量. 例如 测量误差 X 是可在 (??,? ?) 上取值的随机变量.
“ | X |?1 ”表示“测量误差X在 [?1,?1]内.

二、随机变量的概率分布
定义2 设 X 为一个随机变量,对任意实数 x,事件“
X ? x ”的概率是 x 的函数,记为
F(x) ? P(X ? x),
这个函数称为 X 的累积概率分布函数,简称分布函数.
在上述定义中并没有限定随机变量 X 是离散的或是连 续的.不论离散随机变量还是连续随机变量都可谈论分 布函数,都有各自的分布函数.从分布函数定义容易看 出它的一些基本性质.

(1) 0 ? F(X ) ?1.要记住,分布函数值是特定形式事件“

X ? x”的概率,而概率总在0与1之间. (2) F(??) ? lim F(x) ? 0.这是因为事件“X ? ?? ”是不可能
x???
事件之故. (3) F(??) ? lim F(x) ?1.这是因为事件“X ? ??”是必然
x???
事件之故. (4) F(x) 是非降函数,即对任意 x1 ? x2 ,有 F(x1) ? F(x2).
. 这是因为事件“X ? x2”包含事件“X ? x1 ”之故. (5) F(x) 是右连续函数,即 F(x) ? F(x ? 0) ,其中 F(x ? 0)
是函数在点 x 处的右极限,对任意给定的 x ,取一个下

数列 {xn},使其极限为 x ,即

x1 ? x2 ? ??? ? xn ??? ? x (n ? ?)



F(x

?

0)

?

lim
xn?x

F(xn ).

例1 取暖器有二种: 一种是用电作动力的(记为 E)
,另一种是用煤气作动力的(记为 G).有三位顾客到大
型商场去各购买一台取暖器.若定义如一个随机变量:
X ?“三位顾客共购买煤气取暖器的台数”,
而随机现象(三位顾客购买取暖器)的基本结果有多 种,如第一、第三位顾客买的是煤气取暖器,而第二 位顾客买的是电取暖器,此时基本结果可表示为 GEG ,对此基本结果,随机变量 X 的取值为2.类似地可把 全部基本结果及 X 相应取值罗列如下:

基本结果 X 取值

EEE EEG EGE GEE EGG GEG GGE GGG

01112

22

3

可见 X 是定义在基本空间 ? (含有 EEE 等8个基本
结果)上的一个实值函数,并且只取四个值 0,1,2,3 ,故
X 是离散随机变量.
若从市场调研知,在欲购取暖器的顾客中60%要购电 取暖器,40%要购煤气取暖器,即 P(E) ? 0.6 ,P(G) ? 0.4 .假如三位网客购置取暖器是相互独立的,则可算得每 个基本结果发生的概率,例如
P(EEE) ? 0.63 ? 0.216,
P(EEG) ? 0.62 ? 0.4 ? 0.144 .
于是又可算得 X 取 0,1,2,3 等四个值的概率 P(X ? 0) ? P(EEE) ? 0.216; P(X ?1) ? P(EEGU EGE U GEE) ? 3? 0.144 ? 0.432;

P( X ? 2) ? P(EGG U GEG U GGE ) ? 3? 0.6? 0.42 ? 0.288;
P( X ? 3) ? P(GGG ) ? 0.43 ? 0.064 .
上述四个概率之和恰好为1,这样的一组概率在概率 论中称为一个概率分布,或分布列,并可表示如下:

X

0

1

2

3

P 0.216 0.432 0.288 0.064

.
利用分布列可以算得一些更复杂事件的概率,例如, 事件“三位顾客中最有一位购置煤气取暖器”可用“
X ?1 ”表示,相应概率为
P(X ?1) ? P(X ? 0) ? P(X ?1) ? 0.648.

类似地,可以计算其他一些事件的概率
P(X ?1) ? P(X ? 1) ? P(X ? 2) ? P(X ? 3) ? 0.784;
P(?1X ? 2) ? P(X ?1) ? P(X ? 2) ? 0.720.
最后,利用这个分布列容易写出X 的分布函数

?0 , x ? 0

F ( x)

?

P( X

?

x)

?

????00..624186

,0 ? ,1 ?

x ?1 x ? 2.

??0.936 , 2 ? x ? 3

??1 , 3 ? x

这是定义在整个实数轴上的函数,其图形(见图1) 是阶梯函数,它的间断点正好是 X 可能取的四个值上, 于该函数的右极限,所以这个函数是右连续的,另外, 在间断点上函数 F(x) 的跃度从低到高依次为 X 取 0,1,2,3 的概率.
图(1)
随机变量 X 仅取 0,1,2,3 等四个值(例1)的分布函数

第二节

第二章

离散型随机变量

一、离散型随机变量的分布列 二、几种常见的离散型随机变量的分布

一、离散随机变量的分布列
定义3 设随机变量 X 的取值为有限个或可列无限个
x1, x2 , x3 ,? ? ?, xn ,则称 X 为离散型随机变量,若存在非负
实数p1, p2 , p3 ,???, pn , 有
P(X ? xi)? pi ? 0(i ? 1,2,? ? ?,n,? ? ?)
则称上式为离散型随机变量 X 的分布律或X的概率分布,
它可以用表格的形式表示为

X

x1

x2



xn



P

p1

p2



pn



由概率的定义知,离散型随机变量的分布列具 有如下性质:
性质1(非负性)对 i ? 1,2,??? 恒有 pi ? 0.
?
性质2(规范性) ? pi ? 1. i ?1
例1 某选手射击的命中率为 p ? 0.4 ,现射击5次,
命中次数用 Y 表示,它的取值是随机的,可能的取值
有0,1,2,3,4,5.显然,“Y ? i ”等价于“5次
射击,恰有 i次命中”(i ? 0,1,2,3,4,5) .试求它的分布
律.

解 由于各次射击是独立进行的,故由二项概 率计算公式得
P(Y ? i) ? C5i pi (1 ? p)5?i , 计算 Y 取0,1,2,3,4,5的概率为
P(Y ? 0) ? C50 ? 0.40 ? 0.65 ? 0.078; P(Y ? 1) ? C51 ? 0.41 ? 0.64 ? 0.259; P(Y ? 2) ? C52 ? 0.42 ? 0.63 ? 0.346; P(Y ? 3) ? C53 ? 0.43 ? 0.62 ? 0.230; P(Y ? 4) ? C54 ? 0.44 ? 0.61 ? 0.077; P(Y ? 5) ? C55 ? 0.45 ? 0.60 ? 0.010.

于是得到“5次射击恰有i 次命中”的分布律为

X

0

1

2

3

4

5

P 0.078 0.259 0.346 0.230 0.077 0.010

例2 袋中有2个白球,3个黑球,每次从中任取一球, 直到取得白球为止,用 X 表示直到取得白球时取球的次 数,求 X 的概率分布律,并求两次就能取到白球的概率.
(1)每次取出的黑球不放回去;
(2)每次取出的黑球放回去.

解 (1)由题意知, X的可能值为1,2,3,4 由乘法公式知:

P1

?

P{X

? 1} ?

2 5

?

0.4;

32

P2

?

P{X

?

2} ?

? 54

? 0.3;

P3

?

P{X

? 3} ?

3?2?2 543

? 0.2;

P4

?

P{X

?

4} ?

3?2?1?2 5432

? 0.1.

因此,X 的分布列为:

X

12

3

4

P

0.4 0.3 0.2 0.1

设 A ? {两次就能取到白球},则

P( A) ? P( X ? 2) ? P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? 0.4 ? 0.3 ? 0.7.

(2)由题意知,X 的可能值为 1,2,???, n

因为是有放回抽样,所以取球试验是独立

的,由独立事件概率乘法公式,得

P1

?

P{X

? 1} ?

2 5

? 0.4;

P2

?

P{X

?

2} ?

3? 5

2 5

?

6; 25

P3

?

P{X

?

3} ?

(3)2 5

?

2 5

?

8. 125

一般地

Pn

?

P{X

?

n} ?

( 3)n?1 ? 5

2 5

?

0.4 ? (0.6)n?1

n ? 1,2,???

因此,X 的分布列为:

X1

2

…n



Pn

0.4 0.4×0.6 … 0.4×(0.6)n-1 …

P( X ? 2) ? P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? 0.4 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.64.

例3 检查下面的数列是否能组成一个概率分布

(1)

p1 ( x)

?

x

? 2

2

,

(2)

p2 (x)

?

x2 25

,

x ?1,2,3,4; x ? 0,1,2,3,4;

(3) p3 (x) ? 2?x , x ? 1,2,???, n ???

解 数列(1)不能组成一个概率分布,因为 p1(1) 为负. 数列(2)也不能组成一个概率分布,因为它的5个概率

之和为6/5,大于1. 数列(3)是一个概率分布,因为其每个数都大于零,其和 又恰好为1.

二、几种常见离散型随机变量的分布
1.两点分布
设随机变量 X 只能取0,1两个值,它的概率分布 是 P( X ? 1) ? p, P( X ? 0) ? 1 ? p,
则称 X 服从两点分布,或 X 服从0-1分布.
如果一个试验,其结果只有两个,则可以由两点 分布来描述.
两点分布是经常遇到的一种分布,很多试验可以归 结为两点分布,如产品的“合格”与“不合格”、新 生儿的性别登记“男”和“女”、掷硬币的“正面向 上”与“反面向上”等.

2.二项分布
离散型随机变量的概率分布简称为离散分布.下 面将叙述三种在实际中最常用的离散分布,这里先
叙述二项分布.在1.4.4节中叙述的 n 重贝努里试验
有如下几个特点:
(1) 重复进行 n 次相互独立的试验;

(2) 每次试验只可能有两个结果:成功与失败;

(3) 每次出现成功的概率相同,皆为 p.

.
我们曾用 Bn,k

表示事件“n

重贝努里试验中成功出现

k 次”.如今我们用随机变量来表示这个事件.设 X为

n 重贝努里试验中成功的次数,则有 Bn,k ? X ? k .

其中X 可能取的值为 0,1,???, n,它取这些值的概率为

P(X

?

x)

?

C

x n

p

x

(1

?

p)n?x ,

x ? 0,1,???, n

(3)

由二项式定理可知,上述 n ?1 个概率之和为1,

n

n

? ? P( X ? x) ? Cnx p x (1? p)n?x

x?0

x?0

? [ p ? (1? p)]n ? 1.

这个概率分布称为二项分布,记为b(n,p) ,它被

n(正整数)和 p (0 ? p ? 1) 两个参数唯一确定.

在概率论中“随机变量X 的概率分布为二项分布 b(n,p)

” 常被说成“随机变量X服从二项分布 b(n,p) ”,并记作

X ~ b(n p).

例4 已知某个地区人群患有某种病的概率是0.20, 研制某种新药对该病有防治作用,现在15个人服用该 药,结果都没有得该病,从这个结果对该种新药的效 果会得到什么结论?
解 15个人服用该药,可看作独立地进行15次实验, 若药无效,则每人得病的概率是0.20,这时15人中得 病的人数应服从参数为(15,0.20)的二项分布,所 以“15人都不得病”的概率是
P( X ? 0) ? C105 (0.20)0 (1 ? 0.20)15 ? 0.035.
说明:若药无效,15人都不得的可能性只有0.035, 这个概率很小,在实际上不大可能发生,所以实际上 可以认为该药有效.

例5 据调查,市场上假冒的某名牌香烟有15%, 某人每年买20条这个品牌的香烟,求他至少买到1条 假烟的概率.
解 假设他买到 X 条假烟,对1条香烟,真假 必具其一,且为假的概率是15%,为真烟的概率
是85%,所以X服从二项分布b(20 ,0.15).
20条香烟全真,即 X ? 0, 有
P( X ? 0) ? C200 ? 0.150 ? 0.8520 ? 0.039;
所求概率为 P ?1? P(X ? 0) ? 1? 0.039 ? 0.961.
可见,至少有1条假烟的概率是非常大的.

例6 已知任意一张明信片能中奖的概率是0.1112, 求在20张明信片,恰有2张中奖的概率和能中奖的概 率.

解 每张明信片,中奖与不中奖只有两个结果,用

X 表示20张明信片中中奖的张数,则 X 服从二项分布

b(20 ,0.1112).

所求恰有2张中奖,即为 X ? 2 的概率. 即

n ? 20 p ? 0.1112 ,

P(X

?

2)

?

C2 20

?

0.11122(1

?

0.1112)20?2

? 20?19 ? 0.11122 ? 0.888818 ? 0.2815. 2

能中奖的对立事件为全不中奖,于是

P(能中奖)? 1? C200 ? 0.1112 0 ? 0.8888 20 ? 1? 0.88888 20 ? 0.9054 .

3.泊松(Poisson)分布
定理1(泊松定理)在 n 重贝努里试验中,以 pn 表示在一次试验中成功发生的概率.且随着n 增大,pn
在减小.n ? ? 时有?n ? npn ? ? (正数),则出现 k 次成功的概率
P( X ? k) ? ?k e?? , (k ? 0,1,2,???)
k! 即 P( X ? k ) ? ?k e?? .
k!
在二项分布 b(n,p) 中,若相对地说,n 大,p 小, 而乘积 ? ? np 大小适中时,有以下近似式

Cnk pk (1?

p)n?k

?

?k e??
k!

,(其中? ? np ).

也就是说以 n,p 为参数的二项分布的概率值可以由

参数为 ? ? np 的泊松分布的概率值近似,上式也能
用来作二项分布概率的近似计算.

例7 在500人组成的团体中,恰有 k 个人的生日是
在元旦的概率是多少? 解 在该团体中每个人的生日恰好在元旦的概率为

p

?

1 365

,则该团体中生日为元旦的人数

X

~ b(500,1 ) 365



P( X

?

k)

?

C5k00

(

1 )k 365

(1

?

1 )500?k , 365

k ? 0,1,???,500

这个概率计算是复杂的,但为了比较,仍对

k ? 0,1,???,6 进行计算,然后再用近似公式计算,其中

? ? 500 ? 1.3699.两者结果都列在表(1)上.
365

k

C5k00

(

1 )k 365

(1

?

1 )500?k 365

(1.3699 )k e?1.3699 k!

0

0.2537

0.2541

1

0.3484

0.3481

2

0.2388

0.2385

3

0.1089

0.1089

4

0.0372

0.0373

5

0.0101

0.0102

6

0.0023

0.0023

7

0.0006

0.0006

表(1)二项分布与泊松近似的比较

定义4(泊松分布)

泊松定理中的泊松概率

?x
x!

e??

对一切非负整数 x 都是非负的,且其和恰好为1,因为

? ? ? ?x e?? ? e?? ? ?x ? e?? ? e? ? 1.

x?0 x!

x?0 x!

这样一来,泊松概率的全体组成的一个概率分布,

称为泊松分布,记为 P(?) ,若随机变量 X 服从泊松分

布,即 X ~ P(?) ,这意味着,X 仅取 0,1,2,??? 等一切非负

整数,且取这些值的概率为

P( X ? x) ? ?x e?? , x ? 0,1,2,??? (其中参数 ? ? 0)
x!

下面是服从或近服从泊松分布的随机变量的一些例 子:
(1) 在一定时间内,电话总站接错电话的次数; (2) 在一定时间内,在超级市场排队等候付款的顾客 人数; (3) 在一定时间内,来到车站等候公共汽车的人数; (4) 在一定时间内,某操作系统发生故障的次数;
(5) 在一个稳定的团体内,活到100岁的人数; (6) 一匹布上,疵点的个数; (7) 100页书上,错别字的个数; (8)一个面包上,葡萄干的个数.

例7 某厂需要12只集成电路装配仪表,要到外地采 购.已知该型号集成电路的不合格品率为0.1,问需要 采购几只才能以99%的把握保证其中合格的集成电路 不少于12只?
解 设 n 为采购数量,X n 为 n 块集成电路中不合格
品个数,按题意,要求 n ? Xn ? 12,即 Xn ? n ?12,其概率 ; n?12 ? P( X n ? n ?12) ? Cnk 0.1k0.9n?k , k ?0 若 n ?15,由附表1查得 P( X15 ? 3) ? 0.9444 ,尚未达到
99% 的把握.再对 n ?16 和 n ?17 进行查表计算,得
P( X16 ? 4) ? 0.9830 , P( X17 ? 5) ? 0.9853 .
可见,需要采购17只才能以99%的把握保证其中合格 的集成电路不少于12只.

第三节

第二章

连续型随机变量

一、连续型随机变量的概率密度函数 二、连续型随机变量的两个常用分布

一、连续型随机变量的概率密度函数
定义5 设 p(x) 是定义在整个实数轴上的一个函数,假
它满足如下两个条件: (1) p(x) ? 0 . (非负性)
? (2) ?? p(x )dx ? 1(. p(x) 与横轴所夹面积为1) ??
则称 p(x) 为概率密度函数,或密度函数,有时还简称 密度.
假如密度函数 p(x) 与连续型随机变量 X 有如下关系:

对任意两个实数 a 与 b,其中 a ? b,且 a 可为 ? ?, b可为 ? ?, X 在区间[a,b] 上取值的概率为曲线 p(x)
在该区间上曲边梯形的面积,即

P(a

?X

? b) ?

?bp(x )dx .
a

则称密度函数 p(x) 为连续型随机变量 X 的概率分布,

或简称 p(x) 为 X 的密度函数,记为 X ~ p(x) ,读作“

X 服从密度 p(x).

例1 设随机变量 X 的概率密度函数是

?A

f

(

x)

?

? ?

1? x2 ,

??0

当 | x |? 1 时,试求: 其他

(1)系数 A ;

(2)X 落在区间 (? 1 , 1 ), (? 3 ,2) 内的概率.
22 2

解 (1)根据概率密度函数定义中的结论(2),得

? ? 1 ? ??f(x ) ? 1

??

?1

? Aπ,即A ? 1 .
π

A dx 1 ? x2

?

A arcsin x |1?1

(2)

? P(?

1 2

?

X

?

1) 2

?

1
2 1
?2 π

1 dx 1 ? x2

?

1 π

arcsin x

1
2 1
?2

?

1; 3

.

? P(?

3 2

?X

? 2) ?

2 3
?2 π

1 dx 1 ? x2

? ? ?

1 3
?2 π

1 dx 1 ? x2

?

20dx
1

.

? 1 arcsin x 1 ? 5 .

?

?3 6

2

二、连续型随机变量的两个常用分布

1.均匀分布

定义6 若随机变量 X 的密度函数为

p( x)

?

?? ?b

1 ?

a

,

当a ? x ? b 时

??0 , 其它

(?? ? a ? b ? ??)

则称 X 在区间 [a,b] 上服从均匀分布,也称为等概率 分布,记作 X ~ U (a b).
从均匀分布的概念可知:X 仅在有限的区间[a,b]
上取值,而且落在区间 [a,b] 中任意等长度的子区间

的可能性是相同的,均匀分布的密度曲线如下图所示.
本节例3图形

例2 设随机变量 X 具有概率密度

?c, a ? x ? b p(x) ? ??0, 其他
试确定常数 c ,并求概率 P(X ? a ? b).
2

? 解

?? f(x )dx
??

?

1,

即有

?bcdx
a

?

1,c

?

b

1 ?

a.

随机变量 X 的概率密度为

p(x)

?

? ? ?b

1 ?

a

,

a

?

x

?

b

??0, 其它

? ? P(X

?

a

? 2

b

)

?

P(a

?b
2

?

X

? b) ?

b a ?b

p(x )dx

?

2

b
a ?b 2

b

1 ?

adx

?

1. 2

例3 在某个公共汽车的起点站上,每隔8min发出一辆
汽车,一个乘客在任一时刻到达车站是等到可能的.
(1)求此乘客在候车时间 X 的分布; (2)求此乘客候车时间超过5min的概率.

解(1) X 服从 [0,8] 上均匀分布,其密度函数为

?0.125, 当 0 ? x ? 8 时

p(x) ? ??0,

其他

? ? (2) P(? ? 5) ? ?? p(x )dx ? 80.125dx ? 0.375.

5

5

2.指数分布

若随机变 X 的密度函数为

??e??x ,
p(x) ? ? ?0,

当x ? 0 时 ,(? ? 0)
当x ? 0 时

则称 X 服从参数为λ的指数分布,记作X~e(?)
指数分布的密度曲线如下图所示.

例4 某电子元件的使用寿命 X(单位:h)服从
参数为0.01的指数分布. (1)绘出 X 的密度曲线;
(2)求此元件使用100h以上的概率.
解 (1)? ? 0.01 ,X 的密度曲线如下图所示

(2)

? ? p?X ?100? ?

??
p(x)dx ?

??0.01e?0.01xdx ? 1 ? 0.368.

100

100

e

例5 某种机器出故障前正常运行的时间 X(单位:h)

是一个连续型随机变量,其概率密度函数是

p(

x)

?

? ? ?

1 200

e

?

x 200

,

x

?

0,

??0

x?0

试求:该机器能连续正常工作50~150 h的概率以及

能连续正常工作超过200小时的概率.

解 由题设知,X 是连续型随机变量,

? P(50 ? X ? 150 ) ?

150

1

?x

?1

?3

e 200 dx ? e 4 ? e 4

? 0.306;

50 200

? P(X ? 200 ) ?

??

1

?x
e 200 dx

?

e?1

?

0.368 .

200 200

3.正态分布

定义7 如果随机变量 X 的密度函数为

p(x) ?

1

e?

(

x??) 2? 2

2

(??

?

x

?

??),

2??

其中 ?,? 为常数,且 ? ? 0 ,则 X 服从参数为 ?,?

的正态分布,记为 X ~ N(? ? 2 ).

? ? 可以证明

??

??

p(x)dx ?

1

e?

(

x?? )2 2? 2

dx

? 1.

??
.

?? 2??

.

正态分布的分布函数为

? F(x) ? 1

e dx x

?(x??)2 2? 2

2?? ??

(?? ? x ? ??).

正态分布的密度函数 p(x) 、分布函数 F (x) 的图形 如图所示.
正态分布的密度函数具有以下的性质:
(1)p(x) 关于直线 x ? ? 对称,在 x ? ? ? ?
处有拐点;

(2)p(x) 在 x ? ? 处达到最大值

1.
2??

(3)当 x ?? 时,p(x) ? 0, 即曲线 y ? p(x) 以

x 轴为渐近线;

(4)当 ? 越大时,曲线越平缓;当 ? 越小时,曲

线越陡峭,如图所示.

当参数 ? ? 0,? ? 1 即 N (0 1) 时,则称 X 服从标准

正态分布.

这时用 ?(x) 和 ?(x) 分别表示 X 的密函数和分布函数,



?(x) ?

1

? x2
e 2 (?? ? x ? ??),

2?

? ?(x) ? 1

x ?t2
e 2 dt.

2? ??

?(x) 和 ?(x) 的图像如图所示

, .

标准正态分布的密度函数和分布函数具有如下性质:
(1) ?(x) 是偶函数,即 ?(?x) ? ?(x) (如左下图所示); (2)当 x ? 0 时,?(x) 取得最大值 1 ;
2?
(3) ?(?x) ? 1 ? ?(x) (如右下图所示).

定理2 若随机变量 X ~ N (?,? ),则随机变量
Y ? X ? ? ~ N (0,1), ?
此定理中的线性代换 Y ? X ? ? 称为随机变量 X 的标准 ?
正态化. 例6 设 X ~ N (0,1) ,求 P{| X |? 0},并计算 P{| X |?1.28}.
解 P ?X ? x? ? P ?? x ? X ? x? ? P ?X ? x? ? P ?X ? ?x?
? ?(x) ? ?(?x) ? ?(x) ? ?1? ?(?x)?
? 2?(x) ?1.
P?X ?1.28?? 2?(1.28) ?1 ? 2?0.8997?1? 0.7994.

例7 设 X ~ N (1,0.22 ) ,求 P(x ? 1.2); P(0.7 ? x ? 1.1)

解 设 Y ? X ? ? ? X ?1, 则 Y ~ N(0,1) ,于是

?

0.2

P(x ? 1.2) ? P(Y ? 1.2 ?1) ? P(Y ? 1) ? ?(1) ? 0.8431. 0.2
P(0.7 ? x ? 1.1) ? P(0.7 ?1 ? X ?1 ? 1.1?1) 0.2 0.2 0.2
.
? P(1.5 ? Y ? 0.5) ? ?(0.5) ? ?(?1.5)
? ?(0.5) ? ?(1.5) ?1
? 0.6915 ? 0.9332 ?1
.
? 0.6427 .

例8 已知某车间工人完成某道工序的时间 X(单位: min)服从正态分布 N (10,32 ),问: (1)从该车间工人中任选一人,其完成该道工序的 时间不到7min的概率; (2)为了保证生产连续进行,要求以95%的概率保证 该道工序上工人完成工作时间不多于15min,问这一要求 能否得到保证?
解 根据已知条件,X ~ N (10,32 ) ,故
Y ? X ?10 ~ N(0 ,1). 3

(1)

P(x ? 7) ? P( X ?10 ? 7 ?10)

3

3

? P(Y ? ?1)

? ?(?1) ? 1? ?(1)

?1? 0.8413 ? 0.1587;
即从该车间工人中任选一人,其完成该道工序的时间 不到7min的概率是0.1587.
(2)

P(X ? 15) ? P(Y ? 15 ?10) ? ?(1.67) ? 0.9525 ? 0.95. 3

所以该要求能够得到保证.

第四节

第二章

分布函数与随机变量 函数的分布

一、分布函数的概念

二、均匀分布和指数分布的分布函数

三、随机变量函数的分布

一、分布函数的概念

定义8 设 X 是一个随机变量,称函数 F(x) ? P(X ? x) (??,? ?) 为随机变量 X 的分布函数,记作 X ~ F(x) 或FX (x).

对于离散型随机变量 X ,若它的概率分布为

pk ? P( X ? xk ) , (k ? 1,2,???)
则 X 的分布函数为

? F(x) ?.P(X ? x) ? pk . xk ?x
对于连续型随机变量 X ,其概率密度为 f (x) ,则它

? 的分布函数

x
F (x) ? P( X ? x) ? f (t)dt.

??

性质1 0 ? F(X ) ? 1.

性质2 F (x) 是单调不减函数,且

F(??) ? lim P(X ? x) ?1, x???

F(??) ? lim P(X ? x) ? 0. x ???

? ? 性质3

b
f (x)dx ? F (b) ? F (a)
a

或 pi
a?xi ?b

? F(b) ? F(a).

如图(a),F (x)等于曲线 y ? f (x) 在 (??,a]上的

曲边梯形面积,图(b)说明曲线 y ? f (x) 和 x 轴之间

的面积等于1,而图(c)表示 P{a ? x ? b}等于曲线 y ? f (x) 在区间 (a,b] 上曲边梯形的面积.

(a)

(b)

(c)

性质4 P{X ? a} ? 0.

事实上,由微积分的知识可知,对任意实数 a ,有

P{X ? a} ? 0 ,这是因为

a ? ?x

? P{X ? a} ? lim P(a ? X ? a ? ?x) ? lim

?x?0?

?x?0? a

f (x)dx ? 0.

例1 设随时机变量 X 的分布律是

X

-1

0

1

Pi

0.3

0.5

0.2

求 X 的分布函数.

解 当x ? -1 时,因为事件 {X ? x} ? ?,所以
F(x) ? 0;
当 ?1 ? x ? 0 时,有
F(x) ? P(X ? x) ? p(X ? ?1) ? 0.3;

当 0 ? x ? 1 时,有

F(x) ? P(X ? x) ? p(X ? ?1) ? P(X ? 0) ? 0.3 ? 0.5 ? 0.8;

当 x ? 1 时,有

F(x) ? P(X ? x) ? p(X ? ?1) ? P(X ? 0) ? P(X ? 1) ? 0.3 ? 0.5 ? 0.2 ? 1;
故 X 的分布函数为

?0, 当 x ? ?1 时

F ( x)

?

P( X

?

x)

?

??0.3, ??0.8,

当?1? x ? 0 时 当0 ? x ?1 时

??1, 当x ?1 时

二、均匀分布和指数分布的分布函数

在区间[a,b] 上的均匀分布的密度函数 p(x) 不难获得

均匀分布U (a,b) 的分布函数

?0 , x ? a

F(x ) ?

??x ??b

? a ,a ?a

?

x

?

b

??1 , x ? b

在进行积分时分三段进行,因为 p(x) 有两个间断点,

且分三段表示的,下图中给出了均匀分布 U (a,b)的 p(x)

与 F(x) ,从图可见,这里 F(x) 虽分三段表示,但接

点仍头尾相连,使 F(x) 是一个连续函数.

均匀分布 U (a,b) 的密度函数 p(x) 和分布函数 F (x)
指数分布 Exp(?) 的分布函数亦可求得.由密度函数
式,分两段积分,即可得
0 , x<0 F(x)=
1-e-λ x , x≥0
图中给出了指数分布 Exp(?) 的 p(x) 与 F(x) 的图形.

指数分布 Exp(?) 的密度函数 p( x) 和分布函数 F (x)
连续函型随机变量分布函数的一些性质. (1)连续型随机变量X 的分布函数 F(x) 是直线上的
.
是直线上的连续函数. (2)连续型随机变量 X 仅取一点的概率为零,即
P(X ? x) ? 0.

(3)对连续型随机变量 X 和任意实数 a 与 b (a ? b) ,有
P(a ? X ? b) ? P(a ? X ? b) ? P(a ? X ? b) ? P(a ? X ? b).
(4)设 F(x) 和 p(x) 分别是连续随机变量 X 的分布 函数和密度函数,则在 F(x) 导数存在的点 x 上有
F?(x) ? p(x).
三、随机变量函数的分布
定理3 设已知随机变量 X 的分布函数为 FX (x)和密度 函数为 pX (x) ,设 Y ? g(X ) ,其中函数 g(X ) 是严格单

调函数,且导数 g?(X )存在,则 Y 的密度函数为
pY ( y) ? pX (h( y)) | h?( y) | .
其中 h( y) 是 y ? g(x) 的反函数,h?( y) 是其导数.
例2 设随机变量 X 的分布函数 FX (x) 是严格增函数, Y ? FX (x) 服从区间 (0,1) 上的均匀分布.
证明 因为 Y ? FX (x) 是在区间 (0,1)上取值的随机变量, 所以当 y ? 0 时,FY ( y) ? 0 ;当 y ? 1 时,FY ( y) ? 1;而当 0 ? y ? 1 时,则有
FY ( y) ? P(Y ? y) ? P(FX (X )) ? y)

? p(x ? FX?1( y))

? FX (FX?1( y))
? y.

综合上述,Y ? FX (X ) 的分布函数为

?0,

FY

(

y

)

?

? ?

y,

??1,

y?0 0 ? y ? 1, y ?1

这就是在区间 (0,1) 上的均匀分布函数.