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含参不等式的解法教案


含参不等式的解法
适用学科 适用区域 知识点 教学目标
高中数学 河南省

适用年级 课时时长(分钟)

高中二年级 60

含参不等式的解法;高次不等式的解法。 掌握含参不等式的讨论方法; 掌握高次不等式的解法及注意事项。

教学重点 教学难点

含参不等式的解法;高次不等式的解法。 含参不等式的解法。

1

教学过程
一、课堂导入
上次课我们学习了一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系,一元二次不等式的解法。

问题:如果遇到含参不等式的时候应该如何求解?

2

二、复习预习
一元二次不等式的解法:
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) △情况 △= b2-4ac △>0 x 1= 一元二次方程 一元二次不等式

ax2+bx+c=0(a ax2+bx+c > 0(a ax2+bx+c < >0) >0) 0(a>0)

不 等 式 解 集 为不 等 式 解 集 { x | x < x1 或 x 为{x|x1<x >x2= <x2=

x 2= △=0 x1=x2=x0=

不等式解集{x| 解集为 x≠x0,x∈R}

3

△<0

方程无解

不 等 式 解 集 为 解集为 R(一切实数)

4

三、知识讲解
考点 1
含参不等式对应方程能因式分解类,讨论两个根的大小解不等式。 按方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的大小来分类,即 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2

5

考点 2
含参不等式对应方程不能因式分解,讨论判别式。 按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ;

6

考点 3
最高次项系数含参,先考虑最高次项系数为 0 情况。 按 x 2 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ;

7

考点 4
高次不等式的解法 元 n 次不等式 (x-a1)(x-a2)…(x-an)>0, (x-a1)(x-a2)…(x-an)<0, 其中 a1<a2<…<an. 把 a1,a2,…an 按大小顺序标在数轴上,则不等式的解的区间如图所示:

8

四、例题精析
例1 【题干】解不等式 x 2 ? 5ax ? 6a 2 ? 0 , a ? 0

9

【答案】 ?x | x ? 2a或x ? 3a? 【解析】原不等式可化为: ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,对应方程 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 的两根为 当a x1 ? 2a, x2 ? 3a ,
0 时, 即 2a 3a , 解集为 ?x | x ? 3a或x ? 2a?; 当 a ? 0 时, 即 2a 3a , 解集为 ?x | x ? 2a或x ? 3a?

10

例2 【题干】解不等式 x 2 ? ax ? 4 ? 0

11

【答案】∵ ? ? a 2 ? 16

? a? ∴当 a ? ?? 4,4?即 ? ? 0 时,解集为 R ;当 a ? ?4 即Δ =0 时,解集为 ?x x ? R且x ? ? ; 2? ?
当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 ,此时两根分别为 x1 ?

? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 , x2 ? ,显然 x1 ? x 2 , 2 2

? ? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? ? 或x〈 ∴不等式的解集为 ? x x ? ? 2 2 ? ? ? ?
【解析】∵ ? ? a 2 ? 16 ∴当 a ? ?? 4,4?即 ? ? 0 时,解集为 R ;

? a? 当 a ? ?4 即Δ =0 时,解集为 ?x x ? R且x ? ? ; 2? ?

? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 ,此时两根分别为 x1 ? , x2 ? ,显然 x1 ? x 2 , 2 2
? ? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? ? 或x〈 ∴不等式的解集为 ? x x ? ? 2 2 ? ? ? ?

12

例3 【题干】解不等式 m 2 ? 1 x 2 ? 4x ? 1 ? 0?m ? R?

?

?

13

【答案】因 m 2 ? 1 ? 0, ? ? (?4) 2 ? 4 m 2 ? 1 ? 4 3 ? m 2

?

? ?

?

1? ? 所以当 m ? ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x | x ? ? ; 2? ?

? 2 ? 3 ? m2 2 ? 3 ? m2 ? 当 ? 3 ? m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x x ? 或 x 〈 m2 ? 1 m2 ? 1 ? ?
当 m ? ? 3或m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 R。 【解析】因 m 2 ? 1 ? 0, ? ? (?4) 2 ? 4 m 2 ? 1 ? 4 3 ? m 2

? ? ?; ? ?

?

? ?

?

1? ? 所以当 m ? ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x | x ? ? ; 2? ?

? 2 ? 3 ? m2 2 ? 3 ? m2 ? 或 x 〈 当 ? 3 ? m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x x ? m2 ? 1 m2 ? 1 ? ?
当 m ? ? 3或m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 R。

? ? ?; ? ?

14

例4 【题干】解不等式(x+4)(x+5)2(2-x)3<0

15

【答案】不等式解集为{x∣x>2 或 x<-4 且 x≠5}. 【解析】原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图

-5 -4
不等式解集为{x∣x>2 或 x<-4 且 x≠5}.

2

16

五、课堂运用
【基础】
1 1、解不等式 x 2 ? (a ? ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) a

17

1 1 【答案】原不等式可化为: ? x ? a ?( x ? ) ? 0 ,令 a ? ,可得: a ? ?1 a a

∴当 a ? ?1 或 0 ? a ? 1 时, a ? 当 a ? 1 或 a ? ?1 时, a ?

1 1? ? ,故原不等式的解集为 ? x | a ? x ? ? ; a a? ?

1 ,可得其解集为 ? ; a 1 ? 1 ? ,解集为 ? x | ? x ? a ? 。 a ? a ?

当 ? 1 ? a ? 0 或 a ? 1 时, a ?

1 1 【解析】原不等式可化为: ? x ? a ?( x ? ) ? 0 ,令 a ? ,可得: a ? ?1 a a

∴当 a ? ?1 或 0 ? a ? 1 时, a ? 当 a ? 1 或 a ? ?1 时, a ?

1 1? ? ,故原不等式的解集为 ? x | a ? x ? ? ; a a? ?

1 ,可得其解集为 ? ; a 1 ? 1 ? ,解集为 ? x | ? x ? a ? 。 a ? a ?

当 ? 1 ? a ? 0 或 a ? 1 时, a ?

18

2、解不等式 ax2 ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0?

19

【答案】? a( x 2 ? 5x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0
? 当 a ? 0 时,解集为 ?x | x ? 2或x ? 3?;当 a ? 0 时,解集为 ?x | 2 ? x ? 3?

【解析】? a( x 2 ? 5x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0
? 当 a ? 0 时,解集为 ?x | x ? 2或x ? 3?;当 a ? 0 时,解集为 ?x | 2 ? x ? 3?

20

【巩固】 1、解不等式: ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0

21

【答案】∵ ? ? ?a ? 2?2 ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 解得方程 ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 两根 x1 ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 , x2 ? 2a 2a

? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ? ∴当 a ? 0 时,解集为 ? x | x ? 或x ? ? 2a 2a ? ? ? ?
? 当 a ? 0 时,不等式为 2 x ? 1 ? 0 ,解集为 ? x | x ? ? 1? ? 2?

2 ? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ?a?2? a ?4 ? a ? 0 ?x? 当 时, 解集为 ? x | ? 2a 2a ? ? ? ?

【解析】∵ ? ? ?a ? 2?2 ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 , x2 ? 解得方程 ax ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 两根 x1 ? 2a 2a
2

? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ? 或x ? ∴当 a ? 0 时,解集为 ? x | x ? ? 2a 2a ? ? ? ?
1? ? 当 a ? 0 时,不等式为 2 x ? 1 ? 0 ,解集为 ? x | x ? ? 2? ?
22

2 ? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ?a?2? a ?4 ? 当 a ? 0 时, 解集为 ? x | ?x? ? 2a 2a ? ? ? ?

23

2、

x2-4x+1 3x2-7x+2

≤1

24

【答案】{x?x<

1 3



1 2

≤x≤1 或 x>2}.

【解析】变形为 根据穿根法如图

(2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2)

≥0

1 3
不等式解集为 {x?x< 1 3 或 1 2 ≤x≤1 或 x>2}.

1 2

1

2

25

【拔高】 1、解不等式: (a 2 ? 1) x 2 ? 3ax ? 3 ? 0

26

【答案】当 a ? ?2 或 a ? 2 时,解集为 R ;当 a ? ?2 时,( ? ?,1 ) ? ( 1,?? ); 当 ? 2 ? a ? ?1 或 1 ? a ? 2 时,解集为 ( ? ?,

? 3a ? 12 ? 3a 2 ? 3a ? 12 ? 3a 2 ) ( ,?? );当 a ? ?1 时,解集为( ? ?,1 ); ? 2a 2 ? 2 2a 2 ? 2

? 3a ? 12 ? 3a 2 ? 3a ? 12 ? 3a 2 当 ? 1 ? a ? 1 时, , ); 当 a ? 1 时, 当 a ? 2 时, 解集为( ? ?,?1 ) (?) 解集为( (?) 解集为( ? 1,?? ); 2a 2 ? 2 2a 2 ? 2
? ( ? 1,?? ).

【解析】 (a 2 ? 1) x 2 ? 3ax ? 3 ? 0
a 2 ? 1 ? 0 ? a ? 1 或 a ? ?1 ;

(?)

? ? 9a 2 ? 4 ? (a 2 ? 1) ? 3 ? 0 ? a ? 2 或 a ? ?2 ;
? 当 a ? ?2 时, a 2 ? 1 ? 0 且 ? ? 0 , (?) 解集为 R ;

当 a ? ?2 时, a 2 ? 1 ? 0 且 ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?,1 ) ? ( 1,?? ); 当 ? 2 ? a ? ?1 时, a 2 ? 1 ? 0 且 ? ? 0 ,
27

(?) 解集为( ? ?,

? 3a ? 12 ? 3a 2 ? 3a ? 12 ? 3a 2 ) ( ,?? ); ? 2a 2 ? 2 2a 2 ? 2

当 a ? ?1 时, (?) ? ?3x ? 3 ? 0 ? x ? 1 , (?) 解集为( ? ?,1 ); 当 ? 1 ? a ? 1 时, a 2 ? 1 ? 0 且 ? ? 0 ,

? 3a ? 12 ? 3a 2 ? 3a ? 12 ? 3a 2 , ); (?) 解集为( 2a 2 ? 2 2a 2 ? 2
当 a ? 1 时, (?) ? 3x ? 3 ? 0 ? x ? ?1 , (?) 解集为( ? 1,?? ); 当 1 ? a ? 2 时, a 2 ? 1 ? 0 且 ? ? 0 ,
(?) 解集为( ? ?,

? 3a ? 12 ? 3a 2 ? 3a ? 12 ? 3a 2 ,?? ); ) ( ? 2a 2 ? 2 2a 2 ? 2

当 a ? 2 时, a 2 ? 1 ? 0 且 ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?,?1 ) ? ( ? 1,?? ); 当 a ? 2 时, a 2 ? 1 ? 0 且 ? ? 0 , (?) 解集为 R . 综上,可知当 a ? ?2 或 a ? 2 时,解集为 R ;当 a ? ?2 时,( ? ?,1 ) ? ( 1,?? ); 当 ? 2 ? a ? ?1 或 1 ? a ? 2 时,解集为
28

( ? ?,

? 3a ? 12 ? 3a 2 ? 3a ? 12 ? 3a 2 ) ( ,?? );当 a ? ?1 时,解集为( ? ?,1 ); ? 2a 2 ? 2 2a 2 ? 2 ? 3a ? 12 ? 3a 2 ? 3a ? 12 ? 3a 2 , ); 当 a ? 1 时, 当 a ? 2 时, 解集为( ? ?,?1 ) (?) 解集为( ? 1,?? ); 2a 2 ? 2 2a 2 ? 2

当 ? 1 ? a ? 1 时, (?) 解集为(
? ( ? 1,?? ).

29

2、解关于 x 的不等式: ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0.

30

【答案】①当 a ? 0 时,{ x x ?

1 或x ? 1 }; a

②当 a ? 0 时,{ x x ? 1}; ③当 0 ? a ? 1 时,{ x 1 ? x ? ④当 a ? 1 时, ? ; ⑤当 a ? 1 时,{ x
1 ? x ? 1 }. a

1 }; a

【解析】若 a ? 0 ,原不等式 ? ? x ? 1 ? 0 ? x ? 1.
1 1 若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0 ? x ? 或 x ? 1. a a 1 若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0. (?) a 1 其解的情况应由 与 1 的大小关系决定,故 a

(1)当 a ? 1 时,式 (?) 的解集为 ? ; (2)当 a ? 1 时,式 (?) ?
1 ? x ? 1; a
31

(3)当 0 ? a ? 1 时,式 (?) ? 1 ? x ? 综上所述,不等式的解集为: ①当 a ? 0 时,{ x x ?

1 . a

1 或x ? 1 }; a

②当 a ? 0 时,{ x x ? 1}; ③当 0 ? a ? 1 时,{ x 1 ? x ? ④当 a ? 1 时, ? ; ⑤当 a ? 1 时,{ x
1 ? x ? 1 }. a

1 }; a

32

课程小结
1、 2、 3、 4、 含参不等式能因式分解讨论两根; 不能因式分解讨论判别式; 最高次项系数含参先讨论系数为 0 情况; 高次不等式注意奇穿偶不穿。

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