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2013-2014学年四川省南充市高一(下)期末数学试卷


2013-2014 学年四川省南充市高一(下)期末数学试卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,满分 50 分;在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求,请将答案填在答题栏内) 1. (5 分) (2014 春?南充期末)2sin A. B. C. D.1
2 *

cos

的值是(



2. (5 分) (2014 春?南充期末)已知数列{an}满足 a1=1,an=an﹣1 ﹣1(n>2,n∈N ) ,则 a3 的值为( ) A.0 B.﹣1 C.1 D.

3. (5 分) (2014 春?南充期末)如图所示,甲 乙 丙是三个立体图形的三视图,则甲乙丙对 应的标号正确的是( )

A.④③② B.②①③ C.①②③ D.③②④ 4. (5 分) (2015 春?遂宁期末)已知 a<0,﹣1<b<0,则有( ) 2 2 2 2 A.ab>ab >a B.ab >ab>a C.ab>a>ab D.a>ab>ab 5. (5 分) (2007?福建)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别为 AA1、 AB、BB1、B1C1 的中点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于( )

A.45° B.60° C.90° D.120°
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6. (5 分) (2015?庆阳模拟)在等差数列{an}中, ( A. ) B. C. D.

,则

=

7. (5 分) (2014 春?南充期末)函数

, (x>1)的最小值为(



A.﹣3 B.3 C.4 D.﹣4 8. (5 分) (2015?高安市校级模拟)如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新 的三角形的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定 9. (5 分) (2007?江苏)已知两条直线 m,n,两个平面 α,β,给出下面四个命题: ①m∥n,m⊥α?n⊥α ②α∥β,m?α,n?β?m∥n ③m∥n,m∥α?n∥α ④α∥β,m∥n,m⊥α?n⊥β 其中正确命题的序号是( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 10. (5 分) (2012?华龙区校级模拟) 计算机是将信息转换成二进制进行处理的, 二进制即“逢 二进一”,如(1101)2 表示二进制数,将它转换成十进制形式是 1×2 +1×2 +0×2 +1×2 =13, 那么将二进制数(\frac{111…1}{16 个 1})_{2}转换成十进制形式是( ) 17 16 16 15 A.2 ﹣2 B.2 ﹣2 C.2 ﹣1 D.2 ﹣1 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,满分 25 分.请将答案直接填在答题卷的横 线上) 11. (5 分) (2014 春?南充期末)sin15°= . 12. (5 分) (2014 春?南充期末)一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 acm,则为球 的体积 V= . 13. (5 分) (2006?上海)在△ ABC 中,已知 BC=8,AC=5,三角形面积为 12,则 cos2C= . 14. (5 分) (2014 春?南充期末)设{an}是等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和,S7=7,S15=75, 已知 Tn 为数列{ }的前 n 项和,则 Tn=
2 3 2 1 0



15. (5 分) (2014 春?南充期末)若不等式 ax ﹣bx+c>0 的解集是(﹣ ,2) ,则以下结论 中: ①a>0; ②b<0; ③c>0; ④a+b+c>0; ⑤a﹣b+c>0, 正确结论的序号是 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出必要的文字说明、演算步骤. 16. (12 分) (2006?天津)如图,在△ ABC 中,AC=2,BC=1, (1)求 AB 的值; (2)求 sin(2A+C)的值. . .

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17. (12 分) (2014 春?南充期末)如图,已知三棱锥 ABC﹣A1B1C1 中,底面 ABC 是正三 角形,侧棱 AA1⊥底面 ABC,D 是 BC 的中点,AA1=AB=1. (1)求证:平面 AB1D⊥平面 B1BCC1; (2)求证:A1C∥平面 AB1D.

18. (12 分) (2015?鹿城区校级模拟) 已知数列{an}的前 n 项和 Sn , 且 Sn= (an﹣1) (n∈N ) . (1)求 a1,a2,a3; (2)求证:数列{an}是等比数列. 19. (12 分) (2014 春?南充期末)已知 =(2cosx,sinx) , =(sin(x+ f(x)= ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调递减区间. 20. (13 分) (2014 春?南充期末)某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉 6t,每吨 面粉的价格为 1800 元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元,购面粉每次需支付运 费 900 元. (1)求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少? (2)若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于 210t 时,其价格可享受 9 折优惠(即 原价的 90%) ,问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由. 21. (14 分) (2014 春?南充期末)已知函数 f(x)对任意 x∈R 都有 f(x)+f(1﹣x)= ; (1)求 f( ) ,f( )+f( ) (n∈N )的值; )+f(1) ,那么数列{an}是等
* *

*

) ,cosx﹣

sinx) ,

(2)若数列{an}满足 an=f(0)+f( )+f( )+…+f( 差数列吗?试证之; (3)在(2)的条件下,设 bn=4an﹣1,cn=bnq
n﹣1

(q≠0,n∈N )求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

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2013-2014 学年四川省南充市高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,满分 50 分;在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求,请将答案填在答题栏内) 1. (5 分) (2014 春?南充期末)2sin A. B. C. cos D.1 =sin = . cos 的值是( )

【解答】解:2sin 故选:C.

2. (5 分) (2014 春?南充期末)已知数列{an}满足 a1=1,an=an﹣1 ﹣1(n>2,n∈N ) ,则 a3 的值为( ) A.0 B.﹣1 C.1 D.
2 *

2

*

【解答】解:因为数列{an}满足 a1=1,an=an﹣1 ﹣1(n>2,n∈N ) , 2 2 则 a2=a1 ﹣1=0,a3=a2 ﹣1=﹣1, 故选:B. 3. (5 分) (2014 春?南充期末)如图所示,甲 乙 丙是三个立体图形的三视图,则甲乙丙 对应的标号正确的是( )

A.④③② B.②①③ C.①②③ D.③②④ 【解答】解:根据甲、乙、丙的三视图,得出甲是圆柱体,乙是三棱锥,丙是圆锥; ∴甲乙丙对应的标号应是④③②. 故选:A. 4. (5 分) (2015 春?遂宁期末)已知 a<0,﹣1<b<0,则有(
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A.ab>ab >a

2

B.ab >ab>a

2

C.ab>a>ab

2

D.a>ab>ab

2

【解答】解:取 a=﹣1,b=﹣ , 则 ab=(﹣1)× = , , ∴ab>ab >a. 故选 A. 5. (5 分) (2007?福建)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别为 AA1、 AB、BB1、B1C1 的中点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于( )
2

A.45° B.60° C.90° D.120° 【解答】解:如图,连 A1B、BC1、A1C1,则 A1B=BC1=A1C1, 且 EF∥A1B、GH∥BC1, 所以异面直线 EF 与 GH 所成的角等于 60°, 故选 B.

6. (5 分) (2015?庆阳模拟)在等差数列{an}中, ( A. ) B. C. D. ,

,则

=

【解答】解:∵等差数列{an}中, ∴

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故选 D. 7. (5 分) (2014 春?南充期末)函数 A.﹣3 B.3 C.4 D.﹣4 , (x>1)的最小值为( )

【解答】解:函数 = ∴函数 故选 B. 8. (5 分) (2015?高安市校级模拟)如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新 的三角形的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定 【解答】解:设增加同样的长度为 x,原三边长为 a、b、c,且 c =a +b ,c 为最大边; 新的三角形的三边长为 a+x、b+x、c+x,知 c+x 为最大边,其对应角最大. 而(a+x) +(b+x) ﹣(c+x) =x +2(a+b﹣c)x>0, 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦= 锐角, 那么它为锐角三角形. 故选 A 9. (5 分) (2007?江苏)已知两条直线 m,n,两个平面 α,β,给出下面四个命题: ①m∥n,m⊥α?n⊥α②α∥β,m?α,n?β?m∥n ③m∥n,m∥α?n∥α④α∥β,m∥n,m⊥α?n⊥β 其中正确命题的序号是( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 【解答】解:用线面垂直和面面平行的定理可判断①④正确; ②中,由面面平行的定义,m,n 可以平行或异面; ③中,用线面平行的判定定理知,n 可以在 α 内; 故选 C. 10. (5 分) (2012?华龙区校级模拟) 计算机是将信息转换成二进制进行处理的, 二进制即“逢 3 2 1 0 二进一”,如(1101)2 表示二进制数,将它转换成十进制形式是 1×2 +1×2 +0×2 +1×2 =13, 那么将二进制数(\frac{111…1}{16 个 1})_{2}转换成十进制形式是( ) 17 16 16 15 A.2 ﹣2 B.2 ﹣2 C.2 ﹣1 D.2 ﹣1
第 6 页(共 12 页)
2 2 2 2 2 2 2

≥log2(2+6)=3, , (x>1)的最小值为 3

>0,则为

【解答】解法一: (1111111111111111)2=2 +2 +…+2 +2+1=2 ﹣1 16 解法二:∵(1111111111111111)2+1=(10000000000000000)=2 16 ∴(1111111111111111)2=2 ﹣1 故选 C 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,满分 25 分.请将答案直接填在答题卷的横 线上) 11. (5 分) (2014 春?南充期末)sin15°= .

15

14

2

16

【解答】解:sin15°=sin(45°﹣30°)=sin45°cos30°﹣cos45°sin30° = 故答案为: =

12. (5 分) (2014 春?南充期末)一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 acm,则为球 的体积 V= a
3

. a.

【解答】解:由题意,球的直径 2R= 所以 R= 所以 V= 故答案为: a. R= a.
3 3

a.

3

13. (5 分) (2006?上海)在△ ABC 中,已知 BC=8,AC=5,三角形面积为 12,则 cos2C= . 【解答】解:∵已知 BC=8,AC=5,三角形面积为 12, ∴ ?BC?ACsinC=12 ∴sinC= ∴cos2C=1﹣2sin C=1﹣2× 故答案为:
2

=

14. (5 分) (2014 春?南充期末)设{an}是等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和,S7=7,S15=75, 已知 Tn 为数列{ }的前 n 项和,则 Tn= ﹣ .

【解答】解:∵{an}是等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和,S7=7,S15=75,

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解得 a1=﹣2,d=1, = ,

∴ ∴{

=



}是首项为﹣2,公差为 的等差数列, = ﹣ . ﹣ .

∴Tn=﹣2n+ 故答案为:

15. (5 分) (2014 春?南充期末)若不等式 ax ﹣bx+c>0 的解集是(﹣ ,2) ,则以下结论 中: ①a>0; ②b<0; ③c>0; ④a+b+c>0; ⑤a﹣b+c>0, 正确结论的序号是 ②③⑤ . 【解答】解:ax ﹣bx+c>0 的解集是(﹣ ,2) , 故 a<0.且 a ﹣bx+c=0 两根为﹣ ,2; 由根与系数关系得 2﹣ = >0,2×(﹣ )= <0; 故 b<0,c>0.因此,②③正确,①错误, 再根据 f(﹣1)<0,f(1)>0,可知 a+b+c<0,a﹣b+c>0,故④错误⑤正确. 故答案为:②③⑤. 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出必要的文字说明、演算步骤. 16. (12 分) (2006?天津)如图,在△ ABC 中,AC=2,BC=1, (1)求 AB 的值; (2)求 sin(2A+C)的值. .
2 2

2

【解答】解: (1)由余弦定理,AB =AC +BC ﹣2AC?BC?cosC=
第 8 页(共 12 页)

2

2

2



那么, (2)解:由 得 解得 所以, 由倍角公式 且 故 , . . , ,且 0<C<π, .由正弦定理, . ,

17. (12 分) (2014 春?南充期末)如图,已知三棱锥 ABC﹣A1B1C1 中,底面 ABC 是正三 角形,侧棱 AA1⊥底面 ABC,D 是 BC 的中点,AA1=AB=1. (1)求证:平面 AB1D⊥平面 B1BCC1; (2)求证:A1C∥平面 AB1D.

【解答】证明: (1)∵ABC﹣A1B1C1 为三棱柱,D 是 BC 中点,AA1⊥平面 ABC,AD?平 面 ABC, ∴AA1⊥AD; 又 AA1∥BB1, ∴AD⊥BB1; 又底面 ABC 为正三角形,D 是 BC 中点, ∴AD⊥BC,而 BC∩BB1=B, ∴AD⊥平面 BCC1B1, ∵B1D?平面 AB1D (2) )取 C1B1 的中点 E,连接 A1E,ED,

∴平面 AB1D⊥平面 B1BCC1;

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则 B1E∥DC,B1E=DC ∴四边形 B1DCE 为平行四边形, 于是有 B1D∥EC, 又 A1E∥AD, B1D∩AD=D, A1E∩EC=E, ∴平面 A1EC∥平面 AB1D,A1C?平面 A1EC, ∴A1C∥平面 AB1D. 18. (12 分) (2015?鹿城区校级模拟) 已知数列{an}的前 n 项和 Sn , 且 Sn= (an﹣1) (n∈N ) . (1)求 a1,a2,a3; (2)求证:数列{an}是等比数列. 【解答】 (1)解:∵Sn= (an﹣1) , ∴S1= (a1﹣1) ,∴a1=﹣ ; ∵S2= (a2﹣1) ,∴a2= ; ∵S3= (a3﹣1) ,∴a3=﹣ ; (2)证明:∵Sn= (an﹣1) , ∴Sn﹣1= (an﹣1﹣1) , 两式相减:an= (an﹣an﹣1) ,
*

∴当 n≥2 时, ∴数列{an}是等比数列.



19. (12 分) (2014 春?南充期末)已知 =(2cosx,sinx) , =(sin(x+ f(x)= ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调递减区间.

) ,cosx﹣

sinx) ,

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【解答】解: (1)∵ =(2cosx,sinx) , =(sin(x+ ∴f(x)= ? =2cosxsin(x+ =2sin(2x+ ) , =π; +2kπ],可得 x∈[ +kπ, )+sinx(cosx﹣

) ,cosx﹣

sinx) , cos2x

sinx)=sin2x+

∴函数 f(x)的最小正周期 T= (2)由 2x+ ∈[ +2kπ,

+kπ,

+kπ](k∈Z) ,

∴函数 f(x)的单调递减区间为[

+kπ](k∈Z) .

20. (13 分) (2014 春?南充期末)某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉 6t,每吨 面粉的价格为 1800 元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元,购面粉每次需支付运 费 900 元. (1)求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少? (2)若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于 210t 时,其价格可享受 9 折优惠(即 原价的 90%) ,问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由. 【解答】解: (1)设该厂应每 x 天购买一次面粉,其购买量为 6xt,由题意知,面粉的保管 等其他费用为 3[6x+6(x﹣1)+…+6×2+6×1]=9x(x+1) . 设平均每天所支付的总费用为 y1 元,则 y1= [9x(x+1)+900]+6×1800 = +9x+10809≥2 +10809

=10989. 当且仅当 9x= ,即 x=10 时取等号,

即该厂应每 10 天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少. (2)若厂家利用此优惠条件,则至少每隔 35 天,购买一次面粉,平均每天支付的总费用为 y2 元,则 y2= [9x(x+1)+900]+6×1800×0.90 = +9x+9729(x≥35) . (x≥35) ,

令 f(x)=x+ x2>x1≥35,则

f(x1)﹣f(x2)=(x1+

)﹣(x2+



= ∵x2>x1≥35,
第 11 页(共 12 页)

∴x2﹣x1>0,x1x2>0,100﹣x1x2<0. ∴f(x1)﹣f(x2)<0,f(x1)<f(x2) , 即 f(x)=x+ ,当 x≥35 时为增函数.

∴当 x=35 时,f(x)有最小值,此时 y2<10989.∴该厂应该接受此优惠条件. 21. (14 分) (2014 春?南充期末)已知函数 f(x)对任意 x∈R 都有 f(x)+f(1﹣x)= ; (1)求 f( ) ,f( )+f( ) (n∈N )的值; )+f(1) ,那么数列{an}是等
* *

(2)若数列{an}满足 an=f(0)+f( )+f( )+…+f( 差数列吗?试证之; (3)在(2)的条件下,设 bn=4an﹣1,cn=bnq 【解答】解: (1)令 x= ,则 f( )= , 令 x= ,则 f( )+f( )= ; )+f(1) ,
n﹣1

(q≠0,n∈N )求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

(2)∵an=f(0)+f( )+f( )+…+f( ∴an=f(1)+f( ∴2an= ∴an= , , )+…+f( )+f(0) ,

∴数列{an}是等差数列; n﹣1 (3)bn=4an﹣1=n,∴cn=nq . q=1 时,Tn=
2


n﹣1

∴Tn=1+2q+3q ++…+nq , 2 3 n ∴qTn=q+2q +3q ++…+nq , 2 n﹣1 n ∴(1﹣q)Tn=1+q+q ++…+q ﹣nq , ∴Tn= ﹣ .

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